初等代數(shù)研究課后習(xí)題答案完整版余元希

1、初等代數(shù)研究課后習(xí)題完整版湛江師范學(xué)院數(shù)學(xué)院09（ 7） 余1、證明自然數(shù)的順序關(guān)系具有對逆性與全序性，即B B,與B為有限集矛盾，a綜上，對任何 a,b N ，在 a b，2、證明自然數(shù)的加法滿足交換律 . 證明：對任何 a,b N 設(shè) M 為使等式 a先證 a 1 1 a ，設(shè)滿足此式的1 k ，設(shè) a k ， a 1 1b與a b不可能同時成立，a b ， a b 中有且只有一個成立 .b b a 成立的所有 b 組成的集合a組成集合k,顯然有1+1=1+1成立a，則a k, k N ,取定 a，則 1 M，設(shè) b M,a b b a ，則（1 ）對任何a,bN,當(dāng)且僅當(dāng)ab時，ba.（

2、2）對任何a,bN,在ab,a b , ab 中有且只有一個成立證明：對任何a,bN,設(shè)Aa,Bb（1）a”ab，則B,B ,使 A B, ,B B, A, b aa”ba ,則B,B ,使 B, A ,A B, B , a b綜上 對任何a,bN , abba（2）由（1）abbaab與a 1b 不可能同時成立,假設(shè) ab與ab 同時成立,則 B,B,使 A B,且 A B，對任何 a,b N ， a b b a3、證明自然數(shù)的乘法是唯一存在的證明：唯一性：取定 a ，反證：假設(shè)至少有兩個對應(yīng)關(guān)系 f,g ，對 b N ，有f（b）, g（b） N，設(shè)M是由使f （b） g（b）成立的所有的

3、b組成的集合,1 1 1,1 b b b 1 1 b 11k,設(shè) a K , b N ,f (b) g(b) a 11M設(shè)bN 則 f (b)g(b)f(b) a g(b) af(b ) g(b ) , bM,MN即 b N, f(b)g(b)乘法是唯一的存在性：設(shè)乘法存在的所有a 組成集合 K當(dāng) a 1時,bN,有a, b與它對應(yīng)，且1 a a, ab ab a，對 b N，令a b ab bp24 5、解：滿足條件的a KKN 即乘法存在1,2,3,4，A 1,2,3,5，A1,2,4,5，A 1,2,3,4,5A有 A 1,2，A21,2,3，A 1,2,4，A 1,2,5A 2,A2A

4、A3, A5AA74, A85基數(shù)和為23 3 4 3 5 28p24 6、證明：Aa, B b，A中的x與B中的y對應(yīng)ABab， BA ba abp24 &證明：1)3+4=72)3 4 12p2412、證明:1)(m n )m n2)(mn) nm mp26 36、已知f (m, n)對任何m, n N滿足求證:1)f (2, n) n22)f(3, n) 2n 23)f(4, n) 2n1 2證明:1)當(dāng)n 1時，f(2,1)f(1 1,1)f(1,2)2112結(jié)論成立，A5假設(shè)nk時，結(jié)論成立，即f (2, k)k 2，當(dāng)n k 1時，所以對一切自然數(shù)結(jié)論都成立2)當(dāng) n 1 時，f(

5、3, n) f(21,n)f (2,2)2 22 12結(jié)論成立假設(shè)n k時，結(jié)論成立，即 f (3,k)2k 2當(dāng)n k 1時，所以對一切自然數(shù)結(jié)論都成立3)當(dāng) n1時,f(4,1)f(31,1)f (3,2)2 2221 12 結(jié)論成立假設(shè)nk時，結(jié)論成立，即f (4, k)2k 1 2當(dāng)n k 1時，所以對一切自然數(shù)結(jié)論都成立p62 1、證明定理2.1證明：a,b,c,d Z，a,b c,d a c,b d因?yàn)樽匀粩?shù)加法滿足交換律a c,b d c a,d b而c,d a,b c a,d b a,b c,dc,d a,ba,b,c,d,e, f Z ,以為自然數(shù)滿足加法結(jié)合律(a,b c,

