全等三角形培優(yōu)競賽講義(全集)

1、精選文檔 可編輯 全等三角形培優(yōu)競賽講義(一) 知識(shí)點(diǎn) 全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，對(duì)應(yīng)邊上的高相等， 對(duì)應(yīng)角的角平分線相等，面積相等. 尋找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，常用到以下方法： (1) 全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊. (2) 全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角. (3) 有公共邊的，公共邊常是對(duì)應(yīng)邊. (4) 有公共角的，公共角常是對(duì)應(yīng)角. (5) 有對(duì)頂角的，對(duì)頂角常是對(duì)應(yīng)角. (6) 兩個(gè)全等的不等邊三角形中一對(duì)最長邊(或最大角)是對(duì)應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)，一對(duì)最短邊(或最 小角)是對(duì)應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角). 要

2、想正確地表示兩個(gè)三角形全等，找出對(duì)應(yīng)的元素是關(guān)鍵. 全等三角形的判定方法： (1)邊角邊定理(SAS):兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等. 角邊角定理(ASA):兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等. (3) 邊邊邊定理(SSS):三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等. (4) 角角邊定理(AAS):兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等. (5) 斜邊、直角邊定理(HL):斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等. 全等三角形的應(yīng)用：運(yùn)用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證 明的過程中，注意有時(shí)會(huì)添加輔助線. 拓展關(guān)鍵點(diǎn)：能通過判定兩個(gè)三角形全等進(jìn)而證

3、明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系.而證 明兩條線段或兩個(gè)角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎(chǔ). 例題精講 板塊一、截長補(bǔ)短 【例1】(06年北京中考題)已知 ABC中，A 60, BD、CE分別平分 ABC和.ACB , BD、CE交于點(diǎn)O,試判斷BE、CD、BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明. 【解析】BE CD BC, 理由是：在 BC上截取BF BE，連結(jié)OF , 利用SAS證得 BEO也BFO ,二12 , A 60 , BOC 1 90- 2 A 120 , DOE 120 , A DOE 180, AEO ADO 180 , 13 180, 24180, 12，二 34 , BE CD

4、. 利用 AAS 證得 CDO 也 CFO , CD CF ,二 BC BF CF 【例2】 如圖，點(diǎn) M為正三角形 ABD的邊AB所在直線上的任意一點(diǎn) （點(diǎn)B除外），作 DMN 60，射線MN與/ DBA外角的平分線交于點(diǎn) N , DM與MN有怎樣的 數(shù)量關(guān)系？ 【解析】 猜測DM MN 過點(diǎn)M作MG II BD交AD于點(diǎn)G , AG AM , GD MB 又/ADM DMA 120, / DMA / NMB 120 Z ADM Z NMB，而/ DGM / MBN 120 , DGM 也 MBN , DM MN . 【變式拓展訓(xùn)練】 如圖，點(diǎn)M為正方形ABCD的邊AB上任意一點(diǎn)，MN DM

5、且與Z ABC 外角的平分線交于點(diǎn) N , MD與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 【解析】 猜測DM MN 在AD上截取 AG AM , DG MB , Z AGM 45 Z DGM Z MBN 135 , ZADM Z NMB , DGM 也 MBN , DM MN . 【例3】 已知：如圖, ABCD是止方形， Z FAD= ZFAE.求證：BE+DF=AE. 【解析】 延長CB至M，使得BM= DF，連接AM . AB=AD , AD 丄 CD, AB 丄 BM , BM= DF /ABM 也zADF /AFD= ZAMB，/DAF= /BAM AB /CD ZAFD= ZBAF= ZEAF+

6、ZBAE= ZBAE+ /BAM = /EAM ZAMB= /EAM AE= EM = BE+ BM = BE+ DF. 【解析】 【例5】 ABD、 ACE，連結(jié) CD、BE 相交 因?yàn)?ABD 、 以 AB AD , AE 是等邊三角形 ,所 【例4】 以 ABC的AB、AC為邊向三角形外作等邊 于點(diǎn)0 .求證：OA平分 DOE . AC , ACE BAD 60, 則 BAE DAC，所以 CAE BAE也 DAC , 則有 ABE ADC , AEB ACD , BE 在DC上截取DF BO,連結(jié)AF，容易證得 進(jìn)而由AF AO .得 AFO DC . ADF也 ABO, ACF也 A

7、EO . 由 AOE AFO可得 AOF （北京市、天津市數(shù)學(xué)競賽試題 AOF ; AOE，即 OA平分 DOE . ）如圖所示， ABC是邊長為1的正三角形, BDC是 頂角為120的等腰三角形，以 D為頂點(diǎn)作一個(gè) 60的 MDN，點(diǎn)M、N分別在 AB、AC上，求 AMN的周長. 精選文檔 可編輯 A E 【解析】如圖所示，延長 AC到E使CE BM . ECD 90，BM CE， 在 BDM與 CDE中，因?yàn)锽D CD , MBD 所以 BDM也 CDE，故MD ED . NDC 60. 因?yàn)?BDC 120，MDN 60，所以 BDM 又因?yàn)?BDM CDE，所以 MDN EDN 60.

