小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理1——數(shù)論

1、數(shù)論：1、奇偶； 2、整除; 3、余數(shù)； 4、質(zhì)數(shù)合數(shù) 5、約數(shù)倍數(shù)； 6平方； 7、進(jìn)制； 8、位值。 一、奇偶： 一個(gè)整數(shù)或?yàn)槠鏀?shù)，或?yàn)榕紨?shù)，二者必居其一。 奇偶數(shù)有如下運(yùn)算性質(zhì)： （1） 奇數(shù)土奇數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)土偶數(shù)= 偶數(shù) 奇數(shù)土偶數(shù)=奇數(shù)偶數(shù)土奇數(shù)二奇數(shù) （2）奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和（或差）為奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和（或差）為偶數(shù)，任意 多個(gè)偶數(shù)的和（或差）總是偶數(shù)。 （3） 奇數(shù)x奇數(shù)二奇數(shù)偶數(shù)x偶數(shù)二偶數(shù) 奇數(shù)X偶數(shù)二偶數(shù) （4）若干個(gè)整數(shù)相乘，其中有一個(gè)因數(shù)是偶數(shù)，則積是偶數(shù)；如果所有的因數(shù) 都是奇數(shù)，則積是奇數(shù)。 （5）偶數(shù)的平方能被4整隊(duì)，奇數(shù)的平方被4除余1。 上面幾條規(guī)律可以概括成一

2、條：幾個(gè)整數(shù)相加減，運(yùn)算結(jié)果的奇偶性由算式中奇 數(shù)的個(gè)數(shù)所確定；如果算式中共有偶數(shù)（注意： 0也是偶數(shù)）個(gè)奇數(shù)，那么結(jié)果 一定是偶數(shù)；如果算式中共有奇數(shù)個(gè)奇數(shù)，那么運(yùn)算結(jié)果一定是奇數(shù)。 二、整除： 掌握能被30以下質(zhì)數(shù)整除的數(shù)的特征。 被2整除的數(shù)的特征為：它的個(gè)位數(shù)字之和可以被 2整除. 被3 （9）整除的數(shù)的特征為：它的各位數(shù)字之和可以被 3 （9）整除。 被5整除的數(shù)的特征為：它的個(gè)位數(shù)字之和可以被 5整除。 被11整除的數(shù)的特征是：它的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差（大減小）能 被11整除。 下面研究被7、11、13整除的數(shù)的特征。有一關(guān)鍵性式子：7X11X13=1001。 判定某數(shù)能

3、否被7或11或13整除，只要把這個(gè)數(shù)的末三位與前面隔開， 分成兩 個(gè)獨(dú)立的數(shù)，取它們的差（大減?。?，看它是否被7或11或13整除。 此法則可以連續(xù)使用。 例：N=987654321判定N是否被11整除。 9 8 7 第一歩: 第二歩 -333 6 54 因?yàn)?54不能被11整除，所以N不能被11整除 例：N= 215332判定N是否被7、11、13整除。 3 3 2 -215 第一歩: 1 1 7 由于117= 13X 9,所以117能被13整除，但不能被7、11整除，因此N能 被13整除，不能被7、11整除。 此方法的優(yōu)點(diǎn)在于當(dāng)判定一個(gè)較大的數(shù)能否被 7或11或13整除時(shí)，可用減 法把這個(gè)大

4、數(shù)化為一個(gè)至多是三位的數(shù)，然后再進(jìn)行判定。 被17、19整除的簡(jiǎn)易判別法.回顧對(duì)比前面，由等式1001 = 7X 11X 13的啟 發(fā)，才有簡(jiǎn)捷的“隔位相減判整除性”的方法。對(duì)于質(zhì)數(shù)17: 17X 59=1003, 因此，判定一個(gè)數(shù)可否被17整除，只要將其末三位與前面隔開，看末三位數(shù)與 前面隔出數(shù)的3倍的差（大減?。┦欠癖?7整除。 1 3 例：N=31428576,判定N能否被17整除。 而429=25X17+4,所以N不能被17整除 例：N =能否被17整除？ 第二步t9 5 6 -2 1 3V C?X3 ) 第一歩=2661 X3 7 9 8 3 -0 2 7 TTFT 又 935=55

