小波分析理論簡(jiǎn)介

1、小波分析理論簡(jiǎn)介 (一) 傅立葉變換偉大的歷史貢獻(xiàn)及其局限性 1 Fourier 變換 1807年，由當(dāng)年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及的法國數(shù)學(xué)、物理學(xué)家傅立葉( Jean Baptistle Joseph Fourier ,1786-1830),提出任意一個(gè)周期為 T (= 2 )的函數(shù) f(t)，都可以用三角級(jí)數(shù)表示： f(t) = Ckeikt k + ak cos kt + 2k 1 bk sin kt k 1 (1) ak Ck C k 對(duì)于離散的時(shí)程 f (t)e iktdt = f ,e ikt bki (Ck C k ) f(t)，即N個(gè)離散的測(cè)點(diǎn)值 0,1 , 2, ,N-1, (10)

2、 T為測(cè)量時(shí)間: 其中 f(t)旦 ak bk Ck N2 1 2+k1(akCoS kt 2 N 12 km xm cos N m 0N 2 N 1. 2 km xm sin N m 0N N 1 Ii(2 km/N) xme N m 0 時(shí)，化為傅立葉積分(即 f() bk sin kt) +- aN cos 2 1 k 0, 1, 1,2,； 0, 1, Fourier f (t)e i tdt = f ,ei t (8) 變換)： N Nt = 2 N-1 2 1 Ckei kt k 0 2,;N-1 (9) (4) (5) (6) 1 i t f(t) 2- f( )ei d 傅立葉

3、變換的理論是人類數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)里程碑 ，從 1807 年開始， 直到 1966 年（1807 年傅立葉提出任意一個(gè)周期函數(shù)都可以表示為傅立葉級(jí)數(shù)的 結(jié)論是有誤的，直到 1966 年才證明了 L2 可積的周期函數(shù)才能表示為傅立葉級(jí) 數(shù)），整整用了一個(gè)半世紀(jì)多，才發(fā)展成熟。她在各個(gè)領(lǐng)域產(chǎn)生了深刻的影響， 得到了廣泛的應(yīng)用，推動(dòng)了人類文明的發(fā)展。其原因是， 傅立葉理論不僅僅在 數(shù)學(xué)上有很大的理論價(jià)值，更重要的是傅立葉變換或傅立葉積分得到的頻譜信 息具有物理意義。 所以說， 傅立葉理論是萬古流芳的 。 數(shù)學(xué)上的插值方法。 除傅立葉級(jí)數(shù)外，還有拉格朗日插值，有限元插值，勒讓德多項(xiàng)式插值即高斯積分使用

4、的插值方法。 遺憾的是，這種理論具有一定的局限性 ： （1）傅立葉變換的三種形式中的 傅立葉系數(shù)都是常數(shù) ，不隨時(shí)間 t 變 化，因而只能處理頻譜成分不變的平穩(wěn)信號(hào)，相反的，在處理非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)會(huì) 帶來很大誤差， 甚至與實(shí)際情況大相徑庭。 （舉例：無阻尼與有阻尼的單自由度 的自由振動(dòng)、打秋千、座鐘、討論會(huì)與大合唱等） 。 在實(shí)際信號(hào)中，若高頻與低頻差別很大，在相同的時(shí)間間隔內(nèi)，高頻信號(hào) 衰減了而低頻信號(hào)尚未衰減，所以，在不同時(shí)刻，信號(hào)的頻譜成分是不同的。 硬要用傅立葉變換找出所有時(shí)刻的頻譜成分，硬要把幅值的變化用頻率的變化 來補(bǔ)償，不僅高頻的傅立葉系數(shù)有誤差，低頻的傅立葉系數(shù)也有很大誤差，包 括

