多面體外接球半徑常見的5種求法(柯建華)

1、多面體外接球半徑常見的5種求法如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多面體的外接球有關多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點，也是高考考查的一個熱點.研究多面體的外接球問題，既要運用多面體的知識，又要運用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關幾何元素與球的半徑之間的關系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關重要的作用知識回顧：1、球心到截面的距離d與球半徑R及截面的半徑r有以下關系2、 球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫 .被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫3、球的表面積表面積 S= ;球的體積V=4、 球心一定在過多邊形（頂點均在球面上）外接

2、圓圓心且垂直此多邊形所在平面的垂線 上方法一：公式法例1 一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為 9,底面周長為3,則這個球的體積8為-式 （R-球的半徑；d-球心到球截面圓的距離，注意球截面圓通常是頂點在球上多邊形的外接圓；r-頂點在球上多邊形的外接圓的半徑）方法二：多面體幾何性質(zhì)法例2已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個球的表面積是（）A. 16 B. 20 C. 24 D. 32解：設正四棱柱的底面邊長為 X，外接球的半徑為R，則有4x2 16，解得x 2.二2R V22 22 42 2屈，R胚.二

3、這個球的表面積是4 R2 24 .選C.小結：本題是運用“正四棱柱體（包括正方體、長方體）對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來求解的.方法三：補形法例3:若三棱錐的三個側面兩兩垂直，且側棱長均為，則其外接球的表面積是二解：據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側棱兩兩垂直，二把這個三棱錐可以補成一個棱長為.3的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球2 22 C設其外接球的半徑為R，則有2R 2-.3 .3 -.3 9二R2 -.4故其外接球的表面積S 4 R29 .小結：一般地，若一個三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且其長度分別為ab、c ,則就可以將這個三棱錐補成一個長方體，于是長方體的體對角線的長

4、就是該三棱錐的外接球的直徑?設其外接球的半徑為 R，則有2R . a2 b2 c2 .AAPA PB PC兩兩垂直采用補形法方法四：尋求軸截面圓半徑法例4正四棱錐S ABCD的底面邊長和各側棱長都為同一球面上，則此球的休積為-.2，點 s、A、B、C、D 都在C解 設正四棱錐的底面中心為 Oi,外接球的球心為0,如圖3所示.二由球的截面的性質(zhì)，可得00i平面ABCD .又SOi平面ABCD，二球心0必在SO所在的直線上.二ASC的外接圓就是外接球的一個軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑在 ASC 中，由 SA SC .2 , AC 2，得 SA2 SC2 AC2.ASC是以AC為斜邊的Rt

5、AC1是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故V球23小結：根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實質(zhì)就是通過尋找外接球的一個軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究？這種等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法 值得我們學習?方法五：確定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB 4,BC 3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B AC D，則四面體ABCD的外接球的體積為A 125 B 125 C 125 12.9. 6D 空3D圖4 B解：設矩形對角線的交點為 0,則

6、由矩形對角線互相平 分，可知 OA OB OC OD .?點0到四面體的四個頂點 A、B、C、D的距離相等，即點0為四面體的外接球的球心，如圖2所示.？外接球的半徑R 0A 5 .故V球4 R3 125 .選C.236小結：若四面體或三棱錐的一條棱所對的兩個頂角者E是直角，則利用直角三角形知識可知：四面體外接球的球心就是這條棱的中心，球的半徑等于此棱長度的一【練習鞏固】練習1 （陜西，2010）如圖，在三棱錐P-ABC中，円丄平 AABC.CBL P5CB丄 AB IPA二 2 朋二 2BC二 2 , 求其外接球的體積乜f練習2 （全國卷，2010）已知三棱錐的各條 棱 長均為止求其外接球的表

7、面積練習3 （河北，2012）如圖，在四面體ABCD 中，妙二 DC二插？ AD 二 BC二怎 BMAC 二 屈，求其外接球的表面積【參考答案】 練習1【補形法】D【軸截面 法】0A 二 OB二 0C二 OP 4練習2【補形法】癥，S二曲二二2【軸截面 法】練習3【補形法】V3 - I/b就R-%AO2 = AH2 +OE37TAT =,5 Q兀& = 1 52亂已知三棱柱A召-A咼仃的吹點都 在球0的養(yǎng)面上，且測棱 垂直于屁面 9若XC = 4rZAHC=AA6f則球。的衰質(zhì)積積為.4J5OZ nDJO 開31若三梭24.已知廠為球的直徑，4、A是該球面上的兩點，ABA-SC, AS（24J3AS-ABC舸體取則璨0的伍積為（a3鬲?在正三復錐S-A出：中，耐為切的申點，且/W丄S&,眼面邊長Alt=2運貝性E三犢旌5 -的外接球的表面積.為（Rd(32j6x 3, 1解 設正六棱柱的底面邊長為X，高為h，則有9、3 2 X 29 6 空 x*