專題10 橢圓及其性質-2019年高考理數(shù)母題題源系列(全國Ⅰ專版)(解析版)

1、 專題 10 橢圓及其性質( -1,0)，f (1,0)【母題來源一】【2019 年高考全國卷理數(shù)】已知橢圓 c 的焦點為 f，過 f 的直線與 c212| af |= 2 | f b | | ab |=| bf |，則 c 的方程為交于 a，b 兩點若，221x2x2y2+ y =1+ =13 2ac2bd2x2yx2y22+ =1+ =15 44 3【答案】b【解析】法一：如圖，由已知可設f b = n2af = 2n , bf = ab = 3n，則212a = bf + bf = 4n , af = 2a - af = 2n由橢圓的定義有12124n +9n -9n 1222af bc

2、osf ab =在在中，由余弦定理的推論得22n3n311132af fn n4 +4 -22 2 = 4中，由余弦定理得 nn，解得n=22312x y222a = 4n = 2 3 ,a = 3 ,b = a - c = 3-1 = 2 ,+ =1所求橢圓方程為，故選 b2223 2f b = n2af = 2n , bf = ab = 3n，法二：由已知可設，則211 2a = bf + bf = 4n , af = 2a - af = 2n由橢圓的定義有12124 + 4 - 22 2cosaf f= 4n2n2naf f bf f在又和中，由余弦定理得21，+ 4 - 2n2cosb

3、f f = 9n1212n2221af f , bf fcosaf f + cosbf f = 0互補，2121212 13cos af f ,cos bf f兩式消去，得3n + 6 =11n ，解得 n =22212122a = 4n = 2 3 ,a = 3 ,b = a - c = 3-1 = 2 ,222x y22+ =1.3 2所求橢圓方程為故選 b【名師點睛】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質，考查數(shù)形結合思想、轉化與化歸的能力，很好地落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)【命題意圖】通過考查橢圓的標準方程和簡單幾何性質，考查數(shù)形結合思想的運用和運算求解能力.【命題規(guī)律】一般以選擇題或

4、填空題的形式考查，題目有一定的難度，主要考查橢圓的標準方程和離心率，注意橢圓的定義和解三角形知識的結合，利用數(shù)形結合思想以及題中隱含的相等關系或不等關系進行求解.【答題模板】待定系數(shù)法是求橢圓的方程的常用方法，其一般步驟是：第一步，做判斷.根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在 軸上，還是在 軸上，還是兩個坐標軸都有可能（這時需要xy分類討論）.x2yy x222+ =1(a b 0)+ =1(a b 0).第二步，設方程.根據(jù)上述判斷設方程為或a b22a b22第三步，找關系.根據(jù)已知條件，建立關于a,b,c的方程組（注意橢圓中固有的等式關系c a b ）= .222第四步，得橢圓方程.解方程組，將解代

5、入所設方程，即為所求.2 【方法總結】1.求橢圓的方程有兩種方法：（1）定義法.根據(jù)橢圓的定義，確定 2, 2 的值，結合焦點位置可寫出橢圓方程.a b（2）待定系數(shù)法確定參數(shù)的值，從而得到橢圓的方程.【注意】用待定系數(shù)法求橢圓的方程時，要“先定型，再定量”，不能確定焦點的位置時，可進行分類討論或mx + ny 1(m 0，n 0且m n)把橢圓的方程設為.222.橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質，求橢圓的離心率（或離心率的取值范圍）有兩種方法：c=（1）求出 , ，代入公式ea c求解.a（2）只需要根據(jù)一個條件得到關于a,b,c的齊次式，結合b = a c 轉化為 , 的齊次式，然后等式

6、（不a c222等式）兩邊分別除以 或 2 轉化為關于 或 2 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得 （ 的取值范圍）.aaeee e4x + ky = 4k1【山東省聊城市 2019 屆高三三模】若方程表示焦點在 y 軸上的橢圓，則實數(shù)k 的取值范22圍為 4 4k = 4ba kc kd0 k 4【答案】dx2y2+ =1【解析】由題得，k44x + ky = 4k表示焦點在 軸上的橢圓，y因為方程22所以0 k 0)，f ，fc412a23 pf + pf = 4 2 ，則 f f =分別為橢圓c 的左、右焦點， 為橢圓c 上任一點，若p121 2a4b23c2d3【答案】a【解析】

