套利定價(jià)理論VIP

1、套利定價(jià)理論（套利定價(jià)理論（apt） 概述概述 在上一節(jié)，為了得到投資者的最優(yōu)投資組合，在上一節(jié)，為了得到投資者的最優(yōu)投資組合， 要求知道：要求知道： 回報(bào)率均值向量回報(bào)率均值向量 回報(bào)率方差回報(bào)率方差-協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 估計(jì)量和計(jì)算量隨著證券種類的增加以指數(shù)估計(jì)量和計(jì)算量隨著證券種類的增加以指數(shù) 級(jí)增加級(jí)增加 引入因子模型可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算量引入因子模型可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算量 由于因子模型的引入，使得估計(jì)由于因子模型的引入，使得估計(jì)markowitz有效有效 集的艱巨而煩瑣的任務(wù)得到大大的簡(jiǎn)化。集的艱巨而煩瑣的任務(wù)得到大大的簡(jiǎn)化。 因子模型還給我們提供關(guān)于證券回報(bào)率生成因

2、子模型還給我們提供關(guān)于證券回報(bào)率生成 過(guò)程的一種新視點(diǎn)過(guò)程的一種新視點(diǎn) 一元或者多元統(tǒng)計(jì)分析，以一個(gè)或者多個(gè)變量來(lái)一元或者多元統(tǒng)計(jì)分析，以一個(gè)或者多個(gè)變量來(lái) 解釋證券的收益，從而比僅僅以市場(chǎng)來(lái)解釋證解釋證券的收益，從而比僅僅以市場(chǎng)來(lái)解釋證 券的收益更準(zhǔn)確。券的收益更準(zhǔn)確。 capm與與apt 建立在均值建立在均值-方差分析基礎(chǔ)上的方差分析基礎(chǔ)上的capm是一種理是一種理 論上相當(dāng)完美的模型，但實(shí)際上只有理論意義，論上相當(dāng)完美的模型，但實(shí)際上只有理論意義， 因?yàn)榧僭O(shè)條件太多、太嚴(yán)格！因?yàn)榧僭O(shè)條件太多、太嚴(yán)格！ 除除capm理論外，另一種重要的定價(jià)理論是由理論外，另一種重要的定價(jià)理論是由 step

3、hen ross在在1976年建立的套利定價(jià)理論年建立的套利定價(jià)理論 （arbitrage pricing theory，apt），從另），從另 一個(gè)角度探討了資產(chǎn)的定價(jià)問(wèn)題。一個(gè)角度探討了資產(chǎn)的定價(jià)問(wèn)題。 市場(chǎng)均衡條件下的最優(yōu)投資組合理論市場(chǎng)均衡條件下的最優(yōu)投資組合理論=capm 無(wú)套利假定下因子模型無(wú)套利假定下因子模型=apt capm是建立在一系列假設(shè)之上的非常理想是建立在一系列假設(shè)之上的非常理想 化的模型，這些假設(shè)包括化的模型，這些假設(shè)包括harry markowitz建立均值建立均值-方差模型時(shí)所作的假方差模型時(shí)所作的假 設(shè)。這其中最關(guān)鍵的假設(shè)是設(shè)。這其中最關(guān)鍵的假設(shè)是同質(zhì)性假設(shè)同質(zhì)

4、性假設(shè)。 相反，相反，apt所作的假設(shè)少得多。所作的假設(shè)少得多。apt的基本的基本 假設(shè)之一是：假設(shè)之一是：個(gè)體是非滿足個(gè)體是非滿足，而不需要風(fēng)，而不需要風(fēng) 險(xiǎn)規(guī)避的假設(shè)！險(xiǎn)規(guī)避的假設(shè)！ 每個(gè)人都會(huì)利用套利機(jī)會(huì)：在不增加風(fēng)險(xiǎn)的前提每個(gè)人都會(huì)利用套利機(jī)會(huì)：在不增加風(fēng)險(xiǎn)的前提 下提高回報(bào)率。下提高回報(bào)率。 只要一個(gè)人套利，市場(chǎng)就會(huì)出現(xiàn)均衡！只要一個(gè)人套利，市場(chǎng)就會(huì)出現(xiàn)均衡！ 因子模型因子模型 （factor model） 定義定義：因子模型是一種假設(shè)證券的回報(bào)率只：因子模型是一種假設(shè)證券的回報(bào)率只 與不同的因子波動(dòng)（與不同的因子波動(dòng)（相對(duì)數(shù)相對(duì)數(shù)）或者指標(biāo)的）或者指標(biāo)的 運(yùn)動(dòng)有關(guān)的經(jīng)濟(jì)模型。運(yùn)動(dòng)有

5、關(guān)的經(jīng)濟(jì)模型。 因子模型是因子模型是apt的基礎(chǔ)，其目的是找出這些的基礎(chǔ)，其目的是找出這些 因素并確認(rèn)證券收益率對(duì)這些因素變動(dòng)的因素并確認(rèn)證券收益率對(duì)這些因素變動(dòng)的 敏感度。敏感度。 依據(jù)因子的數(shù)量，可以分為單因子模型和多依據(jù)因子的數(shù)量，可以分為單因子模型和多 因子模型。因子模型。 單因子模型單因子模型 引子引子 若把經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的所有相關(guān)因素作為一個(gè)總的宏若把經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的所有相關(guān)因素作為一個(gè)總的宏 觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)。觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)。 假設(shè)假設(shè)：（：（1）證券的證券的回報(bào)率回報(bào)率僅僅取決于該僅僅取決于該指數(shù)的指數(shù)的 變化變化；（；（2）除此以外的因素是公司特有風(fēng)）除此以外的因素是公司特有風(fēng) 險(xiǎn)險(xiǎn)殘余風(fēng)險(xiǎn)殘

