找二面角的平面角的方法匯總

1、找二面角的平面角的方法匯總 二面角是高中立體幾何中的一個重要內(nèi)容，也是一個難點(diǎn).對于二面角方面的問題， 學(xué) 生往往無從下手，他們并不是不會構(gòu)造三角形或解三角形，而是沒有掌握尋找二面角的平面 角的方法. 我們試將尋找二面角的平面角的方法歸納為以下六種類型. 一、根據(jù)平面角的定義找出二面角的平面角 例1在60 :的二面角:-a的兩個面內(nèi)，分別有 A和B兩點(diǎn)已知A和B到棱的 距離分別為2和4,且線段 AB =10，試求： (1) 直線AB與棱a所構(gòu)成的角的正弦值； (2) 直線AB與平面所構(gòu)成的角的正弦值. 分析：求解這道題，首先得找出二面角的平面角，也就是找出60 :角在哪兒如果解決 了這個問題，

2、這道題也就解決了一半. 根據(jù)題意，在平面 1內(nèi)作AD a ；在平面:-內(nèi)作BE ，CD/EB，連結(jié)BC、 AC 可以證明CD_a，則由二面角的平面角的定義，可知 ADC為二面角:-a 的 平面角以下求解略. 二、根據(jù)三垂線定理找出二面角的平面角 例2如圖，在平面一：內(nèi)有一條直線 AC與平面-成30 ?, AC與棱BD成45:，求平 面與平面：的二面角的大小. 分析：找二面角的平面角，可過 A作AF - BD ; AE -平面 -,連結(jié)FE .由三垂線定理可證 BD _ EF，則/ AFE為二面角 的平面角. 總結(jié)：(1)如果兩個平面相交， 有過一個平面內(nèi)的一點(diǎn)與另一 個平面垂直的垂線， 可過這

3、一點(diǎn)向棱作垂線， 連結(jié)兩個垂足.應(yīng)用三垂線定理可證明兩個垂 足的連線與棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角. (2 )在應(yīng)用三垂線定理尋找二面角的平面角時，注意“作”、“連”、“證”，即“作 AF丄BD ”、“連結(jié)EF ”、“證明EF丄BD ”. 三、作二面角棱的垂面， 垂面與二面角的兩個面的兩條交線所構(gòu)成的角，即為二面角的 平面角 例3如圖1，已知P為- CD -:內(nèi)的一點(diǎn)，PA：于A點(diǎn)，PB :于B點(diǎn)，如 果/APB二n 試求二面角:-CD -：的平面角. UiJ C c 圖1 第1頁共3頁 圖2 PA丄 an PA 丄CD 分析：cn CD丄平面PAB. PB 丄 B = PB 丄 CD

4、 因此只要把平面 PAB與平面、1的交線畫出來即可證明 AEB為-CD - 一：的 平面角，.AEB =180 ：-n :（如圖 2）. 注意：這種類型的題，如果過 A作AE _ CD，垂足為E，連結(jié)EB，我們還必須證明 EB _ CD，及AEBP為平面圖形，這樣做起來比較麻煩. 例4已知斜三棱柱 ABC - A1B1C1中，平面AB!與平面AG構(gòu)成的二面角的平面角為 8 30 平面ABi與平面BCi構(gòu)成的二面角為70匚試求平面ACi與平面BG構(gòu)成的二面角 的大小. 分析：作三棱柱的直截面，可得 DEF , 其三個內(nèi)角分別為斜三棱柱的三個側(cè)面兩兩 構(gòu)成的二面角的平面角. 總結(jié)：對棱柱而言，其直

5、截面與各個側(cè)棱的交點(diǎn)所形成的多邊 形的各個內(nèi)角，分別為棱柱相鄰側(cè)面構(gòu)成的二面角的平面角. 四、平移平面法 例5如圖，正方體 ABCD-AiBQiDi中，E為AA的中點(diǎn)，H為CCi上的點(diǎn)，且 CH : CIH =i：2 .設(shè)正方體的棱長為a，求平面DIEH與底面AIBICIDI構(gòu)成的銳角的正切. 分析：本題中，僅僅知道二面角棱上的一點(diǎn)Di，在這種情況下，尋找二面角的平面角 較困難.根據(jù)平面平移不改變它與另一個平面構(gòu)成的角的大小的 原理，如果能把二面角中的一個平面平移，找出輔助平面與另一 個平面的交線，就可以作出二面角的平面角.有了平面角之后， 只需要進(jìn)行常規(guī)構(gòu)造三角形和解三角形的計(jì)算，就可以解決

