圓錐曲線的極坐標(biāo)方程、焦半徑公式、焦點(diǎn)弦公式

1、圓錐曲線的極坐標(biāo)方程、焦半徑公式、焦點(diǎn)弦公式 圓錐曲線的極坐標(biāo)方程 知識(shí)點(diǎn)精析橢圓、雙曲線、拋物線可以統(tǒng)一定義為：與一個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離和 一條定直線（準(zhǔn)線）的距離的比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡.以橢圓的左焦 點(diǎn)（雙曲線的右焦點(diǎn)、拋物線的焦點(diǎn)）為極點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作相應(yīng)準(zhǔn)線的垂線，垂足為 K,以FK的反向延長(zhǎng)線為極軸建立極坐標(biāo)系.橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng) 一的極坐標(biāo)方程為：p =坐.其中p是定點(diǎn)F到定直線的距離, 1 一 ECOS 當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上時(shí)，|PF = -a-ex 1 PF2 = ci-ex； 3、若尸是拋物線的焦點(diǎn)，|時(shí)=“牛 利用弦長(zhǎng)求面積 高考題（08年海南卷）過(guò)橢圓蘭+藝=1的焦點(diǎn)F

2、作一條斜率為2的 5 4 直線與橢圓交于A, B兩點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AAOB的面積. 簡(jiǎn)解首先極坐標(biāo)方程中的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式ia盼綁求弦長(zhǎng)，然后 1Y cos-8 利用公式S*b = I AB II OF I sin ZAFO直接得出答案。 乙 變式（20 0 5年全國(guó)高考理科）己知點(diǎn)F為橢圓S + / = l的左焦點(diǎn).過(guò) 點(diǎn)F的直線厶與橢圓交于P、0兩點(diǎn)，過(guò)F且與厶垂直的直線厶交橢圓于 M、N兩點(diǎn)，求四邊形PMQN而積的最小值和最大值. 解析以點(diǎn)F為極點(diǎn)，建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程 為：P = 設(shè)直線厶的傾斜角&,則直線厶的傾斜角為& + 90。，由極坐標(biāo)系中 焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式知: PQ 1

3、= V2 ,IMN = 1_1Cos2( + 90) x/2 1-isin2 2 用他們來(lái)表示四邊形的面積 S=-PQ AMN = -一-一1=-一-1 2l + lsin26.cos2 方 0) 例一過(guò)橢圓/戸的左焦點(diǎn)F,作傾斜角為60的直線 /交橢圓于A、B兩點(diǎn),若網(wǎng)=卒耳，求橢圓的離心率. 簡(jiǎn)解，建立極坐標(biāo)系,然后利用等量關(guān)系，可很快求出離心率。 設(shè)橢圓的極坐標(biāo)方程為曠占則皿占 1ycos240 ：.ul=2ulm 得一芻 e , e3變式求過(guò)橢圓 =匸加的左焦點(diǎn)，且傾斜角為扌的弦長(zhǎng)和左焦 點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離。 2 解：先將方程有化為標(biāo)準(zhǔn)形式：p= ” 1一一COS& 3 則離心率e =彩

4、，S =彳， :.p = 2 所以左焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距為2。 設(shè)A（喝）皿中，代入極坐標(biāo)方程，則弦長(zhǎng) AB = p+p2 3cos7 3-cosT 24 17 （3）定值問(wèn)題 例1.拋物線y2=2px（p0）的一條焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分為a, b的兩段，證 明：丄+ ；定值。 a b 解：以焦點(diǎn)F為極點(diǎn)，以FX軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則拋物線的 極坐標(biāo)方程為 = 一-一，設(shè)A（aB（b,0+7r） 1-COS& 將A, B兩點(diǎn)代入極坐標(biāo)方程，得“=1- 1-cos 01-cos（& + 兀） 貝lJ_L + J_J_cos& + l_cos(& + /r)二2 (定值) a b ppp 點(diǎn)睛，引中到橢圓和

5、雙曲線也是成立的。 推論：若圓錐曲線的弦MN經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F,則有侖+侖需 例二:經(jīng)過(guò)橢圓的的焦點(diǎn)作兩條相互垂直的弦AB和弦CD,求證丄t +人為定 |AB| |CD| 值。 證明：以橢圓的左焦點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，此時(shí)橢圓的極坐標(biāo)方程為廠匕 X/Q 則代入可得 乂設(shè)A(p,q)B(R,/r+&),C 門(mén)+。Q c，耳 112-e2 H二 |AB| |CD| 2ep 注釋。此公式對(duì)拋物線也成立,但對(duì)雙曲線不成立。注意使用的范圍。 推廣1若經(jīng)過(guò)橢圓的中心做兩條相互垂直的弦，倒數(shù)和也為定值。需要以原點(diǎn)為 極點(diǎn)建立極坐標(biāo)方程。 推廣2若不取倒數(shù)，可以求它們和的最值。 例三（2007重慶理改編）中心在原點(diǎn)o的橢圓

6、壬+尋，點(diǎn)尸是其左焦 點(diǎn)，在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)P|片匕使 ZPFP=ZPfP、= ZP、FP= 120. 1為定值，并求此定值. 解析：以點(diǎn)F為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為: p = ,設(shè)點(diǎn)p.對(duì)應(yīng)的極角為e,則點(diǎn)E與p.對(duì)應(yīng)的極角分別為 2-cos& 0 + 120、&-120。, P、幾與人的極徑就分別是I FP. 1= 一-一 2 一 cos 0 FP= 2-cos(6 + 120) J IF/I= 2-cos(& 120) 111 2-COS& 2-cos(& + 120)2-cos(8-120) M+P+M=+ 角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們知道心& +心（& + 120。） +心（&-120。） = 0,因此 111 為定值 if* FP |FP2| fp. 點(diǎn)睛:極坐標(biāo)分別表示I碼I、I F鬥I與I FPJ,這樣一個(gè)角度對(duì)應(yīng)一個(gè)極 徑.就不會(huì)象解析幾何那樣,一個(gè)傾斜角，對(duì)應(yīng)兩個(gè)點(diǎn)，同時(shí)對(duì)應(yīng) 兩條焦半徑（極徑），這就是極坐標(biāo)表示圓錐曲線的優(yōu)點(diǎn). 推廣1若放在拋物線和雙曲線中是否成立呢？ 推廣2設(shè)只匕P3匕是橢圓上的n個(gè)點(diǎn)，且FP,FP2,FP3.FPn圓周角等分貝J 工匕也為定值 制