5、求出的頻率當(dāng)然也有誤差。 （2）求傅立葉系數(shù)是全時(shí)間域上的加權(quán)平均 ，這從上面的（ 5）、（ 6）、 （ 7）公式可以清楚看到。 局部突變信息被平均掉了， 局部突變信息的作用很難 反映出來（好比吃大鍋飯，平均主義） 。差別很大的信號(hào)，如方波、三角波、正 弦波，都可以得到相同的頻率， 所以，處理、捕捉突變信號(hào)如故障信號(hào)，靈敏 度很差。 處理、捕捉突變信號(hào)應(yīng)使用能反映局部信息的變換 。 為了克服以上兩點(diǎn)局限性，這就要求： （1）將變換系數(shù)視為隨時(shí)間變化的，級(jí)數(shù)求和由一重變?yōu)閮芍亍?（2）使用能反映局部信息的變換，則函數(shù)組不能使用全域上的函數(shù)，只 能使用有所謂緊支撐的函數(shù)，即“小波函數(shù)”或加窗傅立葉

6、變換的窗函數(shù)。 2 Garbor 變換一窗口 Fourier 變換 在時(shí)間一頻率分析中，F(xiàn)ourier 變換公式的不足已經(jīng)被D. Garbor注意 到了，在1946年的論文中，為了提取信號(hào)的Fourier變換的局部信息，引入 了一個(gè)時(shí)間局部化的Gaussian函數(shù)作為“窗函數(shù)”g(t-b),其中參數(shù)b用于 平移動(dòng)窗以便覆蓋整個(gè)時(shí)間域。因?yàn)橐粋€(gè)Gaussian函數(shù)的Fourier變換還是 Gaussian函數(shù)，所以Fourier逆變換即頻率也是局部的。 窗口 Fourier 變換簡(jiǎn)介。 對(duì)于時(shí)間局部化的“最優(yōu)”窗，用任一 Gaussian函數(shù) 1 ga(t)e4a( 11) 2、a “Garbo

7、r變換”的定義為 (G；f)( ) (ei tf(t)ga(t b)dt( 由于9a(t b)dbga(x)dx 1( 13) 所以 (e i t f (t)ga(t b)dt db = f ( )( 14) 令Gb, (t) = ei tga(t b)( 15) 利用Parseval 恒等式， (G：f)( ) (eitf(t)ga(t b)dt= f,G：,廣土 f,G e ib (Gl4a f)( b) 彳；e ib 2- (eib f (叮 )d( 這個(gè)等式說明，除去乘數(shù)項(xiàng) 之外，在t b具有窗函數(shù)ga的f的“窗口 Fourier 變換”， 與在 具有窗函數(shù) 的f的“窗口 Fourie

8、r 逆變換”一致，根據(jù)窗函數(shù) ga的寬度是2 - a的 結(jié)論，這兩個(gè)窗的寬度分別是 2 a 和 1 .a 這兩個(gè)窗的笛卡兒積是 b . a ,b , a 1 1 2”a 2“ a 加窗傅立葉變換的“時(shí)間一頻率窗”的寬度對(duì)于觀察所有的頻率是不變的。 在較長(zhǎng)的時(shí)間窗內(nèi)，對(duì)于高頻信號(hào)，可能經(jīng)過了很多周期，因而求出的Fourier 變換系數(shù)是很多周期的平均值，局部化性能不能得到體現(xiàn)。若減小時(shí)間窗（減 小a），高頻信號(hào)局部化性能得到體現(xiàn)，但對(duì)于很低的頻率信號(hào)來講，檢測(cè)不到。 總上所述，加窗傅立葉變換對(duì)于高頻與低頻差別很大的信號(hào)仍不是很有效的。 3 窗口 Fourier 變換的測(cè)不準(zhǔn)原理 對(duì)于一個(gè)非平凡函

9、數(shù) wL2（IR），若滿足 2 twL2（IR）（ A 條件，則 w可作為短時(shí)窗口 Fourier 變換的窗函數(shù)，若其 Fourier變換也滿足上述條件，那么 1 w w（ B） 2 而且，等號(hào)成立，如且僅如 w（t） ceiat g a （t b）（ C） 其中 c 0,a0和a,b IR 。 小結(jié)： （1）傅立葉級(jí)數(shù)的正弦與余弦系數(shù)為常數(shù)，不能反映振幅變化的情況； （2） 求傅立葉系數(shù)需要所考慮的時(shí)間域上所有信息，不能反映局部信息 的特征； （3） 加窗傅立葉變換時(shí)間窗是固定不變的，高頻與低頻的時(shí)間局部化不 能同時(shí)滿足。 由于上述原因，必須進(jìn)一步改進(jìn)，克服上述不足，這就導(dǎo)致了小波分析 （二