6、余風(fēng)險(xiǎn) 則可以建立以宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)變化為自變量，以證券則可以建立以宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)變化為自變量，以證券 回報(bào)率為因變量的單因子模型。回報(bào)率為因變量的單因子模型。 例如，例如，gdp的預(yù)期增長(zhǎng)率是影響證券回報(bào)率的的預(yù)期增長(zhǎng)率是影響證券回報(bào)率的 主要因素主要因素。 例例1：設(shè)證券回報(bào)僅僅與市場(chǎng)因子回報(bào)有關(guān)：設(shè)證券回報(bào)僅僅與市場(chǎng)因子回報(bào)有關(guān) 其中其中 =在給定的時(shí)間在給定的時(shí)間t，證券，證券i 的回報(bào)率的回報(bào)率 =在同一時(shí)間區(qū)間，市場(chǎng)因子在同一時(shí)間區(qū)間，市場(chǎng)因子m的相對(duì)數(shù)的相對(duì)數(shù) =截距項(xiàng)截距項(xiàng) =證券證券i對(duì)因素對(duì)因素m的敏感度的敏感度 =隨機(jī)誤差項(xiàng)，隨機(jī)誤差項(xiàng)， itiim mtit rab re i

7、t r mt r i a im b it e 0,cov(,)0,cov(,)0 ititmtitjt e er 因子模型回歸因子模型回歸 年份年份igdpt（%）股票股票a收益率（收益率（%） 15.7 14.3 26.4 19.2 3 8.923.4 4 8.015.6 5 5.1 9.2 6 2.913.0 4% t r t gdp i 6 13.0%r 6 3.2%e 6 2.9% gdp i 圖中，橫軸表示圖中，橫軸表示gdp的增長(zhǎng)率，縱軸表示股的增長(zhǎng)率，縱軸表示股 票票a的回報(bào)率。圖上的每一點(diǎn)表示：在給的回報(bào)率。圖上的每一點(diǎn)表示：在給 定的年份，股票定的年份，股票a的回報(bào)率與的回報(bào)

8、率與gdp增長(zhǎng)率。增長(zhǎng)率。 通過(guò)線性回歸，我們得到一條符合這些點(diǎn)的通過(guò)線性回歸，我們得到一條符合這些點(diǎn)的 直線為（極大似然估計(jì)）直線為（極大似然估計(jì)） 4%2 tgdp tt rie 從這個(gè)例子可以看出，從這個(gè)例子可以看出，a在任何一期的回在任何一期的回 報(bào)率包含了三種成份：報(bào)率包含了三種成份： 1.在任何一期都相同的部分在任何一期都相同的部分a 2.依賴于依賴于gdp的預(yù)期增長(zhǎng)率，每一期都的預(yù)期增長(zhǎng)率，每一期都 不相同的部分不相同的部分bigdpt 3.屬于特定一期的特殊部分屬于特定一期的特殊部分et。 通過(guò)分析上面這個(gè)例子，可歸納出單因子模型的一通過(guò)分析上面這個(gè)例子，可歸納出單因子模型的一

9、 般形式：對(duì)時(shí)間般形式：對(duì)時(shí)間t 的任何證券的任何證券i 有時(shí)間序列有時(shí)間序列 其中：其中： ft是是t時(shí)期公共因子的預(yù)測(cè)值；時(shí)期公共因子的預(yù)測(cè)值； rit在時(shí)期在時(shí)期t證券證券i的回報(bào)；的回報(bào)； eit在時(shí)期在時(shí)期t證券證券i的特有回報(bào)的特有回報(bào) ai零因子零因子 bi證券證券i對(duì)公共因子對(duì)公共因子f的敏感度的敏感度(sensitivity),或或 因子載荷（因子載荷（factor loading） itiitit rab fe （8.1） 為簡(jiǎn)單計(jì)，只考慮在某個(gè)特定的時(shí)間的因?yàn)楹?jiǎn)單計(jì)，只考慮在某個(gè)特定的時(shí)間的因 子模型，從而省掉角標(biāo)子模型，從而省掉角標(biāo)t，從而（，從而（8.1）式）式 變?yōu)?/p>

10、變?yōu)?并且假設(shè)并且假設(shè) (1)cov( , )0 i e f (2)cov( ,)0 ij e e 0 i e e iiii rab fe （8.2） 假設(shè)假設(shè)(1)：因子：因子f具體取什么值對(duì)隨機(jī)項(xiàng)沒(méi)有具體取什么值對(duì)隨機(jī)項(xiàng)沒(méi)有 影響，即因子影響，即因子f與隨機(jī)項(xiàng)是獨(dú)立的，與隨機(jī)項(xiàng)是獨(dú)立的，這樣保這樣保 證了因子證了因子f是回報(bào)率的唯一因素。是回報(bào)率的唯一因素。 若不獨(dú)立，結(jié)果是什么？若不獨(dú)立，結(jié)果是什么？ 假設(shè)假設(shè)(2)：一種證券的隨機(jī)項(xiàng)對(duì)其余任何證券：一種證券的隨機(jī)項(xiàng)對(duì)其余任何證券 的隨機(jī)項(xiàng)沒(méi)有影響，換言之，兩種證券之的隨機(jī)項(xiàng)沒(méi)有影響，換言之，兩種證券之 所以相關(guān)，是由于它們具有共同因子所

