福建省高三質(zhì)檢文科數(shù)學(xué)試卷及答案

1、 2012 年福建省普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查文 科 數(shù) 學(xué)本試卷分第 1 卷(選擇題)和第卷(非選擇題)本試卷共 5 頁滿分 150 分考試時(shí)間 120 分鐘注意事項(xiàng)：1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上2考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域(黑色線框)內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效在草稿紙、試題卷上答題無效3選擇題答案使用 2b 鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用 05毫米的黑色中性(簽字)筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚4保持答題卡卡面清潔，不折疊、不破損考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回參考公式：樣本數(shù)據(jù) x

2、 ，x ， ，x 的標(biāo)準(zhǔn)差錐體體積公式12n11v= sh3 -(x x) (x x)+ -+(x x)2-s=22n12n其中 為樣本平均數(shù)x其中 s 為底面面積，h 為高柱體體積公式球的表面積、體積公式4s = 4pr2，v =pr3v=sh3其中 s 為底面面積，h 為高其中 r 為球的半徑第卷（選擇題 共 60 分）一選擇題：本大題共12 小題，每小題 5 分，共60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的( )1在復(fù)平面上，復(fù)數(shù) z = 1+ i i 的共軛復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限是a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限35=2若a 是第四象限角,且cosa，則sina

3、 等于45453535-abcd= 2 ,b = 0.3 ,c = log 2a,b.c 的大小順序是3若a，則0.320.3 b cc a bc b ab c x x；甲比乙成績穩(wěn)定；乙比甲成績穩(wěn)定；甲比乙成績穩(wěn)定；乙比甲成績穩(wěn)定乙b x甲c x甲d x甲乙 x乙 0,14(x) =( ( )則 f f6已知函數(shù) f2的值是3 +1, x 0,x109a10bc-2d -5= x x2 -3x + 2 0 b = x1 x 2012aicidi 1006pp(x) = sin(w x + ) 09函數(shù) f(w)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離是 若將函數(shù)32pf (x) 圖象向右平移 個(gè)單位，

4、得到函數(shù) g(x) 的解析式為6pp(x) = sin(4x + )f (x) = sin(4x - )a fc fbd63p(x) = sin(2x + )6f (x) = sin 2x10已知 a(-2,0), b(0,2) , 點(diǎn) m 是圓 x+ - 2 = 0上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) m 到直線 ab 的最大距離是2y2x3 223 223 2-1+12 2dabc2- a b c d11 一只螞蟻從正方體 abcd則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻?zhàn)疃膛佬新肪€的正視圖是的頂點(diǎn) a處出發(fā)，經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到達(dá)頂點(diǎn)c 位置，11111 a bc d(x)f (x) , r,且 ，12

5、設(shè)函數(shù) f及其導(dǎo)函數(shù)都是定義在 r 上的函數(shù)，則“ x xx x1212f (x ) - f (x ) x - x ”是“xr, f (x) 1”的1212a充分而不必要條件c充要條件b必要而不充分條件d既不充分也不必要條件第卷（非選擇題 共 90 分）二、填空題:本大題共 4 小題，每小題 4 分，共 16 分把答案填在答題卡相應(yīng)位置= (3,1) b = (x,-3)，若a b，則x =_13已知向量ax2y2- =114若雙曲線方程為，則其離心率等于_9 16x -1, y ,z = 3x + y則 的最大值為_15若變量 x 滿足約束條件y xx + y 1,16對(duì)于非空實(shí)數(shù)集 a，記

6、 a* =y x a, y x設(shè)非空實(shí)數(shù)集合m , p，滿足m p 給出以下結(jié)論： p* m *；*p p* = m m；其中正確的結(jié)論是（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）三、解答題：本大題共 6 小題，共 74 分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17(本小題滿分 12 分)等差數(shù)列a 的公差為-2，且a ,a ,a成等比數(shù)列n134（）求數(shù)列a 的通項(xiàng) 公式；n 1=(nn*) ，求數(shù)列b （）設(shè)b的前 項(xiàng)和 snn(12- a )nnnn18 (本小題滿分 12 分)=1,ad = 3 ab bc, cd bdd在直角梯形 abcd中，ad/bc， ab,如圖（1）把 abd 沿 bd翻折，

7、使得平面 a bd 平面bcd ，如圖（2）（）求證：cd ab；-（）求三棱錐 a bdc 的體積；bn （）在線段 bc 上是否存在點(diǎn) n，使得 a n bd？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由bc19 (本小題滿分 12 分)閱讀下面材料：根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有sin(a + b) = sina cos b + cosa sin b-sin(a - b) = sina cosb - cosa sin b( ) ( )sin a + b +sin a - b = 2sina cosb由+ 得-a+ ba- ba b ,a b+ = a - = ba有,b =令22a+ ba-

