高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文：新課程理念下高中數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)探微

1、新課程理念下高中數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)探微【摘要】數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)學(xué)科所獨(dú)有的思維能力。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念，也是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)核心，本文結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)中的一些實(shí)踐談一點(diǎn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何通過(guò)滲透一題多解、一題多變、多題一解、一題多思探究性學(xué)習(xí)的方法來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué) 思維 培養(yǎng) 途徑在新課程理念下，要求學(xué)生應(yīng)懂得更多的數(shù)學(xué)知識(shí)并能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)知識(shí)是在不斷發(fā)展的，因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不但要幫助學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，掌握方法，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)思維是以數(shù)

2、學(xué)問(wèn)題為載體，通過(guò)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的形式，達(dá)到對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)的一般性的認(rèn)識(shí)的思維過(guò)程。新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。事實(shí)上，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，有助于增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力,有助于學(xué)生對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和做出判斷。數(shù)學(xué)思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨(dú)特的作用。本文結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，就如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力談幾點(diǎn)體會(huì).一.一題多解，培養(yǎng)思維的靈活性。有些問(wèn)題，我們可以從不同的側(cè)面用不同的方法求出其解，通過(guò)方法的變化，培養(yǎng)學(xué)生多角度分析問(wèn)題的能力。例1.橢圓的焦點(diǎn)是，橢圓上一點(diǎn)p滿足，下面

3、結(jié)論正確的是（ ）（a）p點(diǎn)有兩個(gè) （b）p點(diǎn)有四個(gè) （c）p點(diǎn)不一定存在 （d）p點(diǎn)一定不存在解法一：以為直徑構(gòu)圓，知：圓的半徑，即圓與橢圓不可能有交點(diǎn)。故選d解法二：由題知，而在橢圓中：，不可能成立故選d解法三：由題意知當(dāng)p點(diǎn)在短軸端點(diǎn)處最大，設(shè)，此時(shí)為銳角，與題設(shè)矛盾。故選d解法四：設(shè)，假設(shè)，則，而即：，不可能。故選d解法五.設(shè)圓方程為： 橢圓方程為：兩者聯(lián)立解方程組得：不可能,故圓與橢圓無(wú)交點(diǎn)即 不可能垂直,故選d. 本例從不同角度看題設(shè)條件,從不同方向進(jìn)行思考,這樣就可以全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì),從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性.二.一題多變，培養(yǎng)思維的發(fā)散性。在教學(xué)過(guò)程中，適時(shí)運(yùn)用變式教

4、學(xué)，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活遷移，增強(qiáng)學(xué)生的辨析能力，激發(fā)學(xué)生的求知熱情，有助于培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。所謂變式，廣義地說(shuō)，就是同一事物非本質(zhì)屬性的轉(zhuǎn)換。從數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)，就是對(duì)問(wèn)題的條件或結(jié)論進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，或增減或轉(zhuǎn)換，也可以對(duì)問(wèn)題的呈現(xiàn)方式、表達(dá)形式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兓€可以是解題思想方法，思維方法的變化。在研究問(wèn)題的過(guò)程中，為了揭示問(wèn)題的本質(zhì)屬性，掌握解決問(wèn)題的一般方法，我們常常通過(guò)對(duì)構(gòu)成問(wèn)題的各個(gè)要素進(jìn)行局部的調(diào)整，得到形式雖異而解法類(lèi)似的一系列問(wèn)題，不斷強(qiáng)化學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解和掌握。下面以三角函數(shù)值域的求法為例，談?wù)劙l(fā)散性思維的培養(yǎng).例2.求函數(shù)的值域； 對(duì)角的范圍進(jìn)行

5、限制可得：變式1：求（x）的值域?qū)堑男问竭M(jìn)行變化可得：變式2：求的值域；變式3：求函數(shù)的值域；對(duì)三角函數(shù)的數(shù)量進(jìn)行變化可得變式4：求函數(shù)的值域；對(duì)兩個(gè)函數(shù)中一個(gè)函數(shù)的角的形式進(jìn)行變化可得：變式5：求函數(shù)的值域。對(duì)變式5中的進(jìn)行變化可得：變式6：求函數(shù)的值域?qū)瘮?shù)的運(yùn)算形式進(jìn)行變化可得：變式7：求函數(shù)的值域；又例如在算法教學(xué)中有關(guān)算法結(jié)構(gòu)和語(yǔ)句筆者也設(shè)計(jì)下列變式：例3.設(shè)計(jì)算法 變式1、 變式2、變式3、變式4、變式5、變式6、已知，當(dāng)時(shí)，求n的最大值。通過(guò)以上的變式，讓學(xué)生感悟出循環(huán)結(jié)構(gòu)就象遞推數(shù)列一樣尋找相鄰兩步和關(guān)系，理解了循環(huán)結(jié)構(gòu)的三要素是如何確定的。三多題一解，培養(yǎng)思維的深刻性。例4