11、以相關(guān)，是由于它們具有共同因子f所致。所致。 如果上述假設(shè)不成立，則單因子模型不準(zhǔn)確，如果上述假設(shè)不成立，則單因子模型不準(zhǔn)確， 應(yīng)該考慮增加因子或者其他措施。應(yīng)該考慮增加因子或者其他措施。 對(duì)于證券對(duì)于證券i，由（由（8.2）其回報(bào)率的均值（期望值）為）其回報(bào)率的均值（期望值）為 其回報(bào)率的方差其回報(bào)率的方差 2222 iifei b 因子風(fēng)險(xiǎn)因子風(fēng)險(xiǎn) 非因子風(fēng)險(xiǎn)非因子風(fēng)險(xiǎn) 對(duì)于證券對(duì)于證券i和和j而言，它們之間的協(xié)方差為而言，它們之間的協(xié)方差為 2 cov( ,)cov(,) ijijiiijjj ijf r rab fe ab fe bb iii rab f（8.3） 單因子模型的優(yōu)點(diǎn)單因

12、子模型的優(yōu)點(diǎn) 1. 單因子模型能夠大大簡(jiǎn)化我們?cè)诰祮我蜃幽Ｐ湍軌虼蟠蠛?jiǎn)化我們?cè)诰?方差方差 分析中的估計(jì)量和計(jì)算量。假定分析人員需分析中的估計(jì)量和計(jì)算量。假定分析人員需 要分析要分析n種股票，則種股票，則 均值方差模型：均值方差模型：n個(gè)期望收益，個(gè)期望收益，n個(gè)方差，個(gè)方差， (n2-n)/2個(gè)協(xié)方差個(gè)協(xié)方差 單因子模型：?jiǎn)我蜃幽Ｐ停簄個(gè)期望收益，個(gè)期望收益，n個(gè)個(gè)bi，n個(gè)殘個(gè)殘 差差 ，一個(gè)因子，一個(gè)因子f方差方差 ，共，共3n1個(gè)估計(jì)個(gè)估計(jì) 值。值。 若若n50，前者為，前者為1325，后者為，后者為151。 2 ei 2 f 單因子模型具有兩個(gè)重要的性質(zhì)單因子模型具有兩個(gè)重要的性

13、質(zhì) 2.風(fēng)險(xiǎn)的分散化風(fēng)險(xiǎn)的分散化 分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險(xiǎn)的平均化分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險(xiǎn)的平均化 分散化縮小非因子風(fēng)險(xiǎn)分散化縮小非因子風(fēng)險(xiǎn) 2 1 222 limlim () lim n piiii nn i pfep n dw ab fe b 222 11 nn piiepiei ii bwbw 其中， 假設(shè)殘差有界，即假設(shè)殘差有界，即 22 ei s 且組合且組合p高度分散化，即高度分散化，即wi充分小，則對(duì)充分小，則對(duì) 于資產(chǎn)于資產(chǎn)i成立成立 / i wn 則有則有 22222 2 1 11 n ep i ss nn 從而從而 222222 limlim ppfeppf nn bb 單因素模型的簡(jiǎn)

14、化是有成本的，它僅僅將資單因素模型的簡(jiǎn)化是有成本的，它僅僅將資 產(chǎn)的不確定性簡(jiǎn)單地認(rèn)為與僅僅與一個(gè)因產(chǎn)的不確定性簡(jiǎn)單地認(rèn)為與僅僅與一個(gè)因 子相關(guān)，這些因子如利率變化，子相關(guān)，這些因子如利率變化，gdp增長(zhǎng)增長(zhǎng) 率等。率等。 例子：公用事業(yè)公司與航空公司，前者對(duì)例子：公用事業(yè)公司與航空公司，前者對(duì)gdp 不敏感，后者對(duì)利率不敏感。不敏感，后者對(duì)利率不敏感。 單因素模型難以把握公司對(duì)不同的宏觀經(jīng)濟(jì)單因素模型難以把握公司對(duì)不同的宏觀經(jīng)濟(jì) 因素的反應(yīng)。因素的反應(yīng)。 多因子模型多因子模型 兩因子模型兩因子模型 若只考慮一期的模型，則可以省略表示時(shí)若只考慮一期的模型，則可以省略表示時(shí) 間的下標(biāo)，從而兩因子

15、模型方程為間的下標(biāo)，從而兩因子模型方程為 1 122iiiii rab fb fe 0, cov(,)0 iij e eee其 中 ， 12 cov( ,)0,cov( ,)0 ii e fe f 在兩因子模型下，對(duì)于證券在兩因子模型下，對(duì)于證券i ，其回報(bào)率的均值，其回報(bào)率的均值 1122iiii rab fb f 其回報(bào)率的方差其回報(bào)率的方差 12 222222 121212 2cov(,) iififiiei bbb bff 對(duì)于證券對(duì)于證券i和和j，其協(xié)方差為，其協(xié)方差為 1 122 1 122 cov( ,)cov(, ) ijijiiii jjjj r rab fb fe ab f

