函數(shù)的對(duì)稱性與函數(shù)的圖象變換總結(jié)[講課適用]

1、有些函數(shù)有些函數(shù) 其圖像有著優(yōu)美的對(duì)稱性，其圖像有著優(yōu)美的對(duì)稱性， 同時(shí)又有著優(yōu)美的對(duì)稱關(guān)系式同時(shí)又有著優(yōu)美的對(duì)稱關(guān)系式 1優(yōu)選課堂 1-3-1-265432 -xx ( 1)(1)ff ( 2)(2)ff ()( )fxf x 78 0 x （偶函數(shù)）（偶函數(shù)） Y=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱對(duì)稱 知識(shí)回顧知識(shí)回顧 l從從”形形”的角度看，的角度看，l從從“數(shù)數(shù)”的角度看，的角度看， f(-x)=f(x) X Y 2優(yōu)選課堂 1-3-1-26543278 2x ( )f x f(x)= f(4-x) f(1)= f(0)= f(-2)= f(310)= f(6) f(4-31

2、0) 0 x4-x Y=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱對(duì)稱 f(3) f(4) l從從”形形”的角度看，的角度看，l從從”數(shù)數(shù)”的角度看，的角度看， x y 3優(yōu)選課堂 -1+x-1-x 1-3-1-26543278 x=-1 f(-1+x)= f(-1-x) 思考思考?若若y=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=-1對(duì)稱對(duì)稱 f(x)= f(-2-x) Y x 4優(yōu)選課堂 ly=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱對(duì)稱 f(x)=f(2a-x) f(a-x)=f(a+x) ly=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱對(duì)稱 f(x)=f(-x) 特例：特例：a=0 軸對(duì)稱

3、性軸對(duì)稱性 思考？思考？ 若若y=f(x)滿足滿足f(a-x)=f(b+x), 則函數(shù)圖像關(guān)于則函數(shù)圖像關(guān)于 對(duì)稱對(duì)稱 a+b 2 x= 直線直線 xa 5優(yōu)選課堂 -xx x y o f(-x)=-f(x) y=f(x)圖像關(guān)于圖像關(guān)于(0,0)中心對(duì)稱中心對(duì)稱 中心對(duì)稱性中心對(duì)稱性類比探究類比探究 a l從從”形形”的角度看，的角度看，l從從”數(shù)數(shù)”的角度看，的角度看， 6優(yōu)選課堂 f(x)=-f(2a-x) f(a-x)=-f(a+x) x y o a l從從”形形”的角度看，的角度看，l從從”數(shù)數(shù)”的角度看，的角度看， 中心對(duì)稱性中心對(duì)稱性類比探究類比探究 a+x a-x y=f(x)

4、圖像關(guān)于圖像關(guān)于(a,0)中心對(duì)稱中心對(duì)稱 b 7優(yōu)選課堂 a f(a+x)=2b-f(a-x) f(2a-x)=2b-f(x) b 中心對(duì)稱性中心對(duì)稱性 y=f(x)圖像關(guān)于圖像關(guān)于(a,b)中心對(duì)稱中心對(duì)稱 類比探究類比探究 x y o 8優(yōu)選課堂 思考？思考？ (1)若若y=f(x)滿足滿足f(a-x)=-f(b+x), (2)若若y=f(x)滿足滿足f(a-x)=2c-f(b+x), 則函數(shù)圖像關(guān)于則函數(shù)圖像關(guān)于 對(duì)稱對(duì)稱 a+b 2 ( ,0 )點(diǎn)點(diǎn) 則函數(shù)圖像關(guān)于則函數(shù)圖像關(guān)于 對(duì)稱對(duì)稱 a+b 2 ( ,C )點(diǎn)點(diǎn) 9優(yōu)選課堂 -x x 函數(shù)圖像關(guān)于直線函數(shù)圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱

