雙曲線與圓圓定位最優(yōu)岸臺(tái)分布算法研究與比較

1、 8 雙曲線與圓圓定位最優(yōu)岸臺(tái)分布算法研究與比較 郝燕玲，鄧志鑫，趙國(guó)清 （哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001 ） 摘要： 對(duì)于陸基無(wú)線電導(dǎo)航系統(tǒng)，為了得到最優(yōu)的岸臺(tái)分布算法，盡可能通過(guò)改善岸臺(tái)分布提高工作區(qū)的定位精度，通 過(guò)理論分析與仿真詳細(xì)研究與比較了雙曲線定位和圓圓定位兩種定位方式下，工作區(qū)某點(diǎn)GDOP值與岸臺(tái)布局之間的關(guān) 系，同時(shí)研究并對(duì)比了同一岸臺(tái)布局下兩種定位方式的定位精度分布，仿真結(jié)果表明雙曲線定位方式要優(yōu)于圓圓定位方 式，并得到兩者最佳的岸臺(tái)分布方案。 關(guān)鍵詞： 水路運(yùn)輸；雙曲線定位 ; 圓圓定位 ; 岸臺(tái)分布算法 ; 精度幾何因子 Comparison

2、and Research of Optimal Station Distribution Algorithm on Hyperbolic and Range-Range Positioning Mode HAO Yan-ling, DENG Zhi-xin, ZHAO Guo-qing (School of Automation, Harbin Engineering University, Harbin 150001 China) Abstract: To find the optimal station distribution algorithm and improve the posi

3、tioning accuracy of working area for wireless navigation system, the relationship between the GDOP value and the station distribution on hyperbolic positioning mode and range-range positioning mode was analyzed. Simultaneously, under fixed station distribution, the positioning accuracy distribution

4、on two different positioning modes was calculated and compared. Simulation results show that the hyperbolic positioning mode is better than range-range positioning mode, and the optimal station distribution of the two modes is got. Keywords： hyperbolic positioning ； range-range positioning； station

5、distribution algorithm ； GDOP value 2） 引言 陸基無(wú)線電導(dǎo)航系統(tǒng)主要采用雙曲線定位與 圓圓定位兩種定位方式，這兩種定位方式的定位 誤差主要取決于兩個(gè)因素：其一是雙曲線定位的 測(cè)距差誤差和圓圓定位的偽距測(cè)量誤差；其二是 這兩種定位系統(tǒng)的岸臺(tái)分布所引起的幾何精度衰 減因子（ Geometrical Dilution of Precision ）簡(jiǎn)稱 GDOP 。其二者之間的關(guān)系為： R d GDOP（ 1） （1）式中 R為定位誤差， d 為距離（距 離差）測(cè)量誤差， GDOP 是一個(gè)無(wú)量綱的純幾何 量。其中 d 取決于岸臺(tái)時(shí)鐘 （時(shí)鐘差） 偏差以及 各種隨機(jī)

6、誤差，這些量因具體的系統(tǒng)而不同。而 GDOP 則取決于岸臺(tái)分布和接收點(diǎn)與岸臺(tái)之間 的位置關(guān)系，因此分別研究并比較這兩種定位方 式下岸臺(tái)分布與 GDOP 值分布之間的關(guān)系， 并 利用這種關(guān)系找到較優(yōu)的定位方式和最佳的岸臺(tái) 分布算法是陸基無(wú)線電導(dǎo)航系統(tǒng)需要迫切解決的 問(wèn)題。 文獻(xiàn) 2中詳細(xì) 推導(dǎo)了 圓圓定位 系統(tǒng)中 的 GDOP 值與岸臺(tái)數(shù)量之間的關(guān)系，指出增加岸臺(tái) 數(shù)會(huì)降低系統(tǒng)工作區(qū)內(nèi)的 GDOP 值。但增加岸臺(tái) 數(shù)量會(huì)極大增加系統(tǒng)的建設(shè)成本，也會(huì)增加用戶 接收機(jī)的成本，不適合實(shí)際運(yùn)用，因此本文只討 論最少岸臺(tái)數(shù)量前提下的最優(yōu)岸臺(tái)分布。 1、兩種定位方式 GDOP值的計(jì)算 首先考慮雙曲線定位方式

7、的 GDOP 值計(jì)算。 雙曲線的幾何放大因子定義為： 1 2sin 2 其中 n 為由測(cè)距差誤差引起的雙曲線位置 線徑向誤差， M 為測(cè)距差誤差， 為工作點(diǎn)到 兩岸臺(tái)的張角 , 其證明過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn) 1 。下面首先 求取雙曲線定位徑向定位誤差的均方根值，圖 1 郝燕玲（ 1944- ），女，博士生導(dǎo)師，漢族，山東萊州人。研究方向：組合導(dǎo)航技術(shù)、無(wú)線電導(dǎo)航技術(shù)。 1 鄧志鑫（ 1982- ），男，博士生，漢族，哈爾濱人， Email ： ，通訊地址：哈爾濱工程大 學(xué)自動(dòng)化學(xué)院 407 實(shí)驗(yàn)室無(wú)線電組，聯(lián)系電話：研究方向：無(wú)線電導(dǎo)航。 趙國(guó)清（ 1982- ），男，博士生，湖

