高中物理論文：柳暗花明又一法——圓的切線在物理解題中應(yīng)用

1、柳暗花明又一法圓的切線在物理解題中應(yīng)用一、 問(wèn)題提出高考第一輪第一章力復(fù)習(xí)時(shí)，我做到一個(gè)練習(xí)題，它費(fèi)了我好些時(shí)間思考后才找到解題思路，得以求解。題目是這樣的：一個(gè)重為g的物體被懸掛后，再對(duì)物體施加一個(gè)大小一定的作用力ffg，使物體在某一位置重新獲得平衡，如圖所示，若不計(jì)懸線質(zhì)量，求懸線與豎直方向的最大夾角?我通過(guò)對(duì)題意的分析明確以下幾點(diǎn)：力f大小已知，方向不確定，是一個(gè)變力；懸線與豎直方向夾角未知（即懸線拉力t方向未知）；物體受到的力g、t、f合力為零。從上述分析，無(wú)法應(yīng)用平行四邊形定則畫出力g、t、f構(gòu)成的平行四邊形或三角形。此時(shí)，我覺(jué)得：山窮水復(fù)疑無(wú)路。二、問(wèn)題探索過(guò)程我先畫出重力g和t、

2、f的合力g，如圖1所示，分析f的特點(diǎn)，以重心o為圓心，f的大小為半徑畫圓，此時(shí)，就有“柳暗花明又一村”的感覺(jué)。如圖2所示，連接g的端點(diǎn)e與圓上任意一點(diǎn)，與圓o相切于a，相交于b。可知，切線ae與豎直方向的夾角最大，設(shè)最大夾角為，得：，則。解出此題后，我思索著：數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)物理的基礎(chǔ)，應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法解物理題也是物理解題的基本方法之一，運(yùn)用數(shù)學(xué)圖形與物理矢量的之間關(guān)系，畫出相應(yīng)的圖象，可能會(huì)使物理題得以巧解。下面舉例說(shuō)明圓的切線在物理解題中應(yīng)用。三、問(wèn)題延伸1、應(yīng)用圓的切線求解最值問(wèn)題圓的切線與圓的位置關(guān)系是有且僅有一個(gè)交點(diǎn)。如果物理量的變化可以用圓描述或者物體的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，求相關(guān)的最值問(wèn)題，我們

3、可以考慮應(yīng)用圓的切線解題?！纠?】如圖所示，有一工廠車間需要在安全隔離板ab的下方安裝一個(gè)光滑斜槽，將ab上面的原料沿斜槽由靜止開(kāi)始送入水平地面上的加工入口c，欲使原料從送料口沿光滑的斜槽以最短的時(shí)間滑落到加工入口c，斜槽的安裝位置應(yīng)該：a 過(guò)c點(diǎn)作豎直線cd，沿cd方向安裝斜槽b 過(guò)c點(diǎn)向ab作垂線段ce，沿ce方向安裝斜槽c 考慮路程和速度因素，應(yīng)在cd和ce之間某一適當(dāng)位置安裝斜槽d 上述三種方法原料滑落到加工入口c點(diǎn)所用的時(shí)間相等解析：由題意可知，滑落到c點(diǎn)的時(shí)間，構(gòu)建一個(gè)等時(shí)圓o（圓上各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)時(shí)間相等），與水平地面相切于c點(diǎn)， 圓上的任意一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)的時(shí)間相等，若過(guò)b點(diǎn)作o的

4、切線ab與o相切于f，由圖可知，直線 ab上的其它任意點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c的時(shí)間都大于沿fc運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，而且f點(diǎn)在d、e之間，所以，可得出沿fc方向安裝斜槽，可以使原料以最短的時(shí)間落到加工入口c。故選c。2、應(yīng)用圓的切線求解矢量問(wèn)題 物理題目中涉及許多矢量問(wèn)題，這些物理量在題目中如果大小不變，方向改變。我們可以通過(guò)畫圓找出矢量的變化規(guī)律，作圓的切線找到正確的解題思路?！纠?】某人乘船橫渡一條河，船在靜水中的速度及水速一定，此人過(guò)河最短時(shí)間為t1，若船速小于水速，此船用最短的位移過(guò)河，則需時(shí)間t2，則船速與水速之比為 。解析：如圖1所示，設(shè)河岸寬為d，船在靜水中航行的速度為v1，當(dāng)船垂直于對(duì)岸方向航行時(shí)，