5、對(duì)稱 f(-x)=f(x) 函數(shù)圖像關(guān)于直線函數(shù)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱對(duì)稱 f(a-x)=f(a+x) x=a f(x)=f(2a-x) 函數(shù)圖像關(guān)于函數(shù)圖像關(guān)于(0,0)中心對(duì)稱中心對(duì)稱 函數(shù)圖像關(guān)于函數(shù)圖像關(guān)于(a,0)中心對(duì)稱中心對(duì)稱 f(-x)=-f(x) f(a-x)=-f(a+x) f(x)=-f(2a-x) 軸對(duì)稱軸對(duì)稱中心對(duì)稱性中心對(duì)稱性 a 10優(yōu)選課堂 練習(xí)練習(xí): (1)若若y=f(x)滿足滿足f(-2-x)=f(-2+x), 則函數(shù)圖像關(guān)于則函數(shù)圖像關(guān)于 對(duì)稱對(duì)稱 (2)若若y=f(x)滿足滿足f(3-x)=f(4+x) (4)若若y=f(x)滿足滿足f(3-x)=-f(

6、4+x) (3)若若y=f(x)滿足滿足f(-2-x)=-f(-2+x), (5)若若y=f(x)滿足滿足f(3-x)=3-f(4+x) 11優(yōu)選課堂 函數(shù)圖象是研究函數(shù)圖象是研究 函數(shù)的重要工具函數(shù)的重要工具,它能它能 為所研究函數(shù)的數(shù)量為所研究函數(shù)的數(shù)量 關(guān)系及其圖象特征提關(guān)系及其圖象特征提 供一種供一種”形形”的直觀的直觀 體現(xiàn)體現(xiàn),是利用是利用”數(shù)形結(jié)數(shù)形結(jié) 合合”解題的重要基礎(chǔ)解題的重要基礎(chǔ). 12優(yōu)選課堂 描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法: 描點(diǎn)法描點(diǎn)法;(通過列表通過列表描點(diǎn)描點(diǎn)連線三個(gè)步驟完成連線三個(gè)步驟完成) 圖象變換圖象變換;(即一個(gè)圖象經(jīng)過變換得到另一

7、個(gè)與即一個(gè)圖象經(jīng)過變換得到另一個(gè)與 之相關(guān)的函數(shù)圖象的方法之相關(guān)的函數(shù)圖象的方法) 函數(shù)圖象的三大變換函數(shù)圖象的三大變換 平移對(duì)稱對(duì)稱伸縮伸縮 13優(yōu)選課堂 問題問題1：如何由：如何由f(x)=x2的圖象得到下列各函的圖象得到下列各函 數(shù)的圖象？數(shù)的圖象？ （1）f(x-1)=(x-1)2 （2）f(x+1)=(x+1)2 （3）f(x)+1=x2+1 （4）f(x) -1=x2-1 O y x y=f(x-1) y=f(x+1) y=f(x)-1 y=f(x)+1 函數(shù)圖象的平移變換：函數(shù)圖象的平移變換： 左右平移左右平移 y=f(x)y=f(x)y=f(x+a)y=f(x+a) a0,向左

8、平移a個(gè)單位 a0,向右平移|a|個(gè)單位 上下平移y=f(x)y=f(x)y=f(x)+ky=f(x)+k k0,向上平移k個(gè)單位 1 1 -1 -1 14優(yōu)選課堂 同步練習(xí)同步練習(xí): 若函數(shù)若函數(shù)f(x)恒過定點(diǎn)恒過定點(diǎn)(1,1),則函數(shù)則函數(shù)f(x-4)-2恒過恒過 定點(diǎn)定點(diǎn) . 若函數(shù)若函數(shù)f(x)關(guān)于直線關(guān)于直線x=1對(duì)稱對(duì)稱,則函數(shù)則函數(shù)f(x-4)-2 關(guān)于直線關(guān)于直線 對(duì)稱對(duì)稱. (5,-1) x=5 15優(yōu)選課堂 問題問題2. 設(shè)f(x)= (x0)，求函數(shù)y=-f(x)、y=f(-x)、 y=-f(-x)的解析式及其定義域，并分別作出它們的圖象。 x 1 x x y o 1

