正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1、1 數(shù)學(xué)使人聰穎數(shù)學(xué)使人聰穎 數(shù)學(xué)使人嚴謹數(shù)學(xué)使人嚴謹 數(shù)學(xué)使人深刻數(shù)學(xué)使人深刻 數(shù)學(xué)使人縝密數(shù)學(xué)使人縝密 數(shù)學(xué)使人堅毅數(shù)學(xué)使人堅毅 數(shù)學(xué)使人智慧數(shù)學(xué)使人智慧 2 3 一、引入一、引入 如何用正弦線作正弦函數(shù)圖象呢？如何用正弦線作正弦函數(shù)圖象呢？ 用正切線作正切函數(shù)用正切線作正切函數(shù)y=tanxy=tanx的圖象的圖象 .2 , 0,sin1圖圖象象、用用平平移移正正弦弦線線得得 xxy .2圖圖象象向向左左、右右擴擴展展得得到到、再再利利用用周周期期性性把把該該段段 類類 比比 4.10 正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)正切函數(shù)的圖像和性質(zhì) 4 問題問題1 1、正切函數(shù)、正切函數(shù) 是否為周期函數(shù)？是否為

2、周期函數(shù)？ y = tanxy = tanx 是周期函數(shù)，是周期函數(shù)， 是它的一個周是它的一個周 期期 y = tanxy = tanx 我們先來作一個周期內(nèi)的圖象。 想一想想一想：先作哪個區(qū)間上的圖象好好呢？ ( ( - -, ,) ) 2 22 2 利用正切線畫出函數(shù)利用正切線畫出函數(shù) ， 的圖像的圖像: : xytan 22 ，x f f x x+ + = = t ta an n x x+ + = = t ta an nx x xf 為什么？為什么？ 二、探究二、探究用正切線作正切函數(shù)圖象用正切線作正切函數(shù)圖象 4.10 正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)正切函數(shù)的圖像和性質(zhì) 5 4.10 正切函數(shù)的

3、圖像和性質(zhì)正切函數(shù)的圖像和性質(zhì) 3 ），（ 33 tan A T 0 X Y 問題問題2 2、如何利用正切線畫出函數(shù)、如何利用正切線畫出函數(shù) ， 的圖像？的圖像？ xytan 22 ，x 的終邊的終邊角角 3 6 作法作法:(1) 等分：等分： (2) 作正切線作正切線 (3) 平移平移 (4) 連線連線 把單位圓右半圓分成把單位圓右半圓分成8等份。等份。 8 3 4 8 8 4 8 3 ， 利用正切線畫出函數(shù)利用正切線畫出函數(shù) ， 的圖像的圖像: : xytan 22 ，x 4 4 2 8 8 8 3 8 3 2 0 o 7 正切曲線 0 3 2 是由通過點 且與 y 軸相互平行的 直線隔開

4、的無窮多支曲線組成 (,0)() 2 kkZ 漸進線 漸進線 4.10 正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)正切函數(shù)的圖像和性質(zhì) 8 定義域定義域：Zk,k 2 x|x 值域值域： 周期性：周期性： 奇偶性：奇偶性： 在每一個開區(qū)間在每一個開區(qū)間 ， 內(nèi)都是增函數(shù)。內(nèi)都是增函數(shù)。 ) 2 , 2 ( kk Zk 正正 切切 函函 數(shù)數(shù) 圖圖 像像 奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱。奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱。 R 單調(diào)性：單調(diào)性： Z k , 2 kx (6)漸近線方程：漸近線方程： (7)(7)對稱中心對稱中心 kk (,0)(,0) 2 2 漸進線 性質(zhì) : 漸進線 9 (1)正切函數(shù)是正切函數(shù)是上的上的增增函數(shù)嗎

5、？為什么？函數(shù)嗎？為什么？ (2)正切函數(shù)會不會在某一區(qū)間內(nèi)是正切函數(shù)會不會在某一區(qū)間內(nèi)是減減函數(shù)？為什么？函數(shù)？為什么？ 問題：問題： A B 在每一個開區(qū)間 ， 內(nèi)都是增函數(shù)。 ( (- -+ + k k, ,+ + k k) ) 2 22 2 k kZ Z 問題討論 10 A 是奇函數(shù) B 在整個定義域上是增函數(shù) C 在定義域內(nèi)無最大值和最小值 D 平行于 軸的的直線被正切曲線各支所截線 段相等 1關(guān)于正切函數(shù) , 下列判斷不正確的是（ ） 函數(shù)的一個對稱中心是（） tanyx x tan(3 )yx (,0) 9 (,0) 6 (,0) 4 (,0) 4 A . B. C. D. 基礎(chǔ)