8、 在 MND 與 END 中，DN DN， MDN EDN 60，DM DE , 所以 MND也 END，貝U NE MN，所以 AMN的周長為2 . 【例6 五邊形 ABCDE中，AB = AE, BC+ DE= CD，/ABC+ ZAED= 180 求證：AD平分/CDE 【解析 延長DE至F,使得EF=BC，連接AC. V/ABC+ z7ED=180 AEF+ ZAED=180 AB=AE, BC= EF EF=BC, AC= AF BC+ DE=CD ./ABC zAEF CD=DE+ EF= DF DC zADF zADC= ZADF 即AD平分/CDE. 板塊二、全等與角度 【例7

9、如圖，在ABC中, 求 ABC的度數(shù). 【解析如圖所示，延長 AB至E使BE 由 AC AB BD 知 AE AC , BAC 精選文檔 而 BAC 60，則 AEC為等邊三角形 注意到 EADCAD , AD AD , AE AC 故AED也 ACD 從而有DE DC , DEC DCE , 故BED BDE DCE DEC 2 DEC 所以 DEC DCE 20 , ABC BEC BCE 60 【另解】在AC上取點(diǎn) E，使得AE AB，則由題意可知 CE BD 在ABD和 AED 中, AB AE , BADEAD , AD AD， 20 80 . 則ABD也AED，從而BD DE ,

10、進(jìn)而有 DE CE ,ECD EDC , AED ECD EDC 2 ECD. 注意到 ABD AED，則: ABC ACB 1 ABC - ABC 2 故 ABC 80 . -ABC 2 180 BAC 120， 可編輯 【點(diǎn)評(píng)】由已知條件可以想到將折線 ABD “拉直”成 AE，利用角平分線 AD可以構(gòu)造全等 三角形同樣地，將AC拆分成兩段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分 自然的 需要說明的是，無論采取哪種方法，都體現(xiàn)出關(guān)于角平分線“對(duì)稱”的思想 上述方法我們分別稱之為“補(bǔ)短法”和“截長法”，它們是證明等量關(guān)系時(shí)優(yōu)先考 慮的方法 【例8】在等腰 ABC中，AB AC，頂角 求 B

11、DC. A 20，在邊 AB上取點(diǎn)D，使 AD BC， 在 ABC和 EAD中 ,AD BC ,AB EA, EADBAC 80 ABC : 則 ABC也 EAD. 由此 可得ED EA EC,所以 EDC 是等腰三角形 由于 AED BAC 20, 則 CED AEC AED 60 20 40, 從而 DCE 70 , DCA DCE ACE 70 6010 , 則 BDC DAC DCA 20 10 30. 【解析】以AC為邊向 ABC外作正 ACE，連接DE CAE 20 60 | 【另解1】以AD為邊在 ABC外作等邊三角形 ADE，連接EC. 在 ACB 和 CAE 中，CAE 60

12、20 ACB，AE AD 因此 ACB也CAE , CB , .D , AC CA, 從而 CAB ACE, CE AB AC. 在CAD和CED中，AD ED , CE CA, CD CD , 故 CAD也 CED, 從而 ACD ECD , CAB ACE 2 ACD , 故 ACD 10，因此 BDC 30 【另解2】如圖所示，以BC為邊向 ABC內(nèi)部作等邊 BCN，連接NA、ND. 在 CDA和 ANC 中，CN BC AD， CAD 20， ACNACB E BCN 80 60 20, 故 CAD ACN， 而AC CA，進(jìn)而有 CDA也 ANC . 貝U ACDCAN 10, 故

13、BDCDAC DCA 30 角度之間的 C 20， 【點(diǎn)評(píng)】上述三種解法均是向三邊作正三角形，然后再由三角形全等得到邊長、 關(guān)系. 【例9】（“勤奮杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題 ）如圖所示，在 ABC中，AC BC， 又M在AC上，N在BC上，且滿足 BAN 50， ABM 60，求 NMB . 【解析】過M作AB的平行線交BC于K，連接KA交MB于P . 連接PN，易知 APB、 MKP均為正三角形. 因?yàn)?BAN 50 , AC BC, C 20 , 所以 ANB 50 ,BN AB BP, BPN BNP 80 則 PKN 40 , KPN 180 60 80 40 , 故PN KN . 從而 M

14、PN 也 1 MKN . 進(jìn)而有 PMN KMN , 1 NMB - 2 KMP 30 . 【另解】如圖所示，在 AC上取點(diǎn)D，使得 ABD 20， 由 C 20、AC BC 可知 BAC 80 . 而 ABD 20，故 ADB 80，BA BD . 在 ABN 中， BAN 50， ABN 80， 故 ANB 50，從而BA BN ，進(jìn)而可得BN BD. 而 DBNABC ABD 80 20 60 , 所以BDN為等邊三角形. 在 ABM 中， AMB 180 ABM BAM 180806040 , DBMADB AMB 80 40 40 , 故 DMBDBM，從而 DM DB. 我們已經(jīng)得

15、到 DM DN DB，故D是 BMN的外心, 1 從而 NMB NDB 30 . 2 【點(diǎn)評(píng)】本題是一道平面幾何名題，加拿大滑鐵盧大學(xué)的幾何大師Ross Honsberger將其 喻為“平面幾何中的一顆明珠”本題的大多數(shù)解法不是純幾何的，即使利用三角 【例10】在四邊形ABCD中，已知AB AC, ABD 60， 求 DBC的度數(shù) ADB 76， BDC 28， ADCADB BDC 7628104 , 故ADE ADC 又因?yàn)锳D AD , DE DC , 故 ADE也 ADC 因此AE AC , E ACD , EADCAD 又因?yàn)锳B AC , 故 AE AB ,ABC ACB. 【解析

