拉普拉斯變換、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的S域分析基本要求通過本章的學(xué)習(xí)...(20210219175005)

1、文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯:歡迎下載支持. 第四章拉普拉斯變換、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的S域分析 基本要求 通過本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)深刻理解拉普拉斯變換的泄義、收斂域的概念：熟練掌握拉普 拉斯變換的性質(zhì)、卷枳左理的意義及它們的運(yùn)用。能根據(jù)時(shí)域電路模型畫岀s域等效電路 模型，并求其沖激響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。能根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分 布情況分析、判斷系統(tǒng)的時(shí)域與頻域特性。理解全通網(wǎng)絡(luò)、最小相移網(wǎng)絡(luò)的概念以及拉普拉 斯變換與傅里葉變換的關(guān)系。會判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 知識要點(diǎn) 1. 拉普拉斯變換的定義及進(jìn)義域 (1) 定義 單邊拉普拉斯變換： 逆變換 GF(s) = f(

2、t)= F(s)e ds 雙邊拉普拉斯變換： 正變換F4二匚 逆變換 f(f) = -r/X Fb(s)以ds 2兀j J”嚴(yán)丄 (2) 定義域 若時(shí)，Inn ft)ea，= 0則在bq)的全部范圍內(nèi)收斂，積分 匸7幺二存在，即/的拉普拉斯變換存在。ber就是/的單邊拉普拉斯變換 的收斂域。巧,與函數(shù)/(/)的性質(zhì)有關(guān)。 2. 拉普拉斯變換的性質(zhì) (1) 線性性 若G/Q = (S),門厶 = F2(S)，勺，心為常數(shù)時(shí)，則 Gh/i (r)+K2f2(t) =冷百(s) + k2F2(s) (2) 原函數(shù)微分 = sF(s) - 嚴(yán)“廣)(0_) dtr-( 式中/(r,(o_)是r階導(dǎo)數(shù)心

3、在0_時(shí)刻的取值。 (3) 原函數(shù)積分 若/(r)l = F(5),則歹匸/ = +匚 式中(0_)=匸/力 SS (4) 延時(shí)性 若 0) a a (7) 初值定理 lim/(/) = /(0J = lim5F(5) .vX (8) 終值左理 lim f(t) = imsF(s) 9T0C (9) 卷積定理 若G/2)=F|(s), 口/衛(wèi))=弘),則有/1(0*/2(0 = F1(5)F2(5) it fl (0/, (01 = 7- F(s)F2 (5) = fF(p)F二s-p)dp Lnj2j JaJx 3. 拉普拉斯逆變換 (1) 部分分式展開法 首先應(yīng)用 海維賽展開左理將F(s)

4、展開成部分分式，然后將各部分分式逐項(xiàng)進(jìn)行逆變換， 最后疊加起來即得到原函數(shù)f (r) o (2) 留數(shù)法 留數(shù)法是將拉普拉斯逆變換的積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)F($)e”在國線中所有極點(diǎn)的留 數(shù)運(yùn)算，即廣F(5)=丄廣嚴(yán)F (sYds = (fi Fs)es,ds =工F(*的留數(shù) 若必為一階級點(diǎn)，則在極點(diǎn)5 = /?.處的留數(shù)町 J-1 若p.為k階級點(diǎn)，則/;= 代7磊 G Pik FG)e” |_幾 4. 系統(tǒng)函數(shù)(網(wǎng)絡(luò)函數(shù))H (s) (1) 定義 系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的拉普拉斯變換與激勵(lì)的拉普拉斯變換之比稱為系統(tǒng)函數(shù)，即 H(s)= 空2沖激響應(yīng)h(f)與系統(tǒng)函數(shù)H(s)構(gòu)成變換對，即H(s

5、) = GM)系統(tǒng)的頻率 E(s) 響應(yīng)特性H(Jw) = /(5)1/H. = H(jw)eJu式中，片(川)|是幅頻響應(yīng)特性，0(w)是相 頻響應(yīng)特性。 (2) 零極點(diǎn)分布圖 %)=鵠唸為蔦C 式中K是系如勺 零點(diǎn)：，幾為H(s)的極點(diǎn)。在s平而上，用“O”表示零點(diǎn)，“X”表示極 點(diǎn)。將H(s)的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)畫在s平而上得到的圖稱為系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖。對于實(shí)系 統(tǒng)函數(shù)而言，英零極點(diǎn)要么位于實(shí)軸上，要么關(guān)于實(shí)軸成鏡像對稱分布。 (3) 全通函數(shù) 如果一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)位于左半平而，零點(diǎn)位于右半平而.而且零點(diǎn)與極點(diǎn)對于丿W軸互 為鏡像，那么這種系統(tǒng)函數(shù)稱為全通函數(shù)，此系統(tǒng)則為全通系統(tǒng)或全通網(wǎng)

6、絡(luò)。全通網(wǎng)絡(luò)函數(shù) 的幅頻特性是常數(shù)。 (4) 最小相移函數(shù) 如果系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)和零點(diǎn)均位于s平而的左半平而或丿“軸，則稱這種函數(shù)為最小相 移函數(shù)。具有這種網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的系統(tǒng)為最小相移網(wǎng)絡(luò)。 (5) 系統(tǒng)函數(shù)H(s)的求解方法 由沖激響應(yīng)h(t)求得，即H(s) = /(/) 對系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行零狀態(tài)條件下的拉普拉斯變換，然后由/7(巧=冬旦 獲得。 E(s) 根據(jù)S域電路模型，求得零狀態(tài)響應(yīng)的像函數(shù)與激勵(lì)的像函數(shù)之比，即為H(5)o 5. 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 若系統(tǒng)對任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則此系統(tǒng)為穩(wěn)泄系統(tǒng)。 (1) 穩(wěn)建系統(tǒng)的時(shí)域判決條件匚也(充要條件) 若系統(tǒng)是因果的，則式可