16、bfe 22 111222122112 ()cov(,) ijfijfijij b bb bb bb bff 證券證券i對(duì)因子對(duì)因子1的敏感度的敏感度 兩因子模型同樣具有單因子模型的重要兩因子模型同樣具有單因子模型的重要 優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)： 有關(guān)資產(chǎn)組合有效邊界的估計(jì)和計(jì)算量大有關(guān)資產(chǎn)組合有效邊界的估計(jì)和計(jì)算量大 大減少（但比單因子增加），若要計(jì)算均大減少（但比單因子增加），若要計(jì)算均 方有效邊界，需要方有效邊界，需要 n個(gè)期望收益，個(gè)期望收益，n個(gè)個(gè)bi1， n個(gè)個(gè)bi2， n個(gè)殘差，個(gè)殘差，2 個(gè)因子個(gè)因子f方差，方差，1個(gè)因子間的協(xié)方差，共個(gè)因子間的協(xié)方差，共4n3 個(gè)估計(jì)值。個(gè)估計(jì)值。 分散

17、化導(dǎo)致因子風(fēng)險(xiǎn)的平均化。分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險(xiǎn)的平均化。 分散化縮小非因子風(fēng)險(xiǎn)。分散化縮小非因子風(fēng)險(xiǎn)。 多因子模型多因子模型 對(duì)于對(duì)于n種證券相關(guān)的種證券相關(guān)的m（mn)個(gè)因子，證券個(gè)因子，證券i的的 收益可以表示為收益可以表示為 1 m iijji j rab fe 0, cov(,)0 cov(,)0, iij ik e eef eeik 1,., ;1,.,in jm其中， 套利定價(jià)理論（套利定價(jià)理論（apt） 定義：套利（定義：套利（arbitrage）是同時(shí)持有一種）是同時(shí)持有一種 或者多種資產(chǎn)的多頭或空頭，從而存在不或者多種資產(chǎn)的多頭或空頭，從而存在不 承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的情況下鎖定一個(gè)高于無(wú)風(fēng)

18、險(xiǎn)利承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的情況下鎖定一個(gè)高于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利 率的收益。率的收益。 不花錢(qián)就能掙到錢(qián)，即免費(fèi)的午餐！不花錢(qián)就能掙到錢(qián)，即免費(fèi)的午餐！ 兩種套利方法：兩種套利方法： 當(dāng)前時(shí)刻凈支出為當(dāng)前時(shí)刻凈支出為0，將來(lái)獲得正收益（收益，將來(lái)獲得正收益（收益 凈現(xiàn)值為正）凈現(xiàn)值為正） 當(dāng)前時(shí)刻一系列能帶來(lái)正收益的投資，將來(lái)的當(dāng)前時(shí)刻一系列能帶來(lái)正收益的投資，將來(lái)的 凈支出為零（支出的凈現(xiàn)值為凈支出為零（支出的凈現(xiàn)值為0）。）。 假設(shè)現(xiàn)在假設(shè)現(xiàn)在6個(gè)月即期年利率為個(gè)月即期年利率為10%（連續(xù)復(fù)（連續(xù)復(fù) 利，下同），利，下同），1年期的即期利率是年期的即期利率是12%。如。如 果有人把今后果有人把今后6個(gè)月到個(gè)月到1

19、年期的遠(yuǎn)期利率定年期的遠(yuǎn)期利率定 為為11%，則有套利機(jī)會(huì)。，則有套利機(jī)會(huì)。 套利過(guò)程是：套利過(guò)程是： 1.交易者按交易者按10%的利率借入一筆的利率借入一筆6個(gè)月資金（假個(gè)月資金（假 設(shè)設(shè)1000萬(wàn)元）萬(wàn)元） 2.簽訂一份協(xié)議（遠(yuǎn)期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定簽訂一份協(xié)議（遠(yuǎn)期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定 該交易者可以按該交易者可以按11%的價(jià)格的價(jià)格6個(gè)月后從市場(chǎng)借個(gè)月后從市場(chǎng)借 入資金入資金1051萬(wàn)元（等于萬(wàn)元（等于1000e0.10 0.5）。 ）。 3. 按按12%的利率貸出一筆的利率貸出一筆1年期的款項(xiàng)金年期的款項(xiàng)金 額為額為1000萬(wàn)元。萬(wàn)元。 4. 1年后收回年后收回1年期貸款，得本息年

20、期貸款，得本息1127萬(wàn)萬(wàn) 元（等于元（等于1000e0.12 1），并用 ），并用1110萬(wàn)萬(wàn) 元（等于元（等于1051e0.11 0.5）償還 ）償還1年期的債年期的債 務(wù)后，交易者凈賺務(wù)后，交易者凈賺17萬(wàn)元（萬(wàn)元（1127萬(wàn)元萬(wàn)元- 1110萬(wàn)元）。萬(wàn)元）。 這是哪一種套利？這是哪一種套利？ 套利不僅僅局限于同一種資產(chǎn)（組合），套利不僅僅局限于同一種資產(chǎn)（組合）， 對(duì)于整個(gè)資本市場(chǎng)，還應(yīng)該包括那些對(duì)于整個(gè)資本市場(chǎng)，還應(yīng)該包括那些“相相 似似”資產(chǎn)（組合）構(gòu)成的近似套利機(jī)會(huì)。資產(chǎn)（組合）構(gòu)成的近似套利機(jī)會(huì)。 無(wú)套利原則（無(wú)套利原則（non-arbitrage principle)： 根據(jù)