16、】如圖所示，延長BD至E，使DE DC，由已知可得: ADE 180 ADB 18076104， 而已知 ABD 60， 所以ABE為等邊三角形 E 函數(shù)也不是那么容易 于是 ACD E EAB 60， 故 CAD 180 ADC ACD 16， 則 CAB EAB CAD EAD 28 , 從而 ABC 1 (180 2 CAB) 76 , 所以 DBC ABC ABD 16 . 【例11】 （日本算術(shù)奧林匹克試題）如圖所示， 在四邊形ABCD中， 【解析】 CAB 36， ABD 48， DBC 24，求 ACD 的度數(shù). 仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)已知角的度數(shù)都是 12的倍數(shù)，這使我們想到構(gòu)造 用正

17、三角形 在四邊形 ABCD外取一點(diǎn)P，使 PAD 12且AP 在 ADP 和 ADC 中， PAD CAD 12，AP 故 ADP 也 ADC . 從而 APD ACD . 在 ABC 中， CAB 36 , ABC 72 , 故 ACB 72 , AC AB, A = AC,連接 PB、PD. P AC , AD AD , DAC 12， 從而利 6 精選文檔 故 BCD 30o. 而 DBEDBC , BE AB BC ,BD 因此 BDE 也 BDC ，故 BED BCD 從而AP AB . 而 PAB PAD DACC ；AB 121236 60 , 故 PAB是正三角形， APB 6

18、0 , PA PB . 在DAB中, 故 DA DB. DAB DAC CAB 1236 48DBA , 在PDA和 PDB 中, PA PB ,PD PD , DA DB , 故PDA也 PDB , 從而 APD BPD 1 APB 2 30 , 則 ACD 30 . 【例12】（河南省數(shù)學(xué)競賽試題 在ABC外取一點(diǎn)E，使 DBE 【解析】 如圖所示，連接DC.因?yàn)锳D BD，AC 則 ADC也 BDC, 【例13】 （北京市數(shù)學(xué)競賽試題 內(nèi)一點(diǎn)，使得 ）如圖所示，在 MCA 30 , MAC 【解析】 在ABC中, 如圖所示，作 由 BD A D 精選文檔 則有 OAC MCA 30 ,

19、BAO BAC OAC 443014 , OAM OAC MAC 301614 , 所以 BAO MAO . 又因?yàn)?AOD 90 OAD 903060 COD , 所以 AOM 120 AOB . BOM 120 而AO AO , 因此 ABO也 AMO , 故OB OM . 由于 BOM 120 , 貝 U OMB OBM 180 BOM 30 2 OU ? 故 BMC 180 OMB 150 . 全等三角形培優(yōu)競賽講義(二) 【知識(shí)點(diǎn)精讀】 1. 全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形；兩個(gè)全等三角形中, 互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)。互相重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫對(duì)

20、應(yīng)角。 2. 全等三角形的表示方法：若 ABC和從B C是全等的三角形，記作“MBC也必 B C 其中，“也”讀作“全等于”。記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì) 應(yīng)的位置上。 3. 全等三角形的的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等; 4. 尋找對(duì)應(yīng)元素的方法 (1 )根據(jù)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)找 如果兩個(gè)三角形全等，那么，以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是對(duì)應(yīng)角； 以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的邊 是對(duì)應(yīng)邊。通常情況下，兩個(gè)三角形全等時(shí)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母都寫在對(duì)應(yīng)的位置上，因此， 由全等三角形的記法便可寫出對(duì)應(yīng)的元素。 (2 )根據(jù)已知的對(duì)應(yīng)元素尋找 相等的角是對(duì)應(yīng)角， 相等的邊是對(duì)應(yīng)邊；相等的角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)

21、邊，相等的邊所對(duì)的 角是對(duì)應(yīng)邊；兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊; (3 )通過觀察，想象圖形的運(yùn)動(dòng)變化狀況，確定對(duì)應(yīng)關(guān)系。 可以看出其中一個(gè)是由另一個(gè) 通過對(duì)兩個(gè)全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析, 經(jīng)過下列各種運(yùn)動(dòng)而形成的。 到的; 翻折如圖( 旋轉(zhuǎn) 如圖(2) COD也 EOD沿直線AO翻折180 得 Jp 孑D A D A B C E B F BOC可以看成是由 BOA , COD可以看成是由 BOA繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180 得 可編輯 到的; 平移 如圖(3) DEF也ACB , DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移動(dòng)而得到 的。 5. 判定三角形全等的方法: (1) 邊角邊公理、角邊角

