概率與數(shù)理統(tǒng)計教案

1、引 言一、 必然現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象在自然界和人的實踐活動中經(jīng)常遇到各種各樣的現(xiàn)象，這些現(xiàn)象大體可分為兩類：一類是確定的，例如“在一個標準大氣壓下，純水加熱到100時必然沸騰?！薄跋蛏蠏佉粔K石頭必然下落?！?，“同性電荷相斥，異性電荷相吸?！钡鹊?，這種在一定條件下有確定結果的現(xiàn)象稱為必然現(xiàn)象（確定性現(xiàn)象）；另一類現(xiàn)象是隨機的，例如：在相同的條件下，向上拋一枚質地均勻的硬幣，其結果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，不論如何控制拋擲條件，在每次拋擲之前無法肯定拋擲的結果是什么，這個試驗多于一種可能結果，但是在試驗之前不能肯定試驗會出現(xiàn)哪一個結果。同樣地同一門大炮對同一目標進行多次射擊（同一型號的炮彈），各

2、次彈著點可能不盡相同，并且每次射擊之前無法肯定彈著點的確切位置，以上所舉的現(xiàn)象都具有隨機性，即在一定條件下進行試驗或觀察會出現(xiàn)不同的結果（也就是說，多于一種可能的試驗結果），而且在每次試驗之前都無法預言會出現(xiàn)哪一個結果(不能肯定試驗會出現(xiàn)哪一個結果），這種現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象。 再看兩個試驗： 試驗：一盒中有十個完全相同的白球，攪勻后從中摸出一球； 試驗：一盒中有十個相同的球，其中5個白球，5個黑球，攪勻后從中任意摸取一球。 對于試驗 而言，在球沒有取出之前，我們就能確定取出的球必是白球，也就是說在試驗之前就能判定它只有一個確定的結果這種現(xiàn)象就是必然現(xiàn)象（必然現(xiàn)象）。 對于試驗來說，在球沒有取出之

3、前，不能確定試驗的結果（取出的球）是白球還是黑球，也就是說一次試驗的結果（取出的球）出現(xiàn)白球還是黑球，在試驗之前無法肯定。對于這一類試驗而言，驟然一看，似乎沒有什么規(guī)律而言，但是實踐告訴我們，如果我們從盒子中反復多次取球（每次取一球，記錄球的顏色后仍把球放回盒子中攪勻），那么總可以觀察到這樣的事實，當試驗次數(shù)n相當大時，出現(xiàn)白球的次數(shù)和出現(xiàn)黑球的次數(shù)是很接近的，比值（或）會逐漸穩(wěn)定于，出現(xiàn)這個事實是完全可以理解的，因為盒子中的黑球數(shù)與白球數(shù)相等，從中任意摸一球取得白球或黑球的“機會”相等。 試驗所代表的類型，它有多于一種可能的結果，但在試驗之前不能確定試驗會出現(xiàn)哪一種結果，這類試驗所代表的現(xiàn)象

4、成為隨機現(xiàn)象，對于試驗而言，一次試驗看不出什么規(guī)律，但是“大數(shù)次”地重復這個試驗，試驗的結果又遵循某些規(guī)律，這些規(guī)律稱之為“統(tǒng)計規(guī)律”。在客觀世界中，隨機現(xiàn)象是極為普遍的，例如“某地區(qū)的年降雨量”，“某電話交換臺在單位時間內收到的用戶的呼喚次數(shù)”，“一年全省的經(jīng)濟總量”等等。二、 隨機試驗上面對隨機試驗做了描述性定義，下面進一步明確它的含義，一個試驗如果滿足下述條件：（1）、試驗可以在相同的條件下重復進行；（2）、試驗的所有可能結果是明確的，可知道的（在試驗之前就可以知道的）并且不止一個；（3）、每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗出現(xiàn)哪一個結果。稱這樣