10、）小波分析 將時(shí)程函數(shù)f（t）表示為下面的小波級(jí)數(shù): f(t) j j,k k (2jt f， j,kj,k(t)= j k) dj,k j,k(t) k (17) (18) 其中， （t）是小波函數(shù)，dj, k是小波系數(shù) ，且 dj,k = f, j,k( 19) 由公式（17）到 (19) 可以看到，小波級(jí)數(shù)是兩重求和， 小波系數(shù)的指標(biāo) 不僅有頻率的指標(biāo)j，而且還有時(shí)間的指標(biāo) k。也就是說，小波系數(shù)不僅像傅 立葉系數(shù)那樣，是隨頻率不同而變化的，而且對(duì)于同一個(gè)頻率指標(biāo)j，在不同 時(shí)刻k，小波系數(shù)也是不同的。這樣就克服了上面所述的第一個(gè)不足。 由于小波函數(shù)具有緊支撐的性質(zhì)，即某一區(qū)間外為零。

11、這樣在求各頻 率水平不同時(shí)刻的小波系數(shù)時(shí)， 只用到該時(shí)刻附近的局部信息， 從而克服 了上面所述的第二個(gè)不足。 與有限元比較。 在這一點(diǎn)，小波插值要比有限元高明。 有限元雖然是局部的 單元插值”，但單元之間的公共節(jié)點(diǎn)上， 只能保證C0階連續(xù)，而導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。小波插值可保證二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，只要選三次樣條小波就能做到。 第三個(gè)不足，小波分析是如何克服的呢？ 通過與加窗傅立葉變換的“時(shí)間一頻率窗”的相似分析，可得到小波變換 的“時(shí)間一頻率窗”的笛卡兒積是 ? 1 ? 1 b at a ,b at a ,一（20） a a a a 其中a 2 j，時(shí)間窗的寬度為2a ，隨著頻率的增大（即j的增大）而變窄,

12、隨著頻率的減?。磈的減小）而變寬，之所以有這樣的結(jié)果，關(guān)鍵在于公式 （18）中，時(shí)間變量t前面乘了個(gè)“膨脹系數(shù)” 2j。 小波變換的“時(shí)間頻率窗”的寬度，檢測(cè)高頻信號(hào)時(shí)變窄，檢測(cè)低頻信 號(hào)時(shí)變寬，這正是時(shí)間頻率分析所希望的。 根據(jù) 小波變換的“時(shí)間頻率窗”的寬度可變的特點(diǎn)， 為了克服上面所述 的第三個(gè)不足， 只要不同時(shí)檢測(cè)高頻與低頻信息，問題就迎刃而解了。 如，選 擇從高頻到低頻的檢測(cè)次序，首先選擇最窄的時(shí)間窗，檢測(cè)到最高頻率信息， 并將其分離。然后，適當(dāng)放寬時(shí)間窗，再檢測(cè)剩余信息中的次高頻信息。再分 離，再放寬時(shí)間窗，再檢測(cè)次次高頻信息，依次類推。 為了檢測(cè)到不同頻率水平信息，即求出不同頻

13、率水平下不同時(shí)刻的小波系 數(shù)，首先要選好小波函數(shù)。 選擇小波函數(shù)的“四項(xiàng)原則” 。 在求小波系數(shù)公式( 19)中，如果 (t k) 是 L2(IR) 空間的 正交基，則的 j,k為j,k的復(fù)共軛。小波分析的最重要的應(yīng)用是 濾波，為了保證濾波不失真， 小波函數(shù)必須具有 線性相位， 至少具有 廣義線性相位。小 波分析的另一重要應(yīng) 用是捕捉、分析突變信號(hào)，這就要使用函數(shù)的 導(dǎo)數(shù)，小波函數(shù)至少是C1連續(xù)。 由前面分析可知 ，小波函數(shù)必須具有 緊支撐 的性質(zhì)。所以， 正交、線性相位、 連續(xù)、緊支撐 是選擇小波函數(shù)的“四項(xiàng)原則” 。 如果選擇某個(gè)小波函數(shù)，同時(shí)滿足四項(xiàng)指標(biāo)，那真是人類的福氣。 遺憾的是，上

