有限元的發(fā)展歷史和趨勢(shì)

1、有限元的發(fā)展歷史和趨勢(shì)摘要1965年，“有限元”這個(gè)名詞第一次在我國(guó)出現(xiàn),到今天有限元在工程上得到廣泛應(yīng)用,經(jīng)歷了三十多年的發(fā)展歷史,理論和算法都已經(jīng)日趨完善。有限元法(finite element method,簡(jiǎn)寫(xiě)為fem)是求解微分方程的一種非常有效的數(shù)值計(jì)算方法,用這種方法進(jìn)行波動(dòng)數(shù)值模擬受到越來(lái)越多的重視。有限元法起源于固體力學(xué),并逐步擴(kuò)展到熱傳導(dǎo)、計(jì)算流體力學(xué)、電磁學(xué)等不同領(lǐng)域,已經(jīng)成為數(shù)學(xué)物理中很重要的數(shù)值計(jì)算方法。關(guān)鍵詞 有限元 數(shù)值 發(fā)展 趨勢(shì)前言有限元方法在數(shù)值計(jì)算方法中具有極為重要的地位，有限元方法在應(yīng)用中不僅本身具有很大的潛力，而且，結(jié)合其它理論和方法還有廣闊的發(fā)展前景

2、。1 有限元的發(fā)展歷程有限元法的發(fā)展歷程可以分為提出(1943)、發(fā)展(1944一1960)和完善(1961-二十世紀(jì)九十年代)三個(gè)階段。有限元法是受內(nèi)外動(dòng)力的綜合作用而產(chǎn)生的。1943年，柯朗發(fā)表的數(shù)學(xué)論文平衡和振動(dòng)問(wèn)題的變分解法和阿格瑞斯在工程學(xué)中取得的重大突破標(biāo)志著有限元法的誕生。有限元法早期(1944一1960)發(fā)展階段中，得出了有限元法的原始代數(shù)表達(dá)形式，開(kāi)始了對(duì)單元?jiǎng)澐?、單元類型選擇的研究，并且在解的收斂性研究上取得了很大突破。1960年，克勞夫第一次提出了“有限元法”這個(gè)名稱，標(biāo)志著有限元法早期發(fā)展階段的結(jié)束。有限元法完善階段(1961一二十世紀(jì)九十年代)的發(fā)展有國(guó)外和國(guó)內(nèi)兩條線

3、索。在國(guó)外的發(fā)展表現(xiàn)為: 第一，建立了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)和工程學(xué)基礎(chǔ);第二，應(yīng)用范圍擴(kuò)展到了結(jié)構(gòu)力學(xué)以外的領(lǐng)域;第三，收斂性得到了進(jìn)一步研究，形成了系統(tǒng)的誤差估計(jì)理論;第四，發(fā)展起了相應(yīng)的商業(yè)軟件包。在國(guó)內(nèi)，我國(guó)數(shù)學(xué)家馮康在特定的環(huán)境中獨(dú)立于西方提出了有限元法。1965年，他發(fā)表論文基于變分原理的差分格式，標(biāo)志著有限元法在我國(guó)的誕生。馮康的這篇文章不但提出了有限元法，而且初步發(fā)展了有限元法。他得出了有限元法在特定條件下的表達(dá)式，獨(dú)創(chuàng)了“馮氏大定理”并且初步證明了有限元法解的收斂性。雖然馮康創(chuàng)造的有限元法不成熟，但他能在當(dāng)時(shí)的條件下獨(dú)立提出有限元法已十分不易。對(duì)于他的這項(xiàng)成就，國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者和國(guó)家領(lǐng)導(dǎo)人

4、都有很高的評(píng)價(jià)。2 有限元的基本思路及解題步驟2-1有限元法的基本思路有限元法的基本思路是將計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元,在每個(gè)單元內(nèi),選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn),將微分方程中的變量改寫(xiě)成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式,借助于變分原理或加權(quán)余量法,將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式,便構(gòu)成不同的有限元方法。有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué),后來(lái)隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展逐漸用于流體力學(xué)的數(shù)值模擬。在有限元方法中,將計(jì)算域離散剖分為有限個(gè)互不重疊且相互連接的單元,在每個(gè)單元內(nèi)選擇基函數(shù),用單元基函數(shù)的線形組合來(lái)逼近單元中的真解,整個(gè)計(jì)算域上總體的基函

