有限元的發(fā)展歷史和趨勢

1、有限元的發(fā)展歷史和趨勢摘要1965年，“有限元”這個名詞第一次在我國出現(xiàn),到今天有限元在工程上得到廣泛應(yīng)用,經(jīng)歷了三十多年的發(fā)展歷史,理論和算法都已經(jīng)日趨完善。有限元法(finite element method,簡寫為fem)是求解微分方程的一種非常有效的數(shù)值計算方法,用這種方法進(jìn)行波動數(shù)值模擬受到越來越多的重視。有限元法起源于固體力學(xué),并逐步擴(kuò)展到熱傳導(dǎo)、計算流體力學(xué)、電磁學(xué)等不同領(lǐng)域,已經(jīng)成為數(shù)學(xué)物理中很重要的數(shù)值計算方法。關(guān)鍵詞 有限元 數(shù)值 發(fā)展 趨勢前言有限元方法在數(shù)值計算方法中具有極為重要的地位，有限元方法在應(yīng)用中不僅本身具有很大的潛力，而且，結(jié)合其它理論和方法還有廣闊的發(fā)展前景

2、。1 有限元的發(fā)展歷程有限元法的發(fā)展歷程可以分為提出(1943)、發(fā)展(1944一1960)和完善(1961-二十世紀(jì)九十年代)三個階段。有限元法是受內(nèi)外動力的綜合作用而產(chǎn)生的。1943年，柯朗發(fā)表的數(shù)學(xué)論文平衡和振動問題的變分解法和阿格瑞斯在工程學(xué)中取得的重大突破標(biāo)志著有限元法的誕生。有限元法早期(1944一1960)發(fā)展階段中，得出了有限元法的原始代數(shù)表達(dá)形式，開始了對單元劃分、單元類型選擇的研究，并且在解的收斂性研究上取得了很大突破。1960年，克勞夫第一次提出了“有限元法”這個名稱，標(biāo)志著有限元法早期發(fā)展階段的結(jié)束。有限元法完善階段(1961一二十世紀(jì)九十年代)的發(fā)展有國外和國內(nèi)兩條線

3、索。在國外的發(fā)展表現(xiàn)為: 第一，建立了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)和工程學(xué)基礎(chǔ);第二，應(yīng)用范圍擴(kuò)展到了結(jié)構(gòu)力學(xué)以外的領(lǐng)域;第三，收斂性得到了進(jìn)一步研究，形成了系統(tǒng)的誤差估計理論;第四，發(fā)展起了相應(yīng)的商業(yè)軟件包。在國內(nèi)，我國數(shù)學(xué)家馮康在特定的環(huán)境中獨立于西方提出了有限元法。1965年，他發(fā)表論文基于變分原理的差分格式，標(biāo)志著有限元法在我國的誕生。馮康的這篇文章不但提出了有限元法，而且初步發(fā)展了有限元法。他得出了有限元法在特定條件下的表達(dá)式，獨創(chuàng)了“馮氏大定理”并且初步證明了有限元法解的收斂性。雖然馮康創(chuàng)造的有限元法不成熟，但他能在當(dāng)時的條件下獨立提出有限元法已十分不易。對于他的這項成就，國內(nèi)外專家學(xué)者和國家領(lǐng)導(dǎo)人

4、都有很高的評價。2 有限元的基本思路及解題步驟2-1有限元法的基本思路有限元法的基本思路是將計算域劃分為有限個互不重疊的單元,在每個單元內(nèi),選擇一些合適的節(jié)點作為求解函數(shù)的插值點,將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式,借助于變分原理或加權(quán)余量法,將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式,便構(gòu)成不同的有限元方法。有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué),后來隨著計算機的發(fā)展逐漸用于流體力學(xué)的數(shù)值模擬。在有限元方法中,將計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元,在每個單元內(nèi)選擇基函數(shù),用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解,整個計算域上總體的基函

5、數(shù)可以看作是由每個單元基函數(shù)組成的,則整個計算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。2-2有限元法的解題步驟(1)劃分單元網(wǎng)格,并按照一定的規(guī)律對單元和結(jié)點編號。根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實際問題的物理特點,將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元劃分是采用有限元方法的前期準(zhǔn)備工作,這部分的工作量比較大,除了對計算單元和節(jié)點進(jìn)行編號并確定相互之間的關(guān)系之外,還要表示節(jié)點的位置坐標(biāo),同時還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點序號及相應(yīng)的邊界值。(2)選定直角坐標(biāo)系,按程序要求填寫和輸入有關(guān)信息。(3)使用已經(jīng)編好的程序進(jìn)行上機計算。計算程序中對輸入的各種信息進(jìn)行加工、運算。(4)對計算成果進(jìn)

6、行整理、分析,用表格或圖線示出所需的位移及應(yīng)力。在劃分單元時,單元的大小(即網(wǎng)格的疏密)要根據(jù)精度要求和計算機的速度及容量來確定。單元分得越小,計算結(jié)果越精確。所以,有限元法的核心是網(wǎng)格剖分與邊界條件的確定,然后是選用現(xiàn)代數(shù)學(xué)進(jìn)行運算求解,最后對求解結(jié)果進(jìn)行分析。對于許多具體情況,可使用一些建立起來的物理模型,從而可使問題簡單化。而真正在設(shè)計中,目前多使用cad一類的高級輔助軟件進(jìn)行分析、設(shè)計,以保證設(shè)計的正確性、準(zhǔn)確性及最優(yōu)化。3 有限元的發(fā)展趨勢隨著有限元技術(shù)應(yīng)用的不斷擴(kuò)大,其發(fā)展呈現(xiàn)如下特點:（1）單一場計算向多物理耦合場問題的求解發(fā)展有限元分析技術(shù)應(yīng)用在裝備產(chǎn)品的設(shè)計制造中,主要是求解