5、的試驗是一個隨機試驗，為方便起見，也簡稱為試驗，今后討論的試驗都是指隨機試驗。三、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計的研究對象概率論是從數(shù)量側面研究隨機現(xiàn)象及其統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學學科，它的理論嚴謹，應用廣泛，并且有獨特的概念和方法，同時與其它數(shù)學分支有著密切的聯(lián)系，它是近代數(shù)學的重要組成部分。 數(shù)理統(tǒng)計是對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律歸納的研究，就是利用概率論的結果，深入研究統(tǒng)計資料，觀察這些隨機現(xiàn)象并發(fā)現(xiàn)其內在的規(guī)律性，進而作出一定精確程度的判斷，將這些研究結果加以歸納整理，形成一定的數(shù)學模型。雖然概率論與數(shù)理統(tǒng)計在方法上如此不同，但作為一門學科，它們卻相互滲透，互相聯(lián)系。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門學科的應用相當廣泛，不僅在

6、天文、氣象、水文、地質、物理、化學、生物、醫(yī)學等學科有其應用，且在農(nóng)業(yè)、工業(yè)、商業(yè)、軍事、電訊等部門也有廣泛的應用。四、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計發(fā)展簡史概率論被稱為“賭博起家”的理論。概率論產(chǎn)生于十七世紀中葉，是一門比較古老的數(shù)學學科，有趣的是：盡管任何一門的數(shù)學分支的產(chǎn)生與發(fā)展都不外乎是生產(chǎn)、科學或數(shù)學自身發(fā)展的推動，然而概率論的產(chǎn)生，卻起始于對賭博的研究，當時兩個賭徒約定賭若干局，并且誰先贏c局便是贏家，若一個賭徒贏a局(ac)，另一賭徒贏b局(bc)時終止賭博，問應當如何分賭本？最初正是一個賭徒將問題求教于巴斯葛，促使巴斯葛同費爾瑪討論這個問題，從而他們共同建立了概率論的第一基本概念數(shù)學期望。

7、1657年惠更斯也給出了一個與他們類似的解法。在他們之后，對于研究這種隨機（或稱偶然）現(xiàn)象規(guī)律的概率論做出了貢獻的是貝努里家族的幾位成員，雅科布給出了賭徒輸光問題的詳盡解法，并證明了被稱為“大數(shù)定律”的一個定理（貝努里定理）這是研究偶然事件的古典概率論中極其重要的結果，它表明在大量觀察中，事件的頻率與概率是極其接近的，歷史上第一個發(fā)表有關概率論論文的人是貝努里，他于1713年發(fā)表了一篇關于極限定理的論文，概率論產(chǎn)生后的很長一段時間內都是將古典概型作為概率來研究的，直到1812年拉普拉斯在他的著作分析概率論中給出概率明確的定義，并且還建立了觀察誤差理論和最小二乘法估計法，從這時開始對概率的研究，

8、實現(xiàn)了從古典概率論向近代概率論的轉變。概率論在二十世紀再度迅速發(fā)展起來，則是由于科學技術發(fā)展迫切地需要研究有關一個或多個連續(xù)變化著的參變量的隨機變數(shù)理論即隨機過程論，1906年俄國數(shù)學家馬爾可夫（1856-1922）提出了所謂“馬爾可夫鏈”的數(shù)學模型對發(fā)展這一理論做出貢獻的還有柯爾莫哥洛夫（俄國）、費勒（美國）；1934年俄國數(shù)學家辛欽又提出了一種在時間中均勻進行著的平穩(wěn)過程的理論。隨機過程理論在科學技術有著重要的應用，開始建立了馬爾可夫過程與隨機微分方程之間的聯(lián)系。 1960年，卡爾門（1930英國）建立了數(shù)字濾波論，進一步發(fā)展了隨機過程在制導系統(tǒng)中的應用。概率論的公理化體系是柯爾莫哥洛夫1