8、南岳陽(yáng)人。研究方向：無(wú)線電導(dǎo)航。 為求取徑向誤差 d 的平行四邊形： L1 L1 y/sin P x d x/ L2 L2 y P dr12Gh21 22Gh22 si2nK 1 2Gh1Gh2cos sin 2K 1 2 cos 12 sin sin 22 2sin 圖 1 確定徑向誤差 d 的平行四邊形 Fig.1 The parallelogram of radial error d 設(shè)導(dǎo)航接收機(jī)所在的真實(shí)位置為P ，通過(guò)真 實(shí)點(diǎn) P 的兩條位置線分別記為 L1和 L 2 ，它們?cè)?P 點(diǎn)的夾角為 ；實(shí)測(cè)得到的位置線是 L1 和 L 2 ，它們的交點(diǎn)為 P點(diǎn)，即定位指示點(diǎn)； PP 的 長(zhǎng)

9、度就是徑向誤差 d 。 由 式 ( 2 ) 易 知 ： x M1Gh1 ， y M 2Gh2 ，利用平面三角的余弦定理可得： 6) 這里 1和 2 分別是 P點(diǎn)對(duì)兩條基線的張角， 對(duì)于雙曲線系統(tǒng)， L1和 L 2可分別看作是 1與 2 的角分線，于是，兩條雙曲線在 P 點(diǎn)的夾角 是 P 點(diǎn)對(duì)兩個(gè)基線張角 1 與 2 之和的一半，即 ( 1 2)/2。當(dāng) 1等于或近似等于2 時(shí)， 由( 6)式抽象出一個(gè)純幾何量，即雙曲線定位的 GDOP 值： GDOhP sin2 1 2 12 1 2Kcos(1 2) 2 2 2 1 2 sin2 2 sin 1 sin 2 2 2 2 2sin(1 2 2)

10、 7) 由于 3 個(gè)岸臺(tái)的時(shí)鐘偏差互不相關(guān)，故 d22 (x2 y2 2 xy cos ) (3) sin2 d2 為隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為： E(d2) sin12 E(x2) E(y2) 2cos E(xy)(4) 由 x和 y的均值為零， 故 E(x2)和E(y2)就 22 是 x和 y的方差 x2和 y2 ，而E(xy)就是 x與 y 的相關(guān)矩， 并可表示為 E(xy) K x y，其中 K 是 x 與 y 的相關(guān)系數(shù)，即測(cè)量誤差M1和 M 2 的相關(guān)系數(shù)。 所以由式( 4)知，徑向定位誤差的均方根值 為： 2x2y22K x y cos drE(d 2)xy x y(5) sin 由

11、于 x2 Gh21 12， y2 Gh22 22，式中 12 和 22 是測(cè)距差誤差的方差，則： K 0 。 下面考慮圓圓定位的 GDOP 值計(jì)算。文獻(xiàn) 1 已經(jīng)對(duì)圓圓定位與雙曲線定位進(jìn)行了比較，但文 獻(xiàn)1在計(jì)算圓圓定位的 GDOP 值時(shí)，是采用兩位 置線相交定位的方案計(jì)算的，但是圓圓定位與雙 曲線定位不同，雙曲線定位中決定位置線位置的 測(cè)距差不包含接收機(jī)時(shí)鐘偏差的影響，因?yàn)樵摃r(shí) 鐘偏差已在相減的過(guò)程中抵消掉。而圓圓定位的 距離測(cè)量值包含有接收機(jī)時(shí)鐘偏差tu 的影響， 稱為偽距，因此必須引入第 3 個(gè)岸臺(tái)才能精確定 位，圓圓定位的原理示意圖如下： 圖 2 圓圓定位原理示意圖 Fig.2 The

12、 sketch map of Range-range positioning principle 其定位的基本方程為： R1R1C tu(x1x)2 (y1y)2C tu R2R2C tu(x2x) (y2y)C tu (8) R3R3C tu(x3x)2 (y3y)2C tu 式中， Ri為接收機(jī)到岸臺(tái)的真實(shí)距離， Ri 為 偽距， C 為光速， (x,y) 為工作點(diǎn)位置坐標(biāo)， (xi, yi) 為岸臺(tái)位置坐標(biāo)。式中接收機(jī)時(shí)鐘偏差 tu 作為單獨(dú)的一個(gè)變量出現(xiàn)在定位解算方程 中，此時(shí)圓圓定位的位置線有 3 條，因此不能簡(jiǎn) 單地通過(guò)兩位置線相交來(lái)計(jì)算 GDOP 值。 對(duì)( 8)式在接收點(diǎn)處進(jìn)行