22、公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊公理 (2) 推論：角角邊定理 6. 注意問題： (1) 在判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，至少有一邊對(duì)應(yīng)相等； (2) 不能證明兩個(gè)三角形全等的是，a:三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，即 AAA ; b :有兩邊和其中一 角對(duì)應(yīng)相等，即 SSA。 全等三角形是研究兩個(gè)封閉圖形之間的基本工具，同時(shí)也是移動(dòng)圖形位置的工具。 在平 面幾何知識(shí)應(yīng)用中，若證明線段相等或角相等，或需要移動(dòng)圖形或移動(dòng)圖形元素的位置， 常 常需要借助全等三角形的知識(shí)。 【分類解析】全等三角形知識(shí)的應(yīng)用 （1） 證明線段（或角）相等 例1 :如圖，已知 AD=AE,AB=AC. 求證：BF=FC 分析：由已知條件可證出 A

23、CD也/ABE，而BF和FC分別位于厶DBF和厶EFC中，因此 先證明 ACD BABE，再證明厶DBF 也/ECF,既可以得到 BF=FC. 證明：在厶ACD 和 AABE中， AE=AD Y / A= / A AB=AC. AACD BaaBE (SAS) ZB= ZC (全等三角形對(duì)應(yīng)角相等) 又/ AD=AE,AB=AC. AB AD=AC AE 即 BD=CE 在ADBF 和AECF 中 / B= / C -/ BFD= / CFE （對(duì)頂角相等） BD=CE ADBF 也 2ECF （AAS ） BF=FC （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） （2）證明線段平行 例2 :已知：如圖， DE丄

24、AC, BF丄AC,垂足分別為 E、F, DE=BF , AF=CE.求證: AB /CD 分析：要證 AB /CD，需證/C=ZA，而要證/ C=ZA，又需證A ABF也DE.由已知BF 丄 AC , DE 丄 AC,知/DEC = /BFA=90 ，且已知 DE=BF , AF=CE.顯然證明A ABF 也DE 條件已具備，故可先證兩個(gè)三角形全等，再證/C=/A,進(jìn)一步證明AB /CD. 證明： DE丄AC , BF丄AC（已知） /DEC = /BFA=90 （垂直的定義） 在A ABF 與ACDE 中, -AF=CE（已知） r / DEC = / BFA（已證） 1- DE=BF （

25、已知） AABF B/CDE （ SAS） ZC = /A （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等） AB /CD （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行） （3 ）證明線段的倍半關(guān)系，可利用加倍法或折半法將問題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等 例3 :如圖，在 ABC中，AB=AC，延長 AB到D，使BD=AB，取AB的中點(diǎn)E,連 接CD和CE.求證：CD=2CE 分析： （i ）折半法：取 CD中點(diǎn)F,連接BF，再證 CEBzCFB.這里注意利用 BF 是AACD中 位線這個(gè)條件。 證明：取CD中點(diǎn)F,連接BF 1 BF= AC,且BF/AC （三角形中位線定理） 2 ZACB = 72（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等） 又 AB=AC

26、ZACB = 73 （等邊對(duì)等角） Z3 =72 在 ACEB 與 ACFB 中， -BF=BE 一 Z 3=7 2 CB=CB ACEBzCFB （SAS） 1 CE=CF= CD （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 即 CD=2CE (ii)加倍法 證明：延長 CE到F,使EF=CE，連BF. C 4 1 A E2 3 BD I / I I / I 1/ f F 在 AAEC 與 ABEF 中， -AE=BE -Z 1 = 7 2 (對(duì)頂角相等) CE=FE AXEC BAEF (SAS) AC=BF, 74 = 73 (全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等) BF/AC (內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行) / ZA

27、CB+ /CBF=180 , ZABC+ /CBD=180 , 又 AB=AC7ACB= /ABC zCBF= ZCBD（等角的補(bǔ)角相等） 在 ACFB 與 ACDB 中， CB=CB 7CBF= 7 CBD .BF=BD ACFB Bcdb (SAS) CF=CD 即 CD=2CE 說明：關(guān)于折半法有時(shí)不在原線段上截取一半，而利用三角形中位線得到原線段一半的 線段。例如上面折道理題也可這樣處理，取AC中點(diǎn)F,連BF（如圖）（B為AD中點(diǎn)是利用 這個(gè)辦法的重要前提），然后證CE=BF. （4）證明線段相互垂直 例4 :已知：如圖，A、D、B三點(diǎn)在同一條直線上， ADC、ABDO為等腰三角形，

28、AO、BC的大小關(guān)系和位置關(guān)系分別如何？證明你的結(jié)論。 C /OE AD B 分析：本題沒有直接給出待證的結(jié)論，而是讓同學(xué)們先根據(jù)已知條件推斷出結(jié)論，然后 再證明所得出的結(jié)論正確。通過觀察，可以猜測：AO=BC , AO丄BC. 證明：延長 AO交BC于丘,在4ADO 和 ACDB中 AD=DC Z ADO= Z CDB=90 - OD=DB AADO zCDB （SAS） AO=BC,ZOAD= /BCD （全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等） ZAOD =ZCOE （對(duì)頂角相等） ZCOE+ ZOCE=90 0 AO 丄 BC 5、中考點(diǎn)撥： 例1 .如圖，在 ABC中，AB = AC , E是