9、933年在集合論與測度論的基礎上建立起來的，從而使概率論有了嚴格的理論基礎。我國的概率論研究起步較晚，從1957年開始，先驅者是許寶馬錄先生。1957年暑期許老師在北大舉辦了一個概率統(tǒng)計的講習班，從此，我國對概率統(tǒng)計的研究有了較大的發(fā)展，現(xiàn)在概率與數(shù)理統(tǒng)計是數(shù)學系各專業(yè)的必修課之一，也是工科，經(jīng)濟類學科學生的公共課，許多高校都成立了統(tǒng)計學（特別是財經(jīng)類高校）。今年來，我國科學家對概率統(tǒng)計也取得了較大的成果。五、學習概率論與數(shù)理統(tǒng)計的方法 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是一門處理隨機現(xiàn)象的學科，初學者對概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念感到很抽象，基本方法難以掌握，習題難做。但是只要講究學習方法，勤奮努力，不利因素就

10、會轉化為有利因素，概率論與數(shù)理統(tǒng)計之難恰好能培養(yǎng)大家分析問題和解決問題的能力，總之：1、 深刻理解，牢固掌握基本概念。2、 多做練習，狠抓解題基本功。六、主要參考書目：1、復旦大學編 概率論 第一分冊 概率論 第二分冊 數(shù)理統(tǒng)計 （兩冊）2、中山大學 梁之瞬 鄧集賢 概率論與數(shù)理統(tǒng)計（上下冊）3、南開大學 周概容 概率論與數(shù)理統(tǒng)計4、浙江大學 概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章 事件與概率本章是概率論部分的基本概念和基本知識，是學習以后各章所必不可少的。一、 教學目的與要求1、 理解事件的概念，熟練掌握事件的運算法則，事件間的各種關系；2、 掌握概率的幾種定義，熟悉并會用概率性質進行概率的有關計算；3、

11、掌握條件概率的定義，并能應用有關條件概率的公式（乘法公式、全概率公式及貝葉斯公式）計算概率；4、 掌握幾種概型（古典概型、幾何概型、貝努里概型）概率的計算；5、 理解事件獨立性的概念，并會用獨立性的性質進行概率的計算。二、 教學重點與難點重點是各種類型概率的計算；難點是有關事件概率的計算。1.1隨機事件與樣本空間隨機事件與樣本空間是概率論中的兩個最基本的概念。一、 基本事件與樣本空間對于隨機試驗來說，我們感興趣的往往是隨機試驗的所有可能結果。例如擲一枚硬幣，我們關心的是出現(xiàn)正面還是出現(xiàn)反面這兩個可能結果。若我們觀察的是擲兩枚硬幣的試驗，則可能出現(xiàn)的結果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反

12、、反）四種，如果擲三枚硬幣，其結果還要復雜，但還是可以將它們描述出來的，總之為了研究隨機試驗，必須知道隨機試驗的所有可能結果。1、 基本事件 通常，據(jù)我們研究的目的，將隨機試驗的每一個可能的結果，稱為基本事件。因為隨機事件的所有可能結果是明確的，從而所有的基本事件也是明確的，例如：在拋擲硬幣的試驗中“出現(xiàn)反面”，“出現(xiàn)正面”是兩個基本事件，又如在擲骰子試驗中“出現(xiàn)一點”，“出現(xiàn)兩點”，“出現(xiàn)三點”，“出現(xiàn)六點”這些都是基本事件。2、 樣本空間基本事件的全體，稱為樣本空間。也就是試驗所有可能結果的全體是樣本空間，樣本空間通常用大寫的希臘字母表示，中的點即是基本事件，也稱為樣本點，常用表示，有時也

13、用a,b,c等表示。 在具體問題中，給定樣本空間是研究隨機現(xiàn)象的第一步。例1、 例1、 一盒中有十個完全相同的球，分別有號碼1、2、310，從中任取一球，觀察其標號，令i， 10則, , 為基本事件（樣本點）例2，在研究英文字母使用狀況時，通常選用這樣的樣本空間： 例 1 ， 例 2討論的樣本空間只有有限個樣本點，是比較簡單的樣本空間。例3、 例3、 討論某尋呼臺在單位時間內收到的呼叫次數(shù)，可能結果一定是非負整數(shù)而且很難制定一個數(shù)為它的上界，這樣，可以把樣本空間取為這樣的樣本空間含有無窮個樣本點，但這些樣本點可以依照某種順序排列起來，稱它為可列樣本空間。例4、 例4、 討論某地區(qū)的氣溫時，自然

