華南理工大學(xué)信號與系統(tǒng)課件第4章

1、第第4章章 連續(xù)時間傅立葉變換連續(xù)時間傅立葉變換 the continuous-time fourier transform 本本章的主要內(nèi)容章的主要內(nèi)容: : 1.連續(xù)時間傅立葉變換連續(xù)時間傅立葉變換; 2.傅立葉級數(shù)與傅立葉變換之間傅立葉級數(shù)與傅立葉變換之間 的關(guān)系的關(guān)系; 3.傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì); 4.系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及系統(tǒng)的頻域系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及系統(tǒng)的頻域 分析；分析； 在工程應(yīng)用中有相當(dāng)廣泛的信號是在工程應(yīng)用中有相當(dāng)廣泛的信號是 非周期信號，對非周期信號應(yīng)該如何非周期信號，對非周期信號應(yīng)該如何 進(jìn)行分解，什么是非周期信號的頻譜進(jìn)行分解，什么是非周期信號的頻譜 表示，就是這一

2、章要解決的問題。表示，就是這一章要解決的問題。 4.0 引言引言 introduction 在時域可以看到，如果一個周期信號的在時域可以看到，如果一個周期信號的 周期趨于無窮大，則周期信號將演變成一周期趨于無窮大，則周期信號將演變成一 個非周期信號；反過來，任何非周期信號個非周期信號；反過來，任何非周期信號 如果進(jìn)行周期性延拓，就一定能形成一個如果進(jìn)行周期性延拓，就一定能形成一個 周期信號。我們把周期信號。我們把非周期信號看成是周期非周期信號看成是周期 信號在周期趨于無窮大時的極限信號在周期趨于無窮大時的極限，從而考，從而考 查連續(xù)時間傅立葉級數(shù)在查連續(xù)時間傅立葉級數(shù)在 t趨于無窮大時趨于無窮

3、大時 的變化，就應(yīng)該能夠得到對非周期信號的的變化，就應(yīng)該能夠得到對非周期信號的 頻域表示方法。頻域表示方法。 4.1 非周期信號的表示非周期信號的表示連續(xù)時間傅連續(xù)時間傅 立葉變換立葉變換 representation of aperiodic signals: the continuous- time fourier transform 一一. .從傅立葉級數(shù)到傅立葉變換從傅立葉級數(shù)到傅立葉變換 已求得周期對稱矩形脈沖的傅立葉級數(shù)系數(shù)：已求得周期對稱矩形脈沖的傅立葉級數(shù)系數(shù)： 考察周期性矩形脈沖的頻譜圖：考察周期性矩形脈沖的頻譜圖： 當(dāng)當(dāng) 時，譜線間隔時，譜線間隔 變小，譜線變小，譜線 越來

4、越密；越來越密； 當(dāng)當(dāng) 時，周期方波轉(zhuǎn)化為非周期的時，周期方波轉(zhuǎn)化為非周期的 單脈沖信號，相應(yīng)地，信號頻譜由離單脈沖信號，相應(yīng)地，信號頻譜由離 散譜變成連續(xù)譜。散譜變成連續(xù)譜。 非周期信號非周期信號 是周期信號是周期信號 的一個周期，的一個周期， 考察考察 的傅立葉級數(shù)：的傅立葉級數(shù)： k tjk k eatx 0 )( 定義定義 的包絡(luò)為的包絡(luò)為 連續(xù)時間傅立葉變換連續(xù)時間傅立葉變換 系數(shù)系數(shù) 當(dāng)當(dāng) 時，時， 趨近于趨近于 ； 當(dāng)當(dāng) 時，時， ， 過渡為一個過渡為一個 積分式。積分式。 此式表明，非周期信號可以分解成無數(shù)多此式表明，非周期信號可以分解成無數(shù)多 個頻率連續(xù)分布、振幅為個頻率連續(xù)