6、d) e, f a,b (c,d e, f )即整數(shù)加法滿足交換律和結(jié)合律p622、已知a,b,c,d Z，求證a,bc,d的充要條件是a,bc,d1,1證明：“”已知a,bc, d則 a d bca?已知a,bc,d1,1則ad ,b c 1,1， a d b cp624、已知 a,bN，求證 (a, b)a,b證明：a,bb,a(a, b)b, aa,bp625、已知a,b,c,d Z，求證 (a,b c,d)a,bc,d證明：左邊 (a, b c,d) a d,b c b c,a d右邊a,b c,d b,a c,d b c,a d所以左邊等于右邊(a,b c,d)a,b c,dp627

7、、已知a,b,c N，求證當(dāng)且僅當(dāng) a d b c時a,b c,d證明：“”已知 a d b c，a,b c,d a d,b c因?yàn)?a d b c a d,b c是負(fù)數(shù)， a,bc,d“”已知a,bc,d則a,b c,d a d,b c因?yàn)閍 d,b c是負(fù)數(shù)，a d b cp62 9、已知Z，求證：1)2)I I I II I證明：設(shè)a,b,c,d1) a c,b d(a c) (b d)而 a b, c d2) ac bd,ad bcac bd (ad bc)而 a b,c dp6312、n名棋手每兩個比賽一次，沒有平局，若第k名勝負(fù)的次數(shù)各為 ak,bk ,k 1,2, n,求證：ai

8、2 af . a： bi2 bf . b：證明：對于 ak(k 1,2,., n)，必存在一個 bj( j 1,2,., n)使得 ak bjp6316、已知 p 10a b， p 10c d，求證 p ad bc證明：由已知：s,t Z 使 10a b ps， 10c dptp6317、設(shè)2不整除a，求證8 a21證明：因?yàn)?不整除a，所以存在唯一一對q, rZ，使a 2q r，其中0 rr 1， a2 4q2 4q 12a 1 4q(q 1)8 a2 1p63 20、設(shè) aZ，求證a(a1)(a2)(a3)1是奇數(shù)的平方證明：a1,a2冃定奇一偶(a1)(a2)肯定為偶數(shù)(a 1)(a 2

9、)1肯定為奇數(shù)p63 22、證明：前n個自然數(shù)之和的個位數(shù)碼不能是2、4、7、9證明：前n個自然數(shù)的和為2因?yàn)椋簄個自然數(shù)的和仍為自然數(shù)1+n與n中必定一個為奇數(shù)一個為偶數(shù)若個位數(shù)碼為2則1+n與n的個位數(shù)碼只能是 1,4或4,1而(1+n) - n=1個位數(shù)碼不能為 2若個位數(shù)碼為4則1+n與n的個位數(shù)碼只能是 1,8或8,1也不可能成立 若個位數(shù)碼為7則1+n與n的個位數(shù)碼有2種可能，則2,7或1,14 也不可能成立，若個位數(shù)碼為9則1+n與n的個位數(shù)碼有2種可能，即2,9或1,18 也不可能成立，綜上，前n個自然數(shù)和的個位數(shù)碼不能是2,4,7,9p6326、證明 2.3定理 1( a1,

10、a2,an,) =( a , a? ,. an)an的公因數(shù)中的最大數(shù)證明：因?yàn)椋?a“a2,an,)是 aa2,所以R需考慮非負(fù)整數(shù)(a1, a2,an,)= ( , a2 ,an)p6329、證明2.3定理4的推論(a,b)1的充要條件是有 x, y Z使得ax by 1證明：因?yàn)?a,b) 1 a,b不全為oa”由定理 4 x, y Z 使 ax by (a,b)1a?設(shè)(a,b) d 則 d a,d b, d ax byd 1d (a,b)1p63 30、證明2.3定理6及其推論。定理 6：若m N，則(ma, mb) m(a,b)證明：若a,b都為0,則(0,0)m(0,0)顯然成立