14、把樣本空間取為 或這樣的樣本空間含有無窮個樣本點，它充滿一個區(qū)間，稱它為無窮樣本空間。從這些例子可以看出，隨著問題的不同，樣本空間可以相當簡單，也可以相當復雜，在今后的討論中，都認為樣本空間是預先給出定的，當然對于一個實際問題或一個隨機現(xiàn)象，考慮問題的角度不同，樣本空間也可能選擇得不同。 例如：擲骰子這個隨機試驗，若考慮出現(xiàn)的點數(shù)，則樣本空間；若考慮的是出現(xiàn)奇數(shù)點還是出現(xiàn)偶數(shù)點，則樣本空間。由此說明，同一個隨機試驗可以有不同的樣本空間。在實際問題中，選擇恰當?shù)臉颖究臻g來研究隨機現(xiàn)象是概率中值得研究的問題。二、 隨機事件再看例1、樣本空間下面研究這些問題。 ， ， 其中a為一個基本事件，而b與c

15、則由基本事件所組成。例如：b 發(fā)生（出現(xiàn)）必須而且只須下列樣本點之一發(fā)生2、4、6、8、10， 它由五個基本事件組成。同樣地，c發(fā)生必須而且只須下列樣本點之一發(fā)生1、2、3、4、5。無論基本事件還是復雜事件，它們在試驗中發(fā)生與否，都帶有隨機性，所以叫做隨機事件或簡稱為事件，習慣上用大寫英文字母a,b,c 等表示，在試驗中如果出現(xiàn)a中包含了某一個基本事件，則稱作a發(fā)生，并記作。我們知道，樣本空間包含了全體基本事件，而隨機事件不過是由某些特征的基本事件組成的，從集合論的角度來看，一個隨機事件不過是樣本空間的一個子集而已。如例1中。顯然a,b,c都是的子集，它們可以簡單的表示為， ， 因為是所有基本

16、事件所組成，因而在一次試驗中，必然要出現(xiàn)中的某一基本事件，也就是在試驗中必然要發(fā)生，今后用表示一個必然事件，可以看成的子集。相應地空集，在任意一次試驗中不能有，也就是說永遠不可能發(fā)生，所以是不可能事件，實質上必然事件就是在每次試驗中都發(fā)生的事件，不可能事件就是在每次試驗中都不發(fā)生的事件，必然事件與不可能事件的發(fā)生與否，已經(jīng)失去了“不確定性”即隨機性，因而本質上不是隨機事件，但為了討論問題的方便，還是將它看作隨機事件。例5、 例5、 一批產(chǎn)品共10件，其中2件次品，其余為正品，從中任取3件則， ， d= 三件中至少有一件次品這些都是隨機事件而為必然事件為不可能事件，對于這個隨機試驗來說，基本事件

17、總數(shù)為個。三、 三、 事件的關系與運算對于隨機試驗而言，它的樣本空間可以包含很多隨機事件，概率論的任務之一就是研究隨機事件的規(guī)律，通過對較簡單事件規(guī)律的研究在掌握更復雜事件的規(guī)律，為此需要研究事件之間和事件之間的關系與運算。若沒有特殊說明，認為樣本空間是給定的，且還定義了中的一些事件，a,b，等，由于隨機事件是樣本空間的子集，從而事件的關系與運算和集合的關系與運算完全相類似。1、 事件的包含關系定義：若事件a發(fā)生必然導致事件b發(fā)生，則稱事件b包含了a，或稱a是b的特款， 記作或。比如前面提到過的，這一事件就導致了事件的發(fā)生，因為摸到標號為6的球意味著偶數(shù)的球出現(xiàn)了，所以可以給上述含義一個幾何解