5、分布、振幅為 的復(fù)的復(fù) 指數(shù)信號之和。指數(shù)信號之和。 稱為稱為 的的頻譜頻譜。 1 () 2 xjd ()x j 1 ( )() 2 j t x tx jed 傅立葉反變換傅立葉反變換 即，即， 周期信號的頻譜是對應(yīng)的周期信號的頻譜是對應(yīng)的 非周期信號非周期信號頻譜的樣本頻譜的樣本；而非；而非 周期信號的頻譜是對應(yīng)的周期周期信號的頻譜是對應(yīng)的周期 信號信號頻譜的包絡(luò)。頻譜的包絡(luò)。 定義：定義：設(shè)有非周期連續(xù)時間信號x(t) dtetxjx tj )()( dejxtx tj )( 2 1 )( )()( . jxtx tf 既然傅立葉變換的引出是從周期信既然傅立葉變換的引出是從周期信 號的傅立

6、葉級數(shù)表示，討論周期趨號的傅立葉級數(shù)表示，討論周期趨 于無窮大時的極限得來的，傅立葉于無窮大時的極限得來的，傅立葉 變換的收斂問題就應(yīng)該和傅立葉級變換的收斂問題就應(yīng)該和傅立葉級 數(shù)的收斂相一致。數(shù)的收斂相一致。 二二. 傅立葉變換的收斂傅立葉變換的收斂 1. 若若 即所有能量有限的信號即所有能量有限的信號 其傅立葉變換一定存在。其傅立葉變換一定存在。 2 ( )x tdt 則則 存在。存在。 ()x j 相應(yīng)的兩組條件：相應(yīng)的兩組條件： 2. dirichlet 條件條件 ( )x t dt a. 絕對可積條件絕對可積條件 b. 在任何有限區(qū)間內(nèi)，在任何有限區(qū)間內(nèi)， 只有只有 有限個極值點有限

7、個極值點, ,且極值有限。且極值有限。 ( )x t c. 在任何有限區(qū)間內(nèi)，在任何有限區(qū)間內(nèi)， 只有有只有有 限個第一類間斷點。限個第一類間斷點。 ( )x t 三三. .常用信號的傅立葉變換：常用信號的傅立葉變換： 1.( )( ),0 at x teu ta 0 1 () atj t x jeedt aj 22 1 ()x j a ( )x t t 0 1 aa 0 1/ a ()xj 2 2a 2.( ),0 a t x tea 結(jié)論：結(jié)論：實偶信號的傅立實偶信號的傅立 葉變換是實偶函數(shù)。葉變換是實偶函數(shù)。此此 時可以用一幅圖表示信時可以用一幅圖表示信 號的頻譜。號的頻譜。 對此例有對

8、此例有 ()()x jx j ()x j 2 a 1 a aa ()xt t 1 0 0 0 22 () 112 atj tatj t x je edteedt a ajaja 3.( )( )x tt ()( )1 jt xjt edt 這表明這表明 中包括了所有的頻率成分，且中包括了所有的頻率成分，且 所有頻率分量的幅度、相位都相同。因此，所有頻率分量的幅度、相位都相同。因此， 系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) 才能完全描述一個才能完全描述一個 lti系統(tǒng)的特性，系統(tǒng)的特性， 才在信號與系統(tǒng)分析才在信號與系統(tǒng)分析 中具有如此重要的意義。中具有如此重要的意義。 0 ( ) t t ( )

9、 t ( )h t ( ) t ()x j 0 1 4. 矩形脈沖矩形脈沖: : ( )x t 1, 1 tt 0, 1 tt ( )x t t 1 t 1 t 1 1 0 0 ()x j 0 0 1 t 1 2t ( )x t t 1 t 1 t 1 1 0 0 ( )x t t 1 2t 1 2t 1 1 0 0 ()x j 0 0 1 t 1 2t 1 2 t ()xj 1 4t 0 0 不同脈沖寬度對頻譜的影響不同脈沖寬度對頻譜的影響 5. ( (稱為稱為理想低理想低 通濾波器通濾波器) ) 與矩形脈沖情況對比，可以發(fā)現(xiàn)與矩形脈沖情況對比，可以發(fā)現(xiàn)信號在時信號在時 域和頻域之間存在一種

