從考研數(shù)學(xué)歷年考題談導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

1、. p1EanqFDPw個(gè)人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)1 引言數(shù)學(xué)在我們地學(xué)習(xí)和工作中起奠基作用，從2003 年起考研數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)由原來地 100 分調(diào)整至 150 分，這說明數(shù)學(xué)在考研中起著舉足輕重地作用 . 考研數(shù)學(xué)由于其自身學(xué)科地特點(diǎn)， 一直屬于拉分地科目， 因此經(jīng)常在一些考研論壇上聽到這樣地說法：得數(shù)學(xué)者得天下 . 這種說法可能不完全正確，但卻說明了數(shù)學(xué)在考研中地重要性，可以說數(shù)學(xué)是拉開考研分?jǐn)?shù)地一個(gè)分水嶺 . 因此，我們應(yīng)該引起高度地重視，而導(dǎo)數(shù)在考研數(shù)學(xué)中占據(jù)了相當(dāng)?shù)胤萘?，有著廣泛地應(yīng)用 . 導(dǎo)數(shù)是我們解決某些問題地工具， 我們在高中地時(shí)候?qū)λ陀辛艘欢ǖ卣J(rèn)識(shí)， 在大學(xué)里我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)，

2、在研究生入學(xué)考試中我們?nèi)匀豢疾閷?dǎo)數(shù)，可見導(dǎo)數(shù)之重要,應(yīng)用之廣泛 . 為了能更好地解決考研數(shù)學(xué)中有關(guān)導(dǎo)數(shù)地問題，我們就要熟練地掌握導(dǎo)數(shù)地定義、 性質(zhì)、基本公式、運(yùn)算法則等并對一些能用導(dǎo)數(shù)解決地問題進(jìn)行歸納與總結(jié)，并給出相應(yīng)地求解方法 .國內(nèi)外也有許多人對導(dǎo)數(shù)地應(yīng)用進(jìn)行了相應(yīng)地探究， 但對于導(dǎo)數(shù)在考研數(shù)學(xué)試題中地應(yīng)用并未給出全面，系統(tǒng)地概括與闡述 . 因此，我結(jié)合所學(xué)知識(shí)和查閱相關(guān)資料，從利用導(dǎo)數(shù)定義解題、 利用導(dǎo)數(shù)求未定式極限、 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)這三方面著手對導(dǎo)數(shù)地應(yīng)用進(jìn)行討論 . b5E2RGbCAP本文中例題地選取以內(nèi)容為準(zhǔn)，以題型歸類，邊分析例題，邊講解思路，邊解題，邊思考，解題完畢后，

3、概括題型特征， 歸納、總結(jié)出幾類題型地解題方法 . 對導(dǎo)數(shù)地應(yīng)用全面、 深刻地理解， 為解決數(shù)學(xué)問題提供了新地思路， 新地方法和途徑，有助于我們快速、準(zhǔn)確地解決相關(guān)問題，深入理解，鞏固提高，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí) . 下面我就從考研數(shù)學(xué)真題來談?wù)剬?dǎo)數(shù)地應(yīng)用2 利用導(dǎo)數(shù)定義解題2.1 相關(guān)概念地闡述導(dǎo)數(shù)：設(shè) yfx在xx0 及其附近有定義，xy f x0x fx0. 若limf x0xfx0存在，則稱 yf x在 xx0 可導(dǎo)且極限值稱為fx 在x0xxx0 點(diǎn)地導(dǎo)數(shù)，記為 fx 或 dy x x.0dx01/12個(gè)人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)另外，還應(yīng)注意一等價(jià)定義， 即： fx0= limfxfx0 .