21、一價(jià)定律（根據(jù)一價(jià)定律（the law of one price），）， 兩種具有相同風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)（組合）不能以兩種具有相同風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)（組合）不能以 不同的期望收益率出售。不同的期望收益率出售。 套利行為將導(dǎo)致一個(gè)價(jià)格調(diào)整過(guò)程，最終使套利行為將導(dǎo)致一個(gè)價(jià)格調(diào)整過(guò)程，最終使 同一種資產(chǎn)的價(jià)格趨于相等，套利機(jī)會(huì)消失！同一種資產(chǎn)的價(jià)格趨于相等，套利機(jī)會(huì)消失！ apt的基本原理：由無(wú)套利原則，的基本原理：由無(wú)套利原則，在因子模在因子模 型下，具有相同因子敏感性的資產(chǎn)（組合）型下，具有相同因子敏感性的資產(chǎn)（組合） 應(yīng)提供相同的期望收益率。應(yīng)提供相同的期望收益率。 apt與與capm的比較的比較 apt對(duì)資

22、產(chǎn)的評(píng)價(jià)不是基于馬克維茨模型，對(duì)資產(chǎn)的評(píng)價(jià)不是基于馬克維茨模型， 而是基于無(wú)套利原則和因子模型。而是基于無(wú)套利原則和因子模型。 不要求不要求“同質(zhì)期望同質(zhì)期望”假設(shè)，假設(shè)，并不要求人人一致并不要求人人一致 行動(dòng)。行動(dòng)。只需要少數(shù)投資者的套利活動(dòng)就能消除只需要少數(shù)投資者的套利活動(dòng)就能消除 套利機(jī)會(huì)。套利機(jī)會(huì)。 不要求投資者是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的！不要求投資者是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的！ apt的基本假設(shè)的基本假設(shè) 1.市場(chǎng)是有效的、充分競(jìng)爭(zhēng)的、無(wú)摩擦的市場(chǎng)是有效的、充分競(jìng)爭(zhēng)的、無(wú)摩擦的 （perfectly competitive and frictionless capital markets）；）； 2.投資者是不

23、知足的：只要有套利機(jī)會(huì)就投資者是不知足的：只要有套利機(jī)會(huì)就 會(huì)不斷套利，直到無(wú)利可圖為止。會(huì)不斷套利，直到無(wú)利可圖為止。 因此，不必對(duì)投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好作假設(shè)？因此，不必對(duì)投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好作假設(shè)？ 3.資產(chǎn)的回報(bào)可以用因子表示資產(chǎn)的回報(bào)可以用因子表示 apt假設(shè)證券回報(bào)可以用預(yù)期到的回報(bào)和未假設(shè)證券回報(bào)可以用預(yù)期到的回報(bào)和未 預(yù)期到的回報(bào)兩個(gè)部分來(lái)解釋，構(gòu)成了一預(yù)期到的回報(bào)兩個(gè)部分來(lái)解釋，構(gòu)成了一 個(gè)特殊的因子模型個(gè)特殊的因子模型 iiii rrb fe 1 ()0 tt e f 未預(yù)期到的變化未預(yù)期到的變化預(yù)期的回報(bào)預(yù)期的回報(bào) f是證券是證券i的某個(gè)因子的變化，的某個(gè)因子的變化，基于有效市場(chǎng)理基于

24、有效市場(chǎng)理 論論，它是不可預(yù)測(cè)的。，它是不可預(yù)測(cè)的。 要依靠要依靠“舊舊”的的f來(lái)獲利是不可能的！來(lái)獲利是不可能的！ 若市場(chǎng)有效，則若市場(chǎng)有效，則t-1時(shí)刻的信息集預(yù)測(cè)時(shí)刻的信息集預(yù)測(cè)t時(shí)刻時(shí)刻 的價(jià)格無(wú)效，的價(jià)格無(wú)效，這等價(jià)于這等價(jià)于t-1時(shí)刻信息無(wú)法預(yù)時(shí)刻信息無(wú)法預(yù) 測(cè)測(cè)t時(shí)刻的因子，即對(duì)于因子的變化沒(méi)有任時(shí)刻的因子，即對(duì)于因子的變化沒(méi)有任 何傾向何傾向公平賭局（公平賭局（fair game） 從有效市場(chǎng)的理論來(lái)看，價(jià)格（回報(bào)）的不從有效市場(chǎng)的理論來(lái)看，價(jià)格（回報(bào)）的不 可預(yù)測(cè)，本質(zhì)上是信息的不可預(yù)測(cè)，可預(yù)測(cè)，本質(zhì)上是信息的不可預(yù)測(cè)，也就也就 是因子的變化不可預(yù)測(cè)，是因子的變化不可預(yù)測(cè)，這