29、AB的中點(diǎn)，以點(diǎn) E為圓心，EB為半徑畫弧，交 BC于點(diǎn)D,連結(jié)ED,并延長ED到點(diǎn)F,使DF = DE,連結(jié)FC. 求證：Z F=/A. 分析：證明兩個(gè)角相等，常證明這兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等，在已知圖形中/A、 ZF不在全等的兩個(gè)三角形中，但由已知可證得EF/AC，因此把/ A通過同位角轉(zhuǎn)到厶BDE 中的/BED，只要證厶EBDzFCD即可. 證明： AB= AC, /ZACB=ZB, VEB= ED, /ZACB=/EDB. ED/AC. /ZBED=ZA. VBE= EA. BD= CD. 又 DE = DF, /BDE=/CDF ZBDENDF, ZBED=/F. ZF=/A. 說

30、明：證明角（或線段）相等可以從證明角（或線段）所在的三角形全等入手，在尋求 全等條件時(shí)，要注意結(jié)合圖形，挖掘圖中存在的對(duì)項(xiàng)角、 公共角、公共邊、平行線的同位角、 內(nèi)錯(cuò)角等相等的關(guān)系。 例2如圖，已知 ABC為等邊三角形，延長 BC到D，延長BA到E,并且使AE=BD，連 接 CE、DE.求證：EC=ED / E A / / BCD 分析：把已知條件標(biāo)注在圖上， 需構(gòu)造和厶AEC全等的三角形，因此過D點(diǎn)作DF /AC交 BE于F點(diǎn)，證明 AEC也ED即可。 證明：過D點(diǎn)作DF /AC交BE于F點(diǎn) / ABC為等邊三角形 BFD為等邊三角形 BF=BD=FD / AE=BD AE=BF=FD AE

31、 AF=BF AF 即 EF=AB EF=AC 在厶ACE和ADFE中， EF=AC （已證） ZEAC = Z EDF （兩直線平行，同位角相等） AE=FD （已證） AEC 也ED （SAS） EC=ED （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 題型展示: 例 1 如圖， ABC 中，Z C= 2 ZB,Z1 =Z2。求證：AB = AC + CD . 分析：在AB上截取AE= AC,構(gòu)造全等三角形， AEDZACD，得DE= DC ,只需證 DE= BE問題便可以解決. 證明：在AB上截取AE= AC,連結(jié)DE. / AE = AC,/1 = Z2 , AD = AD , AED BzACD, DE

32、 = DC ,ZAED =ZC. / ZAED = /B+/EDB,/C = 2 ZB, 2 ZB=ZB+ZEDB. 即 ZB=ZEDB. EB= ED,即卩 ED = DC, : AB = AC + DC. 剖析： 證明一條線段等于另外兩條線段之和的常用方法有兩種,一種是截長法 （即在長 線段上截取一段等于兩條短線段的一條,再證余下的部分等于另一條短線段）；如作 AE= AC 是利用了角平分線是角的對(duì)稱軸的特性,構(gòu)造全等三角形,另一種方法是補(bǔ)短法（即延 長一條短線段等于長線段,再證明延長的部分與另一條短線段相等） ,其目的是把證明線段 的和差轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問題, 實(shí)際上仍是構(gòu)造全等三角

33、形, 這種轉(zhuǎn)化圖形的能力是中 考命題的重點(diǎn)考查的內(nèi)容. 【實(shí)戰(zhàn)模擬】 1. 下列判斷正確的是（ ） （ A ）有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 （B ）有兩邊對(duì)應(yīng)相等，且有一角為 30。的兩個(gè)等腰三角形全等 （C）有一角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等 （D）有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 2.已知：如圖，CD丄AB于點(diǎn)D ,BE丄AC于點(diǎn)E, BE、CD交于點(diǎn)0,且AO平分Z BAC.求 證： OB= OC. 3.如圖，已知 C為線段AB上的一點(diǎn), ACM 和 CBN都是等邊三角形， AN和CM 相交于F點(diǎn)，BM和CN交于E點(diǎn)。求證：CEF是等邊三角形。 1 4.如圖，

34、在 ABC中，AD為BC邊上的中線.求證： AD AE （三角形兩邊之和大于第三邊） AB + AC 2AD （等量代換） 即 AD-1AB + AC 說明：一般在有中點(diǎn)的條件時(shí)，考慮延長中線來構(gòu)造全等三角形。 5. 分析：由于BD與CG分別在兩個(gè)三角形中， 欲證BD與CG相等，設(shè)法證 CGEzBDF。 由于全等條件不充分，可先證厶 AECzCFB 證明：在 Rt AEC與Rt CFB中， AC= CB, AE丄CD于E, BF丄C交CD的延長線于 F zAEC=/CFB= 90 又ZACB= 90 ZCAE= 90 ACE=/BCF Rt AECRt CFB CE= BF 在 RtBFD 與

35、 RtCEG 中，/F=/GEC= 90 ,CE= BF, 由ZFBD= 90 zFDB= 90 DH = ZECG, Rt FD 織t CEG BD = CG 全等三角形培優(yōu)競賽講義（三） 全等三角形的證明方法 【知識(shí)點(diǎn)精讀】 這兩 1. 幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問題,它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。 幾何證明有兩種基本類型： 一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系； 二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。 類問題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化,如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問題。 2. 掌握分析、證明幾何問題的常用方法： （1）綜合法（由因?qū)Ч?,從已知條件出發(fā),通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用,逐步向 可