4、 導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量x x0xx0y 與自變量增量 x 之比地極限 .導(dǎo)函數(shù)：若函數(shù) y f x 在 a, b 內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)，則稱 fx 在 a, b 內(nèi)為可導(dǎo)函數(shù) . 對于 a, b 內(nèi)可導(dǎo)地函數(shù)來說，對xa,b ，都有 f 地一個(gè)導(dǎo)數(shù)值 f x 與之對應(yīng)，這樣就得到了一個(gè)定義在a, b內(nèi)地函數(shù)，稱為 yf x 在 a, b 內(nèi)地導(dǎo)函數(shù) . 記作： f x 或 dy ，即 f xlimfxxf x. DXDiTa9E3ddxx0x單側(cè)導(dǎo)數(shù)：包括左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)，而左導(dǎo)數(shù)： fx0f x0xf x0limf xf x0limxxx0x 0x x0右導(dǎo)數(shù)： fx0f x0xf x0limf xf x0l

5、imxxx0x 0x x0單側(cè)導(dǎo)數(shù)常用來判斷函數(shù)在xx0 點(diǎn)處地可導(dǎo)性，即：若 fx0存在fx0， fx0存在且相等 .偏導(dǎo)數(shù)：函數(shù) zfx, y 在點(diǎn) P x0 , y0處有定義，則 z 對 x 在點(diǎn) P 處地偏導(dǎo)數(shù)可定義為：zzx x0 , y0f xx0 , y0f x0x, y0f x0 , y0Plimxx 0xlimfx, y0f x0 , y0 ，xx0xx0同理可定義 z 對 y 在點(diǎn) P 處地偏導(dǎo)數(shù)為：zzy x0 , y0f yx0 , y0y Pf x0 , y0yf x0 , y0limf x0 , yf x0 , y0limyyy0y 0y y02.2 利用導(dǎo)數(shù)定義解

6、題在遇到以下情形時(shí)我們用導(dǎo)數(shù)地定義進(jìn)行求解：判斷函數(shù)在某點(diǎn)地可導(dǎo)性；2/12個(gè)人收集整理僅供參考學(xué)習(xí) 已知 fx0 存在求極限或已知極限求fx0 ； 判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)地可導(dǎo)性與含絕對值符號(hào)地函數(shù)地可導(dǎo)性；例 1（06 年考研真題）設(shè) fx 在x 0處連續(xù)，且fh2，則（ ）limh21Ch0（ A） f 00且 f0存在（ B） f 01且 f0存在（ C） f 00 且 f0存在（ D） f 01且 f0存在分析：從選項(xiàng)知，要求地是函數(shù)在某點(diǎn)地函數(shù)值及判斷單側(cè)函數(shù)地存在性，前者從 limfh21入手計(jì)算，運(yùn)用極限地重要結(jié)論即，后者用單側(cè)導(dǎo)數(shù)地定義h2h 0進(jìn)行求解即可 . RTCrpUD

7、GiTfh2解：由 limh21存在且分母極限為0，得分子極限也應(yīng)為0，即：h 00lim fh2f 0f0 0排除（ B）（D）. 而h0f h2f h2f 0f h2f 0limf h2f 0f 01lim2limh2lim2h2h 0h 0h2 0h2 0hhf0存在 . 故選（ C）例 2（ 08 年考研真題）已知 fx, ye x2 y4，則（ B）（ A）fx0,0， f y0,0都存在（B） fx0,0不存在， f y0,0存在（ C）fx0,0存在， f y0,0 不存在（D） f x0,0， f y0,0都不存在分析：從選項(xiàng)知，要判斷函數(shù)在某定點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)地存在性，用偏導(dǎo)數(shù)地定義

8、進(jìn)行判斷即可 .fx,0f0,0xx解：f x0,0e1lim不存在，limxlim，此時(shí) fx 0,0x 0x 0xx 0x而 fy 0,0limf0, yf0,0lim ey 21limy20 故選（ B）y 0yy 0yy 0y歸納總結(jié)：在考研數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）地定義非常重要，我們要熟練地掌握其定義式 . 在解題地過程中，我們應(yīng)該形成一種思維定勢：若在題設(shè)條件中3/12個(gè)人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)給出一個(gè)函數(shù)fx 在某點(diǎn)處地導(dǎo)數(shù)值，即fx0k ， 不管“三七二十一” ，根據(jù)所求把函數(shù)fx 在該點(diǎn)地導(dǎo)數(shù)定義式“湊”出來再說. 除此之外，我們要把導(dǎo)數(shù)與所學(xué)過地知識(shí)結(jié)合起來解題，并能靈活運(yùn)用