7、線性的結(jié)構(gòu)問題,但根據(jù)火電、風(fēng)電、核電等裝備產(chǎn)品的極端性、復(fù)雜性、多場性特點,結(jié)構(gòu)非線性,流體動力學(xué)和耦合場問題的應(yīng)用迫在眉睫,如汽輪機葉片、風(fēng)機槳葉的流體動力學(xué)問題、流固耦合問題,重型裝備產(chǎn)品熱加工過程的熱、結(jié)構(gòu)、電磁多場耦合的問題。隨著有限元技術(shù)的深層次應(yīng)用,需要解決的工程問題也越來越復(fù)雜,耦合場的計算求解必定成為有限元軟件開發(fā)的發(fā)展方向。（2）由求解線性問題發(fā)展到求解非線性問題 隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，線性理論已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足設(shè)計的要求，許多工程問題如材料的破壞與失效、裂紋擴(kuò)展等僅靠線性理論根本不能解決，必須進(jìn)行非線性分析求解，例如薄板成形就要求同時考慮結(jié)構(gòu)的大位移、大應(yīng)變（幾何非線性）和塑

8、性（材料非線性）；而對塑料、橡膠、陶瓷、混凝土及巖土等材料進(jìn)行分析或需考慮材料的塑性、蠕變效應(yīng)時則必須考慮材料非線性。眾所周知，非線性問題的求解是很復(fù)雜的，它不僅涉及到很多專門的數(shù)學(xué)問題，還必須掌握一定的理論知識和求解技 巧，學(xué)習(xí)起來也較為困難。為此國外一些公司花費了大量的人力和物力開發(fā)非線性求解分析軟件，如adina、abaqus等。它們的共同特點是具有高效的非線性求解器、豐富而實用的非線性材料庫，adina還同時具有隱式和顯式兩種時間積分方法。(3)與cad/cam等軟件的集成有限元分析軟件的一個發(fā)展趨勢是與通用計算機輔助工程軟件的集成使用,即數(shù)據(jù)信息在整個產(chǎn)品設(shè)計制造過程中的無縫多向流通

9、,實現(xiàn)新產(chǎn)品開發(fā)中三維設(shè)計、有限元分析優(yōu)化、數(shù)控加工等過程的快速響應(yīng),滿足工程師快捷地解決復(fù)雜工程問題的要求,提高設(shè)計水平和效率。(4)提高自動化的網(wǎng)格處理能力應(yīng)用有限元技術(shù)求解問題過程中,產(chǎn)品幾何模型離散后的有限元網(wǎng)格質(zhì)量直接影響著計算量的大小和分析結(jié)果的正確性。各軟件公司在網(wǎng)格處理方面的投入也在加大,劃分網(wǎng)格的效率和質(zhì)量都有所提高,但在實際工業(yè)生產(chǎn)中,尤其是專業(yè)領(lǐng)域復(fù)雜產(chǎn)品的分析中還存在問題,如網(wǎng)格劃分的自動化、網(wǎng)格質(zhì)量檢查的標(biāo)準(zhǔn)化。要想擺脫裝備產(chǎn)品分析中繁重的網(wǎng)格處理任務(wù),就必須突破自動六面體網(wǎng)格功能的技術(shù)瓶頸,實現(xiàn)可循環(huán)的網(wǎng)格自動優(yōu)化功能。(5)軟件面向?qū)I(yè)用戶的開放性有限元軟件應(yīng)用的

10、技術(shù)領(lǐng)域多,用戶需求各不相同,因此開放的軟件環(huán)境對用戶而言至關(guān)重要,用戶可根據(jù)企業(yè)產(chǎn)品的特點對軟件進(jìn)行二次開發(fā),實現(xiàn)單元屬性、材料參數(shù)、復(fù)雜邊界、疲勞壽命規(guī)律的自定義和產(chǎn)品專家系統(tǒng)的自開發(fā)。(6)軟件開發(fā)強強聯(lián)合根據(jù)有限元軟件在裝備行業(yè)的應(yīng)用情況,有限元軟件之間的強強聯(lián)合必將更加有效推進(jìn)有限元技術(shù)的應(yīng)用,隨著數(shù)值模擬軟件的商業(yè)化和軟件公司開發(fā)方向的專業(yè)化,各數(shù)值模擬軟件公司將會出現(xiàn)強強聯(lián)合的局面,以解決復(fù)雜裝備產(chǎn)品的設(shè)計制造難題。 結(jié)束語 本文闡述了有限元法的發(fā)展歷史，解題思路及發(fā)展趨勢，總結(jié)了有限元法的應(yīng)用現(xiàn)狀和廣闊的應(yīng)用前景。指出了有限元法與其他理論相結(jié)合是有限元法發(fā)展應(yīng)用的新途徑。隨著科技的發(fā)展與軟件的更新，有限元法將得到更廣泛的應(yīng)用。參考文獻(xiàn) 語境視角下的有限元法發(fā)展史作者：李昱君2008-06-01 摘要 有限元技術(shù)的發(fā)展及其在裝備制造業(yè)中的應(yīng)用作者：黃建民2010-