5、X 17。 所以N可被17整除。 下面來(lái)推導(dǎo)被19整除的簡(jiǎn)易判別法。 尋找關(guān)鍵性式子：19X 53=1007. 因此，判定一個(gè)數(shù)可否被19整除，只要將其末三位與前面隔開，看末三位 與前面隔出數(shù)的7倍的差（大減小）是否被19整除。 例：N= 123456789可否被19整除？ 第一步：1 2 3 4 5 S 興T 3X192 - T X 9 S 6 3 4 0 3 又603= 31 X 19+14,所以N不能被19整除 例：N=6111426可否被19整除？ 第一歩！ *、7 生2 T 一 4 2 6 4 2 3 S 1 又 57=3X 19,所以 N 可被 19 整除：321654X 19=6

6、11142& 下面來(lái)推導(dǎo)被23、29整除的簡(jiǎn)易判別法。 尋找關(guān)鍵性式子，隨著質(zhì)數(shù)增大，簡(jiǎn)易法應(yīng)該在N的位數(shù)多時(shí)起主要作用， 現(xiàn)有 23X 435= 10005, 29 X 345=10005, 因此，判定一個(gè)數(shù)可否被23或29整除，只要將其末四位與前面隔開，看末 四位與前面隔出數(shù)的5倍的差(大減小)是否被23或29整除。 例：N =能否被23或29整除？ 又 5336= 23X 232= 23X 29X 8, 所以很快判出N可被23及29整除。 三、余數(shù) 三大余數(shù)定理： (1) 余數(shù)的加法定理 a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之和，或這個(gè)和除以c 的余數(shù)。 例如：23, 16

7、除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23+16= 39除以5的余數(shù)等 于4,即兩個(gè)余數(shù)的和3+1.當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再 除以c的余數(shù)。 例如：23, 19除以5的余數(shù)分別是3和4,所以23+19=42除以5的余數(shù)等 于3+4=7除以5的余數(shù)為2 (2) 余數(shù)的減法定理 a與b的差除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之差。 例如：23, 16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23- 16= 7除以5的余數(shù)等于2, 兩個(gè)余數(shù)差3- 1= 2. 當(dāng)余數(shù)的差不夠減時(shí)時(shí)，補(bǔ)上除數(shù)再減。 例如：23, 14除以5的余數(shù)分別是3和4, 23- 14= 9除以5的余數(shù)等于4,兩 個(gè)余數(shù)差為

8、3+ 5-4 = 4 (3) 余數(shù)的乘法定理 a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個(gè)積 除以c所得的余數(shù)。 例如：23, 16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23X16除以5的余數(shù)等于 3 X = 3。 當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。 例如:23,19除以5的余數(shù)分別是3和4,所以23X19除以5的余數(shù)等于3M 除以 5 的余數(shù)，即 2. 乘方：如果a與b除以m的余數(shù)相同，那么a與b除以m的余數(shù)也相同. （4）應(yīng)用 ：棄九法、同余定理 應(yīng)用一、棄九法原理 在公元前 9 世紀(jì),有個(gè)印度數(shù)學(xué)家名叫花拉子米,寫有一本花拉子米算術(shù) , 他們?cè)谟?jì)算

9、時(shí)通常是在一個(gè)鋪有沙子的土板上進(jìn)行, 由于害怕以前的計(jì)算結(jié)果丟 失而經(jīng)常檢驗(yàn)加法運(yùn)算是否正確,他們的檢驗(yàn)方式是這樣進(jìn)行的： 例如：檢驗(yàn)算式 1234 1898 18922 678967 178902 889923 1234除以 9的余數(shù)為 1 1898除以 9的余數(shù)為 8 18922除以 9的余數(shù)為 4 678967除以 9的余數(shù)為 7 178902除以 9的余數(shù)為 0 這些余數(shù)的和除以 9 的余數(shù)為 2 而等式右邊和除以 9 的余數(shù)為 3,那么上面這個(gè)算式一定是錯(cuò)的。 上述檢驗(yàn)方法恰好用到的就是我們前面所講的余數(shù)的加法定理, 即如果這個(gè) 等式是正確的,那么左邊幾個(gè)加數(shù)除以 9的余數(shù)的和再除以