10、對偶關(guān)系。域和頻域之間存在一種對偶關(guān)系。 ()xj ww 1 1 0 0 ( )x t t (/)w 0 0 w w w jx 0 1 )( 對偶關(guān)系可表示如下對偶關(guān)系可表示如下: ( )x t t 1 t 1 t 1 1 0 0 ()x j ww 1 1 0 0 ()x j 0 0 1 t 1 2t ( )x t t (/ )w 0 0 w 6. 單位沖激函數(shù)的傅立葉逆變換單位沖激函數(shù)的傅立葉逆變換 對于對于5. 我們可以想到，如果我們可以想到，如果 ，則，則 將趨于一個沖激。將趨于一個沖激。 w ( )x t 因為因為 所以所以( )12( ) f x t 4.2 連續(xù)時間連續(xù)時間ft的性

11、質(zhì)的性質(zhì) 討論傅立葉變換的性質(zhì)，旨在討論傅立葉變換的性質(zhì)，旨在 通過這些性質(zhì)揭示信號時域特性通過這些性質(zhì)揭示信號時域特性 與頻域特性之間的關(guān)系，同時掌與頻域特性之間的關(guān)系，同時掌 握和運用這些性質(zhì)可以簡化傅立握和運用這些性質(zhì)可以簡化傅立 葉變換對的求取。葉變換對的求取。 properties of the continuous-time fourier transform 1. 線性線性: linearity 則則 若若 2. 時移時移: time shifting 則則 這表明信號的時移只影響它的相頻特性，這表明信號的時移只影響它的相頻特性， 其相頻特性會增加一個線性相移。其相頻特性會增加一

12、個線性相移。 若若 3. 頻移頻移: frequency shifting 若若 則則)()( 0 0 jxetx tj )()(jxtx )()(jxtx )()( 0 0 jxettx tj 4. 共軛對稱性共軛對稱性: conjugate and symmetry 若若 )()(cos)( 000 2 1 jxjxttxf 則則 )()( )()(2 2 1 00 000 tcosf )()(jxtx )()(jxtx 由由()( ) j t x jx t edt * ()( ) jt xjxt edt 所以所以 * ()( ) jt xjxt edt 即即 若若 是實信號，則是實信號，

13、則 ( )x t * ( )( )x tx t 于是有于是有: * ()()x jxj 可得可得 若若 則可得則可得 re()re()x jxj 即即實部是實部是 偶函數(shù)偶函數(shù) 虛部是虛部是 奇函數(shù)奇函數(shù) 若若 則可得出則可得出 ()()x jxj 即：即：模是偶函數(shù)，相位是奇函數(shù)模是偶函數(shù)，相位是奇函數(shù) ()re()im()x jx jjx j im ()im ()x jxj 如果如果( )()x txt 即信號是偶函數(shù)。則即信號是偶函數(shù)。則 ()( ) jt xjx t edt ()( )() j tj xt edtxedtxj 表明：表明： 實偶信號的傅立葉變換是偶函數(shù)。實偶信號的傅立葉

14、變換是偶函數(shù)。 * ()()xjxj所以所以 * ()()x jxj 表明表明 是實函數(shù)。是實函數(shù)。 ()x j 又因為又因為 ()()x jxj 即即 是奇函數(shù)是奇函數(shù) ()xj * ()()x jxj ()xj 即即 是虛函數(shù)是虛函數(shù) 若若( )( )( ) eo x tx tx t則有則有: ()()() eo xjxjjxj ()re() e xjxj ()im() o xjx j 若若 即信號是奇函數(shù)，同樣可以即信號是奇函數(shù)，同樣可以 得出得出: ( )()x txt 5.時域微分與積分時域微分與積分: differentiation and integration 則則 （時域微分

15、特性）（時域微分特性） (將將 1 ( )() 2 jt x txjed 兩邊對兩邊對 微分即得該性質(zhì)微分即得該性質(zhì)) t 若若 由時域積分特性從由時域積分特性從 也可得到也可得到: （時域積分特性（時域積分特性) 6.時域和頻域的尺度變換時域和頻域的尺度變換: scaling 則則 當(dāng)當(dāng) 時，有時，有1a 尺度變換特性表明：尺度變換特性表明：信號如果在時域擴展信號如果在時域擴展 a 倍，則其帶寬相應(yīng)壓縮倍，則其帶寬相應(yīng)壓縮 a 倍，反之亦然。倍，反之亦然。 這就從理論上證明了時域與頻域的相反關(guān)系，這就從理論上證明了時域與頻域的相反關(guān)系， 也證明了信號的脈寬帶寬積等于常數(shù)的結(jié)論。也證明了信號的