9、y=f(x) x x y o 1 y=f(x) x x y o 1 y=f(x) y=-f(x) y=f(-x) y=-f(-x) 對(duì)稱變換對(duì)稱變換 （1）y=f(x)與與y=f(-x)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于 對(duì)稱；對(duì)稱； （2）y=f(x)與與y=-f(x)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于 對(duì)稱；對(duì)稱； （3）y=f(x)與與y=-f(-x)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于 對(duì)稱；對(duì)稱； x 軸 y 軸 原 點(diǎn) 16優(yōu)選課堂 練習(xí)：說出下列函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)練習(xí)：說出下列函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)y=2y=2x x的的 圖象的關(guān)系，并畫出它們的示意圖圖象的關(guān)系，并畫出它們的示意圖. . (1)y=2-x(2)y=-2x(

10、3)y=-2-x O y O y O y 1 1 -1 1 -1 xxx 17優(yōu)選課堂 1.函數(shù)函數(shù)y=f(-x)與函數(shù)與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱軸對(duì)稱 2.函數(shù)函數(shù)y=-f(x)與函數(shù)與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱軸對(duì)稱 3.函數(shù)函數(shù)y=-f(-x)與函數(shù)與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 4.函數(shù)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)與函數(shù)y=f(2a-x)的圖像關(guān)于直線的圖像關(guān)于直線 對(duì)稱對(duì)稱 函數(shù)圖象對(duì)稱變換的規(guī)律函數(shù)圖象對(duì)稱變換的規(guī)律: 思考思考:“函數(shù)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)與函數(shù)y=f(2a-x)的圖像關(guān)于直線的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱對(duì)稱”與

11、與 “函數(shù)函數(shù)y=f(x)滿足滿足f(x)= f(2a-x),則函數(shù)則函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線關(guān)于直線x=a對(duì)稱對(duì)稱” 兩者間有何區(qū)別兩者間有何區(qū)別? 對(duì)稱變換是指對(duì)稱變換是指兩個(gè)兩個(gè)函數(shù)圖象之間的對(duì)稱關(guān)系函數(shù)圖象之間的對(duì)稱關(guān)系,而而”滿足滿足 f(x)= f(2a-x)或或f(a+x)= f(a-x)有有y=f(x)關(guān)于直線關(guān)于直線x=a對(duì)稱對(duì)稱”是指是指 一個(gè)一個(gè)函數(shù)自身的性質(zhì)屬性函數(shù)自身的性質(zhì)屬性,兩者不可混為一談兩者不可混為一談. x=a 18優(yōu)選課堂 問題問題3：分別在同一坐標(biāo)系中作出下列各組函：分別在同一坐標(biāo)系中作出下列各組函 數(shù)的圖象，并說明它們之間有什么關(guān)系？數(shù)的圖象，并說明它

12、們之間有什么關(guān)系？ （1）y=2x與與y=2|x| Ox y 由由y=f(x)的圖象作的圖象作 y=f(|x|)的圖象：的圖象： y=2x 保留保留y=f(x)中中y軸右側(cè)部分，軸右側(cè)部分， 再加上再加上y軸右側(cè)部分軸右側(cè)部分關(guān)于關(guān)于y軸對(duì)稱軸對(duì)稱 的圖形的圖形. 1 y=2|x| 19優(yōu)選課堂 22 (2)23|23|yxxyxx與 O y x -4 1 4 -1 由由y=f(x)的圖象作的圖象作 y=|f(x)|的圖象：的圖象： 保留保留y = = f( (x) )在在 x 軸上方部分，再加上軸上方部分，再加上 x軸軸下方部分關(guān)于下方部分關(guān)于x軸軸 對(duì)稱到上方的圖形對(duì)稱到上方的圖形 20優(yōu)

