線性代數(shù)試題及答案

1、一、 填空題（本題總計(jì)20分，毎小題2分）1.排列7623451的逆序數(shù)是1132（2若5 5=1則&213 22（）21 22061B = CA3. 已知川階矩陣A、B和C滿足ABC=E其中E為川階總位矩陣則4. 若A為m x n矩陣.則非齊次線性方程組AX =b有唯一解的充分要條件是5. 設(shè)4為8x6的矩陣.已知它的秩為4.則以A為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解空間維數(shù)為2fl006i殳A為三階可逆陣.A1 =210則A13217若A為加X /矩陣.則齊次線性方程組AX = 0有非零解的充分必要條件是1234530412&已知五階行列式D =11111則 + A42 + A|3 + A44

2、+ A45 =11023543219向雖G=（-2丄0,2）丁的模（范數(shù)）10 若 a=(l k 1)7 與 0 = (121)正交，則= 二 選擇題（本題總計(jì)10分.每小題2分）1向址組4心，線性相關(guān)且秩為S則（D）A. r = sB. r sC srD. s r2.若a為三階方陣，且|A + 2E|=0,|2A + E| = 0,|3A-4E| = 0,則|A|=（a）A8B844C一D一一333設(shè)向雖組A能由向址組B線性表示.則（d）A. R(B) R(A)4.設(shè)階矩陣A的行列式等于D ,則(A) kA：(B)knA(C)嚴(yán) (D) /T5設(shè)川階矩陣4, B和C,則下列說法正確的是(A)

3、 AB = AC 則 B = C (B) AB = O,則國(guó)=0或網(wǎng)=0(C) (AB)t = A7 B1(D) (A + B)(A-B) = A2-B2三、計(jì)算題(本題總計(jì)60分。1-3每小題8分,47每小題9分)122 - 22222 -22223 - -22222 - / 一 122222n1 計(jì)算M階行列式 =2.設(shè)A為三階矩陣，A為A的伴隨矩陣，且|A| = |.求|(3A)_1 -2A .23.求矩陣的逆4.討論2為何值時(shí).非齊次線性方程組彳有唯一解:xA + x2 + Ax3 = 22+ Ax2 +x3= AAx + x2+x3 = 有無窮多解：無解。5. 求下非齊次線性方程組所

4、對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和此方程組的通解。xx + x2 +x3+x4 = 2v 2x)+ 3x2 + x3 + x4 = 1x + 2x3 + 2x4 = 56. 已知向址組產(chǎn)(1 0 2 3)7 、冬=(1 1 3 盯、6=(1 -1 3 1)、組線性表示.=(1 1 2 5)7求此向雖組的一個(gè)最大無關(guān)組并把其氽向量用該最大無關(guān)-1107.求矩陣A =-4 30的特征值和特征向雖.1 102；四、證明題（本題總計(jì)10分）設(shè)為AX=b （bxo）的一個(gè)解.呂屋気“為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組AX = 0的基礎(chǔ)解系，證明&島金十線性無關(guān)。-填空題（本題總計(jì)20分，每小題2分）1-15； 2. 3

5、； 3、CA ； 4. R（A）= R（A,b）=門；5、2； 6、23（答案一）0 0、1 0 ； 7、R（A）n : 8. 0； 9. 3； 10. 1。二選擇2 L5分題（本題總計(jì)10分，每小題2分2、D； 2、A； 3s D； 4. C； 5、B 三.計(jì)算題（本題總計(jì)60分，13每小題8分，47他每小題9分）1222221.解：D r,-r，0= 3,4, ,/?)001000000122- 2 20-2-2- -2 -2% 一 2斤001- 0 0一6分000n -3 0000072-22222003分/? -300n-2=1 x (-2) xlx2x x (/? - 3) x (n

6、 - 2) = -2(/z - 2)! 8 分11(2111解：(1) AB-2A =-11113-1-2-111-1b、214丿一1 1丿（此題的方法不唯一，可以酌情給分J1分6 4) 2 2 2、2 4 2、2 2 2-2 2 2=4 0 02 0 6,、2 -2 2；,0 2 4,113)(593一4-80(2) A1 -B-=-1 1 1210-6=-3-1178分(3-1 1；J11117丿-12一16丿3設(shè)A為三階矩陣，A 為A的伴隨矩陣,且兇=丄，求|(3A)_1 -2A2.因 A a=|A|E = *E ,故 A* = AA*1 *2 .4拿(4)(3A 廠2A-A -2A-A

7、331 3丿3分5分416274、解：(A.E)=-11 10-1100-1r2+/l一1000-1100-1(T0b6、解:(-100100、(-D|100-1 0 0、0-10110小-1)010-1 -1 00X0-1 21b小-J、001-2 -1 _1一6分心+廠2故川,一1-1-20-1-100-1=丄？f公式求得結(jié)果也正確。)5、解；(Ab)=12-11-A21-21 一才八2-221 一才712-1021-2(2+ 2)(1-2)2-22(1+幾)2(1 一刃唯一解:R(A) = R(A.b) = 32 = 17 分(利用其他方法求得結(jié)果也正確。)(2)無窮多解：R(A) =

8、R(AQ 3(3)無解：R(A)R(A,b)fl1112(恥)=23111102250225 )01-1-I-33分00000丿Xj + 2x3 + 2x4 = 0x2 - x3 - x4 = 0基礎(chǔ)解系為=21齊%! + 2x3 + 2x4 = 5i60令x3 = x4 = 0,得一特解：7= -37分故原方程組的通解為:3.設(shè)三階方陣A的行列式|A|=3,則（A）二A/310 J + 芻+匕歹2 =(5、-301 0丿+勺-2)11、0)+ k210 1,其中k、,k遷R -g分（此題結(jié)果表示不唯一，只要正確可以給分）-1-2107、解:特征方程A-AE-43-幾0=(A 2)(/1 1)