36、編輯 精選文檔 前推進(jìn)，直到問題的解決； （2 ）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所 需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止； （3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)， 因此，在實(shí)際思考問題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá) 到證明目的。 3. 掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖 形分解成基本圖形。在更多時(shí)候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時(shí)往往需要添加輔助線， 以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的。 【分類解析】1、證明線段

37、相等或角相等 兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它 問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角 形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常 用到。 例 1.已知：如圖 1 所示， ABC 中， C 90，AC BC, AD DB，AE CF 。 A E 、D C F B 求證：DE= DF圖1 分析：由 ABC是等腰直角三角形可知，A B 45，由D是AB中點(diǎn)，可考慮連 結(jié)CD，易得CDA D , DCF 45。從而不難發(fā)現(xiàn) DCF DAE 證明：連結(jié)CD AC BC A B A

38、CB 90 , AD DB CD BD AD, DCB B A AE CF, A DCB, AD CD ADE CDF DE DF 作頂角的 更應(yīng)該連結(jié)CD , 使DG =DE，連 說明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中, 平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中， 因?yàn)镃D既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。本題亦可延長ED到G， 結(jié)BG,證 EFG是等腰直角三角形。有興趣的同學(xué)不妨一試。 例 2.已知：如圖 2 所示，AB = CD , AD = BC, AE = CF。 求證：/ E=ZF E AD BC F 圖2 證明：連結(jié)AC 在A

39、BC和 CDA中， AB CD, BC AD, AC CA ABC CDA(SSS B D AB CD, AE CF BE DF 在 BCE和 DAF中, BE DF B D BC DA BCE DAF （SAS） E F 這時(shí)應(yīng)注 說明：利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線，制造全等三角形, 意: （1 ）制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證中一量； （2 ）添輔助線能夠直接得到的兩個(gè)全等三角形。 2、證明直線平行或垂直 在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、 內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來證，也可通過邊對(duì)應(yīng)成比例、 三角形中位線定理證明。 證兩條直 線垂

40、直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于 90。，或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來 證。 例3.如圖3所示，設(shè)BP、CQ是 ABC的內(nèi)角平分線，AH、AK分別為A到BP、CQ 的垂線。求證：KH /BC A Q八。 / K H / i.1SA B M N C 圖3 分析：由已知，BH平分/ ABC，又BH丄AH，延長AH交BC于N，貝U BA = BN , AH =HN 。同理，延長AK交BC于M ,貝U CA = CM , AK = KM 。從而由三角形的中位線定理， 知 KH /BC。 證明：延長AH交BC于N，延長AK交BC于M BH 平分/ABC / ABH / NBH 又BH丄AH Z

41、 AHB Z NHB 90 BH = BH ABHNBHA； SA） BA BN, AH HN 同理，CA = CM , AK = KM KH是AMN的中位線 KHM/ N 即 KH/BC 說明：當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線、中線或高線重合時(shí)，則此三角形必為等腰三角形。 我們也可以理解成把一個(gè)直角三角形沿一條直角邊翻折（軸對(duì)稱）而成一個(gè)等腰三角形。 例 4.已知：如圖 4 所示，AB = AC, Z A 90 , AE BF, BD DC。 求證：FD丄ED A I / ! E F /2：3/ 1 BDC 圖4 證明一：連結(jié)AD AB AC, BD DC Z 1 Z 290，/ DAE Z DA

42、B Z BAC 90 , BD DC BD AD Z B Z DAB Z DAE 在ADE和 BDF中， AE BF , Z B Z DAE, AD BD ADE BDF 3 1 3290 FD ED 說明：有等腰三角形條件時(shí)，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用 輔助線。 證明二：如圖5所示，延長 ED到M，使DM = ED,連結(jié)FE, FM , BM A F jr 1 tl 1 、 E BD DC B M DC 圖5 BDMCDE, BDMCDE DM DE CE BM, C BM / /AC A 90 CBM ABM 90A AB AC, BF AF CE BM AE 說明

43、：證明兩直線垂直的方法如下： (1)首先分析條件，觀察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用輔助線，見本題證 (2)找到待證三直線所組成的三角形，證明其中兩個(gè)銳角互余。 (3 )證明二直線的夾角等于 90 。 3、證明一線段和的問題 (一)在較長線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。(截 長法) 例5.已知：如圖6所示在 ABC中， B 60，/BAC、/BCA的角平分線 AD、CE 相交于O。 求證：AC = AE+ CD O 1 4 23 5 A 分析: 在 AC上截取 AF = AE。 易知 AEO AFO , 2。由 B 60 , FOCD 證明: 602, 3 1

44、20 23460，得: OC, FC DC 在AC上截取 AF = AE BADCAD, AO AO AEO AFO SAS 4 2 又 B 60 5 660 1 60 2 3120 1 23460 FOC DOC (AAS) FC DC 即 AC AE CD （二）延長一較短線段，使延長部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明 該線段等于較長線段。（補(bǔ)短法） 例6.已知：如圖7所示，正方形 ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上， EAF 45。 求證：EF= BE + DF 分析：此題若仿照例1 , 將會(huì)遇到困難, 不易利用正方形這一條件。不妨延長CB至G , 可編輯 使 BG=

