近三高考全國卷理科立體幾何真題

1、新 課 標 卷 高 考 真 題1、(2016年全國I高考)如圖，在以A, B, C, D, E, F為頂點的五面體中，面ABEF 為正方形，AF=2FD, ZAFD = 90 ,且二面角 D-AF-E 與二面角 C-BE-F 都是60 .(I) 證明：平面ABEF丄平面EFDC；(II) 求二面角E-BC-A的余弦值.2、(2016年全國Il高考)如圖，菱形ABCD的對角線 AC 與 BD 交于點 O, AB = 5,AC = 6,點 E.F 分別在 AD,CD L, AE = CF=-, EF 4交BD于點、H .將DEF沿EF折到f EF位置，OD =屎.(I )證明：DH丄平面ABCD；

2、(Il)求二面角B-DfA-C的正弦值.3【2015高考新課標1,理18】如圖，四邊形宓9為菱形，ZAB(=12Qo , E,尸是平面宓9同一側(cè)的兩點，亦丄平面ABCD,刃7丄平面宓9, B呂2DF, AEVEC.(1 )證明：平面應(yīng)CL平面力/匕(II )求直線川?與直線/所成角的余弦值.4、2014新課標全國卷II如圖1-3,四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，刊丄平 面ABCD, E為PD的中點.證明：PB平面AEC；(2)設(shè)二面角D-AE-C為60 , AP=I, AD=y,求三棱錐E-ACD的體積.圖1-35、2014新課標全國卷I如圖15,三棱柱ABC-AIBICi中，側(cè)面B

3、BIClC為菱形,AB 丄 BC圖1-5(1) 證明：AC=ABi;(2) 若 Ae丄ABlf ZCBBl= 60 , AB=BC,求二面角 -AiBi -CI 的余弦值.6、(2017新課標II)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂丄直于底面 ABCD, AB=BC= 2 AD, ZBAD=ZABC=90o , E 是 PD 的中點.(I )證明：直線CE平而PAB；(II)點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45 ,求二面角M-AB-D的余弦值.7、(2017新課標IlI)如圖，四而體ABCD中，ZABC是正三角形，AACD是直 角三角形，ZABD=ZCBD,

4、 AB=BD.(I )證明：平面ACD丄平面ABC；(IDjSac的平面交BD于點E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角DAE-C的余弦值.在四棱錐 P-ABCD 中，ABCD,且ZBAP=ZCCDP=90o (12 分)(1)證明：平而PAB丄平而PAD； (2)若 PA=PD二AB二DC, ZAPD=90 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值1【解析】(1). ABEF為正方形 AF 丄EF T ZAro = 90化 AF 丄DF. DF C EF=F：.AFEFDCAF丄面ABEF.平而ABEF丄平面旳C由知 ZDFE = ZCEF = 60V AB/EF AB(Z

5、 平面 EFDCEFU平面 EFDC ：. AB 平面 ABCD/Wu 平面 ABCD：面 ABCD 面 EFDC = CD AB/CD CD/ EF /四邊形EFDC為等腰梯形以為原點，如圖建立坐標系，F(xiàn)D = Q而= (0,2,0),=設(shè)面法向量為不= (x，Z).廳=(-2 0, 0)m EB = 0件4 C /3芮 A X - 2avl + zl = 0m BC = O 即2 I ,2,設(shè)面MC法向量為,兒 6)；BC=O/I AB = O BlJCoSe = 設(shè)二面角E-BC-A的大小為0.219二面角E-BC-A的余弦值為一-iAE = CF = ? AE =2【解析】證明：J .

6、AD = 0, v = 3 z, = 4d _7_ 2j?Pp3+T3 + 1619：.EF/AC9 四邊形 ABCQ 為菱形，二 AC 丄 BD,I EF 丄 BD , EF 丄 DH ,二 EF 丄 DtH AC = 6 A0 = 3 V AB = 5 AOLOB 03 = 49 , 人T9 9AUOHOD-IAo,.DH = DH = 3 , OD = OH + DHf DHLOH 又7 0HEF = H T :.D H 丄面 ABCQ建立如圖坐標系HfjB(5, 0, 0) C(If 3, 0)D,(0t 0, 3) A(l, -3, 0)而= (4,3,0),麗=(一1,3,3)，A

7、C=(0. 6, O) J設(shè)面ABD法向量嚴N八）,4 + 3j = 0 -3,+ 3z = 0X = 3 y = -4,取5 ,.兀=(3, -4, 5).同理可得面AD C的法向量E = （3, O, I）JICoSI _ RL l95l -75你.網(wǎng)一麗一閒T百 Jn-導(dǎo).3, 【答案】（I ）見解析（II）竺3【解析】試題分析；（I ）連接氏，設(shè)BAM=G,連接三G, FG EF,在麥形8中，不妨設(shè)=I易證三G丄上C, 通過計算可證WG丄FG根據(jù)線面垂直判定定理可知三G丄平面圧C,由面面垂直判定定理知平面4T丄平 面（ II）以G為坐標原點，分別以GBfiC的方向為X軸，軸正方向，GB

8、為單位長度，建立空間 頁角坐標系G-r.z,利用向量法可求出異面直線上三與UF所成第的余弦值.試題解析； I ）連接見，設(shè)3D-C=G,連接三G, FGfF,在邸32中,不妨設(shè)G3=i,由Z.-C=12：:, 可得 SG=GC=E55丄平面 WyCD, W*=3C 可知，*=（?,又 *： AEA-Ea ： EG=羽，EGA-Aa在Rt中，可得於L故加22在RXFDG中，可得尸G 在直角梯形劭屜中，山松2, B呂忑,D&O可得E&巫,2 2：.EG2+ FG2 =EF29 ： EGLFG.：ACaFG ：. EGV 平面力尸G%u面血C 平面處T丄平面AEC.6分（）如圖，以G為坐標原點，分別