25、些信息既有宏這些信息既有宏 觀的、也有微觀的。觀的、也有微觀的。 1 ()0 tt e f 構(gòu)建套利組合構(gòu)建套利組合 （arbitrage portfolio） 1.零投資：套利組合中對(duì)一種證券的購(gòu)買(mǎi)所需要零投資：套利組合中對(duì)一種證券的購(gòu)買(mǎi)所需要 的資金可以由賣(mài)出別的證券來(lái)提供，即自融資的資金可以由賣(mài)出別的證券來(lái)提供，即自融資 （self-financing）組合。）組合。 2.無(wú)風(fēng)險(xiǎn)：在因子模型條件下，因子波動(dòng)導(dǎo)致風(fēng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)：在因子模型條件下，因子波動(dòng)導(dǎo)致風(fēng) 險(xiǎn)，因此，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)就是套利組合對(duì)任何因子的險(xiǎn)，因此，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)就是套利組合對(duì)任何因子的 敏感度為敏感度為0。 3.正收益：套利組合的正收益：套

26、利組合的期望收益期望收益大于零。大于零。 用數(shù)學(xué)表示就是用數(shù)學(xué)表示就是 1 1 1 0 0 0 n i i n ii i n i i i w bw wr 11 1 2 1 ()( = () = ( )() nn i iiiii ii n ii i n ii i dwrdw rb fe dwb f d fwb 11 ()0,0 nn i iii ii dwrwb 若要?jiǎng)t要 （8.1） （8.2） （8.3） 套利定價(jià)模型套利定價(jià)模型 假設(shè)投資者構(gòu)造這樣的資產(chǎn)組合：（假設(shè)投資者構(gòu)造這樣的資產(chǎn)組合：（1）無(wú)風(fēng)）無(wú)風(fēng) 險(xiǎn)利率借入險(xiǎn)利率借入1元錢(qián)；（元錢(qián)；（2） 1元錢(qián)投資在兩種資元錢(qián)投資在兩種資 產(chǎn)，

27、這樣構(gòu)造一個(gè)自融資組合。產(chǎn)，這樣構(gòu)造一個(gè)自融資組合。 0 0 ()(1)()1 ()() piijj ijjijj rw rb fwrb f w rrrw bbbf 0 ij設(shè)設(shè)無(wú)無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利利率率為為 ，兩兩個(gè)個(gè)資資產(chǎn)產(chǎn)是是資資產(chǎn)產(chǎn) 和和資資產(chǎn)產(chǎn)，在在因因子子 模模型型的的假假定定下下，套套利利組組合合的的收收益益為為（忽忽略略殘殘差差） l 若不存在套利機(jī)會(huì)，則該套利組合的收益為若不存在套利機(jī)會(huì)，則該套利組合的收益為0 j p ij b wr bb 時(shí), 無(wú)風(fēng)險(xiǎn) 根據(jù)條件（根據(jù)條件（2），）， ()0 ijj w bbb當(dāng)，即 0 ()0, j pijj ij b rrrr bb = 0

28、0 1 j i ij r r bb 01ii rb 1 m iiijj j rrb f 命題命題1 ：假設(shè)：假設(shè)n種資產(chǎn)其收益率種資產(chǎn)其收益率m個(gè)因子決定個(gè)因子決定 （mn），即），即 其中，其中，i=1,2,n ，j=1,2,m，則，則 0 1 m iijj j rb 01 ,., j 為常數(shù) 嚴(yán)格證明嚴(yán)格證明 證明：假設(shè)在資產(chǎn)證明：假設(shè)在資產(chǎn)i上投資上投資wi，構(gòu)造零投資，構(gòu)造零投資 且無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的組合，即且無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的組合，即wi滿足下列條件滿足下列條件 1 0 n t i i w w 1 1 1 22 1 1 0 0 0 n t ii i n t ii i n t iimm i wb wb w

29、b 1 w b w b w b 零投資零投資 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)無(wú)風(fēng)險(xiǎn) （8.5） （8.4） 即，即，1、bj（j=1,2,m)線性無(wú)關(guān)。線性無(wú)關(guān)。 如果市場(chǎng)有效，則不會(huì)有套利均衡，即零投如果市場(chǎng)有效，則不會(huì)有套利均衡，即零投 資、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的組合必然是無(wú)收益的，從而只資、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的組合必然是無(wú)收益的，從而只 要（要（8.4）和（）和（8.5）成立，則）成立，則蘊(yùn)含蘊(yùn)含(followed) ,1,., j jmw1,wb wr 這等價(jià)于，這等價(jià)于，只要只要 1 0 n i i i wr t w r 對(duì)于任意的對(duì)于任意的w，必然有必然有 又由于非零向量又由于非零向量1,b1,b2,bm線性無(wú)關(guān)，則線性無(wú)關(guān)，則

30、必定落在由必定落在由1,b1,b2,bm組成的向量空間組成的向量空間rm+1中，中， 也就是存在一組不全為零的數(shù)也就是存在一組不全為零的數(shù) 使使得 r 01 ,., m 01122 ,., mm r1bbb 證畢。證畢。 理解：理解： 必須落在必須落在rm+1空間中，才能必然成立空間中，才能必然成立 r wr 1和和bj是該空間的一組基是該空間的一組基 a b c d 在向量空間中，如果向量在向量空間中，如果向量a、b正交于正交于c，蘊(yùn)蘊(yùn) 含著含著d正交與正交與c，則，則d必須落在由必須落在由a和和b張成的張成的 二維空間上，二維空間上，d可以由可以由a、b線性表示！線性表示！ 0 示意圖：向