45、DF。 證明：延長CB至G,使BG = DF 在正方形ABCD中， ABG D 90 , AB AD ABG ADF (SAS) AG AF,13 又 EAF 45 2 3 45 21 45 即ZGAE = ZFAE GE EF EF BE DF 4、中考題： 如圖8所示，已知 ABC為等邊三角形，延長 BC到D，延長BA到E,并且 使 AE = BD，連結(jié) CE、DE。求證：EC= ED E / F A BCD 圖8 證明：作DF/AC交BE于F ABC是正三角形 BFD是正三角形 又 AE = BD AE FD BF BA AF EF 即 EF= AC AC/FD EAC EFD EAC

46、DFE (SAS) EC ED 題型展示： 證明幾何不等式：例題：已知：如圖 9所示， 12 , AB AC。 求證：BDD C C BD E 圖9 證明一：延長AC至U E,使AE = AB,連結(jié)DE 在ADE和ADB中， AE AB,21, AD AD ADE ADB BD DE, E B DCE B DCE E DE DC, BD DC 證明二：如圖10所示，在 AB上截取AF = AC,連結(jié)DF A /1 2 / / F34 BD C 圖10 則易證 ADF ADC 3 4，DF DC BFD 3，4 B BFD B BD DF BD DC 這是常用輔助線。 說明：在有角平分線條件時(shí)，

47、常以角平分線為軸翻折構(gòu)造全等三角形, 【實(shí)戰(zhàn)模擬】 1.已知：如圖11所示， ABC中, 90 , D是AB上一點(diǎn)，DE丄CD于D，交 BC于E,且有AC AD CE。求證: DE 1 CD 2 2.已知: 如圖12所示，在 ABC中, 求證: BC = AC + AD 3.已知: 如圖13所示，過 ABC的頂點(diǎn)A, 垂線BP和CQ。設(shè)M為BC的中點(diǎn)。 求證：MP = MQ D 圖11 2 B , CD是/C的平分線。 圖12 在/A內(nèi)任引一射線，過 B、C作此射線的 Q B C M P 圖13 4. ABC 中， BAC 90 , AD BC 于 D，求證： AD -AB AC BC 【試題

48、答案】 1. 證明：取CD的中點(diǎn)F,連結(jié)AF C 4 1、 丿-F /3E ADB AC AD AF CD又 1490 ,1390 AFC CDE 90 43 AC CE ACF CED (ASA) CF ED 1 DE CD 2 2. 分析：本題從已知和圖形上看好象比較簡單，但一時(shí)又不知如何下手，那么在證明一 “截長”即將長的線段截 條線段等于兩條線段之和時(shí)，我們經(jīng)常采用“截長補(bǔ)短”的手法。 成兩部分，證明這兩部分分別和兩條短線段相等；“補(bǔ)短”即將一條短線段延長出另一條短 線段之長，證明其和等于長的線段。 證明：延長CA至E,使CE= CB,連結(jié)ED 在CBD和 CED中, CB CE BC

49、D ECD CBD CED B E BAC 2 B BAC 2 E BAC ADE E ADE E， AD CD CD AE 又 CEA C BC AEA C AD Q、r 3.證明: 延長PM交CQ于R cq ap, bp ap BP/CQ PBM RCM 又 BM CM, BMP CMR BPM CRM PM RM QM是Rt QPR斜邊上的中線 MP MQ 4.取BC中點(diǎn)E,連結(jié)AE B DEC BAC 90 2AE BC AD BC， AD AE BC 2AE 2AD AB AC BC 2BC AB AC BC 4AD AB AC BC AD -AB AC BC 全等三角形培優(yōu)競賽講義

50、（四） 等腰三角形 【知識(shí)點(diǎn)精讀】一、等腰三角形的性質(zhì) 1. 有關(guān)定理及其推論 定理：等腰三角形有兩邊相等； 定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡寫成“等邊對(duì)等角”）。 推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說，等腰三角形的 頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。 推論2 :等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60。等腰三角形是以底邊的 垂直平分線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形； 2. 定理及其推論的作用 等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關(guān)系，由兩邊相等推出兩 角相等，是今后證明兩角相等常用的依據(jù)之一。等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂 角的平

51、分線“三線合一”的性質(zhì)是今后證明兩條線段相等，兩個(gè)角相等以及兩條直線互相垂 直的重要依據(jù)。 、等腰三角形的判定 1. 有關(guān)的定理及其推論 定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡寫成“等角對(duì)等 邊”。 推論1:三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。 推論2 :有一個(gè)角等于60。的等腰三角形是等邊三角形。 推論3 :在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30。，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。 2. 定理及其推論的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角與邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系，它是證明線段相等的重要定 理，也是把三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)，是本節(jié)的重點(diǎn)。 3.