5、數(shù)可以看作是由每個(gè)單元基函數(shù)組成的,則整個(gè)計(jì)算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。2-2有限元法的解題步驟(1)劃分單元網(wǎng)格,并按照一定的規(guī)律對(duì)單元和結(jié)點(diǎn)編號(hào)。根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問(wèn)題的物理特點(diǎn),將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元?jiǎng)澐质遣捎糜邢拊椒ǖ那捌跍?zhǔn)備工作,這部分的工作量比較大,除了對(duì)計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)并確定相互之間的關(guān)系之外,還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo),同時(shí)還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號(hào)及相應(yīng)的邊界值。(2)選定直角坐標(biāo)系,按程序要求填寫(xiě)和輸入有關(guān)信息。(3)使用已經(jīng)編好的程序進(jìn)行上機(jī)計(jì)算。計(jì)算程序中對(duì)輸入的各種信息進(jìn)行加工、運(yùn)算。(4)對(duì)計(jì)算成果進(jìn)

6、行整理、分析,用表格或圖線示出所需的位移及應(yīng)力。在劃分單元時(shí),單元的大小(即網(wǎng)格的疏密)要根據(jù)精度要求和計(jì)算機(jī)的速度及容量來(lái)確定。單元分得越小,計(jì)算結(jié)果越精確。所以,有限元法的核心是網(wǎng)格剖分與邊界條件的確定,然后是選用現(xiàn)代數(shù)學(xué)進(jìn)行運(yùn)算求解,最后對(duì)求解結(jié)果進(jìn)行分析。對(duì)于許多具體情況,可使用一些建立起來(lái)的物理模型,從而可使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。而真正在設(shè)計(jì)中,目前多使用cad一類的高級(jí)輔助軟件進(jìn)行分析、設(shè)計(jì),以保證設(shè)計(jì)的正確性、準(zhǔn)確性及最優(yōu)化。3 有限元的發(fā)展趨勢(shì)隨著有限元技術(shù)應(yīng)用的不斷擴(kuò)大,其發(fā)展呈現(xiàn)如下特點(diǎn):（1）單一場(chǎng)計(jì)算向多物理耦合場(chǎng)問(wèn)題的求解發(fā)展有限元分析技術(shù)應(yīng)用在裝備產(chǎn)品的設(shè)計(jì)制造中,主要是求解

7、線性的結(jié)構(gòu)問(wèn)題,但根據(jù)火電、風(fēng)電、核電等裝備產(chǎn)品的極端性、復(fù)雜性、多場(chǎng)性特點(diǎn),結(jié)構(gòu)非線性,流體動(dòng)力學(xué)和耦合場(chǎng)問(wèn)題的應(yīng)用迫在眉睫,如汽輪機(jī)葉片、風(fēng)機(jī)槳葉的流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題、流固耦合問(wèn)題,重型裝備產(chǎn)品熱加工過(guò)程的熱、結(jié)構(gòu)、電磁多場(chǎng)耦合的問(wèn)題。隨著有限元技術(shù)的深層次應(yīng)用,需要解決的工程問(wèn)題也越來(lái)越復(fù)雜,耦合場(chǎng)的計(jì)算求解必定成為有限元軟件開(kāi)發(fā)的發(fā)展方向。（2）由求解線性問(wèn)題發(fā)展到求解非線性問(wèn)題 隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，線性理論已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足設(shè)計(jì)的要求，許多工程問(wèn)題如材料的破壞與失效、裂紋擴(kuò)展等僅靠線性理論根本不能解決，必須進(jìn)行非線性分析求解，例如薄板成形就要求同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)的大位移、大應(yīng)變（幾何非線性）和塑