6、問題 了. 如圖，過點(diǎn) E作EM /ADi與DiD相交于 M點(diǎn)，過 M點(diǎn) 作MN CP，與DiH相交于N點(diǎn).可證平面EMN /平面ABiGDi .這樣，求平面 DiEH與平面ABQiDi的二面角的平面角就轉(zhuǎn)化為求平面 DiEH與平面EMN的二面角 的平面角.顯然 EN為這兩個平面的交線，過點(diǎn) M作MF - EN , F為垂足，連結(jié) DiF , 可證 EN .則.DiFM為本題要尋找的二面角. 五、找垂面，作垂線 例6 如圖，正方體 ABCD - AIBiCiDi中，M為棱AD的中點(diǎn)，求平面 BiCiCB和平 面BCiM所構(gòu)成的銳二面角的正切. 分析：平面 AC與二面角M -BG-C的一個 面B

7、iC垂直，與另一個平面 MBCi相交，過M點(diǎn) 作MP BC，垂足為P，過P作PN BC，交BCi 于N點(diǎn)，連結(jié)MN，由三垂線定理可證 MN BCi , 則 MNP為二面角M - BCi -C的平面角. 總結(jié)：當(dāng)一個平面與二面角的一個平面垂直，與另一個平 第2頁共3頁面相交時，往往過這個面上的一點(diǎn)作這兩個垂直平面交 線的垂線，再過垂足作二面角棱的垂線根據(jù)三 垂線定理即可證明，并找出二面角的平面角. 再如圖，要找:-a-所構(gòu)成的二面角的平面角，可找平面-一：，且咐二=b , =丨，過b上任何一點(diǎn)A作AB _ I ,垂足為B，過B作BC _ ：,垂足為C ,連結(jié)AC , 可證 ACB為:-a-的平面

8、角. 六、根據(jù)特殊圖形的性質(zhì)找二面角的平面角 1 三線合一 例7 如圖，空間四邊形 ABCD中，AB = AD=3 , BC=CD=4, BD = 2, AC =5 .試求A- BD - C二面角的余弦值. 分析：如圖1 , AB二AD , BC二CD，則 ABD和ABDC為等腰三 角形.過A作AE - BD ,垂足為E ,連結(jié)CE .根據(jù)三線合一，且E為BD 中點(diǎn)，可證CE _ BD，則 AEC為二面角A- BD - C的平面角. 2 .全等三角形 I 一 1 r in i. i i 例8 如圖，已知空間四邊形 ABCD , AB二BC二6 , AD二DC二4 , BD二8 , AC =6

9、.試求A-BD-C的余弦值. 分析：過A作AE - BD，垂足為E，連結(jié)CE .根據(jù)已知條件， AED和 CED全等，可證CE BD ,則 AEC為二面角 A-BD-C的平面角. 3 .二面角的棱蛻化成一點(diǎn) *!、*、 匸rrir 、匸 r 例9 如圖，四棱錐 A- BCED中，DB和EC與面ABC垂直， ABC為正三角形. （1 ）若BC = EC = BD時，求面ADE與面ABC的夾角； （2）若BC =EC =2BD時，求面ADE與面ABC的夾角. 分析：如圖，面 ADE與面ABC的交線蛻化成一點(diǎn)，但面 ADE與面ABC與面DC相交.如果三個平面兩兩相交，它們可 能有三種情況：（1）交線為一點(diǎn)；（2 ） 一條交線；（3 ）三條交線 互相平行.在圖1中，兩條交線BC與DE互相平行，所以肯定 有過A且平行于DE的一條交線. 可過A作AM / DE，平面ADE與平面ABC的交線即為 AM .過 A作 AN _ DE 于 N，過 A作 AF _ BC 于 F .可證 AN _ AM , AF _ AM , 則 NAF為面ADE與面ABC的夾角. 如圖，DE與BC不平行且相交.根據(jù)三個平面兩兩相交可能出現(xiàn)的三種情況，這三個 面的交線為一點(diǎn).延長 ED、CB