7、根據(jù)題意，得 =2 2，b2 = 4，af f = 4 .- 4 = 2，所以所以有 =ca21 2故選 a【名師點睛】本題主要考查橢圓的方程及定義，明確方程中a,b,c的關系是求解的關鍵.xy ( )=1 a 2，直223【廣東省東莞市 2019 屆高三第二學期高考沖刺試題（最后一卷）】已知橢圓c ： +a24l : y = x - 2 c線過 的一個焦點，則c 的離心率為1213abd22 23c2【答案】cx2 y ( )2: y = x - 2過橢圓c 的一個焦點，可得c = 2，+=1 a 2 ，直線l【解析】橢圓c ：a24c22= =則 =+ = 2 2 ，所以橢圓的離心率為：e

8、a b c222 22a故選 c【名師點睛】本題考查橢圓的簡單性質的應用，屬于基礎題x2 y2+=4【廣東省深圳市深圳外國語學校 2019 屆高三第二學期第一次熱身考試數(shù)學】已知橢圓a2b251(a b 0)的離心率為，橢圓上一點 到兩焦點的距離之和為 12，則橢圓的短軸長為p3a8c5b6d44 【答案】a5x2 y (2)c+ =1 a b 0【解析】橢圓的離心率：e= =，3a2b2a橢圓上一點 到兩焦點的距離之和為12 ，即：p2a =12，可得： a= 6，c = 2 5 ，b = a -c = 36- 20 = 4，22則橢圓的短軸長為2b = 8.故選 a.【名師點睛】本題考查橢

9、圓的定義、簡單幾何性質的應用，屬于基礎題x22y22+=1(a b 0)5【河南名校聯(lián)盟 2019 屆高三下學期 2 月聯(lián)考】橢圓的左、右焦點分別為 f ，f ，ab12af f3f af = 4af f上頂點為 ，若a的面積為，且，則橢圓的方程為121212x2x2y2+ y =1+ =1ac2bd33 2x2x2y2+ y =1+ =14 324【答案】cbc3af f【解析】在中， af = af ,f af = 4af f ，則af f = 30，所以，=12121212123af f3s = bc = 3，即 ，又的面積為12=1,c = 3解得b，= b +c = 2，則 a22x

10、2+ y =1.所以橢圓的方程為24故選 c.【名師點睛】本題主要考查了橢圓標準方程的求解，其中解答中熟記橢圓的標準方程及其簡單的幾何性質，合理應用是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.5 6【廣東省深圳市高級中學 2019 屆高三適應性考試（6 月）數(shù)學】在平面直角坐標系xoy 中，已知點a,fx y22p ,q分別為橢圓c :1(a b 0)的右頂點和右焦點，過坐標原點o 的直線交橢圓 于c兩點，a b22線段 ap 的中點為 m ，若q ,f ,m三點共線，則橢圓c 的離心率為1a 32b 38c 33 8d 或2 3【答案】a【解析】如圖，p x ,y ,q x , y設又，0000

11、x a y0a (a,0),f (c,0)，m,0 ，22q ,f ,m 三點共線，kkqf，mfy00y20，x ac x0c02yy即00，c xx a 2c00c x x a 2c，00a 3c，c 1a 3ce則橢圓 的離心率為故選 a .6 【名師點睛】本題主要考查橢圓的簡單性質以及橢圓的離心率，屬于中檔題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下兩種情況：直接求出a,c ，從而求出e ；構造a,c的齊次式，求出e xy (b)1 a b 0的右焦點為 f，過 f227【山西省 2019 屆高三考前適應性訓練二（二模）】橢圓 c： + =a22oabx作

12、軸的垂線交橢圓 于 ， 兩點，若a b是直角三角形( 為坐標原點)，則 的離心率為o cca 5 - 2b 3 -15 -13 -1cd22【答案】c兩點，故 ac b2( )f c,0b2a, b,-x作 軸的垂線交橢圓 于 bc【解析】過 ，caa b2b2b4c, c,-= c - = 0由于三角形oab是直角三角形，故oa ob，即oa ob= 0 ，也即 2， a a a2化簡得c - 3a c + a = 0，即e - 3e +1 = 0 ，4224423- 55 -1解得e2=,e =.22故選 c【名師點睛】本題主要考查直線與橢圓的交點，考查橢圓離心率的計算，考查化歸與轉化的數(shù)

