畢業(yè)論文構(gòu)造函數(shù)法在微積分證明中的應(yīng)用

1、一、緒論構(gòu)造函數(shù)思想是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。在數(shù)學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用。他屬于數(shù)學(xué)思想方法中的構(gòu)造法。所謂構(gòu)造法，就是根據(jù)件或結(jié)論所具有的特征、性質(zhì)，構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)模型，借助于該數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法。它具有兩個(gè)顯著的特性：直觀性和可行性，正是這兩個(gè)特性，在數(shù)學(xué)應(yīng)用中經(jīng)常運(yùn)用它。構(gòu)造法的特點(diǎn)是化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化抽象為直觀。構(gòu)造法思想的核心是根據(jù)題設(shè)條件的特征恰當(dāng)構(gòu)造一種新的形式。對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想、思維能力以及培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力都有很大的幫助。怎樣構(gòu)造呢？當(dāng)某些數(shù)學(xué)問(wèn)題用通常辦法按定勢(shì)思維去解，很難湊效時(shí)，應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征、性質(zhì)展開(kāi)聯(lián)想，常是從一個(gè)目標(biāo)聯(lián)想起我們

2、曾經(jīng)使用過(guò)可能達(dá)到目的的方法，手段，進(jìn)而構(gòu)造出解決問(wèn)題的特殊模式，就是構(gòu)造法解題的思路構(gòu)造法是我們?cè)谘芯坑嘘P(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，需要構(gòu)造并解出一個(gè)合適的輔助問(wèn)題，從而用它來(lái)求得一條通向表面看來(lái)難于接近問(wèn)題的信道的一種解答問(wèn)題的方法，其實(shí)質(zhì)就是把研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題經(jīng)過(guò)仔細(xì)的觀察，挖掘其隱含條件，再通過(guò)豐富的聯(lián)想，把問(wèn)題化歸為已知的數(shù)學(xué)模型，從而使問(wèn)題得以解答。怎樣去構(gòu)造呢？常常是從一個(gè)目標(biāo)聯(lián)想起我們?cè)?jīng)用過(guò)的某種方法、手段，借助于這些方法、手段達(dá)到目標(biāo)。因此構(gòu)造法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的靈活性和創(chuàng)造性，構(gòu)造法并不是獨(dú)立的，它的運(yùn)用需要借助于聯(lián)想法、化歸法等。如果我們能夠掌握了構(gòu)造法并能運(yùn)用此方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，那么不

3、但可以培養(yǎng)我們的良好的思維品質(zhì)，而且還可以提高我們的抽象思維能力、發(fā)散思維能力和解題能力。構(gòu)造法的方法很多，技巧性強(qiáng)，使用時(shí)沒(méi)有固定的模式，須根據(jù)具體問(wèn)題采用相應(yīng)的構(gòu)造法。本文通過(guò)不同數(shù)學(xué)模型的例子介紹構(gòu)造法的應(yīng)用。二、構(gòu)造函數(shù)在微積分證明中的應(yīng)用構(gòu)造法是數(shù)學(xué)解題的主要方法之一，它的應(yīng)用極廣。隨著知識(shí)的積累和增加，構(gòu)造法就越加突現(xiàn)重要。比如在零點(diǎn)定理的證明和應(yīng)用上，在微積分學(xué)里的中值定理的證明和應(yīng)用上等。最典型的是拉格朗日中值定理的證明。這個(gè)定理的證明是根據(jù)幾何直觀的啟示，構(gòu)造了一個(gè)與問(wèn)題有關(guān)的輔助函數(shù)，才得以運(yùn)用羅爾定理解決的。這種思想方法在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常用到，且往往有效。中值定理特別是拉格

4、朗日中值定理在不等式的證明中有著重要作用，通過(guò)對(duì)不等式的結(jié)構(gòu)分析，構(gòu)造某特定區(qū)間上的函數(shù)，滿足定理的條件，達(dá)到證明目的。其中，在拉格朗日中值定理的證明中利用定理公式構(gòu)造了一個(gè)新的函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)和定理合理地證明了拉格朗日中值定理。其他中值定理也如此，都是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)來(lái)證明的。微積分學(xué)中的四種中值定理：費(fèi)馬定理，羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。構(gòu)造法都貫穿其中，起到了重要和決定性的作用。（一）構(gòu)造輔助函數(shù)用零點(diǎn)定理證明零點(diǎn)定理 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與 異號(hào)（即），那么在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)（）使.零點(diǎn)定理的結(jié)論是：存在，使，結(jié)論中并未出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算.所

5、以不太可能利用中值定理證明.相反，只要可以整理為：“證明存在，使某連續(xù)函數(shù)滿足”這種形式的命題，基本上都可以使用零點(diǎn)定理來(lái)證明，而輔助函數(shù)的構(gòu)造更為簡(jiǎn)單.證明方法(1)將把要正的等式化為等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)形式（所有項(xiàng)均移到等式左邊，使等式右邊為零）.(2)將等式左邊的表達(dá)式（將換成）作為輔助函數(shù)即可.例1 設(shè)在閉區(qū)間上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，并且，證明：對(duì)于任意的，都存在，使得.證明：只要證，即可.為此，設(shè).顯然在閉區(qū)間上連續(xù)，并且 ， .（1） 若，則，都滿足方程；（2） 若，則由，及零點(diǎn)定理知，必有，使得；因而，對(duì)于任意的，都存在，使得，即.構(gòu)造輔助函數(shù)利用零點(diǎn)定理可以證明根的存在性，下面我們通過(guò)例子來(lái)驗(yàn)