5、時(shí)間最短為t1，則，以水的速度v2的端點(diǎn)c為圓心，v1的大小為半徑畫圓，如圖2所示，過(guò)點(diǎn)o作圓的切線ob與圓相切于點(diǎn)d，可知，船沿ob方向航行位移最短。因?yàn)閛cdboa，則：整理得：所以，=【例3】如圖所示，ab是半徑為r的圓的一條直徑，該圓處于勻強(qiáng)電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)大小為e，方向一定，在圓周平面內(nèi)，將一帶正電q的小球從a點(diǎn)以相同的動(dòng)能拋出，拋出方向不同時(shí)，小球會(huì)經(jīng)過(guò)圓上不同的點(diǎn)，在這些所有的點(diǎn)中，到達(dá)c點(diǎn)時(shí)小球的動(dòng)能最大。已知cab30，若不計(jì)重力和空氣阻力，求電場(chǎng)方向與ac間的夾角為多大？ 解析：由于不計(jì)重力和空氣阻力，帶電小球自點(diǎn)拋出后，僅受電場(chǎng)力作用，則小球的動(dòng)能變化等于電場(chǎng)力做功，即ek=

6、w=uq 。要使到達(dá)c點(diǎn)動(dòng)能最大，電場(chǎng)力做正功且a、c兩點(diǎn)間的電勢(shì)差u最大。若過(guò)點(diǎn)c畫任意一條直線mn，且直線上各點(diǎn)的電勢(shì)相等，如圖1，那么只有當(dāng)直線mn與圓相切時(shí)，a、c兩點(diǎn)間的電勢(shì)差才最大。則過(guò)c點(diǎn)作該圓的切線pq，相切于點(diǎn)c，如圖所示，過(guò)a點(diǎn)作直線pq的垂線交pq于d，ad方向即為所求的電場(chǎng)方向。由幾何關(guān)系可知，cad=30，即夾角=30。 3、應(yīng)用圓的切線求解磁場(chǎng)問(wèn)題 帶電粒子（重力不計(jì)）垂直射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，它將在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，受到向心力的方向與速度方向垂直，而且速度方向是圓上該點(diǎn)的切線方向。如果畫出運(yùn)動(dòng)軌跡作出圓的切線，也許會(huì)使題目迎刃而解。【例4】一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂

7、直于xy平面，在xy平面上，磁場(chǎng)分布在以o為圓心的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)。一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，由原點(diǎn)o開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，初速度為v，方向沿x軸正方向。后來(lái)，粒子經(jīng)過(guò)y軸上的p點(diǎn)，此時(shí)速度方向與y軸的夾角為30，p到o的距離為l，如圖所示。不計(jì)重力的影響。求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度b的大小和xy平面上磁場(chǎng)區(qū)域的半徑r。解析：帶電粒子在磁場(chǎng)中受到洛侖茲力力作用做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)其半徑為，則圖1由于v沿x軸正方向，圓心必定在y軸上，設(shè)圓心為o1，則oo1=r。如圖1所示，以o1為圓心，r為半徑畫圓，可知粒子沿弧oa運(yùn)動(dòng)并從a點(diǎn)射出磁場(chǎng)，出磁場(chǎng)后沿直線ap作勻速直線運(yùn)動(dòng)，則ap與圓o1相切于點(diǎn)a，連接oa，oa即為圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑r。延長(zhǎng)pa交x軸于q。由圖中幾何關(guān)系得：l=3r，則，將代入，得由幾何關(guān)系可知，oq=r因?yàn)閜ao1poq，得所以，。四、問(wèn)題總結(jié)1、如果題目中出現(xiàn)某一矢量（如力f、速度v、電場(chǎng)強(qiáng)度e、磁感應(yīng)強(qiáng)度b等物理量）大小已知，方向不確定，則可以先確定圓心畫出一個(gè)矢量圓，然后結(jié)合矢量合成方法即平行四邊形定則或