13、選課堂 函數(shù)圖象的對(duì)稱變換規(guī)律：函數(shù)圖象的對(duì)稱變換規(guī)律： （1）y=f(x) y=f(x+a)a0, a0,向左平移向左平移a a個(gè)單位個(gè)單位 a0,a0,k0,向上平移向上平移k k個(gè)單位個(gè)單位 k0,k0,向下平移向下平移|k|k|個(gè)單位個(gè)單位 （1）y=f(x)與與y=-f(x)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于 對(duì)稱；對(duì)稱； （2）y=f(x)與與y=f(-x)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于 對(duì)稱；對(duì)稱； （3）y=f(x)與與y=-f(-x)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于 對(duì)稱；對(duì)稱； 函數(shù)圖象的平移變換規(guī)律：函數(shù)圖象的平移變換規(guī)律： (4)(4)由由y=f(x)y=f(x)的圖象作的圖象作y=f(|x|)y=f(|

14、x|)的圖象：保留的圖象：保留y=f(x)y=f(x) 中中 部分，再加上這部分關(guān)于部分，再加上這部分關(guān)于 對(duì)稱的圖對(duì)稱的圖 形形. .(6)(6)由由y=f(x)y=f(x)的圖象作的圖象作y=|f(x)|y=|f(x)|的圖象：保留的圖象：保留y=f(x)y=f(x) 中中 部分，再加上部分，再加上x x軸下方部分關(guān)于軸下方部分關(guān)于 對(duì)對(duì) 稱的圖形稱的圖形. . x軸軸 y軸軸 原點(diǎn)原點(diǎn) y y軸右側(cè)軸右側(cè) y y軸軸 x x軸上方軸上方x x軸軸 左右平移 21優(yōu)選課堂 練習(xí)：已知函數(shù)y=f(x) 的圖象如圖所，分別畫 出下列函數(shù)的圖象： y ox 1 -1 -2 1 2 -0.5 (1

15、) y = f(-x); (2) y = - f(x). y ox 1 -1-21 2 -0.5 y = f(-x) y o x -1 -1-2 12 0.5 y = - f(x) (3) y = f(|x|); (4) y = |f(x)|. 22優(yōu)選課堂 練習(xí)：已知函數(shù)y=f(x) 的圖象如圖所，分別畫 出下列函數(shù)的圖象： y ox 1 -1 -2 1 2 -0.5 (1) y = f(-x); (2) y = - f(x). (3) y = f(|x|); (4) y = |f(x)|. y ox 1 -1 -2 1 2 -0.5 y ox 1 -1 -2 1 2 -0.5 y = f(

16、|x|) y = |f(x)| 23優(yōu)選課堂 例例1.將函數(shù)將函數(shù)y=2-2x的圖象向左平移的圖象向左平移1個(gè)單位，再作關(guān)于個(gè)單位，再作關(guān)于 原點(diǎn)對(duì)稱的圖形后原點(diǎn)對(duì)稱的圖形后.求所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式求所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式. y=2-2x y=2-2(x+1) -y=2-2(-x+1)y=-22x-2 向左平移向左平移1個(gè)單位個(gè)單位 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 x換成換成-x y換成換成-y x 換成換成 x+1 24優(yōu)選課堂 例例2.已知函數(shù)已知函數(shù)y=|2x-2| （1）作出函數(shù)的圖象；）作出函數(shù)的圖象； （2）指出函數(shù)）指出函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間； （3）指出）指出x取何值時(shí)，

17、函數(shù)有最值。取何值時(shí)，函數(shù)有最值。 O x y 321 1 -1 y=2x y=2x-2 y=|2x-2| y=|2x-2| 25優(yōu)選課堂 例例2.已知函數(shù)已知函數(shù)y=|2x-2| （1）作出函數(shù)的圖象；）作出函數(shù)的圖象； （2）指出函數(shù)）指出函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間； （3）指出）指出x取何值時(shí)，函數(shù)有最值。取何值時(shí)，函數(shù)有最值。 O x y 321 1 -1 y=|2x-2| 0 x x a 變式: 1.討論關(guān)于 的方程 |2 -2|-實(shí)根個(gè)數(shù)。 26優(yōu)選課堂 |1| )2 x xx 1 變式3:求關(guān)于 的方程( 2 的實(shí)根有個(gè). 27優(yōu)選課堂 1函數(shù)f(x)ln|x1|的圖像大致是(

