歷屆全國大學生數(shù)學競賽預(yù)賽試卷

1、全國大學生數(shù)學競賽預(yù)賽試卷(非數(shù)學類) 2009年第一屆全國大學生數(shù)學競賽預(yù)賽試卷(非數(shù)學類) 、填空題(每小題 5分，共20 分) (x y)ln(1 -) 1計算 Dxdy ,其中區(qū)域D由直線x y 1與兩坐標軸所 D / x y 圍成三角形區(qū)域 n 0 2設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且滿足 2 x 2 3曲面z 2 y 2平行平面 f(x) 3x2 2x 2y 2 o f(x)dx 2，則 f(x) 0的切平面方程是 4 設(shè)函數(shù) dx2 y(x)由方程 xef(y) eyln 29確定，其中f具有二階導數(shù)，且 1，則 x e 二、(5分)求極限lim ( x 0 e2x nx e )，其中n是

2、給定的正整數(shù). 1 三、(15分)設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，g(x) 0 討論g (x)在x 0處的連續(xù)性 四、(15分)已知平面區(qū)域 D (x, y)|0 (xt)dt , X K /V X f 叫 I K x ,0 y , A，A為常數(shù)，求g (x)并 L為D的正向邊界，試證： (1) a xesinydy ye sin x dx s xe in y | dy L L (2) 0 xesinydy ye sin y dx 5 2 L 2 五、(10分) 已知yi xe x2x e ,y2 x xe 線性非齊次微分方程的三個解，試求此微分方程 sin x * ye dx; e x , y3xex

3、e2x e x是某二階常系數(shù) x 1時，y 0,又已知該拋物 六、(10分)設(shè)拋物線y ax2 bx 2lnc過原點當 0 1 線與x軸及直線x 1所圍圖形的面積為- 試確定a, b, c，使此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的 3 旋轉(zhuǎn)體的體積V最小. e 七、(15分)已知Un(x)滿足Un(x) Un(x) xn 1ex n 1,2,L，且Un (1)，求函數(shù)項級數(shù) n un(x)之和 n 1 2 八、(10分)求x 1時，與 xn等價的無窮大量 2010年 第二屆全國大學生數(shù)學競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學類） 、（25 分, 每小題5分） (1) 設(shè)Xn (1 a)(1 22n a2)L (1 a2 )

4、，其中 |a| 1,求im (2) 求lim X X2 (3) sx n 0 e x dx(n 1,2,L ). 設(shè)函數(shù) f （t）有二階連續(xù)導數(shù), x2 y2, g(x,y) ，求 2 g 2 X 2 g 2 y (5) 求直線 X I1: z y 0與直線 0 二、（15 分） 設(shè)函數(shù) f(x)在( ）上具有二階導數(shù)，并且f （X） lim X f (x)0， lim f (x) X 0，且存在一點 Xo，使得 f (Xo) 0.證明：方程f（x） ）恰有兩個 實根. 三、（15分）設(shè)函數(shù)y f （x）由參數(shù)方程 2t t2(t (t) 1）所確定，且 d2y dx2 3 4(1 t)，

5、其中（t）具有二階導數(shù)，曲線y （t）與y e u du 在t 2e 1出相切，求函數(shù)（t）. 四、（15分） n 設(shè)an 0, n 1 4 (2 )當 1且片 （n ）時，級數(shù) 發(fā)散 Sn 五、（15分） 設(shè)I是過原點、方向為 (,),(其中 22 2 1）的直線，均勻橢球 22 x y_ 2,2 a b 2 勺 1 (其中0 c b c a，密度為1 ）繞I旋轉(zhuǎn). （1 ）求其轉(zhuǎn)動慣量; （2 ）求其轉(zhuǎn)動慣量關(guān)于方向 ,）的最大值和最小值 六、（15分）設(shè)函數(shù)（x）具有連續(xù)的導數(shù)，在圍繞原點的任意光滑的簡單閉曲線C上，曲線 積分?2xyd4孑曲o的值為常數(shù). ? x y （1 ）設(shè)L為正向

6、閉曲線（x 2）2 y2 1，證明?一華型0 ； Lx y （2）求函數(shù) （X）； （3）設(shè)C是圍繞原點的光滑簡單正向閉曲線，求 2xydx 2 (x)dy 2 y 2011年第三屆全國大學生數(shù)學競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學類） 、計算下列各題（本題共 3小題，每小題各5分，共15 分） 1 sin x 1 cosx ； ； x (2) 求 lim n 2t2 （3）已知 X In 1 e 求 d y t ，求 T y t arcta nedx 、（本題10分）求方程 2x y 4 dx x y 1 dy 0的通解. 、（本題15分）設(shè)函數(shù)f（x）在x 0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導數(shù)，且f 0 ,f 0