6、練習 B C 11 例例1 1、比較下列每組數(shù)的大小。、比較下列每組數(shù)的大小。 o oo o ( (1 1) )t ta an n1 16 67 7 與與t ta an n1 17 73 3 1 11 1 t ta an n( (- -) ) 4 4 1 13 3 t ta an n( (- -) ) 5 5 （2） 與與 例題分析 0000 90167173180 tanyx 在，上是增函數(shù)， 2 00 tan167tan173 11 tan()tan, 44 132 tan()tan 55 2 0, 452 tanyx 又在 0，是增函數(shù) 2 2 tantan 45 1113 tan()t

7、an(). 45 解解: (1) (2) 12 例例1 1、比較下列每組數(shù)的大小。、比較下列每組數(shù)的大小。 o oo o ( (1 1) )t ta an n1 16 67 7 與與t ta an n1 17 73 3 1111 tan(-)tan(-) 4 4 1313 tan(-)tan(-) 5 5 （2） 與與 說明：比較兩個正切值大小，關(guān)鍵是把相說明：比較兩個正切值大小，關(guān)鍵是把相 應(yīng)的角應(yīng)的角 化到化到y(tǒng)=tanx的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再 利用利用y=tanx的單調(diào)遞增性解決。的單調(diào)遞增性解決。 例題分析 0000 90167173180 tanyx 在，上是增函數(shù)

8、， 2 00 tan167tan173 解解: 13 例題分析 解解 : ,tan, 4 txyttRkZ 設(shè)則的定義域為 t且tk + 2 , 42 xk 4 xk , 4 x xRxkkZ 因此，函數(shù)的定義域是且值域 : R tan() 4 yx 求函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間. 例 2. tan, 2 ytkkkZ 的單調(diào)增區(qū)間是- 2 2 24 kxk 3 44 kxk 3 , 44 kkkZ 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 14 較 0 00 0 1 1、比比大大小?。?( (1 1) )t ta an n1 13 38 8 _ _ _ _ _ _t ta an n1 14 43 3 。 1 1

9、3 31 17 7 ( (2 2) )t ta an n( (- -) )_ _ _ _ _ _t ta an n( (- -) ) 4 45 5 、求函數(shù)y=tan3x的定義域，值域，單調(diào)增 區(qū)間。 定義域：定義域：zk, 63 k xx R值值域域： zk, 3 k , 3 k ）單調(diào)遞增區(qū)間：（單調(diào)遞增區(qū)間：（ 6 66 6 反饋演練 15 求函數(shù) 的周期. tan(3)tan3 ,xx因為 即tan3(x+)=tan3x, 3 這說明自變量 x ,至少要增加，函數(shù)的值 才能重復(fù)取得，所以函數(shù)的周期 是 tan 3yx 3 tan3yx 3 例例 反饋練習：求下列函數(shù)的周期： (1)5t

10、an 2 x y (2)tan( 4 )yx 例題分析 解：解： 2 4 16 tan3x 解不等式： 解： 例題分析 例 y x T A 3 0 )( 2 , 3 Zkkkx 由圖可知： 17 tan3x 解不等式： 解： 0 y x 3 2 3 )( 2 , 3 Zkkkx 由圖可知： 例 例題分析 18 tan0 x 2、解不等式：1- 3 tan() 63 x 3、解不等式： 1、 解不等式 1+tanx0 反饋演練 答案: 1. , 42 xx kxkkZ , 24 xx kxkkZ 2. 3. 2 , 33 xx kxkkZ 19 tan 3 3 yx 求函數(shù)求函數(shù) 的定義域、值域

11、，并指出它的的定義域、值域，并指出它的 單調(diào)性、奇偶性和周期性；單調(diào)性、奇偶性和周期性； 、定義域1 、值域2 15 | 318 xx xRxkkZ 且， yR 3、單調(diào)性 115 , 318 318 xkk 在上是增函數(shù)； 4、奇偶性 5、周期性 最小正周期是 3 非奇非偶函數(shù) 提高練習 答案答案: 20 1. 已知 則( ) A.abc B.cba C .bca D. bac tan1,tan 2,tan 3,abc 補充練習 2 2.(tan)4 tan1yxx求的值域； 3.tan1, 已知 是三角形的一個內(nèi)角，且有 則 的取值范圍是 3 , 4 0,2 3 , 4 0, 2 A. B . C. D.以上都不對 ( c ) c -5,+ 21 四、小結(jié)：正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)四、小結(jié)：正切函數(shù)的圖像和性質(zhì) 2 、 性質(zhì)性質(zhì):xy tan 象象向向左左、右右擴擴展展得得到到。再再利利用用周周期期性性把把該該段段圖圖 的的圖圖象象，移移正正切切線線得得、正正切切曲曲線線是是先先利利用用平平) 2 , 2 (x, xtany1