18、釋，設樣本空間是一個正方體， a,b是兩個事件，也就是說，它們是的子集，“ a發(fā)生必然導致b發(fā)生”意味著屬于a 的樣本點在b中由此可見，事件的含義與集合論是一致的。ba特別地，對任何事件a 例6、 例6、 設某種動物從出生生活至20歲記為a，從出生到25記為b,則。2、 2、 事件的相等設a,b,若，同時有，稱a與b相等，記為a=b，易知相等的兩個事件a,b總是同時發(fā)生或同時不發(fā)生，在同一樣本空間中兩個事件想等意味著它們含有相同的樣本點。3、并(和)事件與積(交)事件定義： 設,稱事件“a與b中至少有一個發(fā)生”為a和b的和事件或并事件。記作ba 實質上 “a或b發(fā)生” 若，則例7、 例7、 設

19、某種圓柱形產(chǎn)品，若底面直徑和高都合格，則該產(chǎn)品合格。令a=直徑不合格，b=高度不合格，則=產(chǎn)品不合格。推廣： 設個事件，稱“中至少有一個發(fā)生”這一事件為 的并，記作或和事件的概念還可以推廣到可列個事件的情形。設，稱“a與b同時發(fā)生”這一事件為a和b的積事件或交事件。 記作或顯然 ba 若，則如例7中，若c=直徑合格，d=高度合格，則=產(chǎn)品合格。推廣: 設個事件，稱“同時發(fā)生”這一事件為的積事件。記作 或或 同樣積事件的概念也可以推廣為可列個事件的情形。4差事件定義： 設，稱“a發(fā)生b不發(fā)生”這一事件為a與b的差事件，記作b如例7中 =該產(chǎn)品的直徑不合格，高度合格，明顯地有a 5、對立事件定義：

20、稱“”為a的對立事件或稱為a的逆事件，記作。a 由此說明，在一次試驗中與有且僅有一個發(fā)生。 即不是發(fā)生就是發(fā)生。 顯然，由此說明與互為逆事件。 例8、設有100件產(chǎn)品，其中5件產(chǎn)品為次品，從中任取50件產(chǎn)品。記a=50件產(chǎn)品中至少有一件次品則50件產(chǎn)品中沒有次品=50件產(chǎn)品全是正品由此說明，若事件a比較復雜，往往它的對立事件比較簡單，因此我們在求復雜事件的概率時，往往可能轉化為求它的對立事件的概率。6、互不相容事件（互斥事件）定義：若兩個事件a與b不能同時發(fā)生，即，稱a與b為互不相容事件（或互斥事件）。注意：任意兩個基本事件都是互斥的。推廣：設n個事件兩兩互斥，稱互斥（互不相容）若a，b為互斥

21、事件，則a，b不一定為對立事件。但若a，b為對立事件，則a， a，b互斥。7、事件的運算法則1） 1）交換律 2） 2）結合律 3） 3）分配律 4） 4）對偶原則 例9、設為中的隨機事件，試用表示下列事件。1） a 與b發(fā)生而c 不發(fā)生 或2） a發(fā)生，b與c不發(fā)生 或3） 恰有一個事件發(fā)生 4) 恰有兩個事件發(fā)生 5) 三個事件都發(fā)生 abc6) 至少有一個事件發(fā)生 abc或 3）4）5）之并7) a,b,c都不發(fā)生 8) a,b,c不都發(fā)生 9) a,b,c不多于一個發(fā)生 或10) a,b,c不多于兩個發(fā)生 例10：試驗：袋中有三個球編號為.，從中任意摸出一球，觀察其號碼，記試問：）的樣

22、本空間為什么？）與，與，與是否互不相容？），對立事件是什么？4 ）a與b的和事件，積事件，差事件各是什么？解：設1） 1） 則的樣本空間為；2） 2） ，與，與是相容的，與互不相容； 3） ，； 4） ，。四.事件域事件是的子集，如果事件的這些子集歸在一起，則得到一個類， 稱作事件域，記作f。即f,為事件 f，f因為我們討論了事件間的運算 “” “” 和 “-”, 如果a，b都是事件，即a, bf ，自然要求ab ,ab,a-b 也是事件，因此，若 af， b f 就要求ab f ，ab f ，a-bf 。用集合論的語言來說，就是事件域 關于運算 “” “” 和 “-” 是封閉的，事件域 應該