16、脈寬帶寬積等于常數(shù)的結(jié)論。 若若 時域中的壓縮對應(yīng)頻域中的擴展時域中的壓縮對應(yīng)頻域中的擴展. .反之亦然反之亦然 7.對偶性對偶性: duality 若若則則 1 ( )() 2 j t x txjed 2()() j t xxjt edt 2()() j t xxjt edt 證明證明： 8. parseval定理定理: 若若則則 221 ( )() 2 x tdtxjd 這表明：信號的能量既可以在時域求得，也這表明：信號的能量既可以在時域求得，也 可以在頻域求得。由于可以在頻域求得。由于 表示了信號表示了信號 能量在頻域的分布，因而稱其為能量在頻域的分布，因而稱其為“能量譜密能量譜密 度度

17、”函數(shù)。函數(shù)。 2 ()x j 4.3 卷積性質(zhì)卷積性質(zhì) the convolution property 一一. . 卷積特性：卷積特性： 則則 由于卷積特性的存在，使對由于卷積特性的存在，使對lti系統(tǒng)在頻系統(tǒng)在頻 域進(jìn)行分析成為可能。本質(zhì)上，卷積特性成域進(jìn)行分析成為可能。本質(zhì)上，卷積特性成 立正是因為復(fù)指數(shù)信號是立正是因為復(fù)指數(shù)信號是lti系統(tǒng)的特征函系統(tǒng)的特征函 數(shù)。由數(shù)。由1 ( )() 2 j t x tx jed 若若 將將 分解成復(fù)指數(shù)分量的線性組合，每個分解成復(fù)指數(shù)分量的線性組合，每個 通過通過lti系統(tǒng)時都要受到系統(tǒng)頻響系統(tǒng)時都要受到系統(tǒng)頻響 的加權(quán)，的加權(quán)， ( )x t

18、 ()h j jt e ()( ) jt hjh t edt 即是系統(tǒng)與即是系統(tǒng)與 對應(yīng)的特征值。故有對應(yīng)的特征值。故有 其中其中 j t e 1 ( )( )* ( )()() 2 jt y tx th txjhjed 所以所以 ()() ()y jx jh j 由于由于 的傅氏變換的傅氏變換 就是頻率為就是頻率為 的的 復(fù)指數(shù)信號復(fù)指數(shù)信號 通過通過lti系統(tǒng)時，系統(tǒng)對輸系統(tǒng)時，系統(tǒng)對輸 入信號在幅度上產(chǎn)生的影響，所以稱為入信號在幅度上產(chǎn)生的影響，所以稱為系統(tǒng)系統(tǒng) 的頻率響應(yīng)的頻率響應(yīng)。 ( )h t ()h j jt e 鑒于鑒于 與與 是一一對應(yīng)的，是一一對應(yīng)的，因而因而lti 系統(tǒng)可

19、以由其頻率響應(yīng)完全表征。系統(tǒng)可以由其頻率響應(yīng)完全表征。由于并非由于并非 任何系統(tǒng)的頻率響應(yīng)任何系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 都存在，因此用都存在，因此用 頻率響應(yīng)表征系統(tǒng)時，一般都限于對穩(wěn)定系頻率響應(yīng)表征系統(tǒng)時，一般都限于對穩(wěn)定系 統(tǒng)。統(tǒng)。 ( )h t()h j ()h j 二二. . lti系統(tǒng)的頻域分析法系統(tǒng)的頻域分析法: : 根據(jù)卷積特性根據(jù)卷積特性, ,可以對可以對lti系統(tǒng)進(jìn)行頻域分系統(tǒng)進(jìn)行頻域分 析析, , 其過程為其過程為: : 1. 1. 由由 2. 2. 根據(jù)系統(tǒng)的描述，求出根據(jù)系統(tǒng)的描述，求出 3.3. 4. 4. ( )()x txj ()h j ()()()y jx jh j 1