31、量空間示意圖：向量空間 錯(cuò)誤的證明錯(cuò)誤的證明 1 0 n t i i w w 1 1 1 22 1 1 0 0 0 n t ii i n t ii i n t iimm i wb wb wb 1 w b w b w b 1 0 n i i i wr t w r 01122 ,., mm r1bbb apt的意義的意義 0 1 m iijj j rb 若若bij0，則上式退化為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，則意味，則上式退化為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，則意味 著著 0 1 m fifijj j rrrb 若若bij0，則期望回報(bào)，則期望回報(bào) 隨著隨著 的增加而增大，的增加而增大， 所以所以 是因子是因子 的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格。的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格

32、。 ij b i r j i f 自變量自變量 1 ,1,., ifi rrb in在單因子條件下，有 12 1 12 ,., ffnf n rrrrrr bbb apt 1 對(duì)于所有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)則有 由此可見(jiàn)，方程的斜率 實(shí)際上是因子1的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格。 結(jié)論：當(dāng)所有證券關(guān)于因子的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格相等時(shí)，結(jié)論：當(dāng)所有證券關(guān)于因子的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格相等時(shí)， 則證券之間不存在套利。則證券之間不存在套利。 apt的意義的意義 0 1 i r i b h r l r h l hl bb 若給定等投資額的證券若給定等投資額的證券h多頭和證券多頭和證券l空頭，則形成套空頭，則形成套 利組合。投資者為獲利必定盡可能地購(gòu)入證券利組合

33、。投資者為獲利必定盡可能地購(gòu)入證券h，從從 而使其價(jià)格上升，預(yù)期收益率下降，而使其價(jià)格上升，預(yù)期收益率下降，最終到達(dá)最終到達(dá)apt定定 價(jià)線價(jià)線。在均衡時(shí)，所有的證券都落在套利定價(jià)線上，。在均衡時(shí)，所有的證券都落在套利定價(jià)線上， 只要證券偏離只要證券偏離apt定價(jià)線就會(huì)有套利機(jī)會(huì)。定價(jià)線就會(huì)有套利機(jī)會(huì)。 apt定價(jià)線定價(jià)線 apt的另一種表達(dá)的另一種表達(dá) 1 1 p pf bp rr 在單因子模型下，考慮一個(gè)使的（資產(chǎn)）組合 ， 即，則有 , () m ifmfi r rrrr b 特別地，當(dāng)即純因子組合為市場(chǎng)組合時(shí)有 1pf rr 1 01 , () pf iiffi rr rbrr b 令

34、即風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格,則 則稱該組合則稱該組合p為純因子組合為純因子組合(類似于類似于capm的市場(chǎng)組合的市場(chǎng)組合) 在兩因子模型下，我們有在兩因子模型下，我們有 1122ifii rrbb 112 1 1,0, ii pbb 若存在純因子組合 ，使得 且其期望收益為 則 11if rr 11f r 即即 212 222 0,1, , ii f pbb r 同理，若存在純因子組合 ，使得 其期望收益為 ，則=從而 第第1因子的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格因子的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格 第第2因子的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格因子的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格 1122 () iffifi rrr br b( 22f r 這樣可將這樣可將apt的表達(dá)式可以改寫(xiě)為的表達(dá)式可以改寫(xiě)為

35、 在多因子模型下在多因子模型下 01122 ,., iiimim rbbb 證券的期望收益率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，加上證券的期望收益率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，加上j個(gè)因個(gè)因 素的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償（風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格素的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償（風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)因子載荷）；風(fēng)險(xiǎn)因子載荷）； 資產(chǎn)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)因子的敏感度（因子載荷）越大，則資產(chǎn)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)因子的敏感度（因子載荷）越大，則 其應(yīng)得到的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償越大。其應(yīng)得到的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償越大。 1122 (),., () ffifimfim rr br br b（ j 1,.,j jm其中， 為因子 （）的純因子組合的期望收益 11 1 () () ,aptcapm ififfi ifimf mii rrbrrb

36、 rrrr rb 顯然，若純因子組合是市場(chǎng)組合 即代表 ，則與一致。 apt與與capm的比較的比較 apt與與capm的一致性的一致性 若只有一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因子，且純因子組合是市場(chǎng)組若只有一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因子，且純因子組合是市場(chǎng)組 合，則當(dāng)合，則當(dāng)apt與與capm均成立時(shí)有均成立時(shí)有 命題命題2：若純因子組合不是市場(chǎng)組合，若純因子組合不是市場(chǎng)組合，apt與與 capm可能不一致?？赡懿灰恢隆?證明：只要證明存在一個(gè)反例證明：只要證明存在一個(gè)反例 cov( ,)cov(,) cov(,)cov( ,) iiii imiiim imiim rab fe r rab fe r bf rbe r 由單因子模型可

37、得 上式兩邊同除以上式兩邊同除以 2 m 并且定義并且定義 , 2 cov( ,) m f m m f r 由于由于 2 cov( ,) im m e r 很小，不妨把它忽略，則有很小，不妨把它忽略，則有 , 2 cov( ,) im if mi m r r b 如果如果apt 也成立，且滿足也成立，且滿足capm，則，則 , 1 () ifif mmf ifi rrbrr rrb 1, () mff m rr 得到得到 若因素若因素f與市場(chǎng)組合正相關(guān)，那么與市場(chǎng)組合正相關(guān)，那么 , 2 cov( ,) cov( ,)00 m mf m m f r f r 0, mf rr且由于從而 1, (