6、證：例2 設(shè)實(shí)數(shù)，.證明方程分別在區(qū)間和有且僅有一個(gè)實(shí)根.證明：設(shè) ，記；易見(jiàn)，是一個(gè)二次函數(shù)，它在內(nèi)連續(xù)，當(dāng)然在和上都連續(xù)，并且，.所以由零點(diǎn)定理知，必存在與，使得，；然而是一個(gè)二次函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn)，因此分別在區(qū)間和有且僅有一個(gè)實(shí)根.另一方面，由于，所以當(dāng)且僅當(dāng)，因而也分別在區(qū)間和有且僅有一個(gè)實(shí)根.（二）構(gòu)造輔助函數(shù)用羅爾定理證明羅爾中值定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且,那么至少存在一點(diǎn),使得.對(duì)于含有抽象函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程或關(guān)于的等式，在證明時(shí)，應(yīng)構(gòu)造輔助函數(shù)，用羅爾定理證明。此時(shí)構(gòu)造函數(shù)的一般方法是，查找原函數(shù)，其步驟為：1 若證的是含有的等式，先把改為，使等式成為方

7、程；2 把方程看作是以為未知函數(shù)的微分方程，然后解微分方程；3 求出解后，把任意常數(shù)移到一端，另一端即為所要構(gòu)造輔助的函數(shù);4 對(duì)于形式簡(jiǎn)單的方程或含的等式，則可用觀察法求出輔助函數(shù).下面我們用羅爾定理來(lái)證明一些重要的定理：拉格朗日中值定理 設(shè)函數(shù)滿足條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。則至少存在一點(diǎn) ，使 （1.1）我們要證（1.1）式，即要證，即 .故我們可以從幾何意義上來(lái)考慮：拉格朗日中值定理的幾何意義如圖所示，函數(shù)的圖像在區(qū)間上為圖中的弧段 ，上點(diǎn)點(diǎn)存在不與軸平行的切線。那么，結(jié)論是在內(nèi)存在點(diǎn)，使相應(yīng)于這一點(diǎn)的弧上點(diǎn)處的切線平行于弦。 圖因此在證明拉格朗日中值定理中，故我

8、們想到作輔助函數(shù)我們所做的輔助函數(shù)實(shí)際上分兩部分：和，容易驗(yàn)證，它們?cè)陂]區(qū)間連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，此時(shí)易知 容易驗(yàn)證，在上滿足羅爾定理的條件.因而存在，使=0，即成立.柯西中值定理 設(shè)函數(shù)和滿足條件：（1）,均在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）, 均在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);（3）對(duì) .則存在，使 （2.1）我們要證（2.1）式，即要證 ,也就是 .故我們想到作輔助函數(shù).容易驗(yàn)證，在上滿足羅爾定理的條件。因而存在，使.因（）故，得 柯西定理證畢.（三）構(gòu)造輔助函數(shù)用拉格朗日中值定理證明證明方法根據(jù)拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若函數(shù)滿足下列條件：（i）在閉區(qū)間上連續(xù)；（ii）在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在

9、一點(diǎn)，使得.拉格朗日中值定理反映了函數(shù)或函數(shù)增量和可導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系. 對(duì)于常值不等式或函數(shù)不等式，通過(guò)恒等變形后，若出現(xiàn)函數(shù)差值與自變量之差之比，符號(hào)拉格朗日中值公式的形式，則用拉格朗日中值定理證明之.此時(shí)，所要構(gòu)造的輔助函數(shù)可觀察得出.證明步驟為：1輔助函數(shù)，找到相應(yīng)的區(qū)間；2驗(yàn)證該函數(shù)在區(qū)間滿足拉格朗日中值定理的條件；3寫出拉格朗日中值公式；4由滿足的不等式，對(duì)放大或縮小，從而消去，得到所要證明的不等式.例1 證明：當(dāng).分析：所證不等式中的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 ，即所證不等式中含有函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，因而可用拉格朗日中值定理證之.由于，因此可構(gòu)造函數(shù)的改變量，則相應(yīng)自變量的改變量為，原不