10、 9的余數(shù)一定與等式 右邊和除以 9 的余數(shù)相同。 而我們?cè)谇笠粋€(gè)自然數(shù)除以 9 所得的余數(shù)時(shí), 常常不用去列除法豎式進(jìn)行計(jì) 算,只要計(jì)算這個(gè)自然數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和除以 9的余數(shù)就可以了, 在算的時(shí)候 往往就是一個(gè) 9 一個(gè) 9 的找并且劃去,所 以這種方法被稱作 “棄九法 ”。 所以我們總結(jié)出棄九法原理：任何一個(gè)整數(shù)模 9同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。 以后我們求一個(gè)整數(shù)被 9除的余數(shù), 只要先計(jì)算這個(gè)整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和, 再 求這個(gè)和被 9 除的余數(shù)即可。 利用十進(jìn)制的這個(gè)特性, 不僅可以檢驗(yàn)幾個(gè)數(shù)相加, 對(duì)于檢驗(yàn)相乘、 相除和 乘方的結(jié)果對(duì)不對(duì)同樣適用 注意：棄九法只能知道原題一定是錯(cuò)的

11、或有可能正確,但不能保證一定正確。 例如：檢驗(yàn)算式 9+9=9 時(shí),等式兩邊的除以 9 的余數(shù)都是 0,但是顯然算式是錯(cuò) 誤的。 但是反過(guò)來(lái), 如果一個(gè)算式一定是正確的, 那么它的等式 2兩端一定滿足棄九法 的規(guī)律。這個(gè)思想往往可以幫助我們解決一些較復(fù)雜的算式謎問(wèn)題。 應(yīng)用二、同余定理：若兩個(gè)整數(shù) a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱 a、b對(duì)于模m同余，用式子表示為：ab （ mod m ）,左邊的式子叫做同余式。 同余式讀作：a同余于b,模m。 同余定理重要性質(zhì)及推論：若兩個(gè)數(shù) a, b除以同一個(gè)數(shù)m得到的余數(shù)相同，則 a, b 的差一定能被 m 整除。例如： 17與11除以3的余數(shù)都是

12、 2 ,所以（17 11）能 被 3 整除. （用式子表示為：如果有a耳）（modm ），那么一定有a b= mk,k是整數(shù)，即m|（a b） 余數(shù)判別法 當(dāng)一個(gè)數(shù)不能被另一個(gè)數(shù)整除時(shí)， 雖然可以用長(zhǎng)除法去求得余數(shù)， 但當(dāng)被除 位數(shù)較多時(shí)，計(jì)算是很麻煩的建立余數(shù)判別法的基本思想是：為了求出“N 被 m除的余數(shù)”我們希望找到一個(gè)較簡(jiǎn)單的數(shù) R,使得：N與R對(duì)于除數(shù)m同余.由 于R是一個(gè)較簡(jiǎn)單的數(shù)，所以可以通過(guò)計(jì)算R被m除的余數(shù)來(lái)求得N被m除的 余數(shù). 1）整數(shù) N 被 2 或 5除的余數(shù)等于 N 的個(gè)位數(shù)被 2 或 5 除的余數(shù)； 2）整數(shù) N 被 4 或 25 除的余數(shù)等于 N 的末兩位數(shù)被

13、4 或 25 除的余數(shù)； 3）整數(shù) N 被 8或125除的余數(shù)等于 N 的末三位數(shù)被 8或 125除的余數(shù)； 4）整數(shù) N 被 3或9除的余數(shù)等于其各位數(shù)字之和被 3或 9除的余數(shù)； 5）整數(shù) N 被 11除的余數(shù)等于 N 的奇數(shù)位數(shù)之和與偶數(shù)位數(shù)之和的差被 11 除的余數(shù)；（不夠減的話先適當(dāng) 加 11的倍數(shù)再減）； 6）整數(shù) N 被 7，11或 13除的余數(shù)等于先將整數(shù) N 從個(gè)位起從右往左每三 位分一節(jié)，奇數(shù)節(jié)的數(shù)之和與偶數(shù)節(jié)的數(shù)之和的差被 7，11 或 13 除的余數(shù) 就是原數(shù)被 7，11或 13除的余數(shù). 四、質(zhì)數(shù)與合數(shù) （1）質(zhì)數(shù)與合數(shù)定義 一個(gè)數(shù)除了 1 和它本身，不再有別的約數(shù)，