6、. 在直線上求一點(diǎn)m，使它到、 的距離之和最小。分析：（1）首先判斷是在直線的同側(cè)還是異側(cè)。（2）若在同側(cè)，先求出（或）關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（），再求直線 ()所在的直線方程，與已知直線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)坐標(biāo)。（3）若在異側(cè)，只需求出所在直線的方程，與已知直線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)坐標(biāo)。解：令，,所以、在直線同側(cè)。設(shè)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則利用對(duì)稱(chēng)知識(shí)得： 所以 所以的方程為 y=3 由得所以 為所求的點(diǎn)。例5 光線從發(fā)出，射到軸上點(diǎn)，經(jīng)反射后射到圓c: 上，求光線經(jīng)過(guò)的最短距離。分析：求出點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，這個(gè)最短距離可轉(zhuǎn)化為到圓的最短距離。即減去圓的半徑。由的方程，可得點(diǎn)坐標(biāo)。例6 求 的最小值。分析：這道題

7、目用代數(shù)的方法來(lái)解決也比較困難。考慮到根號(hào)內(nèi)的部分非常接近兩點(diǎn)間的距離公式可如下整理、變形：看作點(diǎn)到點(diǎn) , 的距離之和最小問(wèn)題。由于點(diǎn) , 在 軸同側(cè)，可求關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，那么與之間的距離即為 的最小值。以上三道題目，所使用的方法是一樣的，就象同一個(gè)人穿了幾套不同的衣服，其本質(zhì)是考查用對(duì)稱(chēng)思想解題。通過(guò)多題一解的訓(xùn)練，領(lǐng)會(huì)同一數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法在不同題目背景下的不同體現(xiàn)，能夠加深對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的理解，促進(jìn)數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。四、一題多思，培養(yǎng)思維的敏銳性。在平時(shí)的習(xí)題教學(xué)中，一個(gè)好題拿到手之后，往往千方百計(jì)地想法把它解出來(lái)。一旦解出，喜悅之情頓上心頭。同時(shí)，往往有一種大功告成的感覺(jué)，將

8、解出的題目一放，又去找別的題目去解，爭(zhēng)取體會(huì)到下一次成功的喜悅。殊不知，這種做完一個(gè)好題就束之高閣的態(tài)度恰恰錯(cuò)過(guò)了提高的寶貴的機(jī)會(huì)，每做完一個(gè)好題后，你可曾想到，你得到了什么？你還應(yīng)做些什么，從而使你得到更多的東西？當(dāng)你做完一個(gè)題，尤其是你認(rèn)為的一個(gè)好題后，請(qǐng)你想一想下面的幾個(gè)問(wèn)題：1 還有其它的做法嗎？2 這些做法中哪個(gè)做法是本質(zhì)的，最好的，最簡(jiǎn)單的？3 利用這些做法，你能把這個(gè)題目變化一下嗎？變完后，并試著做一下。如果你認(rèn)為又是一個(gè)好題，就請(qǐng)你的同學(xué)做一下，4 從本質(zhì)的做法中，試著做一些推廣，這又能否得到一些好題。當(dāng)你做完以上的各項(xiàng)事情后，相信你一定會(huì)從一個(gè)題目中得到更多的東西?？梢哉f(shuō)，你

9、的能力已經(jīng)提高了一步。例7、如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)求證：直線；分析：學(xué)生易采用幾何法，取的中點(diǎn)，連接，證明即可。做后如果做以下幾個(gè)方面的思考，就會(huì)有意想不到的收獲。 思考1：這個(gè)問(wèn)題能否用向量知識(shí)解決，借助向量共面或坐標(biāo)法能達(dá)到目的嗎？ (可證明,或證明,其中是平面的法向量. 思考2：幾何法、向量法、坐標(biāo)法對(duì)于本題哪一種方法更簡(jiǎn)單？這幾種方法各在什么情況下采用？（幾何法適用于易于作輔助線的幾何題，但對(duì)空間想象力的要求較高；向量法適用于已知長(zhǎng)度和夾角，易選擇基底的情況；坐標(biāo)法適用于易建立空間直角坐標(biāo)系的情況，但計(jì)算量有時(shí)較大。） 思考3：通過(guò)本題你能總結(jié)出線面平行的常見(jiàn)證法嗎？ 思考4：若把條件改為，在上是否存在點(diǎn)，使？ 思考5：去掉條件“”，結(jié)論還成立嗎？為什么？思維發(fā)展心理學(xué)認(rèn)為，思維是在實(shí)踐活動(dòng)中發(fā)生和發(fā)展的。注重問(wèn)題引申的推廣的教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生由于被激發(fā)起好奇欲望、探索欲望的創(chuàng)造欲望，所以他們就積極地去探索、去研究，并且將所獲得的材料、信息在自己的大腦中進(jìn)行“分析和綜合、抽象和概括、歸納和類(lèi)比、實(shí)驗(yàn)和猜想、一般化和特殊化等一系列新的、高級(jí)的、復(fù)雜的思維操作”，而經(jīng)過(guò)這樣的一個(gè)過(guò)程，學(xué)生裝不僅創(chuàng)造出一個(gè)新穎、獨(dú)特的“產(chǎn)品”，