10、等式等價(jià)于：，由不等式中間部分的形式可知，可利用拉格朗日中值定理去證明.證明：構(gòu)造函數(shù)，因在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，在上滿足拉格朗日條件，于是存在，使 ，因，所以.即，.適用范圍當(dāng)所證的不等式中含有函數(shù)值與一階導(dǎo)數(shù)，或函數(shù)增量與一階導(dǎo)數(shù)時(shí)，可用拉格朗日中值定理來(lái)證明.(四) 構(gòu)造輔助函數(shù)用柯西中值定理證明證明方法根據(jù)柯西中值定理柯西中值定理反映了兩個(gè)函數(shù)或兩個(gè)函數(shù)增量與它們一階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.證明方法構(gòu)造兩個(gè)輔助函數(shù)和，并確定它們施用柯西中值定理的區(qū)間；對(duì)與在上施用柯西中值定理；利用與的關(guān)系，對(duì)柯西公式進(jìn)行加強(qiáng)不等式.例2：設(shè)，證明.分析：原不等式可等價(jià)于.可看出不等式左邊可看成是函數(shù)與在區(qū)間上的改

11、變量的商，故可用柯西中值定理證明之.證明：原不等式等價(jià)于，可構(gòu)造函數(shù)，,因均在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，由于，則，所以在上滿足柯西中值條件，于是存在，使得，又因有 ，得到 ,因此,即.適用范圍當(dāng)不等式含有兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值及其一階導(dǎo)數(shù)，或兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)增量及其一階導(dǎo)數(shù)時(shí)，可用柯西中值定理證明.三、構(gòu)造函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用不等式的證明歷來(lái)是數(shù)學(xué)證明的難點(diǎn)。不等式的證明方法多種多樣，根據(jù)所給不等式的特征，巧妙的構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，然后利用一元二次函數(shù)的判別式、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性等來(lái)證明不等式，統(tǒng)稱為函數(shù)法。本文通過(guò)一些具體的例子來(lái)探討一下怎樣借助構(gòu)造函數(shù)的方法證明不等式。（一）構(gòu)造函數(shù)利用判別

12、式證明不等式1構(gòu)造函數(shù)正用判別式證明不等式在含有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解決，可將一邊整理為零，而另一邊為某個(gè)字母的二次式，這時(shí)可考慮用判別式法.一般對(duì)與一元二次函數(shù)有關(guān)或能通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的，都可考慮使用判別式，但使用時(shí)要注意根的取值范圍和題目本身?xiàng)l件的限制.例1. 設(shè)：、，證明：成立，并指出等號(hào)何時(shí)成立.證明：令 因?yàn)閎、cr，所以0即：，所以恒成立.當(dāng)0時(shí)，此時(shí)，所以時(shí)，不等式取等號(hào).例2. 已知：且，求證： .證明： 消去c得：，此方程恒成立，所以，即：.同理可求得.2構(gòu)造函數(shù)逆用判別式證明不等式對(duì)某些不等式證明，若能根據(jù)其條件和結(jié)論，結(jié)合判別式的結(jié)構(gòu)

13、特征，通過(guò)構(gòu)造二項(xiàng)平方和函數(shù)：由，得0，就可以使一些用一般方法處理較繁瑣的問(wèn)題，獲得簡(jiǎn)捷明快的證明.例3. 設(shè)且，求證：6.證明：構(gòu)造函數(shù)： 由，得0，即.所以6.例4. 設(shè)且，求的最小值.證明：構(gòu)造函數(shù) .因?yàn)?，由（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），得0,即144-4（）0. 所以當(dāng)時(shí)，.（二）構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用函數(shù)有界性、單調(diào)性、奇偶性證明不等式1.構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)有界性證明不等式定義1（函數(shù)的有界性） 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，如果，使得對(duì)，有，則稱在區(qū)間上有界，否則，稱在區(qū)間上無(wú)界.例5. 設(shè)1，1，1，求證：-1.證明：令為一次函數(shù).由于0，且0，所以在時(shí)恒有0.又因?yàn)?，所?，即0評(píng)注：考慮式中所給三個(gè)變

14、量的有界性，可以視其為單元函數(shù)，轉(zhuǎn)化為.2.構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證明不等式函數(shù)單調(diào)性的判別法 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo).若在內(nèi),則函數(shù)在上單調(diào)增加(減少). 對(duì)于形如（或）的函數(shù)不等式，常構(gòu)造輔助函數(shù)（或）用單調(diào)性證之，其步驟為：1 構(gòu)造輔助函數(shù)；2證（或）得出單調(diào)性；3求出在區(qū)間端點(diǎn)之一處的函數(shù)值或極限值；4最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值得出所證的不等式.例6. 求證：當(dāng)0時(shí)， .證明：令，因?yàn)?，所以 0.又因?yàn)樵谔庍B續(xù)，所以在上是增函數(shù)，從而，當(dāng)0時(shí)，0，即成立.評(píng)注：例6可以看出，在證明這樣一類不等式時(shí)，先是將原不等式移項(xiàng)，使一端變?yōu)?，再構(gòu)造輔助函數(shù)，證明在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)的最大值或

15、最小值為零，從而移項(xiàng)便得所證.利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式和比較大小是常見(jiàn)的方法，特別是在引入導(dǎo)數(shù)后，單調(diào)性的應(yīng)用將更加普遍。下面我們就用可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性證明不等式法.證明方法根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系定理.定理1 若函數(shù)在可導(dǎo)，則在內(nèi)遞增（遞減）的充要條件是：.定理2 設(shè)函數(shù)在連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，如果在內(nèi)（或），那么在上嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少）.定理3 設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，若（或），則在內(nèi)嚴(yán)格遞增（或嚴(yán)格遞減）.上述定理反映了可導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，因此可用一階導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在所討論區(qū)間上的單調(diào)性.證明方法（1）構(gòu)造輔助函數(shù)，取定閉區(qū)間；利用不等式兩邊之差構(gòu)造輔助函