8、bsin a+ sin b = 2sincos代入得22()類比上述推證方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明:a+ ba- bcos a- cos b = -2sindabcsin;22a, b,c 滿足cos 2a- cos 2b = 2sin 2c ,試判斷dabc的形狀()若的三個(gè)內(nèi)角(提示:如果需要，也可以直接利用閱讀材料及()中的結(jié)論)20 (本小題滿分 12 分) 2012 年 3 月 2 日，國家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)其中規(guī)定：居民區(qū)的pm25 年平均濃度不得超過 35 微克/立方米，pm25 的 24 小時(shí)平均濃度不得超過 75 微克/立方米 某城市環(huán)保部門隨機(jī)抽

9、取了一居民區(qū)去年 20 天 pm25 的 24 小時(shí)平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：pm25 濃度組別頻數(shù)（天）頻率（微克/立方米）(0,25第一組第二組第三組第四組510302505(25,50(50,7501501(75,100)2()從樣本中 pm25 的 24 小時(shí)平均濃度超過 50 微克/立方米的 5 天中，隨機(jī)抽取 2 天，求恰好有一天 pm25 的24 小時(shí)平均濃度超過 75 微克/立方米的概率；（）求樣本平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從 pm25 的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)？說明理由21 (本小題滿分 12 分)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn) p 到點(diǎn) f(1,0)的距

10、離等于它到直線 x = -1g的距離，記點(diǎn) 的軌跡為曲線 pg（）求曲線 的方程；gfa+ fb + fc = 0dabc證明： 不可能為直角三角形（）若點(diǎn) a， b ，c 是 上的不同三點(diǎn)，且滿足22 (本小題滿分 14 分)(x) = x2 + a ln xp(1,f (1) 10處的切線斜率為 已知函數(shù) f的圖象在點(diǎn)（）求實(shí)數(shù) 的值；a(x) = 2x（）判斷方程 f根的個(gè)數(shù)，證明你的結(jié)論；（）探究：是否存在這樣的點(diǎn)a(t, f (t)，使得曲線y = f (x)在該點(diǎn)附近的左、右的兩部分分別位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)？若存在，求出點(diǎn) a 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由 2012 年福建省普

11、通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查文科數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明：一、本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)選擇題和填空題不給中間分一、選擇題：本大題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算每小題5 分，滿分 60 分1 b 2b 3

12、c7 d 8a 9d4b5d6b10c 11c 12b二、填空題：本大題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算每小題 4 分，滿分 16 分53131 ；14 ； 152； 16三、解答題：本大題共 6 小題，共 74 分 i 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17 本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想滿分12 分= a - 4,a = a - 6()解：由已知得a，2 分3141,a ,a(a - 4) = a (a - 6)，4 分又 a成等比數(shù)列，所以2134111解得 a= 8，5 分1=10 - 2n所以 a6 分n2111= -()由()可得b，8

13、分n(12- a ) n(n +1) n n +1nn= b + b + + b所以 sn12n11 1111n= (1- ) + ( - ) + + ( -) =1-= 12 分22 3n n +1n +1 n +118本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系、棱錐體積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力及運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想滿分12 分 解：（）平面 a bda bd 平面bcd ，平面 平面 = bcd bd ，cd bd 平面abdcd，2 分4 分又 ab 平面abd，cd abdabd中，bd = ab + ad = 2（）如圖（1）在 r

14、t.22ad bc，adb = dbc = 30.2 33在 rt bdc中，dc = bd tan 30 =122 33= bd dc = s.6 分dbdc如圖（2），在rtdabd中 ae 平面bcd，過點(diǎn) a 做 a e bd 于 e ， a b a dbd3 =a e=，7 分2131 2 3 3 13 3 2 3= s ae =v.8 分-a bdcdbdc （）在線段 bc 上存在點(diǎn) n，使得 a n bd，理由如下：12如圖（2）在 rtdaeb中， be= - =a b a e，22be 1=bd 4，9 分來bn be 1=bc bd 4過點(diǎn) e 做 en / dc 交 b

15、c 于點(diǎn) n，則， bd,en bdcd，10 分 又 a e bd ， a e en e ， bd=a en ， 平面 平面 又 a n a en ， a n bd bn 1=bc 4 在線段 bc 上存在點(diǎn) n，使得 a n bd，此時(shí)12 分19本小題主要考查兩角和與差三角函數(shù)公式、二倍角公式、三角函數(shù)的恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等滿分12 分a ba ba b+ ) = cos cos -sin sin，解法一：()因?yàn)閏os(a ba ba bcos( - ) = cos cos + sin sin ，2 分3 分a ba ba b+ )

16、- cos( - ) = -2sin sin.- 得cos( a+ ba- ba b ,a b+ = a - = ba,b =令有，22a+ b a- b代入得cos a- cos b = -2sinsin. 6 分22cos 2a- cos 2b = 2sin c可化為()由二倍角公式,21- 2sin a-1+ 2sin b = 2sin c,8 分222sin a+ sin c = sin b.9 分即設(shè)222dabc 的三個(gè)內(nèi)角 a,b,c 所對(duì)的邊分別為a,b,c，+ c = b由正弦定理可得a2 .11 分22根據(jù)勾股定理的逆定理知dabc為直角三角形.12 分解法二：()同解法一