23、滿足如下要求：是1）f ； 2）若af， 則f ； 3）若 f,=1,2,3.n. 則f 。在集合論中，滿足上述三條件的集合類稱為布爾代數(shù)（代數(shù)）所以事件域是一個布爾代數(shù)，對于樣本空間 ，如果是的一切子集的全體，那么顯然f是一個布爾代數(shù)。 1.2 概率與頻率一 概率與頻率的概念對于隨機試驗中的隨機事件，在一次試驗中是否發(fā)生，雖然不能預先知道，但是它們在一次試驗中發(fā)生的可能性是有大小之分的。比如擲一枚均勻的硬幣，那么隨機事件a（正面朝上）和隨機事件b（正面朝下）發(fā)生的可能性是一樣的（都為1/2）。又如袋中有8個白球，2個黑球，從中任取一球。當然取到白球的可能性要大于取道黑球的可能性。一般地，對于

24、任何一個隨機事件都可以找到一個數(shù)值與之對應，該數(shù)值作為發(fā)生的可能性大小的度量。定義1.1:隨機事件a發(fā)生的可能性大小的度量（數(shù)值），稱為a發(fā)生的概率，記為p（a）。對于一個隨機試驗來說，它發(fā)生可能性大小的度量是自身決定的，并且是客觀存在的。概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量是自身的屬性。一個根本問題是，對于一個給定的隨機事件發(fā)生可能性大小的度量概率，究竟有多大呢？再來看，擲硬幣的試驗，做一次試驗，事件a（正面朝上）是否發(fā)生是不確定的，然而這是問題的一個方面，當試驗大量重復做的時候，事件a發(fā)生的次數(shù)，也稱為頻數(shù)，體現(xiàn)出一定的規(guī)律性，約占總試驗次數(shù)的一半，也可寫成 f(a)=a發(fā)生的頻率=頻數(shù)/試

25、驗總次數(shù) 接近與1/2一般的，設隨機事件a在n次試驗中出現(xiàn)n次，比值 f(a)= n/n 稱為事件a在這n次試驗中出現(xiàn)的頻率歷史上有人做過擲硬幣的試驗 實驗者nn f(a)蒲豐404020480.5070k皮爾遜1200060190.5016k皮爾遜24000120120.5005從上表可以看，不管什么人去拋，當試驗次數(shù)逐漸增多時，f(a)總是在0.5附近擺動而逐漸穩(wěn)定與0.5。從這個例子可以看出，一個隨機試驗的隨機事件a，在n次試驗中出現(xiàn)的頻率f(a)，當試驗的次數(shù)n逐漸增多時，它在一個常數(shù)附近擺動，而逐漸穩(wěn)定與這個常數(shù)。這個常數(shù)是客觀存在的，“頻率穩(wěn)定性”的性質，不斷地為人類的實踐活動所證

26、實，它揭示了隱藏在隨機現(xiàn)象中的規(guī)律性。試判斷“頻率的極限就是概率”這句話是否正確？即嗎？不正確 由-n定義，若成立則 而頻率具有隨機性，并不能保證恒成立。例如，當時，取，上述不等式就不成立。因此，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中不能沿用數(shù)學分析中的一般極限定義了。二、頻率的性質由頻率的定義 =，,很快可以得到頻率的性質，1、非負性： ；2、規(guī)范性： 若為必然事件，則=1；3、有限可加性： 若a,b互不相容即ab=,則=+。 由這三條基本性質，還可以推出頻率的其它性質： 4、不可能事件的頻率為0， =0；5、若，則，由此還可以推得1；6、對有限個兩兩互不相容的事件的頻率具有可加性，即若（ ）, 則=。三、概