13、學思想方法，屬于常考題.x y228【安徽省皖南八校 2019 屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學】已知 f 是橢圓c ： + = 的右焦點， 為橢圓c 上1p3 2一點， a(1, 2 2)a 4 + 2+，則 pa pf 的最大值為b4 2d4 3c 4 + 3【答案】d【解析】設橢圓的左焦點為 ，則| |+| |pf pf2 3，f7 又 （1，0），| | =af(-1-1) +（2 2） = 2 3，f22| |+| | 2 3 +| | |，pa pf pa pf易知| | | |，pa pf af當 在線段 的延長線上時，| | |最大，為| | = 2 3 ，pafpa pfaf| |+|

14、|的最大值為pa pf2 3 + 2 3 = 4 3 .故選 d【名師點睛】本題考查橢圓的標準方程以及橢圓的定義的應用，涉及三角形兩邊之差小于第三邊的幾何知識，考查了數(shù)形結合思想，屬于中檔題9【河北省唐山市第一中學 2019 屆高三下學期沖刺（二）】已知橢圓的左、右焦點分別為 ， ，過 的直線 交橢圓于 , 兩點，若a1的最大值為5，則 的值為bdc【答案】c【解析】由 0 2 可知，焦點在 軸上， =2，bxa過 的直線 交橢圓于 ， 兩點，|a b bf af bf af|+|+|+|a a|2 +2 4 8，fla12211|+|bf afab|8| |22當垂直 軸時| |最小，則|a

15、b bf af|的值最大，|+|abx22此時| | 2，58 2，ab bb解得故選 c.【名師點睛】本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了橢圓的定義，解答此題的關鍵是明確過橢圓焦點的弦中通徑長最短，是中檔題x2 y ()的左、右焦點2+ =1 a b 010【山東省臨沂市 2019 年普通高考模擬考試（三模）數(shù)學】若橢圓a2b21分別為 ， ，離心率為 ，過 的直線交橢圓于 ， 兩點，f ff2abf的周長為 8，則該橢圓的短ab2112軸長為_.8 【答案】2 3【解析】因為abf的周長為 8，1| f a | + | f b | + | f a | + | f b |= 4a = 8,

16、a = 2所以，11221因為離心率為 ，所以c 11= ,c = a =1，2a 22由 a = b + c ，解得b = 3 ，222則該橢圓的短軸長為2 3 .故答案為2 3 .【名師點睛】本題主要考查橢圓的定義以及橢圓的離心率，意在考查對基礎知識的掌握與靈活應用，屬于基礎題.11【安徽省江南十校 2019 屆高三 3 月綜合素質檢測數(shù)學】已知橢圓 ：的左、右焦點分別為 、的取值范圍為，以 為圓心作半徑為 1 的圓 ， 為橢圓 上一點， 為圓 上一點，則_.【答案】【解析】由橢圓方程可知：由橢圓定義得：，且又，故答案為【名師點睛】本題考查利用橢圓定義求解最值問題，關鍵在于能夠通過定義將問

17、題轉化為三角形的三邊關系，確定當 三點共線的時候取得最值.12【江西省九江市 2019 屆第一次高考模擬統(tǒng)一考試數(shù)學】如圖，中心在坐標原點，焦點分別在 軸和 軸.上的橢圓的面積為都過點，且橢圓的離心率相等，以橢圓的四個焦點為頂點的四邊形，則橢圓 的標準方程為_9 x2y2+ =14 2【答案】x22y2+ =1【解析】由題意可設橢圓 ：c，12ay2x2+ =1（a 2 ，0b 2c ：），2 b22a2- 2 2 -b2=由，得 ab2，2 ，a22由 2可得（ 22）（2 2）2，ab解得 2， 1，abx2y2+=1故橢圓 c ：4 21x2y2+=1故答案為4 2【名師點睛】本題考查橢圓的方程和性質，考查了離心率公式，考查運算求解能力，注意運用方程的思想解題x22y22=1(a b 0)的左、+13【江西省南昌市江西師范大學附屬中學 2019 屆高三三模數(shù)學】已知橢圓ab3, fpf右焦點分別為 f，點 在橢圓上，且p垂直于 x 軸