16、數(shù)（見(jiàn)例2）；利用不等式兩邊相同“形式”的特征構(gòu)造輔助函數(shù)（見(jiàn)例3）；若所證的不等式涉及到冪指數(shù)函數(shù)，則可通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃危ㄈ羧?duì)數(shù)）將其化為易于證明的形式，再如前面所講那樣，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，構(gòu)造輔助函數(shù)（見(jiàn)例4）.（2）研究在上的單調(diào)性，從而證明不等式.例2：證明不等式：.分析：利用差式構(gòu)造輔助函數(shù)，則將要證明的結(jié)論轉(zhuǎn)化為要證，而，因而只要證明.證明：令，易知在上連續(xù)，且有，由定理二可知在上嚴(yán)格單調(diào)增加，所以由單調(diào)性定義可知，即.因此.例3：求證：.分析：不等式兩邊有相同的“形式”: ：試構(gòu)造輔助函數(shù).利用定理二與在上的單調(diào)性證明不等式.證明：設(shè)輔助函數(shù).易知在上連續(xù)，且有.則由定理二可知在

17、上嚴(yán)格單調(diào)增加.由，有，得到，所以原不等式成立.例4：證明：當(dāng)時(shí)，.分析：此不等式為冪指數(shù)函數(shù)不等式，若直接利用差式構(gòu)造輔助函數(shù)將很難求其導(dǎo)數(shù)，更很難判斷其在上的單調(diào)性，可對(duì)不等式兩邊分別取對(duì)數(shù)得到，化簡(jiǎn)得，在此基礎(chǔ)上可利用差式構(gòu)造輔助函數(shù)，且，因而只要證明即可.證明：分別對(duì)不等式得兩邊取對(duì)數(shù)，有，化簡(jiǎn)有：.設(shè)輔助函數(shù)，易知在上連續(xù)，也在上連續(xù)，因，根據(jù)定理二，得在上嚴(yán)格單調(diào)增加，所以.又由在上連續(xù)，且，根據(jù)定理二可知在上嚴(yán)格單調(diào)增加，所以，即，因此，即.適用范圍利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，不等式兩邊的函數(shù)必須可導(dǎo)；對(duì)所構(gòu)造的輔助函數(shù)應(yīng)在某閉區(qū)間上連續(xù)，開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且在閉區(qū)間的某端點(diǎn)處的值為0

18、，然后通過(guò)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)來(lái)判斷在閉區(qū)間上的單調(diào)性.3.構(gòu)造函數(shù)利用奇偶性證明不等式定義2（函數(shù)的奇偶性） 設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，（即若，則必有），如果，有成立，則稱為偶函數(shù)，如果，有成立，則稱為奇函數(shù).例7. 求證：.證明：設(shè)-，.所以是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱.當(dāng)0時(shí)，0，故0；當(dāng)0時(shí)，依圖象關(guān)于軸對(duì)稱知0.故當(dāng)時(shí)，恒有0，即.評(píng)注：這里實(shí)質(zhì)上是根據(jù)函數(shù)奇偶性來(lái)證明的，如何構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)充分利用其性質(zhì)是關(guān)健.（三）構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用函數(shù)的極值與最大、最小值證明不等式極值的第一充分條件 設(shè)在連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，（i）若當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,則在取得極大值;(ii) 若當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,則在取得極小值.極

19、值的第二充分條件設(shè)在的某領(lǐng)域內(nèi)一階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且，,(i)若，則在取得極大值；(ii)若，則在取得極小值.極值和最值是兩個(gè)不同的概念.極值僅是在某點(diǎn)的鄰域內(nèi)考慮，而最值是在某個(gè)區(qū)間上考慮.若函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的內(nèi)部取得最值，則此最值也是極值.極值的充分條件定理反映了可導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)或二階導(dǎo)數(shù)在可疑點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)極值的關(guān)系.證明方法構(gòu)造輔助函數(shù)，并取定區(qū)間.當(dāng)不等式兩邊均含有未知數(shù)時(shí)，可利用不等式兩邊之差構(gòu)造輔助函數(shù)（見(jiàn)例5）；當(dāng)不等式兩邊含有相同的“形式”時(shí)，可利用此形式構(gòu)造輔助函數(shù)（見(jiàn)例6）；當(dāng)不等式形如（或）（為常數(shù)）時(shí)，可設(shè)為輔助函數(shù)（見(jiàn)例7）.例5：證明：當(dāng)時(shí)有.分析：