14、帝像是有意考驗(yàn)我們的數(shù)學(xué)家，沒有將“四合一”的小波函數(shù)“直接”恩賜給人類。 數(shù)學(xué)家們已經(jīng)證明，具有正交、線性相位、緊支撐的小波函數(shù)只有Harr函數(shù)，而Harr函數(shù)是間斷函數(shù)， 對(duì)于工程應(yīng)用來說，是不理想的。 目前，一種傾向是堅(jiān)持正交性。另一種傾向是放棄正交性，另辟途徑，進(jìn)行艱辛的長(zhǎng)征，前仆后繼， 花費(fèi)了將近半個(gè)世紀(jì)的探索，才使小波分析理論成熟起來，得以在工程中應(yīng)用。作為后人，我們要忠心 地感謝他們。 為了進(jìn)行小波分解與重構(gòu)， “四合一”的小波函數(shù)不存在，數(shù)學(xué)家們“一分 為四”，選擇了四個(gè)函數(shù)， 巧妙地解決了這些問題。 這四個(gè)函數(shù)是：尺度函數(shù) ， 小波函數(shù) ，對(duì)偶尺度函數(shù) ，對(duì)偶小波函數(shù) 。 為

15、什么要選擇四個(gè)函數(shù)呢？ 由前面小波變換的“時(shí)間一頻率窗”分析可知，小波變換的“時(shí)間一頻率 窗”的寬度，當(dāng)檢測(cè)高頻信號(hào)時(shí)變窄，檢測(cè)低頻信號(hào)時(shí)變寬。為了檢測(cè)到所有 頻率信號(hào)，“時(shí)間一頻率窗”的寬度必須按一定的次序變化，不失一般性，從窄 到寬，檢測(cè)頻率信號(hào)從高頻到低頻的次序進(jìn)行一一實(shí)際上也正是這樣的次序。 在最高頻率水平 Vn (即根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的時(shí)間測(cè)量間隔t，最高能檢測(cè)到 的頻率為Nyquist頻率f 貴)，選擇最窄的“時(shí)一頻窗”寬度，檢測(cè)到原 始信號(hào)中的最高頻率信號(hào)，并將這些信號(hào)從原始信號(hào)中剝離，存放在Wni空間, 而將剝離后的剩余低頻信號(hào)的總合，存放在另一空間Vni。然后，增大“時(shí)一 頻窗”的

16、寬度，再檢測(cè)Vni空間中的高頻信息，將這些信號(hào)從 Vni空間中剝離， 存放在Wn 2空間，而將剝離后的剩余低頻信號(hào)的總合，存放在另一空間Vn 2。 依次類推。這就要求有兩個(gè)互相有聯(lián)系的空間： Vj Vj 1 Wj 1 =Vj 2 Wj 2 Wj 1 =W1 W0 W1 Wj 2 WJ 1 ,J ZZ 子空間性質(zhì)簡(jiǎn)介: (1) V1 Vo V1 V2 (2) clos l2 ( V 2 j) = L (IR) J ZZ (3) Vj 0 , 即lim Vj0 (21) J ZZ j (4) VjVj 1Wj 1 (5) f(x) Vj f (2x) Vj 1 (6) WJ W 0, J l 這樣

17、， 【vn Vo , 需要單個(gè)函數(shù) L2(IR)在意義 對(duì)于參考子空間 Vo=clsL2(iR)o,k : K ZZ(22) 上生成，其中, j,k 22 （2jx k）（23） 對(duì)于參考子空間W0，需要單個(gè)函數(shù)L2（IR）在意義 Wo = ClOS l2（ir）： 0,k : K ZZ（ 24） 上生成，其中， j j,k 2 2 （2jx k）（25） 首先，這就要求有兩個(gè)函數(shù)：和，前者稱為尺度函數(shù)，后者稱為小 波函數(shù)。并且，它們肯定是有關(guān)系的。 由（21）中的（1）式可知，V V，由（4）式可知，Wo Vi，而 i,k : k ZZ是Vi的一個(gè)基，所以存在唯一的I2序列 Pk、qj (x