7、 ,f 0 均不為0，證明：存在唯組實數(shù) k, k2, k3，使得 k1f hk2f 2h k3f 3h f 0 lim20. h 0h2 2 2 2 四、（本題17分）設(shè)1:x2爲z21，其中a b c 0，2: z2x2y2， 為1與2 a b c 的交線，求橢球面!在 上各點的切平面到原點距離的最大值和最小值 五、（本題16分）已知S是空間曲線 x2 3y2 z 0 1 繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的橢球面的上半部分 （取上側(cè)），是S在P（x,y,z）點處的切平面，（x,y,z）是原點到切平面的距離，表 示S的正法向的方向余弦.計算： （1）z一 dS ；（ 2） z x 3 y z dS S x,

8、y, zS 六、（本題12分）設(shè)f （x）是在（，）內(nèi)的可微函數(shù)，且 f （x） mf（x），其中0 m 1， (anan 1)絕對收斂. n 1 任取實數(shù)a，定義an ln f （an 1）,n 1,2,.，證明: 七、（本題15分）是否存在區(qū)間 0,2上的連續(xù)可微函數(shù) f（x），滿足f（0）f（2） 1 ,| f （x） 1， 2 0 f (x)dx 1?請說明理由. 2012年 第四屆全國大學生數(shù)學競賽預(yù)賽試卷(非數(shù)學類) 、(本大題共5小題，每小題6分，共30分)解答下列各題(要求寫出重要步驟) 1 (1)求極限 lim( n!). (2)求通過直線 l: 2x y 3z 2 5x 5

9、y 4z 3 0的兩個互相垂直的平面 0 1和2，使其中一個平面過 點(4, 3,1). (3)已知函數(shù)z u(x, y)eax by，且 x y 0 .確定常數(shù)a和b， 使函數(shù)z z(x , y)滿足方程 2 zzzc z 0. x yxy (4)設(shè)函數(shù)u u(x)連續(xù)可微, u(2) 1， 且 L (x 2y)udx (x )udy在右半平 產(chǎn)面與路徑無 關(guān)，求 u(x,y). (5)求極限lim 3 x x 1 sint fcosfdt. 四、 00 (本題 (本題 (本題 10分)計算0 e2x sin x dx . 10分)求方程x2sin1 x 12分)設(shè)函數(shù) y 2x 501的近

10、似解，精確到 0.001. f (x)二階可導，且f(X)0， f (0)0， f (0)0，求 3 X f(u3 ，其中u是曲線y f (x)sin u f(x)上點P(x, f(x)處的切線在 x軸上的截距. 五、(本題12分)求最小實數(shù)C，使得滿足 1 0 f(x) dx 1的連續(xù)函數(shù)f(x)都有 0 f ( x)dx C . 六、(本題12分)設(shè)f (x)為連續(xù)函數(shù)，t 0 .區(qū)域 是由拋物面 zx2 2 y和球面 x2 y2 z2 t2 (z 0)所圍起來的部分.定義三重積分 F(t) f(x2 y2 z2)dv， 求F(t)的導數(shù)F (t). 七、(本題14分)設(shè) an與 bn為正

11、項級數(shù)，證明: n 1n 1 (1 )若lnm 邑 0,則級數(shù) an收斂； nan 11 bn 1n 收斂 (2)若 lim n 卻 L 0 ,且級數(shù) bn發(fā)散，則級數(shù)an發(fā)散. an 10 bn 1n 1 2013 年 第五屆全國大學生數(shù)學競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學類） 一、解答下列各題（每小題6分，共24分，要求寫出重要步驟） n 1.求極限 lim 1 sin ,1 4n* 七、（滿分14分）判斷級數(shù) . n 2.證明廣義積分0 dx不是絕對收斂的. 3.設(shè)函數(shù) y y(x)由 x3 3x2y 3 2y 2確定，求y（x）的極值. 4.過曲線 y Vx(x 0)上的點 A作切線，使該切線與曲線

12、及 x軸所圍成的平面圖形的面積為 3，求點 4 A的坐標. 二、（滿分12分）計算定積分 xsinx arctane 2 dx. 1 cos x 三、（滿分12分）設(shè)f x 0處存在二階導數(shù) f （0），且 f x lim x 0 x 0.證明：級數(shù) 四、（滿分12分）設(shè)f（x） ,f (x) m 0(a x b)，證明 b sin a f (x)dx 五、（滿分14分）設(shè) Ix3 x dydz 2y3 是一個光滑封閉曲面，方向朝外.給定第二型的曲面積分 I的值最小， dzdx 3z3 z dxdy .試確定曲面，使積分 并求 該最小值. 六、（滿分14分）設(shè)la（r） ydx xdy C(x