13、泰勒展開(kāi)， 然后對(duì) 等式兩端取協(xié)方差，即可得到 3 岸臺(tái)圓圓定位的 GDOP 值為： GDOPr x2y2(C tu)2 R12R22R32 9) 1trace( AT A) 1 式中 x2、 y2與 2(C tu) 分別為接收點(diǎn) 處的 x方向、y 方向定位誤差的方差和 C tu誤差 的方差， R12、 R22 和 R32 分別為接收機(jī)到 3 個(gè) 臺(tái)站的偽距誤差的方差。其中： e11 e12 1 A e21 e22 1 e31 e32 1 (10) ei 2 ei1、 ei 2代表從用戶接收機(jī)到岸臺(tái)的方向余 ei1 xi x (xi x)2 (yi y)2 yi y (xi x) 2 (yiy

14、)2 trace ( ) 代表矩 陣的求跡運(yùn)算。 面給出了雙曲線定位與圓圓定位 GDOP 值 的計(jì)算公式，通過(guò)上面的分析可以看到， 3 個(gè)岸 臺(tái)的雙曲線定位與圓圓定位系統(tǒng) GDOP 值的計(jì)算 方法不同，而且不能簡(jiǎn)單地通過(guò)二者 GDOP 值的 解析表達(dá)式來(lái)判斷二者的大小及其與岸臺(tái)布局之 間的關(guān)系，因此本文將通過(guò)詳細(xì)的仿真來(lái)探求岸 臺(tái)布局及其與接收點(diǎn)的位置關(guān)系對(duì) GDOP 值的影 響，進(jìn)而得到最優(yōu)岸臺(tái)分布算法。 2、不同岸臺(tái)分布的 GDOP值仿真計(jì)算 為了便于描述岸臺(tái)與工作點(diǎn)之間的位置關(guān) 系，現(xiàn)將兩種定位方式下的系統(tǒng)仿真模型規(guī)定如 下，如圖 3所示， A1、A2和 A3分別代表 3個(gè)岸 臺(tái)的位置坐

15、標(biāo)， B 代表接收點(diǎn)位置坐標(biāo)，其與臺(tái) 站 A2 的距離為 D ， R12 和 R23 分別代表岸臺(tái) A1 、 A2 和 A2 、 A3 之間的基線長(zhǎng)度。 a 、 b 分別 為 A2 、 B 連線與兩基線之間的夾角。 圖 3 系統(tǒng)仿真模型 Fig.3 The simulation model of the system 兩種定位方式采用相同的位置關(guān)系模型，這 樣有利于相互的對(duì)比與分析，下面將給出各種情 況下不同的岸臺(tái)分布的 GDOP 值仿真結(jié)果。 (1) 設(shè) R12=R23=400km ， D 為固 定 值， a b，則 GDOP 值隨 a、b 的變化曲線圖 4 所 示。 hyGDOP rrGD

16、OP 100 80 P 60 40 20 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 角 度 (deg) 圖 4 仿真圖： R12=R23=400km ， D=600km ， a b Fig.4 The simulation figure when R12=R23=400km ， D=600km ， a b 圖中“ hyGDOP ”表示雙曲線定位方式的 GDOP 值，“rrGDOP ”表示圓圓定位方式的 GDOP 值。從該圖可以看到兩種定位方式的 GDOP 值變 化規(guī)律相似，但雙曲線定位的 GDOP 值始終小于 圓圓定位的 GDOP 值，當(dāng) a、b接近 180 或小

17、于 10 時(shí) GDOP 值將急劇增大， 10 120 之間時(shí) GDOP 值較小。 （2）設(shè) R12=R23=600km ，D 固定，a b 120 ， 則 GDOP 值與角度 a 之間的變化關(guān)系如圖 5 所示： 圖 5 仿真圖：R12=R23=600km ，D=700km ，a b 120 Fig.5 The simulation figure when R12=R23=600km ， D=700km ， a b 120 同樣，兩種定位方式的 GDOP 值變化規(guī)律相 似，但雙曲線定位的 GDOP 值始終小于圓圓定位 的 GDOP 值。 A2 、 B 連線與兩基線之間的夾角 越接近 GDOP 值