20、利用差式構(gòu)造輔助函數(shù)，這與前面利用函數(shù)單調(diào)性定義證明不等式中所構(gòu)造輔助函數(shù)的方法相同，但由于在上不是單調(diào)函數(shù),（因?qū)θ我?，不能判斷的符?hào)）.所以不能用可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性證明此不等式，則可采用函數(shù)的極值方法試之.函數(shù)的單調(diào)性證明此不等式，則可采用函數(shù)的極值方法試之證明：構(gòu)造輔助函數(shù)，則有令，解得，其中只有在區(qū)間內(nèi)，由，有在點(diǎn)連續(xù)因當(dāng)時(shí)，則在上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，則在上為增函數(shù)；由極值的第二充分條件(ii)可知，在處取得極小值，即為區(qū)間上的最小值，所以當(dāng)時(shí)，有故即例6：設(shè)，則分析：此不等式兩邊含有相同的“形式”：，可將不等式變形為，可構(gòu)造輔助函數(shù)證明：將不等式變形為，構(gòu)造輔助函數(shù)，則有，令，則有當(dāng)時(shí)，所

21、以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增因此，由極值的第二充分條件(ii)可知在時(shí)取得極小值，即最小值所以當(dāng)，有，即例7：證明：若，則對(duì)于中的任意有： 分析：顯然設(shè)輔助函數(shù)，若設(shè)，由，故很難用函數(shù)單調(diào)性的定義去證明考慮到，不難看到不等式，即為與其端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小比較問(wèn)題，因而可想到用最值方法試之證明：設(shè)輔助函數(shù)為，則時(shí)，有令得,解之得穩(wěn)定點(diǎn),因函數(shù)在閉區(qū)間0,1上連續(xù),因而在0,1上有最大值和最小值.已知 .有 因此對(duì)一切時(shí)，有所以原不等式得證.適用范圍（1）所設(shè)函數(shù)在某閉區(qū)間上連續(xù)，開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，但在所討論的區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)時(shí)；（2）只能證不嚴(yán)格的不等式而不能證出嚴(yán)格的不等式.（四）構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用凹

22、凸性證明不等式定義1（凹凸性）設(shè)在區(qū)間i上連續(xù),如果對(duì)i上任意兩點(diǎn),恒有那么就稱在區(qū)間i上的圖形是凹的（或凹?。?如果恒有那么就稱在區(qū)間i上的圖形是凸的（或凸?。?凹凸性的判定方法定理1 設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)二階可導(dǎo),那么 若在內(nèi),則曲線在上是凹的. 若在內(nèi),則曲線在上是凸的.證明方法根據(jù)凹凸函數(shù)定義及其定理和詹森不等式.定義2：設(shè)為定義在區(qū)間i上的函數(shù)，若對(duì)于i上任意兩點(diǎn)和實(shí)數(shù)，總有,則稱為i上的凸函數(shù)，若總有,則稱為i上的凹函數(shù). 定理2：設(shè)為i上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則為i上的凸函數(shù)（或凹函數(shù)）的充要條件是在i上 .詹森不等式 若在上為凸函數(shù)，對(duì)任意的且,則.該命題可用數(shù)學(xué)歸納法證明.函數(shù)的凹凸性

23、定理反映了二階可導(dǎo)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)與凹凸函數(shù)之間的關(guān)系.證明方法：定義證明法：將不等式寫成定義的形式，構(gòu)造輔助函數(shù)，并討論在所給區(qū)間上的凹凸性.詹森不等式法：對(duì)一些函數(shù)值的不等式，構(gòu)造凸函數(shù)，應(yīng)用詹森不等式能快速證此類不等式.例10：證明：當(dāng)時(shí), .分析：不等式等價(jià)于：.不等式兩邊含有相同“形式”：,可設(shè)輔助函數(shù).因此原不等式可化為要證.只要證明在上為凸函數(shù)，即證在內(nèi)即可.證明（定義證明法）：設(shè).有.則在為凸函數(shù).對(duì)任意，有(取).(要使與的系數(shù)相同，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，即).因此.例11：若a,b,c是的三內(nèi)角，則.分析：不等式左邊為的函數(shù)的和，考慮構(gòu)造凸函數(shù).證明（詹森不等式）：令，則.則是

24、上的凸函數(shù), ,取，由，得到.由詹森不等式結(jié)論得,因是的三內(nèi)角，則 ，可得 .即 .適用范圍當(dāng)不等式可寫成凹凸函數(shù)定義的形式或?qū)σ恍┖瘮?shù)值和且能夠構(gòu)造凸函數(shù)的不等式.（五）構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用定積分理論來(lái)證明不等式證明方法根據(jù)定積分的性質(zhì)和變上限輔助函數(shù)理論.定積分性質(zhì)之一：設(shè)與為定義在上的兩格可積函數(shù)，若,則.微積分學(xué)基本定理：若函數(shù)在上連續(xù)，則由變動(dòng)上限積分，定義的函數(shù)在上可導(dǎo)，而且.也就是說(shuō)，函數(shù)是被積函數(shù)在上的一個(gè)原函數(shù).微積分學(xué)基本定理溝通了導(dǎo)數(shù)和定積分這兩個(gè)從表面看去似不相干的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系.證明方法構(gòu)造變上限輔助函數(shù)證明不等式法：對(duì)于含有定積分的不等式，可把常數(shù)變?yōu)樽償?shù)構(gòu)造輔助函數(shù)，