20、( ) ()y ty j f 4.4 相乘性質(zhì)相乘性質(zhì) the multiplication property 若若 則則 兩個信號在時域相乘，可以看成是由一個兩個信號在時域相乘，可以看成是由一個 信號控制另一個信號的幅度，這就是信號控制另一個信號的幅度，這就是幅度調(diào)幅度調(diào) 制制。其中一個信號稱為。其中一個信號稱為載波載波，另一個是，另一個是調(diào)制調(diào)制 信號信號。 例例1. 正弦幅度調(diào)制正弦幅度調(diào)制: : 0 ( )(),( )coss ts jp tt 00 () ()()p j ( )( )( )r ts tp t 00 1 ()() ()() 2 r js j 00 11 () () 22

21、 s js j 0 ( ) 0 0 ()p j ( )pt ( )s t ( )r t 1 0 m m ()s j 1/2 0 0 ()r j 正弦幅度調(diào)制等效于在頻域?qū)⒄{(diào)制信號的正弦幅度調(diào)制等效于在頻域?qū)⒄{(diào)制信號的 頻譜搬移到載頻位置。頻譜搬移到載頻位置。 例例3. 同步解調(diào)同步解調(diào): 000 1 ( )cos() ()() 2 r ttr j 00 111 () (2) (2) 244 s js js j 1/2 1/41/4 m m 0 2 0 2 此時，用一個頻率特性為此時，用一個頻率特性為 的系統(tǒng)的系統(tǒng) 即可從即可從 恢復(fù)出恢復(fù)出 。 ()h j ( )r t( )s t ()hj

22、2 0 c c 只要只要 0 2 mcm 即可即可。 具有此頻率特性的具有此頻率特性的lti系統(tǒng)稱為系統(tǒng)稱為理想低通理想低通 濾波器濾波器。 4.6 周期信號的傅立葉變換周期信號的傅立葉變換 到此為止，我們對周期信號用傅立葉級到此為止，我們對周期信號用傅立葉級 數(shù)表示，非周期信號用傅立葉變換表示。數(shù)表示，非周期信號用傅立葉變換表示。 在在 涉及周期信號通過涉及周期信號通過 lti 系統(tǒng)時系統(tǒng)時, , 會給分析帶會給分析帶 來不便。因為周期信號不滿足來不便。因為周期信號不滿足 dirichlet 條條 件，因而不能直接從定義出發(fā)，建立其傅立件，因而不能直接從定義出發(fā)，建立其傅立 葉變換表示?？疾?/p>

23、葉變換表示。考查 所對應(yīng)的信號所對應(yīng)的信號 0 0 1 ( )()() 2 jtjtjt x txjedede 0 ()2()x j the fourier transformation of periodic signals 這表明這表明周期性復(fù)指數(shù)信號的頻譜是一個沖激周期性復(fù)指數(shù)信號的頻譜是一個沖激: : 0 ( ) jkt x te 0 ()2()x jk 于是當(dāng)把周期信號表示為傅立葉級數(shù)時，于是當(dāng)把周期信號表示為傅立葉級數(shù)時， 因為因為 0 ( ) jkt k k x ta e 就有就有 0 ()2() k k xjak 周期信號的傅立葉變換表示周期信號的傅立葉變換表示 若若 則則 這

24、表明：周期信號的傅立葉變換由一系這表明：周期信號的傅立葉變換由一系 列沖激組成，每一個沖激分別位于信號的各列沖激組成，每一個沖激分別位于信號的各 次諧波的頻率處，其沖激強度正比于對應(yīng)的次諧波的頻率處，其沖激強度正比于對應(yīng)的 傅立葉級數(shù)的系數(shù)傅立葉級數(shù)的系數(shù) 。 k a 例例1： 00 0 1 ( )sin 2 jtjt x ttee j 00 () ()()xj j ()x j 0 0 j j 0 00 0 1 ( )cos 2 jtjt x ttee 00 ()()()xj ( )() n x ttnt 2 22 22 111 ( )( ) tt jkt t k tt at edtt dt