18、越小，反之越大， 但只要 A2、B 連線與其中一條基線的夾角不小于 10 ， GDOP 值就在可接受的范圍內(nèi)。 （3）設(shè) R12=R23， D=400km ， a b 60 ，則 兩種定位方式下 GDOP 值與基線長(zhǎng)度之間的關(guān)系 如圖 6 所示： hyGDOP rrGDOP PODG 00 64 100 200 300 400 500 600 700 800 基線長(zhǎng)度(km) 圖 6 仿真圖： R12=R23 ，D=400km ， a b 60 Fig.6 The simulation figure when R12=R23 ， D=400km ， a b 60 由圖 6 可知，雙曲線定位的

19、GDOP 小于圓圓 定位的 GDOP ，且兩種定位方式下的 GDOP 值隨 基線長(zhǎng)度的增加而減小。 （4） 設(shè) R12+R23=800km ，D=400km ，a b 60 ， 即兩基線長(zhǎng)度之和為定值時(shí)， GDOP 值與其中一 條基線長(zhǎng)度的變化關(guān)系如圖 7 所示，由圖可知， 兩基線長(zhǎng)度越接近兩種定位方式下的 GDOP 值越 小，當(dāng)兩基線長(zhǎng)度之比大于 7 時(shí) GDOP 值將迅速 增大。 100 hyGDOP rrGDOP 80 60 P DO G 40 20 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 基線長(zhǎng)度R12（km） 圖 7 仿真圖： R12+R23=800k

20、m ，D=400km ，a b 60 Fig.7 The simulation figure when R12+R23=800km ， D=400km ， a b 60 （5）以上已經(jīng)從不同的側(cè)面反映了 3 岸臺(tái)情況下 工作區(qū)內(nèi)某點(diǎn) GDOP 值與岸臺(tái)分布之間的關(guān)系， 下面將討論岸臺(tái)分布固定時(shí)，其周?chē)欢▍^(qū)域內(nèi) 的 GDOP 值分布情況。 圖 8 岸臺(tái)分布固定時(shí)其周?chē)?900km 以內(nèi)的 GDOP 分布 Fig.8 The GDOP distribution in 900km when the station distribution is fixed 圖 8 描 述 了 兩 種 定 位 方

21、式 下 R12=R23=400km ， a b 60 時(shí)，以中間臺(tái)站為 原點(diǎn)，延 x、 y 軸的正負(fù)方向上分別擴(kuò)展 900km 的正方形范圍內(nèi)的 GDOP 值分布情況，反映了 GDOP 值小于 30 時(shí)的部分三維曲面， 圖 9 是圖 8 的俯視圖，反映了 GDOP 值小于 30 的平面區(qū)域。 圖 9 岸臺(tái)分布固定時(shí) GDOP 值小于 30 的定位區(qū)域 Fig.9 The positioning area whose GDOP value is less than 30 when the station distribution is fixed 由圖 8 可以看到，圓圓定位的 GDOP 值曲面

22、 始終在雙曲線定位的 GDOP 值曲面的上方，這表 明在所有區(qū)域內(nèi)，圓圓定位 GDOP 值均大于雙曲 線定位的 GDOP 值。由圖 9可知，當(dāng) GDOP 值小 于 30 時(shí)，雙曲線定位的工作區(qū)域大于圓圓定位的 工作區(qū)域，圖 9 中標(biāo)記出了 3 個(gè)岸臺(tái)的位置及兩 種定位方式下的基線。分析圖 8 與圖 9 可知，在 雙曲線定位方式下，兩條基線延長(zhǎng)線B1、 B3 的 周?chē)?GDOP 值將顯著增大， 而在圓圓定位方式下， 三條基延線 B1、 B2 和 B3 周?chē)?GDOP 值將很 大，由此可以得出，兩種定位方式下在基延線周 圍定位精度將很低。 3、結(jié)論 根據(jù)上面各個(gè)層面上的仿真結(jié)果，可以得到 如下結(jié)

23、論： （ 1） 雙曲線定位與圓圓定位兩種方式其岸臺(tái) 分布與 GDOP 值分布之間的關(guān)系相似，但雙曲線 定位由于不存在接收機(jī)時(shí)鐘偏差的誤差，其定位 精度要優(yōu)于圓圓定位方式。 （ 2） 岸臺(tái)布局時(shí)不要使兩基線夾角過(guò)小或過(guò) 大，應(yīng)在 40 240 之間選擇。 （ 3） 應(yīng)使工作區(qū)域內(nèi)的所有點(diǎn)與中間臺(tái)站之 連線和某一基線的夾角不要過(guò)小 （應(yīng)大于 20 ），并 盡量使之與兩基線夾角接近。 （ 4） 應(yīng)盡量增加基線長(zhǎng)度，并盡量使兩基線 長(zhǎng)度接近，以提高工作區(qū)域內(nèi)的定位精度。 （ 5） 在岸臺(tái)分布難以調(diào)整的情況下，也要保 證工作區(qū)域不要分布在任何一條基線延長(zhǎng)線的周 圍，那里的定位精度將很低。 參考文獻(xiàn) 1

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