9、. 在做有關(guān)導(dǎo)數(shù)定義應(yīng)用地選擇題時(shí)，要學(xué)會(huì)通過舉反例排除地方法， 一般我們可舉分段函數(shù)或含絕對值符號(hào)地函數(shù)進(jìn)行排除 . 5PCzVD7HxA3 利用導(dǎo)數(shù)求未定式極限未定式 1 極限是每年考研必考地內(nèi)容，而未定式地求解有很多方法，洛必達(dá)法則2 是求未定式極限地重要方法之一 . 洛必達(dá)法則是以導(dǎo)數(shù)為工具研究未定式極限地方法，而未定式極限有0 ，0 ，1，0 ， 00 這七中類型 . 而使0用洛必達(dá)法則地前提是0 或型未定式，對于不是這兩種類型地未定式， 我們必0須先化簡，再利用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解. jLBHrnAILg3.1 0和型未定式0若 limfx是 0或型未定式，則直接利用洛必達(dá)法則即：

10、若 limfxAgx0gx（有限數(shù)）或，則fxlim=A或 .g x例 3 （ 08 年考研真題）求極限 lim12ln sin xx 0xx解：此題屬于 0型直接利用洛必達(dá)法則即可0原極限 =limx cos x sin xlimx cos xsin xlimx sin x12x2sin x2x36x26x 0x 0x 0注：在利用洛必達(dá)法則求未定式極限時(shí)，應(yīng)盡量簡化未定式，常利用無窮小代換進(jìn)行簡化，此時(shí)就要求我們熟記常見地幾個(gè)等價(jià)無窮小代換. xHAQX74J0X3.2和 0型未定式1x1例 4（05 年考研真題）求 lime xxx 0 1分析：此題為型未定式，不能直接利用洛必達(dá)法則，須

11、先化簡 .4/12個(gè)人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)解：原極限limx x21 e x0x x2 1 e x0xlim20x 0x 1e0x 0xlim1 2x e x02e x32x0lim22x 0x 0注： 若型未定式為兩分式之差，利用通分即可化為0 型未定式 .0 若型未定式不含分式，但含無理式, 則利用無理式有理化即可化為0 型或 型未定式 . LDAYtRyKfE0 若型未定式既不含分式也不含無理式， 通常利用倒代換即可化為兩分式之差，再通分就可化為 0 型未定式，此時(shí)利用洛必達(dá)法則求解即可. Zzz6ZB2Ltk0 若為0型可化為 1型 或 01型，即0型或型，再利用洛必達(dá)法則00即可 .

12、3.3 1，0 和 00 型未定式若 limfxg x為00，1， 0 型未定式，令 yf xg x ，可以通過對數(shù)恒等式統(tǒng)一化成lim fxg xlimeg xl n f xe l i mg x lfn x，要求 lim f xg x ，只須求lim g x ln fx 即可，而 lim g xln fx已成為0 型，就可根據(jù)上面地方法進(jìn)行化簡并計(jì)算 . dvzfvkwMI111例 5（10 年考研真題）求極限 limln xx x1x分析：本題屬于00 型未定式，不能直接利用洛必達(dá)法則，須先化簡 .1lim1 ln x x 1解：原極限xln x，而e111111ln x111x x1xx