25、ttt ()xj 0 0 0 例例2： 例例3： 均勻沖激串均勻沖激串 tt2 t2 t0 ()xt t 1 ()xj 02 t 2 t 2 t ( )() n x ttnt 22 ()() k x jk tt 22 ()() k x jk tt 例例4. 周期性矩形脈沖周期性矩形脈沖 1 0 0 2 2 sin() 2 ()() k kt t xjk kt 1 t 1 t0 1 ( )x t t 1 01 1 00 2 sin 22 sa() k tk tt akt ttk 1 0 21 2 t t ()xj 0 2 t 工程實際中有相當(dāng)廣泛的工程實際中有相當(dāng)廣泛的lti系統(tǒng)其輸入系統(tǒng)其輸入

26、 輸出關(guān)系可以由一個線性常系數(shù)微分方程輸出關(guān)系可以由一個線性常系數(shù)微分方程 表述。一般形式的表述。一般形式的lccde是是: 4.7 由線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)由線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng) 00 ( )( ) kknn kk kk kk d y td x t ab dtdt 一一. 由由lccde描述的描述的lti系統(tǒng)的頻率特性系統(tǒng)的頻率特性: systems characterized by linear constant- coefficient differential equations 由于由于 是是lti系統(tǒng)的特征函數(shù)，當(dāng)然系統(tǒng)的特征函數(shù)，當(dāng)然 時，系統(tǒng)的響應(yīng)時，系統(tǒng)的響應(yīng)

27、。表。表 明在明在 時，求解此時的時，求解此時的lccde可可 以求得以求得 。但這太麻煩，很少使用。但這太麻煩，很少使用。 ( )() j t y th je ()h j 對對lccde兩邊進(jìn)行傅立葉變換有：兩邊進(jìn)行傅立葉變換有： 00 ()()()() nn kk kk kk ajy jbjx j 由于由于()()()y jx jh j jt e ( ) j t x te ( ) j t x te 可見由可見由lccde描述的描述的lti 系統(tǒng)其系統(tǒng)其頻率特性頻率特性 是一個有理函數(shù)是一個有理函數(shù)。由此可以看出，對由。由此可以看出，對由 lccde 描述的描述的lti系統(tǒng)，當(dāng)需要求得其系統(tǒng)

28、，當(dāng)需要求得其 時時(比如時域分析時比如時域分析時) ，往往是由，往往是由 做反做反 變換得到。變換得到。 對有理函數(shù)求傅立葉反變換通常采用對有理函數(shù)求傅立葉反變換通常采用部分部分 分式展開分式展開和利用常用變換對進(jìn)行。和利用常用變換對進(jìn)行。 ( )h t ()hj 0 0 () () () n k k k n k k k bj hj aj 刻畫了刻畫了lti系統(tǒng)的頻域特征，它是系系統(tǒng)的頻域特征，它是系 統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的傅立葉變換。但并非所有統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的傅立葉變換。但并非所有 的的lti系統(tǒng)一定都存在頻率響應(yīng)。對穩(wěn)定系系統(tǒng)一定都存在頻率響應(yīng)。對穩(wěn)定系 統(tǒng)，由于有統(tǒng)，由于有 二二. 系統(tǒng)的頻

29、率響應(yīng)：系統(tǒng)的頻率響應(yīng)： ()h j dtth| )(| )(jh 故有：故有：穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率響應(yīng)一定存在。穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率響應(yīng)一定存在。 因此，由因此，由 表征的系統(tǒng)一般是穩(wěn)定系統(tǒng)。表征的系統(tǒng)一般是穩(wěn)定系統(tǒng)。 * * 頻率響應(yīng)的求法：頻率響應(yīng)的求法： 1.1.用微分方程表征的系統(tǒng)用微分方程表征的系統(tǒng) m k k k k n k k k k dt txd b dt tyd a 00 )()( m k k k n k k k jxjbjyja 00 )()()()( n k k k m k k k ja jb jx jy jh 0 0 )( )( )( )( )( )(3 )( )(8 )( 6 )( 2 2 tx dt tdx ty dt tdy dt tyd 例：例： 4