38、)0 mff m rr 也就是，如果也就是，如果capm成立，則必然要求上述條件成立，則必然要求上述條件 成立，它構(gòu)成了對(duì)成立，它構(gòu)成了對(duì)apt中中 的約束。的約束。 1 但是，如果但是，如果apt成立，不受成立，不受capm約束，即約束，即 僅從僅從apt本身推斷，必有本身推斷，必有 1 00 f r或者 只有當(dāng)只有當(dāng) m r才成立才成立 1 0 反之，如果反之，如果 m r，則可能有 1 0 f r 則對(duì)于證券則對(duì)于證券i的定價(jià)就會(huì)出現(xiàn)不同的定價(jià)就會(huì)出現(xiàn)不同 即如果純因子組合不是市場(chǎng)組合，即如果純因子組合不是市場(chǎng)組合，apt與與capm 可能不一致?？赡懿灰恢?。 , ()() ifif m

39、mf r capmrbrr ()() ifif r aptrbr , , 0,0,0, ()0()0 if mf if mmfif br brrbr 若 ， 1. 若純因子組合不是市場(chǎng)組合，則若純因子組合不是市場(chǎng)組合，則apt與與 capm不一定一致，不一定一致，capm僅僅是僅僅是apt的的 特例。當(dāng)且僅當(dāng)純因子組合是市場(chǎng)組合時(shí)，特例。當(dāng)且僅當(dāng)純因子組合是市場(chǎng)組合時(shí)， capm與與apt等價(jià)。等價(jià)。 2. 在在capm中，市場(chǎng)組合居于不可或缺的地中，市場(chǎng)組合居于不可或缺的地 位（若無(wú)此，則其理論瓦解），但位（若無(wú)此，則其理論瓦解），但apt即即 使在沒(méi)有市場(chǎng)組合條件下仍成立。使在沒(méi)有市場(chǎng)組合

40、條件下仍成立。 apt模型可以得到與模型可以得到與capm類似的期望回報(bào)類似的期望回報(bào)- b b直線關(guān)系，但并不要求組合一定是市場(chǎng)組合，直線關(guān)系，但并不要求組合一定是市場(chǎng)組合， 可以是任何風(fēng)險(xiǎn)分散良好的組合可以是任何風(fēng)險(xiǎn)分散良好的組合 capm與與apt的區(qū)別的區(qū)別 1 () () ifif ifimf rrbr rrrr 注意二者并注意二者并 不一致不一致 由于市場(chǎng)組合在實(shí)際中是無(wú)法得到的，因此，由于市場(chǎng)組合在實(shí)際中是無(wú)法得到的，因此， 在實(shí)際應(yīng)用中，只要指數(shù)基金等組合，其即可在實(shí)際應(yīng)用中，只要指數(shù)基金等組合，其即可 滿足滿足apt。所以。所以apt的適用性更強(qiáng)！的適用性更強(qiáng)！ 3.capm

41、屬于單一時(shí)期模型，但屬于單一時(shí)期模型，但apt并不受到單并不受到單 一時(shí)期的限制。一時(shí)期的限制。 4.apt的推導(dǎo)以無(wú)套利為核心，的推導(dǎo)以無(wú)套利為核心，capm則以均值則以均值 方差模型為核心，隱含投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡的假方差模型為核心，隱含投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡的假 設(shè)，但設(shè)，但apt無(wú)此假設(shè)。無(wú)此假設(shè)。 5.在在capm中，證券的風(fēng)險(xiǎn)只與市場(chǎng)組合的中，證券的風(fēng)險(xiǎn)只與市場(chǎng)組合的相關(guān)，相關(guān)， 它只給出了市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)大小，而沒(méi)有表明風(fēng)險(xiǎn)來(lái)它只給出了市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)大小，而沒(méi)有表明風(fēng)險(xiǎn)來(lái) 自何處。自何處。apt承認(rèn)有多種因素影響證券價(jià)格，承認(rèn)有多種因素影響證券價(jià)格， 從而擴(kuò)大了資產(chǎn)定價(jià)的思考范圍（從而擴(kuò)大了資產(chǎn)定價(jià)的思考范圍（capm認(rèn)為認(rèn)為 資產(chǎn)定價(jià)僅有一個(gè)因素），也為識(shí)別證券風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)定價(jià)僅有一個(gè)因素），也為識(shí)別證券風(fēng)險(xiǎn) 的來(lái)源提供了分析工具。的來(lái)源提供了分析工具。 apt對(duì)資產(chǎn)組合的指導(dǎo)意義對(duì)資產(chǎn)組合的指導(dǎo)意義 apt對(duì)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了細(xì)分，使得投資者能對(duì)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了細(xì)分，使得投資者能 夠測(cè)量資產(chǎn)對(duì)各種系統(tǒng)因素的敏感系數(shù)，因夠測(cè)量資產(chǎn)對(duì)各種系統(tǒng)因素的敏感系數(shù)，因 而可以使得投資組合的選擇更準(zhǔn)確。例如，而可以使得投資組合的選擇更準(zhǔn)確。例如