27、率的性質由于概率是頻率的穩(wěn)定值，因此頻率具有的性質，概率也應有相應的性質：1、非負性:p(a)；2、規(guī)范性:。 注意：性質2反過來不一定成立。就是說概率為1的事件不一定為必然事件。同樣，概率為0的事件不一定為不可能事件，這方面的例子在下一章再舉。3、有限可加性:若f，n，且， 則即有限個互不相容的事件的和事件的概率等于這些事件的概率之和。因，從而有=1。由此可知，給定一個隨機事件，也就確定了一個樣本空間、事件域f和概率p其中f是一個 布爾代數(shù)，p是定義在f上的一個非空、規(guī)范的有限可加集函數(shù)。 1.3古典概型先討論一類最簡單的隨機試驗，它具有下述特征：1） 1）樣本空間的元素（基本事件）只有有限

28、個，不妨設為n個，記為，；2） 2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的，即有=。稱這種數(shù)學模型為古典概型。它在概率論中具有非常重要的地位，一方面它比較簡單，既直觀，又容易理解，另一方面它概括了許多實際內容，有很廣泛的應用。對上述古典概型，它的樣本空間，事件域f為的所有子集的全體，這時連同，在內，f中含有個事件，并且從概率論的有限可加性知1=于是 =f，若a是k個基本事件之和，即a=則 =。所以在古典概型中，事件a的概率是一個分數(shù)，其分母是樣本點（基本事件）總數(shù)n，而分子是事件a包含的基本事件數(shù)k。例如：將一枚硬幣連續(xù)擲兩次就是這樣的試驗，也是古典概型，它有四個基本事件，（正、正）， （正、反），

29、 （反、正），（反、反），每個基本事件出現(xiàn)的可能結果都是。但將兩枚硬幣一起擲，這時試驗的可能結果為（正、反），（反、反），（正、正）但它們出現(xiàn)的可能性卻是不相同的，（正、反）出現(xiàn)的可能性為，而其它的兩個事件的可能性為。它不是古典概型，對此歷史上曾經(jīng)有過爭論，達朗貝爾曾誤為這三種結果的出現(xiàn)是等可能的。判別一個概率模型是否為古典概型，關鍵是看“等可能性”條件滿不滿足。而對此又通常根椐實際問題的某種對稱性進行理論分析，而不是通過實驗來判斷。由古典概型的計算公式可知，在古典概型中，若p(a)=1,則a=。同樣，若，則。不難驗證，古典概型具有非負性、規(guī)范性和有限可加性。利用古典概型的公式計算事件的概率關

30、鍵是要求基本事件總數(shù)和a的有利事件數(shù)，則需要利用數(shù)列和組合的有關知識，且有一定的技巧性。（一） 摸球問題例1. 例1. 在盒子中有五個球（三個白球、二個黑球）從中任取兩個。問取出的兩個球都是白球的概率？一白、一黑的概率？分析：說明它屬于古典概型，從5個球中任取2個，共有c種不同取法，可以將每一種取法作為一個樣點。則樣本點總數(shù)c是有限的。由于摸球是隨機的，因此樣本點出現(xiàn)的可能性是相等的，因此這個問題是古典概型。解：設a=，b= 基本事件總數(shù)為c a的有利事件數(shù)為c, b的有利事件數(shù)為， 。由此例我們初步體會到解古典概型問題的兩個要點：1.首先要判斷問題是屬于古典概型，即要判斷樣本空間是否有限和等

31、可能性；2.計算古典概型的關鍵是“記數(shù)”，這主要利用排列與組合的知識。在古典概型時常利用摸球模型，因為古典概型中的大部分問題都能形象化地用摸球模型來描述，若把黑球做為廢品，白球看為正品，則這個模型就可以描述產(chǎn)品的抽樣檢查問題，假如產(chǎn)品分為更多等級，例如一等品，二等品，三等品，等外品等等，則可以用更多有多種顏色的摸球模型來描述。例2：在盒子中有十個相同的球，分別標為號碼1，2，3，9，10，從中任摸一球，求此球的號碼為偶數(shù)的概率。解一：令 則 故基本事件總數(shù)n=10 令 a=, 因而a含有5個基本事件 解二：令 a=， 則=因而 ,此例說明了在古典概型問題中，選取適當?shù)臉颖究臻g，可使我們的解題變