9、以面,疋的方向為X軸，y軸正方向，I而I為單位長度，建立空間直角坐標系GS由（1 ）可得 A (O, -3 , 0), 5(1,0, 2), F3 , 2 ), CF= (-1, -3 ,)210所以直線血與丹斤成的角的余弦值為拿12分(-1,0, ), C(0, 3 , 0), .,.E= (1,2故寫卡4, 解：（1）證明：連接Bz）交AC于點O連接EO. 因為ABCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點.又E為PD的中點，所以E因為EO平面AEC, PB平面AEC,所以PB平面AEC. 因為用丄平面ABCD, ABCD為矩形，所以AB, AD, AP兩兩垂直Z軸的正方向，麗I為如圖，以A為坐標原點

10、，AB, AD, AP的方向為X軸、y軸、單位長，建立空間直角坐標系-7z,則 D(0, 3, 0), eo,設(shè) Bg 0, O)(W0),則 C(m, 3, 0), AC=(h, 3, 0). 設(shè)M=(-, y, Z)為平面ACE的法向量，L-Ac=O, +3=o*則B 31u AE=O9 I 2 y+亍=S可取,li=mf 一1 乂 h2 = (H 0, 0)為平面ZME的法向量，由題設(shè)易知ICOS Z.因為ZCBBI=60 ,所以ZkCBBi為等邊三角形，又AB=BC,則*0, 0,割，B(l, 0, 0), Bll 0,半,OP d o, -，O .X51 =(0,誓,-零)，ATfe

11、l=AB=(1, 0,-誓)，BICI=BC=(-1,-羋Ol設(shè)N = (x, y, Z)是平面AAlB的法向量，則nABl=0,=0,憐 =o, b=O-所以可取m = (1, 3, 3).設(shè)m是平面AiBiCi的法向量,Im-AiB1=O,同理可取 Jn=(I, _羽,MBTdl=0,則 COS (/,加所以結(jié)合圖形知二面角A -AlBl - Cl的余弦值為殳6、【答案】(I )證明：取PA的中點F,連接EF, BF,因為E是PD的中點,所以 EF U 2 AD, AB=BC= 7AD, ZBAD=ZABC=90o , BC 3AD,BCEF是平行四邊形，可得CEBF, BF平面PAB,

12、CF平面PAB,直線CE平而PAB；(II )解：四棱錐P-ABCD中，丄側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD, AB=BC= 2 AD,ZBAD=ZABC=90o , E 是 PD 的中點.取AD的中點0, M在底面ABCD 的射影N在OC上，設(shè)AD=2,則AB=BC=I,OP= P, ZPCO=60 ,直線BM與底面ABCD所成角為45 ,可得：BN=MN, CN= TMN, BC=I,1逅 逅可得：1+ SBN2=BN2 , BN= MN= T,作NQ丄AB于Q,連接MQ, 所以ZMQN就是二面角M-ABD的平而角，MQ= *+T)二面角MAB-D的余弦值為：學(xué)二粵.7.【答案】(

13、I )證明：如圖所示，取AC的中點0,連接BO, 0D.VABC是等邊三角形，OBAC.ABD 與ZiCBD 中，AB=BD=BC, ZABD=ZCBD,ABDCBD, AD=CD./ ACD是直角三角形，丄 AC 是斜邊，/. ZADC=90o . D0= AC.DO2+BO2=AB=BD2 平而ACD丄平而ABChk DE,hE .貝IJ 如二 JS . ZBOD=90o . OBOD 又DO AC=O,OB丄平面ACD.又OB平面ABC,(1【)解：設(shè)點D, B到平而ACE的距離分別為h平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分, 羊SD 坐/.朋沁EhE= hE= BE=I9點E是

14、BD的中點.建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設(shè)AB=2.則 0 (0, 0, 0), A (b 0, 0), C ( - 1, 0, 0), D(0, 0, 1), B (0,V3,0, 0)Ab=( 1, 0, 1), AE= - L AC= ( - 2,-x+s=O亦益=OG I設(shè)平面ADE的法向量為 加(x, y, z),則U = 0,即x+J，+2S = O, 取卩麗3.同理可得：平面ACE的法向量為H= (0, 1,-點)cos爾I 二際2=.二面角D-AE-C的余弦值為T 8、【答案】(1)證明：VZBAP=ZCDP=90o ,.PA丄AB, PDCD, VAB/CD, .AB丄

15、PD,又 V PA PD=P,且 FA 平面 PAD, PD 平面 PAD,.AB丄平面PAD,又AB平而PAB,平面PAB丄平面PAD；(2)解：.ABCD, AB=CD, 四邊形ABCD為平行四邊形，由(1)知AB丄平面PAD, AB丄AD,則四邊形ABCD為矩形，在ZiAPD中，由PA=PD, ZAPD=90 ,可得ZPAD為等腰直角三角形，設(shè) PA=AB二2“ 則 AD二 2.取AD中點O, BC中點E,連接PO、OE,以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)A、OE、OP所在直線為x、y、Z軸建立空間直角坐標系，則：D ( -2,0,0 ), B (血2,0), P (O, O, C ( 一J,2,0).PD = (-2,0,-2ajPB=(屆