25、利用變上限積分及函數(shù)的單調(diào)性解決此類不等式（見(jiàn)例15）.例15：設(shè)在上連續(xù)，且單調(diào)遞增，試證明.分析：可將此定積分不等式看成是數(shù)值不等式，并將常數(shù)變?yōu)樽償?shù)，利用差式構(gòu)造輔助函數(shù)：，則要證.證明：（利用構(gòu)造變上限輔助函數(shù)）設(shè)輔助函數(shù).顯然對(duì)， 因?yàn)閱握{(diào)遞增，則，則單調(diào)遞增，所以.因此.適用范圍當(dāng)不等式含有定積分（或被積函數(shù)時(shí)），可用定積分的性質(zhì)來(lái)證明或構(gòu)造上限輔助函數(shù)來(lái)證明.（六）構(gòu)造函數(shù)引入?yún)?shù)證明不等式證明方法根據(jù)將對(duì)數(shù)值不等式的證明轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)不等式的證明，用微積分理論研究函數(shù)的性質(zhì)，從而證明不等式.證明方法引入?yún)?shù)，構(gòu)造輔助函數(shù)，得到關(guān)于的二次多項(xiàng)式，利用判別式來(lái)證明不等式.例16：設(shè)在

26、區(qū)間上連續(xù)，證明：（柯西許瓦茨不等式）.分析：欲證不等式是函數(shù)，以及的積分不等式，引入?yún)?shù)，考慮輔助函數(shù)在區(qū)間上的積分.證明：利用定積分的性質(zhì)易知，即.這是關(guān)于的二次多項(xiàng)式不等式，因此，判別式：，即：適用范圍當(dāng)積分式含有平方項(xiàng)，或的情形.四、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法（一）條件極值了解拉格朗日乘數(shù)法，學(xué)會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值條件極值；拉格朗日乘數(shù)法(1)了解拉格朗日乘數(shù)法的證明，掌握用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值的方法;(2) 用條件極值的方法證明或構(gòu)造不等式;(3) 多個(gè)條件的的條件極值問(wèn)題，計(jì)算量較大.; (4) 在解決很多問(wèn)題中，用條件極值的方法證明或構(gòu)造不等式，是個(gè)好方法 在許多極值問(wèn)

27、題中，函數(shù)的自變量往往要受到一些條件的限制，比如，要設(shè)計(jì)一個(gè)容積為的長(zhǎng)方體形開(kāi)口水箱，確定長(zhǎng)、寬和高, 使水箱的表面積最小. 設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為 ， 則水箱容積焊制水箱用去的鋼板面積為這實(shí)際上是求函數(shù) 在 限制下的最小值問(wèn)題.這類附有條件限制的極值問(wèn)題稱為條件極值問(wèn)題， 其一般形式是在條件 限制下，求函數(shù) 的極值.條件極值與無(wú)條件極值的區(qū)別:條件極值是限制在一個(gè)子流形上的極值，條件極值存在時(shí)無(wú)條件極值不一定存在，即使存在二者也不一定相等.例如，求馬鞍面 被平面 平面所截的曲線上的最低點(diǎn).請(qǐng)看這個(gè)問(wèn)題的幾何圖形（x31馬鞍面）.從其幾何圖形可以看出整個(gè)馬鞍面沒(méi)有極值點(diǎn)，但限制在馬鞍面被平面

28、 平面所截的曲線上，有極小值 1，這個(gè)極小值就稱為條件極值.1.何謂條件極值在討論極值問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)遇到這樣一種情形，就是函數(shù)的自變量要受到某些條件的限制.決定一給定點(diǎn)到一曲面的最短距離問(wèn)題，就是這種情形.我們知道點(diǎn)到點(diǎn)的距離為.現(xiàn)在的問(wèn)題是要求出曲面上的點(diǎn)使f為最小.即，問(wèn)題歸化為求函數(shù)在條件下的最小值問(wèn)題.又如，在總和為c的幾個(gè)正數(shù)的數(shù)組中，求一數(shù)組，使函數(shù)值為最小，這是在條件 的限制下，求函數(shù)的極小值問(wèn)題.這類問(wèn)題叫做限制極值問(wèn)題（條件極值問(wèn)題）.例1. 求函數(shù) 在條件下的極值.解 令 得 （1）又 （2） （3）由（1）得 ， 當(dāng)時(shí)得 ， 故得，代入（2）（3）式得 解得穩(wěn)定點(diǎn)，. 由