32、的簡潔。例3：一套五冊的選集，隨機地放到書架上，求各冊書自左至右恰好成1，2，3，4，5的順序的概率。解：將五本書看成五各球，這就是一個摸球模型， 基本事件總數(shù)5！ 令 a= a包含的基本事件數(shù)為2，例4：從52張撲克牌中取出13張牌來，問有5張黑桃、三張紅心、3張方塊、2張草花的概率是多少？解：基本事件數(shù)為：令a表示13張牌中有5張黑桃、3張紅心、3張方塊、2張草花a包含的基本事件數(shù)為：=。（二）、分房問題例5：設有n個人，每個人都等可能地被分配到n個房間中的任意一間去住（nn），求下列事件的概率：1）a=指定的n個房間各有一人??；2）b=恰好有n個房間，其中各有一人住。解：因為每一個人有n

33、個房間可供選擇（沒有限制每間房住多少人），所以n個人住的方式共有種，它們是等可能的。1） 1）n個人都分到指定的n間房中去住，保證每間房中個有一人?。坏谝蝗擞衝 分法，第二人有n-1種分法，最后一人只能分到剩下的一間房中去住，共有 n(n-1).21種分法，即a含有n！個基本事件： =2） 2）n個人都分到的n間房中，保證每間只要一人，共有n!種分法，而n間房未指定，故可以從n間房中任意選取，共有 種取法，故b包含了種取法。=，又如在擲骰子試驗中“出現(xiàn)一點”。注意：分房問題中的人與房子一般都是有個性的，這類問題是將人一個個地往房間里分配，處理實際問題時要分清什么是“人”，什么是“房子”，一般不

34、可顛倒，常遇到的分房問題有： n個人相同生日問題，n封信裝入n個信封的問題（配對問題），擲骰子問題等，分房問題也稱為球在盒子中的分布問題。從上述幾個例子可以看出，求解古典概型問題的關鍵是在尋找基本事件總數(shù)和有利事件數(shù)，有時正面求較困難時，可以轉化求它的對立方面，要講究一些技巧。例6：某班級有n個人（n0)，向平面任意投擲一枚長為l(l0上述等式總是成立的，同樣對幾何概率上述關系式也成立。1 1條件概率的定義定義1.若（）是一個概率空間f， 且（）0.對任意f，稱p（a|b）=為在已知事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率。性質不難驗證條件概率(.|b)具有概率的三個基本性質） ） 非負性：f （）

35、 ） 規(guī)范性：（） ） 可列可加性：f（i=1，2），且互不相容，有由此可知，對給定的一個概率空間（）和事件bf, 如果（），則條件概率(.|b) 也是(，f)上的一個概率測度,特別，當b=時，p(.|b)就是原來的概率測度p（.）,所以不妨將原來的概率看成條件概率的極端情形，還可以驗證4） p()=0(5)p()=1- p()(6)p()=p()+p()-p()二、乘法公式由條件概率的定義可知，當p(a)0時p(ab)= p(a)p()同理當p(b)0時, p(ab)= p(b)p()這個公式稱為乘法公式乘法公式可以推廣到n個事件的情形，=(0)例2：甲、乙兩市都位于長江下游，據(jù)一百多年來的氣象記錄，知道在一年中的雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，兩地同時下雨占12%。記 a= 甲市出現(xiàn)雨天 b =乙市出現(xiàn)雨天求：1）兩市至少有一市是雨天的概率；2）乙市出現(xiàn)雨天的條件下，甲市也出現(xiàn)雨天的概率；3）甲市出現(xiàn)雨天的條件下，乙市也出現(xiàn)雨天的概率。解：1）2）3）例3：（抽簽問題）有一張電影票，7個人抓鬮決定誰得到它，問第i個人抓到票的