14、 這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù) （也叫做素?cái)?shù)）。 一個(gè)數(shù)除了 1 和它本身，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。 要特別記住： 1 不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。 常用的 100 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、 43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共計(jì) 25 個(gè)。 （2）質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù) 如果一個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么就說(shuō)這個(gè)質(zhì)數(shù)是這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。 把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。 例：把 30 分解質(zhì)因數(shù)。 解：30= 2X3X5。 其中 2、3、5叫做 30的質(zhì)因數(shù)。 又如 12= 2X 2X 3= 2

15、2X 3，2、3 都叫做 12 的質(zhì)因數(shù)。 （3）部分特殊數(shù)的分解 111 3 37； 1001 7 11 13；11111 41 271；10001 73 137； 1995 3 5 7 19 ； 1998 2 3 3 3 37； 2007 3 3 223； 2008 2 2 2 251；10101 3 7 13 37. （4）判斷一個(gè)數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的方法 根據(jù)定義如果能夠找到一個(gè)小于 p的質(zhì)數(shù)q（均為整數(shù)），使得q能夠整除 P,那么p就不是質(zhì)數(shù)，所以我們只要拿所有小于p的質(zhì)數(shù)去除p就可以 了；但是這樣的計(jì)算量很大，對(duì)于不太大的 P,我們可以先找一個(gè)大于 且接近p的平方數(shù)K2，再列出所有不大于

16、K的質(zhì)數(shù)，用這些質(zhì)數(shù)去除p, 如沒(méi)有能夠除盡的那么p就為質(zhì)數(shù) 例如： 149很接近 144 12 12，根據(jù)整除的性質(zhì) 149 不能被 2、3、5、7、 11整除，所以 149 是質(zhì)數(shù)。 五、約數(shù)和倍數(shù) (1) 求最大公約數(shù)的方法 分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來(lái). 2 2 例如：2313 7 11， 252237，所以(231,252)3 721 ； 218 12 39 6 短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相乘.例如：3 2 ,所以 (12,18)2 3 6 . 輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的 最大公約數(shù).用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)數(shù)的最大

17、公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個(gè)數(shù) 除大的一個(gè)數(shù)，得第一個(gè)余數(shù)；再用第一個(gè)余數(shù)除小的一個(gè)數(shù)，得第二個(gè)余數(shù)； 又用第二個(gè)余數(shù)除第一個(gè)余數(shù)，得第三個(gè)余數(shù)；這樣逐次用后一個(gè)余數(shù)去除前一 個(gè)余數(shù)，直到余數(shù)是0為止那么，最后一個(gè)除數(shù)就是所求的最大公約數(shù).(如 果最后的除數(shù)是1,那么原來(lái)的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的) 例如，求 600 和 1515 的最大公約數(shù)：1515 600 2L 315 ； 600 315 1L 285 ； 315 285 1L 30 ； 285 30 9L 15 ； 30 15 2L 0 .所以 1515 和 600 的最大公約數(shù) 是15. (2) 最大公約數(shù)的性質(zhì) 幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約

18、數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)； 幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)； 幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)n ,所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約 數(shù)乘以n . (3) 求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù) 先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，其他分?jǐn)?shù)不變；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)a； b 求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的最大公約數(shù) b； a即為所求. (4) 求一個(gè)數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù) 分解質(zhì)因數(shù)，之后將不同質(zhì)因數(shù)的次數(shù)均加 1,之后相乘。所得結(jié)果就是這個(gè)數(shù) 2 2 不同約數(shù)的個(gè)數(shù)。如：252 237，則252的不同約數(shù)的個(gè)數(shù)為 (21)(2 1) (11)3 3 218 (5) 求最小公倍數(shù)的方法 分解質(zhì)因數(shù)的方法； 例如：23

19、1 3 7 11， 252 22 32 7，所以 231,2522 3 7 11 2772 短除法求最小公倍數(shù)； 218 12 39 6 例如： 3 2所以 18,122 3 3 236 ； a,b a b (a,b). (6) 最小公倍數(shù)的性質(zhì) 兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù). 兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的乘積. 最小公倍數(shù)是較 兩個(gè)數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù), 大的數(shù). 六、平方 1、完全平方數(shù)特征 (1) 完全平方數(shù)的尾數(shù)只能是0, 1, 4, 5, 6, 9。不可能是2, 3, 7, & (2) 在兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)之間不存在完全平方數(shù)。