9、從而 A1=2,/l2=3 = l(4 分)102-2當(dāng)人=2時(shí)，由（4 2E）X= 0得基礎(chǔ)解系=（001）7,即對(duì)應(yīng)于人=2的全部特征向量為心&工）（7分）當(dāng)易=人=1時(shí)，由（A-E）X = 0得基礎(chǔ)解系 =（一1,一2,1） 即對(duì)應(yīng)于/t2=A=1的全部特征向雖為伙2工）四.證明題（本題總計(jì)io分）證：由鼻2纟一為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組AX= 0的基礎(chǔ)解系，則鼻勺線性無關(guān).（3分）反證法：設(shè)鼻冬77線性相關(guān)，則可由勺,歹2線性表示，即 =入勺+ &彳（6分）因齊次線性方程組解的線性組合還是齊次線性方程組解，故必是AX =0的解。這與已知條件為AX =b （b H 0）的一個(gè)解相矛盾。（9分）

10、.有上可知，詁2乩,線性無關(guān)。（io分）（試卷二）一.填空題（本題總計(jì)20分，每小題2分）1.排列6573412的逆序數(shù)是2x1-12函數(shù)f（X）= -X -X X中X的系數(shù)是12x4. n元齊次線性方程組AX=0有非零解的充要條件是.-25. 設(shè)向雖a = (l,-2, lj 0= 2 正交，則；I =.d丿6. 三階方陣A的特征值為1, -L 2-則|4| =廠 12-1、?.設(shè) =02-1 ,則 A* =.0 03,8.設(shè)A為8x6的矩陣.已知它的秩為4.則以A為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解空間維數(shù)為9設(shè)A為n階方陣，且卜| = 2-2 0 O10已知人=2x2相似于B =2311,2.

11、 n階方陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是.(A) 矩陣力有n個(gè)線性無關(guān)的特征向雖(B) 矩陣q有n個(gè)特征值(C) 矩陣A的行列式同工0(D) 矩陣A的持征方程沒有重根3. A為m x n矩陣.則非齊次線性方程組AX =b有唯一解的充要條件是(A) R(q, b) m R( A) m(C) R(A) = R(A、b) = n(D) R(A) = R(A,b) n4設(shè)向址組a能由向雖組B線性表示，則()(A). R(B) R(A)(B). R(B) R(A)5 向址組ara2ax線性相關(guān)且秩為r,則(A) r = s(B) rs(D)s 9*| = 5x2 _ 2x3 _ 3x4 = -45.求

12、下列向雖組的秩和一個(gè)最大無關(guān)組，并將其余向雖用報(bào)大無關(guān)組線性表示.QT,3、a嚴(yán)4，a?=1，a3 =3,=52o126.已知二次型：/（兀,兀2，兀3）= 2兀；+5兀；+5兀；+4兀兀2 一 4兀1兀3 一 8兀2*3，用正交變換化f（X,X2,X3）為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出其正交變換矩陣Q四、證明題（本題總計(jì)10分，每小題10分）設(shè)勺b2 =a +a2br =ax +a2 +- + ar,且向址組ax,a2,- .ar線性無關(guān).證明向址122 220-2-2 -2-2001 00000 n -30000 0n-2E 一 2人 組妨上2,線性無關(guān).（答案二）一、填空題（本題總計(jì)20分，每小題2分）

13、-11 111.17 2.-2 3. 一人4 R（A） X = 0, y = -22122 22222 22001 0000 07? -30000 0n-25. B4分D /; 一廠2（，= 34 /）= lx（-2）xlx2xx（n-3）x（n-2） =-2（77-2）!10分（此題的方法不唯一，可以酌情給分）2.求解 AY =A + X ,其中2 2 （PA =213,0 1 0；解：由AX=A + X得（3分）（-226、所以x =20-32-1一3X=（A-EylAu00-226r（6 分）01020-3012-1（10 分）（8分）3.解：利用由 q2-2A-4E = 0可得：（4-

14、3E）G4 + E）-E = 05 分即（A 3E）（A + E） = E7分故A-3E可逆且（A-3E）1 =（A + E）io分4.求下列非齊次線性方程組的通解及所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.112解：（A b）=2-3-123-18-931-2-31 002r0 10-100 0112 2aj 9兀=5 xx 一 2x2 一 3x3 = -43、（2分）（6分）取戈4為自由未知量，令則通解為:x + 2x4 = 1 （4分）則有”2一耳=。心+耳=2（分）2（io 分）1 對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為：1q、T4,a?=1，3 =3,4 =5zo丄zJ ）5.求下列向量組的秩和一個(gè)

15、最大無關(guān)組，并將其余向量用最大無關(guān)組線性表示.解:212 3、2123 2 1 2 3、4 13 50 -1 -1 一 10 111（2分）冬，J為一個(gè)極大無關(guān)組.（4分）設(shè)色=2i +x2a2 f20 1110 0 0 011A*.=解得2,無=1?1=172 = 1（8分）則有& = 06 解 /（x1?x2x3） = 2x； +5x； +5x； +4xxx2 -43 -8x2x32 2 -2f的矩陣A =25 -4（2分）A的特征多項(xiàng)式 0A） = -（2-l）2（Z-lO）（4分）04/3V21/3正交矩陣Q =1/運(yùn)-”3血2/31/21/32-2/38分）正交變換x = Qyz標(biāo)準(zhǔn)形/ = jf+Jz+1J32】=彳2 = 1的兩個(gè)正交的特征向雖P| = 01,Pl = 4-123 = 10的特征向雖py = 1