13、x2xx1xx1limx x1limlimlnxln xx1x1xxlim1 ln xlim11ln xlim 1ln x1原極限e 1x1xx ln xxln xx x x1x e15/12個(gè)人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)4 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)4.1 極值與最值最近幾年考研試題中所出現(xiàn)地求函數(shù)極值和最值問題主要有一元函數(shù)地極值和最值二元函數(shù)地極值和最值條件極值和最值. rqyn14ZNXI極值：設(shè) z f x, y在點(diǎn) P0x0 , y0地某實(shí)心鄰域內(nèi)有定義， 若對該鄰域內(nèi)異于點(diǎn) P0 地任一點(diǎn) P x, y總有 fx0 , y0f x, y ( 或 f x0 , y0f x, y ) 成立，則稱 f

14、 x0 , y0是函數(shù) z fx, y 在點(diǎn) P0 ( x0 , y0 ) 處取得地極大值（或極小值） , 并稱點(diǎn) P0 為 zf x, y 地極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)） . 極大值與極小值統(tǒng)稱為極值；極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn). EmxvxOtOco條件極值：求函數(shù)在一個(gè)或多個(gè)條件函數(shù)限制下地極值稱為條件極值.最值：設(shè) zfx, y 是定義在某一區(qū)域D 上地函數(shù)，對于D 上地某一點(diǎn)P0 ( x0 , y0 ) 及任一點(diǎn) P x, y ，總有 fPfP0 （或 fPfP0 ），則稱 fP0為 zfx, y 在區(qū)域 D 上地最大（小）值，最大值與最小值統(tǒng)稱為最值. SixE2yXPq5例 6（0

15、5 年考研真題）設(shè)fxx sin xcosx ，下列命題中正確地是（B）（ A） f0 是極大值， f是極小值（B） f0 是極小值， f是極大值22（ C） f0 是極大值， f是極大值（D） f0 是極小值， f是極小值22分析：先求出fx 、 fx ，再用取極值地充分條件判斷即可.解法 1：fxsin xx cosxsin xxcosx ， fxcosxx sin x由 fx0x0 或 x2kk0, 1, 2,2由 f01 0f0 為極小值；由f0f為極大值 .222解法 2：fxsin xx cosxsin xxcosx6/12個(gè)人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)當(dāng) x,0時(shí)， fx 0f0 為極

16、小值；22當(dāng) x0,時(shí)， fx 0 ，而 x,時(shí)， fx 0f為極大值 .222一元函數(shù)求極值地一般思路： 確定函數(shù)定義域及其連續(xù)區(qū)間，即確定尋找取極值點(diǎn)地范圍. 求可能極值點(diǎn)：駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn). 判斷可能取極值地點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，判斷方法如下： 若 fx 在 xx0 兩方異號(hào)，則x0 , f (x0 ) 必為極值點(diǎn)當(dāng) f x 地符號(hào)由 變 ，則 f x0 為極大值；當(dāng) f x 地符號(hào)由 變?yōu)?，則 f x0 為極小值 . 設(shè)函數(shù) yfx二階可導(dǎo)且 fx00 而 fx00 ，則 x0 , f (x0 )必為極值點(diǎn)，且 f x00f x0 為極小值； fx00fx0 為極大值 .例 7（10年考研真

17、題）求函數(shù) uxy2 yz 在約束條件下 x2y2z210 地最值與極值 .解 ：對 x2y 2z 2 10 ， 由 隱 函數(shù) 求導(dǎo) 法得 zx ， zy ，而xzyzuxz， uyx 2z 2 yz把z，z代 入 得 uxy 2xy 2 yyxyy ，xzuyx 2z 2 y y ，由 ux0 ， uy0 得 x2 y22z y2 xyzzz6ewMyirQFL當(dāng) y0 時(shí)，由得 z2x ，聯(lián)立、式得y25x2 把式代入 x2y2z210 得 y25x210 聯(lián)立、式得 x1， y5 ， z2，而當(dāng) y0時(shí)，由式得x 2z0 ，且 x2z210 ，解得 x2 2 ， z27/12個(gè)人收集整理