52、等腰三角形中常用的輔助線 等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解決有關(guān)等腰三角形問題的輔 助線，由于這條線可以把頂角和底邊折半，所以常通過它來證明線段或角的倍分問題，在等 腰三角形中，雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，添加輔助線時(shí)，有 時(shí)作哪條線都可以， 有時(shí)需要作頂角的平分線，有時(shí)則需要作高或中線， 這要視具體情況來 【分類解析】 例1.如圖，已知在等邊三角形 ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E為BC延長線上一點(diǎn)，且CE =CD , DM丄BC,垂足為M。求證：M是BE的中點(diǎn)。 A 分析：欲證M是BE的中點(diǎn)，已知 DM丄BC,所以想到連結(jié) BD，證BD = ED

53、。因?yàn)?11 ABC是等邊三角形，/ DBE = /ABC，而由CE= CD，又可證/ E= 4CB，所以/ 1 =Z 22 E,從而問題得證。 證明：因?yàn)槿切蜛BC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn) 1 所以/ 1 =/ABC 2 又因?yàn)镃E = CD，所以/CDE = /E 所以/ACB = 2 ZE 即/1 = /E 所以BD = BE，又DM丄BC,垂足為 M 所以M是BE的中點(diǎn)（等腰三角形三線合一定理） 例2.如圖，已知： ABC中，AB AC , D是BC上一點(diǎn)，且AD DB, DC CA , 求 BAC的度數(shù)。 D 分析：題中所要求的 BAC在 ABC中，但僅靠AB AC是無法求出來

54、的。因此需 要考慮AD DB和DC CA在題目中的作用。此時(shí)圖形中三個(gè)等腰三角形，構(gòu)成了內(nèi)外 角的關(guān)系。因此可利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)外角關(guān)系定理來求。 解：因?yàn)锳B AC，所以 B C 因?yàn)锳D DB，所以 B DAB C ； 因?yàn)镃A CD，所以 CAD CDA （等邊對(duì)等角） 而 ADC B DAB 所以 ADC 2 B, DAC 2 B 所以 BAC 3 B 又因?yàn)?BCBAC 180 即 B C 3 B 180所以 B 36 即求得 BAC 108 說明：1. 等腰三角形的性質(zhì)是溝通本題中角之間關(guān)系的重要橋梁。把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角 的關(guān)系是此等腰三角形性質(zhì)的本質(zhì)所在。本條性質(zhì)在

55、解題中發(fā)揮著重要的作用，這一點(diǎn)在后 邊的解題中將進(jìn)一步體現(xiàn)。 2. 注意“等邊對(duì)等角”是對(duì)同一個(gè)三角形而言的。 3. 此題是利用方程思想解幾何計(jì)算題，而邊證邊算又是解決這類題目的常用方法。 例3.已知：如圖，ABC中，AB AC，CD AB 于 D。求證：BAC 2 DCB。 分析：欲證角之間的倍半關(guān)系，結(jié)合題意，觀察圖形, BAC是等腰三角形的頂角, 于是想到構(gòu)造它的一半，再證與 DCB的關(guān)系。 證明：過點(diǎn)A作AE BC于E，AB AC 1 所以12 BAC （等腰三角形的三線合一性質(zhì)） 2 因?yàn)? B 90 又CD AB， 所以 CDB 90 所以 3 B 90 （直角三角形兩銳角互余）

56、所以13 （同角的余角相等） 即 BAC 2 DCB 說明：1.作等腰三角形底邊高線的目的是利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，構(gòu)造角的 倍半關(guān)系。因此添加底邊的高是一條常用的輔助線； 2.對(duì)線段之間的倍半關(guān)系，常采用“截長補(bǔ)短”或“倍長中線”等輔助線的添加方法, 對(duì)角間的倍半關(guān)系也同理，或構(gòu)造“半”，或構(gòu)造“倍”。因此，本題還可以有其它的證法, 如構(gòu)造出 DCB的等角等。 4、中考題型： 1.如圖，KBC 中，AB = AC ,ZA = 36 ,BD、 CE分別為/ABC 與ZACB的角平 分線，且相交于點(diǎn) F,則圖中的等腰三角形有（ A. 6個(gè) B. 7個(gè) D. 9個(gè) C. 8個(gè) 分析：由已知條

57、件根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的度數(shù)可求得等腰三角形有8 個(gè)，故選擇C。 2.）已知：如圖，在 ABC中，AB = AC, D是BC的中點(diǎn)，DE丄AB , DF丄AC, E、F 分別是垂足。求證：AE = AF。 證明：因?yàn)锳B AC，所以 B C 又因?yàn)镈E AB, DF AC 所以 BEDCFD 90 又D是BC的中點(diǎn)，所以DB DC 所以 DEBCFD(AAS) 所以BE CF，所以AE AF 說明：證法二：連結(jié) AD，通過 AEDAFD證明即可 5、題形展示： 例 1.如圖， ABC 中，AB AC， A 100，BD 平分 ABC。 求證：AD BD BC。 分析一：從要證明的

58、結(jié)論出發(fā)，在 BC上截取BF BD，只需證明CF AD，考慮到 12，想到在 BC上截取BE BA，連結(jié) DE，易得，則有 AD FD，只需證明 DE CF，這就要從條件出發(fā)，通過角度計(jì)算可以得出CF DF DE 。 證明一：在BC上截取BE BA，BF BD，連結(jié) DE、DF 在ABD和EBD中，BA BE， 12，BD BD ABDEBD(SAS) AD DE， BEDA 100 DEF 80 又 AB AC， A 100 1 ABC C (180100 )40 2 1 12 4020 2 BFD BDF 1 -(180 2) 1 -(180 2 20 )80 DEF DFE 80DE DF DFE 80 , C 40 FDC DFE C 8040 40 FDC C DF FC AD DE DF FC BC BF FC BD AD 即 AD BD BC