18、) 解析：函數(shù)f(x)ln|x1|的圖像是由函數(shù) g(x)ln|x|向右平移1個(gè)單位得到的，故選B. 答案：B 28優(yōu)選課堂 29優(yōu)選課堂 答案：C 30優(yōu)選課堂 4使log2(x)x1成立的x的取值范圍是( ) A(1,0) B1,0) C(2,0) D2,0) 解析：作出ylog2(x)，yx1的圖像知 滿足條件的x(1,0) 答案：A 31優(yōu)選課堂 32優(yōu)選課堂 33優(yōu)選課堂 易錯(cuò)點(diǎn)一 對(duì)“平移”概念理解不深導(dǎo)致失誤 【自我診斷】 把函數(shù)ylog2(2x3)的 圖 像 向 左 平 移 1 個(gè) 單 位 長 度 得 到 函 數(shù) _的圖像 解析：由題意，得所求函數(shù)解析式為y log22(x1)

19、3log2(2x1) 答案：ylog2(2x1) 34優(yōu)選課堂 易錯(cuò)點(diǎn)二 判斷圖像的對(duì)稱性失誤 【自我診斷】 設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镽， 則函數(shù)yf(x1)與yf(1x)的圖像關(guān)于() A直線y0對(duì)稱 B直線x0對(duì)稱 C直線y1對(duì)稱 D直線x1對(duì)稱 35優(yōu)選課堂 解析：方法一：設(shè)(x1，y1)是yf(x1)圖像 上任意一點(diǎn)，則y1f(x11)，而f(x11)f1 (2x1)，說明點(diǎn)(2x1，y1)定是函數(shù)yf(1 x)上的一點(diǎn)，而點(diǎn)(x1，y1)與點(diǎn)(2x1，y1)關(guān)于直 線x1對(duì)稱，所以yf(x1)的圖像與yf(1x) 的圖像關(guān)于直線x1對(duì)稱，所以選D. 方法二：函數(shù)yf(x)與yf(x

20、)的圖像關(guān)于 y軸對(duì)稱，yf(1x)f(x1)把yf(x) 與yf(x)的圖像同時(shí)都向右平移1個(gè)單位長度， 就得到y(tǒng)f(x1)與yf(1x)的圖像，對(duì)稱軸y 軸向右平移1個(gè)單位長度得直線x1，故選D. 36優(yōu)選課堂 方法三：(特殊值法)設(shè)f(x)x2，則f(x1) (x1)2，f(1x)(x1)2，由圖可知(兩圖像重 合)，函數(shù)f(x1)和f(1x)的圖像關(guān)于直線x1 對(duì)稱，只有D正確 答案：D 37優(yōu)選課堂 題型二函數(shù)圖像的識(shí)別 【例2】 函數(shù)yf(x)與函數(shù)yg(x)的圖像分 別如圖、所示 則函數(shù)yf(x)g(x)的圖像可能是() 38優(yōu)選課堂 解析：從f(x)、g(x)圖像可知它們分別為

21、偶函 數(shù)、奇函數(shù)，故f(x)g(x)是奇函數(shù)，排除B. 由g(x)圖像不過(0,0)得f(x)g(x)圖像也不過 (0,0)，排除C、D. 答案：A 規(guī)律方法：注意從f(x)，g(x)的奇偶性、單調(diào) 性等方面尋找f(x)g(x)的圖像特征 39優(yōu)選課堂 【預(yù)測(cè)2】 (1)已知函數(shù)yf(x)的圖像如圖 所示，yg(x)的圖像如圖所示， 則函數(shù)yf(x)g(x)的圖像可能是下圖中的( ) 40優(yōu)選課堂 (2)將f(x)改為奇函數(shù)，g(x)也是奇函數(shù)，例 如，f(x)、g(x)圖像分別如圖、所示，則 f(x)g(x)的圖像為() 41優(yōu)選課堂 解析：(1)f(x)，g(x)均為偶函數(shù)，則f(x)g(x) 為偶函數(shù)，可排除A、D.注意x0時(shí)圖像變化趨 勢(shì)是“負(fù)正負(fù)”，故只能選C.(2)f(x)g(x)為 偶函數(shù)，可排除A、C、D，選B. 答案：(1