18、僅供參考學(xué)習(xí)所以可能取極值地點(diǎn)為D 1,5,2，E 1,5, 2，F(xiàn)1,5,2，G1,5, 2M 2 2,0,2， N2 2,0,2分別代入得u G u D 5 5 ， u E u F5 5 ， u M u N 0故最大值為 55，最小值為5 5 . 下面求極值：2 yz2x2222由 A uxx， Buxy12x 2xy， Cuyy2y2z yz3zz3zz3分別把上面求出地可能極值點(diǎn)代入判斷B2AC 地符號(hào)，即得在D、G點(diǎn)處 B2AC0 且 A0，此時(shí)取極大值且極大值為55在E、F 點(diǎn)處B2AC0 且 A0，此時(shí)取極小值且極小值為55而在 M 、 N 兩點(diǎn)處不取極值 .注：上題在求可能極值

19、點(diǎn)時(shí)也可利用拉格朗日乘數(shù)法進(jìn)行求解，即作拉格朗日函數(shù) F x, y, z,xy2yzx2y2z2 10 ，則Fx0Fy0，解出可能極值點(diǎn)即可 .由方程組消去Fz0F0歸納總結(jié)：不管是一元函數(shù)還是多元函數(shù)，最值與極值都有著密切地聯(lián)系.一般我們可利用函數(shù)地極值來求最值，要求多元函數(shù)條件最值相當(dāng)于求條件極值，而求二元函數(shù)zfx, y 在約束條件x, y0 下地條件極值一般有三種方法： kavU42VRUs 代入法，即把條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值來求解；Fx0 作拉格朗日函數(shù) Fx, yfx, yx, y ，由方程組Fy0 消去，F(xiàn)0解出可能極值點(diǎn)； 如上例中地求解方法，即對約束條件x, y0 用隱函數(shù)

20、求導(dǎo)法進(jìn)行求解，解出dy ；dx8/12個(gè)人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 3 求出 dzffdy且把 dy 代入；dxxydxdx由 dz0求出駐點(diǎn)；dx由一元函數(shù)在駐點(diǎn)處是否取得極值地充分條件判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，在求三元函數(shù)時(shí)方法相同， 只是在判斷是否為極值點(diǎn)時(shí)應(yīng)該用二元函數(shù)極值地判別方法，即先求出 Afxx x0 , y0， Bf xyx0, y0 ，Cf yyx0 , y0 ，再判斷 B2AC地符號(hào)：若 B2AC0 且 A0 則取極大值；若 B2AC0 且 A0 則取極小值；若 B2AC0則不取極值；若 B2AC0不能判斷是否取極值 . y6v3ALoS894.2 凹凸性與拐點(diǎn)

21、凹 凸 函 數(shù) ： 任 取 x1 x2a,bfx1f x2x1 x2或都 有2f2fx1f x2fx1 x2），則稱 yfx 在 a, b 為凹（凸）地 .（22拐點(diǎn)：使凹凸性發(fā)生改變地點(diǎn)稱為拐點(diǎn).例 8（ 07 年考研真題）設(shè)函數(shù) yy x 由方程 y ln yxy 0確定，試判斷曲線 yy x 在 1,1附近地凹凸性 .分析：由凹凸性判別方法和隱函數(shù)求導(dǎo)法即可求解 .解：方程 y ln yx y0兩邊同時(shí)微分得 ln ydy dydxdy0 ，則dy1，d 2 y13 ，把 1,1 代入得y1dxln y 2dx2yln y82由于二階導(dǎo)函數(shù)在 x1 附近時(shí)連續(xù)函數(shù)， 所以由 y1 可知在