18、)Pk (2x k)( 26) k (x)qk (2x k)(27) k 并引入記號(hào) P(z) = -PkZk( 28) 2 k Q(z) = -qkZk( 29) 2 k （26）稱為尺度函數(shù)的“兩尺度關(guān)系”（27）稱為小波函數(shù)的“兩尺度關(guān) 系” P（z）稱為尺度函數(shù) 的“兩尺度符號(hào)” Q（z）稱為小波函數(shù) 的“兩尺度符 號(hào)” 為了由高頻到低頻逐次檢測(cè)到不同頻率水平的信息，僅有上述兩個(gè)函數(shù)是 不夠的。由前面分析可知，公式（17）中的小波函數(shù)與求小波系數(shù)使用的與 f作 內(nèi)積的函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)，除非使用正交的小波函數(shù)。這就要求尋找尺度函 數(shù) 與小波函數(shù) 的對(duì)偶函數(shù)：對(duì)偶尺度函數(shù)、對(duì)偶小波函數(shù)，

19、以便分解 原始信號(hào)時(shí)能求出小波系數(shù)來。 對(duì)偶關(guān)系簡(jiǎn)介 與（26） （ 29）相對(duì)應(yīng)，有 （X） ? gk (2x k) （30） k (x) hk (2x k) （31） k G?(z)= _ 1 ? k gkZ （32） 2 k H?(z) =1 hk?zk （33） 2 k 為了滿足對(duì)偶關(guān)系，必須滿足以下對(duì)偶條件： M p,Q（z） M Tg,h （z） = 10（34） M tg,h (z) M pq(z) = 10(35) 0 1 與（34）、（ 35）等價(jià)的條件是 P(Z)G Q(z)H (z) 1，z 1(36) P(z)G( z) Q(z)H( z) 0 P(z)G(z) P(

20、z)G( z) 1 P(z)H(z) P( z)H( z) 0丁 彳 G(z)Q(z) G( z)Q( z) 0 Q(z)H(z) Q( z)H ( z) 1 pq(z) = det Mp,q(z)0，Z 1(38) g,h(z) = det Mg,h (z)0，Z 1(39) 其中，G（z）為G?（z）的共軛，H（z）為H?（z）的共軛, 由（36）和（38）便可以得到 V1的基 到V0和 W0中的基分解關(guān)系: M pq(z)= P(z) Q(z) P( z) Q( z) Mg,h (z)= G(z) H(z) G( z) H( z) (40) (41) (2x l) 1 - g2k i (

21、x k) h2k i (x k) ( 42) 2 k 由(42)式便可得到j(luò) ck 1頻率水平子空間Vj 1和Wj 1中向量坐標(biāo)的分解算法 2M I 出發(fā)，導(dǎo)出向量分解小波包的理論。 首先，將（47）改寫為矩陣的形式 jj 1 C M 1 = P M M ? C M + 2 訂 其中，矩陣P、Q由兩尺度序列p、 每一列，看成向量空間的一個(gè)向量，把 Q m M ? d M1 2 t 1 q中的數(shù)組成。我們把矩陣P、Q的 M勺也看成向量空間的一個(gè)向量，那么， (74) c M 1就是這些矩陣P、Q的列向量的一個(gè)線性組合: MM (75) 22 jj 1j 1 c M 1 - ck p k + d?

22、 q k k 1k 1 問題是，這些矩陣P、Q的列向量是否線性無關(guān)？由分解等式（43）和（44） 可知，當(dāng)cM1為零向量時(shí)，ckj1 0 , dkj1 0 , k=1,2,3, ，號(hào)，這就得出了矩 陣P、Q的列向量是線性無關(guān)的結(jié)論。 因此，可以把矩陣中的M個(gè)列向量看成M維向量空間的一組基。 找到了 M維向量空間的一組基，就可以對(duì)任一 M維向量進(jìn)行分解，找出在 這組基下的坐標(biāo)。 只要認(rèn)準(zhǔn)被分解的對(duì)象是 M維向量空間的一個(gè)向量，而不是再看做 V或 W中向量的坐標(biāo)。 這樣，在小波分解中，不僅得到各頻率水平的坐標(biāo) c可按原來的步驟和 方法進(jìn)行分解，而且得到的各頻率水平的坐標(biāo) d也可按向量分解的理論進(jìn)行