13、2 ，其中a為常數(shù)，曲線C為橢圓 2 2 x xy y 取正向.求極限lim I a（r）. r 1 n的斂散性，若收斂，求其和 2014年 第六屆全國大學生數(shù)學競賽預(yù)賽試卷(非數(shù)學類) 一、填空題(共有 5小題，每題6分，共30分) 1.已知yi ex和 xex是齊次二階常系數(shù)線性微分方程的解，則該方程是 2.設(shè)有曲面 S:z x2 2y2和平面L : 2x 2y z 0 則與L平行的S的切平面方程 3.設(shè)函數(shù)y y(x)由方程x Wdt所確定求簽 k i (k 1)! ，則 lim n xn 1 5.已知lim 1 x 3 %e3，則lim衛(wèi)學 x 0 xx 0 x 、(本題12分)設(shè)n為

14、正整數(shù)，計算丨二存皿吩dx. (本題14分)設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上有二階導數(shù)，且有正常數(shù)A,B使得f(x) A， B | f (x)| B.證明：對任意 x 0,1，有 |f(x)| 2A . 四、(本題14分)(1)設(shè)一球缺高為h，所在球半徑為 R.證明該球缺體積為(3R h)h2， 3 球冠面積為2 Rh ； (2)設(shè)球體(x 1)2(y 1)2(z 1)212被平面P : x y z 6所 截的小球缺為，記球缺上的球冠為，方向指向球外，求第二型曲面積分 I xdydz ydzdx zdxdy. 五、(本題15分)設(shè)f在a,b上非負連續(xù)，嚴格 單增，且存在xn a,b，使得 f f (x

15、)ndx.求 lim xn. an 柞，求nim An 六、(本題15分)設(shè)An , 2 L n 1 n 2 2015年 第七屆全國大學生數(shù)學競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學類） 、填空題（每小題 6分，共5小題，滿分30 分） sin /1）赤極K限一n 2 sin n L sin 2 1 2 2 n n n 2 n n （2）設(shè)函數(shù) z z x,y 由方程F x , y -0所決定，其中F u,v具有連續(xù)偏導 y x 攵，且xFu yFv 0則 zz xy - xy （3）曲面z 2 x 2 y 1在點M 1, 1,3的切平面與曲面所圍區(qū)域的體積是. （4）函數(shù)f x 3,x 5,0卄 在 5,5的傅

16、立葉級數(shù)在 x 0收斂的是 0,x0,5 2 （5）設(shè)區(qū)間 0, 上的函數(shù)u x定義域為U Xe dt，則u x的初等函數(shù)表達 0 式是. 二、（12分）設(shè)M是以三個正半軸為母線的半圓錐面，求其方程 三、（12分）設(shè)f x在a,b內(nèi)二次可導，且存在常數(shù),，使得對于x a,b，有 f x f x f x，貝y f x在a,b內(nèi)無窮次可導 四、（14分）求幕級數(shù)-一2 x 1 n的收斂域及其和函數(shù) n 0 n 1 ! 11 五、（16分）設(shè)函數(shù)f x在0,1上連續(xù)，且f x dx 0, xf x dx 1 .試證: 00 （1） X00,1 使 f X04 ； （2） x10,1 使 f %4.

17、五、（16分）設(shè)f x, y在x2 y2 1上有連續(xù)的二階偏導數(shù)，且f； 2fxy fyy M .若 f 0,00, fx 0,0 fy 0,0 0,證明： x2 y2 1 x, y dxdy .M 4 2016年 第八屆全國大學生數(shù)學競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學類） 、填空題 （每小題 5分，滿分30分） 1、 在點x a可導，且 fa 0，則 lim n n 1 a - n :a 2、 0， f 1存在, 求極限I f sin2x cosx tan3x lim x 0 x2 e 1 sinx 有連續(xù)導數(shù)，且 z，求f x在x 0的表達 4、設(shè)f x e sin2x，求 0 an 5、求曲面 2 z

18、 y2平行于平面 2 2x 2y 的切平面方程 二、（14分）設(shè)f x在0,1上可導，f 0 0，且當x 0,1 x 1，試證當 a 0,1 , a2 f x dx 0 a 3 f x dx . 0 、（14 分）某物體所在的空間區(qū)域為 :x2 y2 2z2 x 2z ,密度函數(shù)為x2 求質(zhì)量M z2 dxdydz. 四、（14分） 設(shè)函數(shù) x在閉區(qū)間 0,1上具有連續(xù)導數(shù), 證明：lim n n dx 五、（14分）設(shè)函數(shù)f x在閉區(qū)間 0,1 1 上連續(xù)，且I 0 f x dx 0，證明：在 0,1內(nèi)存 1 在不同的兩點X1,X2，使得1 六、（14分）設(shè)f x在 可導，且f x f x 2 f x 3 .用Fourier級數(shù)理 論證明f x為常數(shù). 2017年 第九屆全國大學生數(shù)學競賽預(yù)賽試卷(非數(shù)學類) 1.已知可導函數(shù) 刃滿足 cosxf(x) 2 f(t)sintdt x