20、(3) 完全平方數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)，約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)是完全平方數(shù)。 2 (4) 若質(zhì)數(shù)p整除完全平方數(shù)a，則p能被a整除。 2、性質(zhì) 性質(zhì)1:完全平方數(shù)的末位數(shù)字只可能是 0, 1, 4, 5, 6, 9. 性質(zhì)2:完全平方數(shù)被3, 4, 5, 8, 16除的余數(shù)一定是完全平方數(shù). 性質(zhì)3:自然數(shù)N為完全平方數(shù)自然數(shù)N約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù).因?yàn)橥耆椒?數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解中每個(gè)質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都是偶數(shù)次，所以，如果p是質(zhì)數(shù)，n 是自然數(shù)，N是完全平方數(shù)，且p |N，則p |N . 性質(zhì)4:完全平方數(shù)的個(gè)位是6 它的十位是奇數(shù). 性質(zhì)5:如果一個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位是0,則它后面連續(xù)的0的個(gè)數(shù)一定是偶

21、數(shù).如 果一個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位是5,則其十位一定是2,且其百位一定是0, 2, 6中 的一個(gè). 性質(zhì)6:如果一個(gè)自然數(shù)介于兩個(gè)連續(xù)的完全平方數(shù)之間，則它不是完全平方數(shù). 3、一些重要的推論 (1) 任何偶數(shù)的平方一定能被4整除；任何奇數(shù)的平方被4 (或8)除余1即被 4除余2或3的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。 (2) 一個(gè)完全平方數(shù)被3除的余數(shù)是0或1即被3除余2的數(shù)一定不是完全平 方數(shù)。 (3) 自然數(shù)的平方末兩位只有：00, 01, 21, 41, 61, 81, 04, 24, 44, 64, 84, 25, 09, 29, 49, 69, 89, 16, 36, 56, 76, 96。 (4

22、) 完全平方數(shù)個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)(1, 5, 9)時(shí)，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。 (5) 完全平方數(shù)個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)(0, 4)時(shí)，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。 (6) 完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字為6時(shí)，其十位數(shù)字必為奇數(shù)。 (7) 凡個(gè)位數(shù)字是5但末兩位數(shù)字不是25的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；末尾只有 奇數(shù)個(gè)“0的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；個(gè)位數(shù)字為 1, 4, 9而十位數(shù)字為奇數(shù)的 自然數(shù)不是完全平方數(shù)。 2 2 4、重點(diǎn)公式回顧：平方差公式：a b (a b)(a b) 七、進(jìn)制 1、( 1)十進(jìn)制: 我們常用的進(jìn)制為十進(jìn)制，特點(diǎn)是“逢十進(jìn)一”。在實(shí)際生活中，除了十進(jìn) 制計(jì)數(shù)法外，還有其他的大于1的自然數(shù)進(jìn)位制。

23、比如二進(jìn)制，八進(jìn)制，十六進(jìn) 制等。 (2) 二進(jìn)制： 在計(jì)算機(jī)中，所采用的計(jì)數(shù)法是二進(jìn)制，即“逢二進(jìn)一”。因此，二進(jìn)制中 只用兩個(gè)數(shù)字0和1。二進(jìn)制的計(jì)數(shù)單位分別是1、21、22、23、，二進(jìn)制數(shù) 也可以寫做展開式的形式，例如 100110在二進(jìn)制中表示為：(100110)2=1 X 25+0 X 24+0X 23+1 X 22+1 X 21+0X 2。 二進(jìn)制的運(yùn)算法則：“滿二進(jìn)一”、“借一當(dāng)二”，乘法口訣是：零零得零，一零得 零，零一得零，一一得一。 注意：對(duì)于任意自然數(shù)n,我們有n0=1。 (3) k進(jìn)制： 一般地，對(duì)于k進(jìn)位制，每個(gè)數(shù)是由0, 1, 2, L，(k 1)共k個(gè)數(shù)碼組成， 且“逢