11、若a, b不全為零，則 xo, yo Z使ax by。(a,b)IIIIIImax mby (ma,mb)而 max mby m(ax by )因?yàn)?x, y Z，ax0 by ax byax0 by ax by而(ma,mb) am/ mby0 m(a,b) (ma,mb) m(a,b)推論：設(shè)d是a,b的公因數(shù)，貝U (a/d,b/d)1的充要條件是d (a,b)證明：“” d 是a,b 的公因數(shù)d N d d(a/d,b/d) (a,b)“”因?yàn)?d(a,b) x, y Z，使 axbydx,y Z，使(a /d)x (b/d)y1(a /d,b / d)1p64 32、證明2.3定理七

12、及其推論定理七：若(a,c)1, b Z , b,c中至少有一個不為0,則(ab,c) (b,c)證明：b, c中至少有一個不為 0x, y Z 使 abx cy (ab, c)因?yàn)?a,c)1 (ab,c) b,(ab,c) c 因?yàn)?b,c)(ab,c) (ab,c) (b,c)推論：若(a,c)1, (b,c)1,則(ab,c) 1證明：因?yàn)?b,c)1, b,c不為零 (ab,c) (b, c) 1p64 33、已知 n是奇數(shù)，na b,na b，求證 n(a,b)證明：因?yàn)?na b, na b n (a b) (a b), n (a b) (a b) n2a,n2b n 2(a,b

13、)，因?yàn)?n 是奇數(shù)，n(a,b)p64 36、已知(a,b)d,( a ,b ) d，求證(aa ,ab ,a b,bb ) dd證明：(aa ,ab ) a(a ,b ) ad ,(a b,bb ) bdp6440、已知a N，求證a,2 a,na中n的倍數(shù)的個數(shù)等于 (n,a)證明：當(dāng)(n, a) 1時，nna結(jié)論成立，當(dāng)(n,a) d 時，d 1，令 a da1， (n，印)1，則 a,2a,na可改寫為da1,2da1, nda1 因?yàn)?d 1 所以其中一定包括 na1,2na (d 1)nadna1都是n的倍數(shù)，共有d個p6442、已知p是異于3的奇素?cái)?shù)，求證 24 p2 1證明：

14、p是異于3的奇素?cái)?shù)，p2 1為偶數(shù)，p 3p2 1 9p2 1 (p 1)(p 1)其中p 1,p 1都為合數(shù)，且都大于3p 1,p1都可被2、3中的一個整除，若2 p 1，則由p 1 (p 1) 222 p 1，因?yàn)?p 1 3, p 1324 p 1p6444、已知整數(shù)a,n都大于1，an 1是素?cái)?shù)，求證a 2且n是素?cái)?shù)證明：反證 n不是素?cái)?shù)當(dāng)a 2時an 1不是素?cái)?shù)與已知矛盾，所以n是素?cái)?shù)p6445、求不大于50的一切素?cái)?shù)解：平方不大于 50的素?cái)?shù)是2,3,5,7則不大于50的一切素?cái)?shù)2， 3， 5， 7， 11， 13， 17， 19， 23， 29， 31， 37， 41， 43，

15、47p64p6449、已知整數(shù) a,b,c都大于 1，求證(a,c),(b,c)(a,b, c)證明：(a,c),(b,c)(a，C)(b，C)(亠)(a,b,c)(a,c),(b,c)(a,b)p66 69、已知p是奇素?cái)?shù)，求證1) 12p 3P . (p 1)pO(mod p)2) 12p 13p 1. (p 1)p 11(mod p)證明：1)因?yàn)?1,p)1,(2, p) 1,.,(p1,p)11p 1(mod p) , 2p2(mod p) , 3p 3(mod p)(p 1)pp 1(mod p)因?yàn)?12 3 . (p 1)P(P 1) ppp(p 1)22)1p 1 1(mod p)，2p 11(mod p), 3p 1 1(mod p)(p 1)p 1 1(mod p)p66 70、設(shè)p,q是相異素?cái)?shù)，求證1p 1q 1(mod pq)證明：pq 1 0(mod p)， qp 11(mod p),pq 1 qp 1 1(mod p)同理 pq 1 qp 1 1(modq)1(mod p,q)即 pq 1 qp 1 1(mod pq)p66 72、已知p是素?cái)?shù)，N，求證(1