29、對(duì)稱性得，也是穩(wěn)定點(diǎn).2.條件極值點(diǎn)的必要條件 設(shè)在約束條件之下求函數(shù)的極值 . 當(dāng)滿足約束條件的點(diǎn)是函數(shù)的條件極值點(diǎn) , 且在該點(diǎn)函數(shù)滿足隱函數(shù)存在條件時(shí), 由方程決定隱函數(shù), 于是點(diǎn)就是一元函數(shù)的極限點(diǎn) , 有 ,代入 , 就有 , ( 以下、均表示相應(yīng)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)的值 .) 即 , 亦即 ( , ) ,) .可見(jiàn)向量( , )與向量 , )正交. 注意到向量 , )也與向量 ,)正交, 即得向量( , )與向量 , )線性相關(guān),即存在實(shí)數(shù), 使 (, ) + ,).亦即 3.限制極值的必要條件設(shè)在約束條件之下求函數(shù)的極值.當(dāng)滿足約束條件的點(diǎn)是函數(shù)的條件極值點(diǎn) ,且在該點(diǎn)函數(shù)滿足隱函數(shù)存在條

30、件時(shí),由方程決定隱函數(shù),于是點(diǎn)就是一元函數(shù)的極限點(diǎn) , 有.代入 , 就有, ( 以下、均表示相應(yīng)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)的值 .)即 ,亦即 (, ),) .可見(jiàn)向量(, )與向量,)正交.注意到向量,)也與向量,)正交,即得向量(, )與向量,)線性相關(guān),即存在實(shí)數(shù),使(, )+,).亦即 （二） lagrange乘數(shù)法 :由上述討論可見(jiàn) , 函數(shù)在約束條件之下的條件極值點(diǎn)應(yīng)是方程組 （1）的解. 引進(jìn)所謂lagrange函數(shù):,( 稱其中的實(shí)數(shù)為lagrange乘數(shù) )則上述方程組即為方程組 因此，解決條件極值通常有兩種方法:（1）直接的方法是從方程組(1)中解出 并將其表示為 .代入 消去 成為變量

31、為 的函數(shù) 將問(wèn)題化為函數(shù) 的無(wú)條件極值問(wèn)題；（2）在一般情形下，要從方程組（1）中解出 來(lái)是困難的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。通常采用的拉格朗日乘數(shù)法，是免去解方程組（1）的困難，將求 的條件極值問(wèn)題化為求下面拉格朗日函數(shù) 在條件極值問(wèn)題中 滿足條件 下，去尋求函數(shù) 的極值. 對(duì)三變量函數(shù) 聯(lián)立方程式 求得的解 (x, y) 就成為極值的候補(bǔ).這種引入輔助函數(shù)，將條件極值問(wèn)題化為無(wú)條件極值問(wèn)題的方法.以三元函數(shù) , 兩個(gè)約束條件為例介紹lagrange乘數(shù)法的一般情況 .例1 求函數(shù) 在條件下的極值.解：令 得 （1）又 （2） （3）由（1）得 ， 當(dāng)時(shí) 得 ，故得，

32、代入（2）（3）式得 解得穩(wěn)定點(diǎn)，. 由對(duì)稱性得，也是穩(wěn)定點(diǎn).這樣求極值的方法就叫做拉格朗日乘數(shù)法、叫做拉格朗日乘數(shù).（三） 用lagrange乘數(shù)法解應(yīng)用問(wèn)題舉例 例1 某公司生產(chǎn)a，b兩種產(chǎn)品，其產(chǎn)量為x,y,公司的利潤(rùn)函數(shù)為，若公司最大設(shè)備生產(chǎn)能力為小，求：（1） 最大利潤(rùn)；（2）估算設(shè)備生產(chǎn)能力擴(kuò)大一個(gè)單位對(duì)于利潤(rùn)的效應(yīng).解： 公司最大設(shè)備生產(chǎn)能力就是約束條件，本題就是求條件極值，用拉格朗日乘數(shù)法求.（1）引人拉格朗日函數(shù)令 得穩(wěn)定點(diǎn) 所以，（5，7）就是利潤(rùn)函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)。又因?yàn)閷?shí)際問(wèn)題有最大值，故當(dāng)，時(shí)，公司可獲得最大利潤(rùn) （2）因?yàn)?，故設(shè)備生產(chǎn)能力擴(kuò)大一個(gè)單位時(shí)，將使利潤(rùn)增加53.

33、例2求橢圓 的面積.解：此橢圓的中心在原點(diǎn)，其長(zhǎng)、短半軸分別為橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大、最小值。因此，問(wèn)題化為求的極值問(wèn)題，以目標(biāo)函數(shù)，作輔助函數(shù).令, . 式乘以加上式乘以，得 （是極值）。又兩式是，的線性齊次方程組，在橢圓上，故不為，即齊次方程有非零解得. 得 恰有兩個(gè)根，正好對(duì)應(yīng)著目標(biāo)函數(shù)的最大與最小值.由于橢圓面積，而故 .例3 將長(zhǎng)度為的鐵絲分成三段，用此三段分別作成圓、正方形和等邊三角形.問(wèn)如何分法，才能使這三個(gè)圖形的面積之和最小.解 設(shè)分別為圓之半徑、正方形邊長(zhǎng)、等邊三角形邊長(zhǎng).于是總面積 滿足約束 ， 令 解得 .約束集為有界閉集，故在其上必有最小值.在邊界上，即解下列三個(gè)條