17、.cos 2a- cos 2b = 2sin c()利用()中的結(jié)論和二倍角公式,2可化為( ) ( )-2sin a+ b sin a- b = 2sin c2，8 分dabca+ b + c =p ，因?yàn)?a,b,c 為的內(nèi)角，所以( ) ( ) ( )-sin a+ b sin a- b = sin a+ b所以2.( )sin + 0,又因?yàn)? a+ b 35，所以去年該居民區(qū) pm2.5 年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，故該居民區(qū)的環(huán)境需要改12 分21 本小題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思

18、想、數(shù)形結(jié)合思想等滿分12 分解法一：（）由條件可知，點(diǎn)p 到點(diǎn) f(1,0)的距離與到直線 x = -1f(1,0)的距離相等， 所以點(diǎn) 的軌跡是以 為p焦點(diǎn)， x= -1為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為 y = 4x4 分2（）假設(shè)dabc 是直角三角形，不失一般性，設(shè)a = 90，a(x , y ) ， b(x , y )，c(x , y ) ，則由 ab ac = 0，112233ab = (x - x , y - y ) ， ac = (x - x , y - y ) ，21213131(x - x )(x - x ) + (y - y )(y - y ) = 0所以6 分21312131y

19、i2=(i =1,2,3) ， y y ， y y ，因?yàn)?x4i1213(y + y )(y + y ) +16 = 0所以又因?yàn)?fa= -168 分1213+ fb + fc = 0x + x + x = 3 y + y + y = 0，所以，123123所以 y y23+ y + y = 4(x + x + x ) =12又 y222，123123 -y - y ) + y + y =12y + y + y y = 6 10 分所以(，即2222223232323216+ -16 = 6y - 22y + 256 = 0，所以 由，得 y242y2222因?yàn)閐 = (-22) - 4

20、256 = -540 02所以方程無解，從而dabc不可能是直角三角形12 分解法二：（）同解法一+ fb + fc = 0（）設(shè) a(x , y ) ， b(x , y )，c(x , y ) ，由 fa1，12233+ x + x = 3 y + y + y = 0得 x，6 分由條件的對(duì)稱性，欲證dabc 不是直角三角形，只需證明a 90123123 x= = -軸時(shí)， x x ， y= -y ，從而 x 3 2x ， y 0，=當(dāng) ab(1)1212313- 2x ,0)即點(diǎn)c 的坐標(biāo)為(3132= 4x 上，所以3- 2x = 0x =1由于點(diǎn)c 在 y2，即，133此時(shí) a( ,

21、6) ， b( ,- 6) c(0,0) ，則a 90，8 分22( 2 )當(dāng) ab 與 x 軸不垂直時(shí)，y = 4x，設(shè)直線的方程為： x，代入ab= ty + m(t 0)2- 4ty - 4m = 0y + y = 4t整理得： y2，則124a = 90ac-t的斜率為 ，同理可得：y + y = -若，則直線t1344y =2y = -4t，由 y+ y + y = 0，得 y = 4t -，tt12313由 x+ x + x = 3，可得 y + y + y = 4(x + x + x ) =1222212312312344- ) + ( ) +(-4t) =12從而(4t，222

22、tt1 11+ =8t -11t +8 = 0整理得：t，即，242t82d = (-11) - 488 = -135 02所以方程無解，從而a 9011 分 dabc綜合(1)，(2) ，不可能是直角三角形12 分22 本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合a= x + a ln xf (x) = 2x +思想、考查化歸與轉(zhuǎn)化思想滿分 12 分解法一：（）因?yàn)?f (x)函數(shù) f (x) 的圖象在點(diǎn) p(1,f (1)處的切線斜率k，所以，2x= f (1)= 2+ a由 2+ a =10得： a = 84 分= x + 8ln xf(x)

23、 = f (x) - 2x = x - 2x +8ln x（）由（）知， f (x)，令22= -1 0，f(x) = 0 (0,+)在 至少有一個(gè)因?yàn)?f(1)根，所以8= 2x - 2 + 2 16 - 2 = 6 0f(x) (0,+)在 上遞增，又因?yàn)?f (x)，所以x所以函數(shù) f(x) 在(0,+)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程f (x) = 2x有且只有一個(gè)實(shí)根 7 分（）證明如下：8= x + 8ln x f (x) = 2x +y = f (x)由 f (x)，可求得曲線在點(diǎn) 處的切a2x8- (t +8ln t) = (2t + )(x -t)線方程為 y，2t8= (2t + )x -t +8ln t -8 (x 0)即 y 8 分2t8= x + 8ln x - (2t + )x -t +8ln t -8記 h(x)22t8= x +8ln x - (2t + )x + t -8ln t +8 (x 0)，22t42(x -t)(x - )8x8tt= 2x + - (2t + ) =則 h(x) 11 分x2(x -