8、性（材料非線性）；而對(duì)塑料、橡膠、陶瓷、混凝土及巖土等材料進(jìn)行分析或需考慮材料的塑性、蠕變效應(yīng)時(shí)則必須考慮材料非線性。眾所周知，非線性問(wèn)題的求解是很復(fù)雜的，它不僅涉及到很多專門(mén)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，還必須掌握一定的理論知識(shí)和求解技 巧，學(xué)習(xí)起來(lái)也較為困難。為此國(guó)外一些公司花費(fèi)了大量的人力和物力開(kāi)發(fā)非線性求解分析軟件，如adina、abaqus等。它們的共同特點(diǎn)是具有高效的非線性求解器、豐富而實(shí)用的非線性材料庫(kù)，adina還同時(shí)具有隱式和顯式兩種時(shí)間積分方法。(3)與cad/cam等軟件的集成有限元分析軟件的一個(gè)發(fā)展趨勢(shì)是與通用計(jì)算機(jī)輔助工程軟件的集成使用,即數(shù)據(jù)信息在整個(gè)產(chǎn)品設(shè)計(jì)制造過(guò)程中的無(wú)縫多向流通

9、,實(shí)現(xiàn)新產(chǎn)品開(kāi)發(fā)中三維設(shè)計(jì)、有限元分析優(yōu)化、數(shù)控加工等過(guò)程的快速響應(yīng),滿足工程師快捷地解決復(fù)雜工程問(wèn)題的要求,提高設(shè)計(jì)水平和效率。(4)提高自動(dòng)化的網(wǎng)格處理能力應(yīng)用有限元技術(shù)求解問(wèn)題過(guò)程中,產(chǎn)品幾何模型離散后的有限元網(wǎng)格質(zhì)量直接影響著計(jì)算量的大小和分析結(jié)果的正確性。各軟件公司在網(wǎng)格處理方面的投入也在加大,劃分網(wǎng)格的效率和質(zhì)量都有所提高,但在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中,尤其是專業(yè)領(lǐng)域復(fù)雜產(chǎn)品的分析中還存在問(wèn)題,如網(wǎng)格劃分的自動(dòng)化、網(wǎng)格質(zhì)量檢查的標(biāo)準(zhǔn)化。要想擺脫裝備產(chǎn)品分析中繁重的網(wǎng)格處理任務(wù),就必須突破自動(dòng)六面體網(wǎng)格功能的技術(shù)瓶頸,實(shí)現(xiàn)可循環(huán)的網(wǎng)格自動(dòng)優(yōu)化功能。(5)軟件面向?qū)I(yè)用戶的開(kāi)放性有限元軟件應(yīng)用的

10、技術(shù)領(lǐng)域多,用戶需求各不相同,因此開(kāi)放的軟件環(huán)境對(duì)用戶而言至關(guān)重要,用戶可根據(jù)企業(yè)產(chǎn)品的特點(diǎn)對(duì)軟件進(jìn)行二次開(kāi)發(fā),實(shí)現(xiàn)單元屬性、材料參數(shù)、復(fù)雜邊界、疲勞壽命規(guī)律的自定義和產(chǎn)品專家系統(tǒng)的自開(kāi)發(fā)。(6)軟件開(kāi)發(fā)強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)合根據(jù)有限元軟件在裝備行業(yè)的應(yīng)用情況,有限元軟件之間的強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)合必將更加有效推進(jìn)有限元技術(shù)的應(yīng)用,隨著數(shù)值模擬軟件的商業(yè)化和軟件公司開(kāi)發(fā)方向的專業(yè)化,各數(shù)值模擬軟件公司將會(huì)出現(xiàn)強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)合的局面,以解決復(fù)雜裝備產(chǎn)品的設(shè)計(jì)制造難題。 結(jié)束語(yǔ) 本文闡述了有限元法的發(fā)展歷史，解題思路及發(fā)展趨勢(shì)，總結(jié)了有限元法的應(yīng)用現(xiàn)狀和廣闊的應(yīng)用前景。指出了有限元法與其他理論相結(jié)合是有限元法發(fā)展應(yīng)用的新途徑。隨著科技的發(fā)展與軟件的更新，有限元法將得到更廣泛的應(yīng)用。參考文獻(xiàn) 語(yǔ)境視角下的有限元法發(fā)展史作者：李昱君2008-06-01 摘要 有限元技術(shù)的發(fā)展及其在裝備制造業(yè)中的應(yīng)用作者：黃建民2010-