34、件極值問(wèn)題： 穩(wěn)定點(diǎn)分別是 函數(shù)值分別是 , , .又 ， .比較上述7個(gè)函數(shù)值得，最小值為 料最省.五、小結(jié)構(gòu)造函數(shù)法在數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用非常廣泛，比如方程根的存在性的證明，中值定理的證明，不等式的證明等都可以用構(gòu)造函數(shù)發(fā)來(lái)證明，隨著知識(shí)的積累和增加，構(gòu)造函數(shù)法就越加突現(xiàn)重要。不等式的證明歷來(lái)都是數(shù)學(xué)證明中的難點(diǎn)，不等式的證明方法多種多樣。因此用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式時(shí)，要根據(jù)所給不等式的特征，巧妙的構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)來(lái)證明：有時(shí)利用差式構(gòu)造函數(shù)，但有時(shí)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性證明不等式，有時(shí)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值證明不等式，而有時(shí)應(yīng)用拉格朗日中值定理或柯西中值定理證明不等式.三者有何區(qū)別：若所證不等式

35、含有函數(shù)值及其導(dǎo)數(shù)，宜用中值定理；若所證不等式，其兩端函數(shù)均可導(dǎo)，且或有一為0時(shí)，宜用函數(shù)的單調(diào)性.若所證不等式的兩端函數(shù)有不可導(dǎo)時(shí)，不能用函數(shù)單調(diào)性證明，宜用中值定理.若所證不等式，兩端函數(shù)均可導(dǎo)，但不是單調(diào)的函數(shù)時(shí)，宜用函數(shù)的極值來(lái)證明.因此能否順利地構(gòu)造函數(shù)利用其函數(shù)性質(zhì)和使用數(shù)學(xué)思想來(lái)證明不等式，最重要的是要有扎實(shí)的基本功和多種思維品質(zhì)，敢于打破常規(guī)，創(chuàng)造性地思維，才能獨(dú)辟蹊徑，使問(wèn)題獲得妙解。結(jié)束語(yǔ)構(gòu)造法是我們?cè)谘芯坑嘘P(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，需要構(gòu)造并解出一個(gè)合適的輔助問(wèn)題，從而用它來(lái)求得一條通向表面看來(lái)難于接近問(wèn)題的信道的一種解答問(wèn)題的方法，其實(shí)質(zhì)就是把研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題經(jīng)過(guò)仔細(xì)的觀察，挖掘其隱

36、含條件，再通過(guò)豐富的聯(lián)想，把問(wèn)題化歸為已知的數(shù)學(xué)模型，從而使問(wèn)題得以解答。如果我們能夠掌握了構(gòu)造法并能運(yùn)用此方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，那么不但可以培養(yǎng)我們的良好的思維品質(zhì)，而且還可以提高我們的抽象思維能力、發(fā)散思維能力和解題能力。構(gòu)造法的方法很多，技巧性強(qiáng)，使用時(shí)沒(méi)有固定的模式，須根據(jù)具體問(wèn)題采用相應(yīng)的構(gòu)造法。相信上面的講述能給大家一定的幫助。致 謝本次畢業(yè)論文是在郭艷鳳老師的悉心督促下完成的，從選題、課題資料的查找、收集、信息的提供，到論文的撰寫和論文修改都得到了郭老師的精心指導(dǎo)，本人也從中吸取到了不少的經(jīng)驗(yàn)。郭老師對(duì)待工作認(rèn)真負(fù)責(zé)，熱心幫助我完成了論文，每當(dāng)我遇到困難和疑惑的時(shí)候，她總會(huì)在百忙之中

37、抽出時(shí)間耐心的幫助我解決問(wèn)題。在此向郭艷鳳老師致以忠心的感謝！同時(shí)也非常感謝幫助我的同學(xué)，在寫論文的這段時(shí)間里，我們一起學(xué)習(xí)，一起討論交流，互相幫助。特別是在為論文煩惱的時(shí)候，得到同學(xué)的安慰和鼓舞。在這里我倍受感動(dòng)，祝愿大家都能找到稱心如意的好工作，也祝福大家在以后的工作學(xué)習(xí)中萬(wàn)事如意，心想事成！最后由衷的感謝各位審稿老師的指導(dǎo)，感謝您們能閱讀完我的論文，您們辛苦了，謝謝！參考文獻(xiàn)1 龔冬保、武忠祥.大學(xué)數(shù)學(xué)教程第1卷第1冊(cè). 西安： 西安交通大學(xué)出版社 2000.2 龔冬保、魏平.大學(xué)數(shù)學(xué)教程第2卷第2冊(cè). 西安： 西安交通大學(xué)出版社 2001.3 汪生實(shí).構(gòu)造函數(shù)法解不等式例談 2007年 12期 青海教育 ：44-44.4 李富強(qiáng)、王東霞.淺談構(gòu)造函數(shù)法在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 2005年 8卷 5期 高等數(shù)學(xué)研究 ：9-12.5華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析. 第三版.上冊(cè). 北京：高等教育出版社 2001.6華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析. 第三版.下冊(cè). 北京：高等教育出版社 2001.7 張慧芬.淺談微分中值定理證明中