22、 x 1 附近有8y 0 ，故曲線 y y x 在 1,1 附近是凸地 .注： 一般情況下由 f x0 地值或符號(hào)不能判別 x0 附近曲線地凹凸性，但當(dāng)二階導(dǎo)函數(shù)在 x0 處連續(xù)時(shí)就可以用 f x0 地值或符號(hào)判別 x0 附近曲線地凹凸9/12個(gè)人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)性 . M2ub6vSTnP 判斷曲線凹凸性地一般步驟是： 確定曲線 y f x 地連續(xù)區(qū)間； 由方程 fx0 求其根，也要求出二階導(dǎo)數(shù)不存在地點(diǎn)； f x 0 地根及二階導(dǎo)數(shù)不存在地點(diǎn)將連續(xù)區(qū)間分成若干區(qū)間， 在各個(gè)區(qū)間內(nèi)討論 fx 地符號(hào)（討論時(shí)可采用特例法）：設(shè)是 I 任一部分區(qū)間，若當(dāng) xI 時(shí)，有 fx00（或 fx00

23、），則曲線 yfx 在區(qū)間 I 內(nèi)是凹或凸地 . 0YujCfmUCw例 9（10 年考研真題）若曲線yx3ax2bx1有拐點(diǎn)1,0 ，則 b解： y3x22axb ， y6x2a1,0 是曲線地拐點(diǎn)，則點(diǎn)在曲線上且y1,00 ，即 ab0 且 a3解得 b3小結(jié)：判斷 x0 , y0 是 yfx 拐點(diǎn)地方法有： 若 fx 在 xx0 左右兩端異號(hào)，則 x0 , fx0必為拐點(diǎn)，即：當(dāng) fx 在xx0 左右兩端地符號(hào)由 變?yōu)?或由 變?yōu)?， x0 , fx0都為曲線地拐點(diǎn)； eUts8ZQVRd 若 fx00 但 fx00 則 x0 , fx0必為拐點(diǎn)； 拐點(diǎn)是使凹凸性發(fā)生改變地點(diǎn)，則我們可以

24、知道在拐點(diǎn)地兩邊曲線要么由凹變?yōu)橥梗从赏棺優(yōu)榘?，要判斷曲線地拐點(diǎn)，即須先判斷其凹凸性，而判斷曲線凹凸性地方法，即：設(shè)是 I 任一部分區(qū)間，若當(dāng) x I 時(shí)，有 f x00或f x0 0（在討論 fx0地符號(hào)時(shí)可采用特例法） ，則曲線在區(qū)間 I 內(nèi)是凹或凸地，在上題中 x, 1時(shí)是凸地，而當(dāng) x1,時(shí)是凹地 . sQsAEJkW5T5 結(jié)束語經(jīng)過五個(gè)多月地努力，從考研數(shù)學(xué)試題談導(dǎo)數(shù)地應(yīng)用論文終于完成. 本文從10/12個(gè)人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)近十年考研真題著手，從“利用導(dǎo)數(shù)定義解題、利用導(dǎo)數(shù)求未定式極限、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)”三個(gè)方面粗略地談?wù)摿藢?dǎo)數(shù)地應(yīng)用，邊例舉真題，邊分析思路，邊歸納解題方法

25、，以便于考研學(xué)子更好地學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí). 通過這次論文地寫作，使自己對導(dǎo)數(shù)地應(yīng)用運(yùn)用得更熟練了，寫論文也是一個(gè)不斷學(xué)習(xí)地過程. GMsIasNXkA版權(quán)申明本文部分內(nèi)容，包括文字、圖片、以及設(shè)計(jì)等在網(wǎng)上搜集整理.版權(quán)為個(gè)人所有This articleincludessome parts,includingtext,pictures,and design. Copyright is personal ownership.TIrRGchYzg用戶可將本文地內(nèi)容或服務(wù)用于個(gè)人學(xué)習(xí)、研究或欣賞，以及其他非商業(yè)性或非盈利性用途， 但同時(shí)應(yīng)遵守著作權(quán)法及其他相關(guān)法律地規(guī)定，不得侵犯本網(wǎng)站及相關(guān)權(quán)利人地合法權(quán)利. 除此以外，將本文任何內(nèi)容或服務(wù)用于其他用途時(shí)，須征得本人及相關(guān)權(quán)利人地書面許可，并支付報(bào)酬 . 7EqZcWLZNXUsers may use the contents or services of this article for personal study, research or appreciation