23、 再分解，并且分解的步驟和方法可以和對(duì)坐標(biāo) c進(jìn)行再分解的完全一樣。 可能有人會(huì)產(chǎn)生疑問：前面講到， V W =0,現(xiàn)在W中的向量怎 么又變成V中的向量呢？ 其實(shí)，這里使用了 “移花接木”的技巧。我們現(xiàn)在是對(duì) W中的向量g分 解，這是千真萬確的。但，是通過對(duì)其坐標(biāo) d的分解來實(shí)現(xiàn)的。也就是說， 要求的是d等于什么？而不是W中的向量g等于什么？ W中的向量g等于 g =? d（76） 既然要求的是d等于什么，而不是g等于什么，不妨“移花接木” 一下，把 拿來，虛構(gòu) V 中一向量 x ， x = ? d（ 77） 不就可以對(duì) x 進(jìn)行分解了嗎？反正在分解過程中，使用的是 d 、 a 、 b ，求

24、的是新的C和d ,而x根本就不出現(xiàn)，管它是什么樣子呢！只要保證分解后低 頻與高頻分離即可。既然 c 分解，低頻與高頻能分離，那么， d 分解，同樣低 頻與高頻可以分離的。其實(shí)從（ 74）式中兩個(gè)矩陣 P 、 Q 的組成，都是兩尺 度序列P、q中的數(shù)，仔細(xì)分析一下，不難看出，P中的列相當(dāng)于低階振型， Q 中的列相當(dāng)于高階振型。以后的工作和小波包的分解類似，只不過這里是直 和分解，不是正交分解罷了。 前面曾提到，小波分解的第一步，將 f（x） 投影到 Vn 上（見公式（ 48）。 由于投影到 Vn 上求小波系數(shù)要解方程，很費(fèi)時(shí)間，所以，好多書上都說，可 以近似地把原始數(shù)據(jù)作為小波系數(shù)， 誤差不大。

25、用向量分解小波包的理論來看， 這并非是近似的，而是精確的！ 事實(shí)上，使用上面“移花接木”的技巧，虛構(gòu)Vn中一向量x x = ? f（ 78） f是原始數(shù)據(jù)組成的向量。那末，f不就是Vn中的向量x的坐標(biāo)c嗎？只要 對(duì)它進(jìn)行分解與重構(gòu)就得了，而且，重構(gòu)后，也用不著通過（78）式求 x， 重 構(gòu)得到的 c ，就是原始數(shù)據(jù)組成的向量 f ，兩頭省！ 當(dāng)然，我并非反對(duì)投影，而且在捕捉突變奇異信號(hào)時(shí)，最靈敏的方法是利 用導(dǎo)數(shù)確定，投影到Vn上先求出作為的Vn中的向量fn的坐標(biāo)C，能得到快速 的求導(dǎo)方法。但這是另外的問題了。 有了向量分解小波包新理論， 可以在分解過程中， 把各種小波組合到一起， 例如，求

26、fN 時(shí)，可以用三次樣條小波，這樣確保濾波重構(gòu)不失真、求導(dǎo)精 度高的長(zhǎng)處，在分解的時(shí)候，可使用正交分解的分解序列系數(shù)，以提高分解效 率。這樣，上帝雖然沒有將“四合一”的小波函數(shù)“直接”恩賜給人類，但還 是間接地恩賜給人類了。 我們研制的小波包信號(hào)處理軟件，具有三種小波包分解、分解后各頻率水 平的分析、 64 種濾波重構(gòu)功能及重構(gòu)后的傅立葉變換和奇異信號(hào)大小分析功 能。三種小波包分別是“向量分解小波包” 、“雙正交小波包”和“ Daubechies 正交小波包”。通過實(shí)例對(duì)比， 向量分解小波包分析效果遠(yuǎn)比后者好， 而且分解 速度相當(dāng)快， 4096 個(gè)點(diǎn)，分解所花 CPU 為 0.027 秒。具體實(shí)例見后。 圖一原始實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)（4