7、改寫為h (2) 對于因果系統(tǒng)，其穩(wěn)泄性的s域判決條件 若系統(tǒng)函數(shù)H(y)的全部極點(diǎn)落于s左半平而，則該系統(tǒng)穩(wěn)宦； 若系統(tǒng)函數(shù)H($)有極點(diǎn)落于s右半平而，或在虛軸上具有二階以上的極點(diǎn)，則該系統(tǒng)不 穩(wěn)定: 若系統(tǒng)函數(shù)H)沒有極點(diǎn)落于S右半平而，但在虛軸上有一階極點(diǎn)，則該系統(tǒng)臨界穩(wěn)左。 5word版本可編輯歡迎下載支持. 文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯:歡迎下載支持. 內(nèi)容摘要 拉氏變換的左義和收斂域 .拉普拉斯Y 1典型信號的拉氏變換 C部分分式展開法 二. 單邊拉氏變換逆變換的求法彳 I圍線積分法 三. 拉氏變換的基本性質(zhì) 四. 用拉普拉斯變換法分析電路 五 由零極點(diǎn)的

8、決左系統(tǒng)的時(shí)域特性 孕統(tǒng)函數(shù)J由零極點(diǎn)的分析系統(tǒng)的穩(wěn)怎性 八I由零極點(diǎn)的分析系統(tǒng)的頻響特性 例題 例題1:求拉氏變換 例題2：求拉氏變換,拉氏變換的性質(zhì) 例題3：拉氏變換的微分性質(zhì) 例題4：系統(tǒng)函數(shù),求解系統(tǒng)的響應(yīng) 例題5：用拉氏變換法分析電路 例 求下列函數(shù)的拉氏變換= 分析 拉氏變換有單邊和雙邊拉氏變換，為了區(qū)別起見,本書以F(s)表示/(/)單邊拉氏變換，以 你()表示/(/)雙邊拉氏變換。若文字中未作說明,則指單邊拉氏變換。單邊拉氏變換只研 究/no的時(shí)間函數(shù)，因此，它和傅里葉變換之間有一些差異，例如在時(shí)移左理，微分左理和初值 定理等方而。本例只討論時(shí)移立理。請注意本例各函數(shù)間的差異和

9、時(shí)移左理的正確應(yīng)用。 解答 F（s） = Ltu（t-1） = L（r 一 l（r 一 1） 求三角脈沖函數(shù)f(f)如圖42 (a) 0tl lt vc(oj使系統(tǒng)的零輸 入響應(yīng)等于沖激響應(yīng)。 血)| 啲 o1ftmo (3) 求系統(tǒng)的起始狀態(tài)，使系統(tǒng)對激勵(lì)時(shí)的気 4一5 (a) 全響應(yīng)仍為 解答 (1) 求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。 系統(tǒng)沖激響應(yīng)/心)與系統(tǒng)函數(shù)H(s)是一對拉氏變換的關(guān)系。對H($)求逆變換可求得b(t), 這種方法比在時(shí)域求解微分方程簡便。 利用/域模型圖45 (b)可直寫出圖45 (a)電路的系統(tǒng)函數(shù) 1 R + SL + sC 沁.) S 丁一 沖激響應(yīng) A0=r1/(5)=r

10、e-rM(r) 4-5 (b) (2)求系統(tǒng)的起始狀態(tài) 為求得系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，應(yīng)寫出系統(tǒng)的微分方程或給出帶有初值的$域模型。下面我們用 s域模型求解。圖45但)電路的s域模型如圖45(b)。 由圖4-5(b)可以寫出 E(s)-*(0-)+L(0-)i 卷)|( + 2兀(0_)+血) ?+2s + l9word版琢啊鎰魅縱迎下載支持. 零狀態(tài)響應(yīng) 零輸入響應(yīng) (0 文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯:歡迎下載支持. 上式中第二項(xiàng)只和系統(tǒng)起始狀態(tài)有關(guān)，因此該項(xiàng)是零輸入響應(yīng)的拉氏變換。依題意的要求, 該項(xiàng)應(yīng)和H（$）相等，從而得 （s + 2c（0j+iL（p_）=l 故系統(tǒng)的起始狀態(tài) vc（0_）=0 譏0-）=1 說明 通過本例可以看出，改變系統(tǒng)的起始狀態(tài)可以使系統(tǒng)的完全響應(yīng)滿足某些特定要求。本質(zhì) 上，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)完全由系統(tǒng)的起始狀態(tài)決定，對一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)而言，零輸入響應(yīng)是 暫態(tài)響應(yīng)中的一部分，因此，改變系統(tǒng)的起始狀態(tài)只能改變系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)，使暫態(tài)響應(yīng) 滿足某些特定要求，例如，本例要求暫態(tài)響應(yīng)為零。 （3）求系統(tǒng)的起始狀態(tài) 激勵(lì)信號e（t）=曲）根據(jù)式（1）求得完全響應(yīng) v（亠 2 + d（）J+（oJ 人丿 r+2