函數(shù)的對稱性與函數(shù)的圖象變換總結(jié)[講課適用]

1、有些函數(shù)有些函數(shù) 其圖像有著優(yōu)美的對稱性，其圖像有著優(yōu)美的對稱性， 同時又有著優(yōu)美的對稱關(guān)系式同時又有著優(yōu)美的對稱關(guān)系式 1優(yōu)選課堂 1-3-1-265432 -xx ( 1)(1)ff ( 2)(2)ff ()( )fxf x 78 0 x （偶函數(shù)）（偶函數(shù)） Y=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=0對稱對稱 知識回顧知識回顧 l從從”形形”的角度看，的角度看，l從從“數(shù)數(shù)”的角度看，的角度看， f(-x)=f(x) X Y 2優(yōu)選課堂 1-3-1-26543278 2x ( )f x f(x)= f(4-x) f(1)= f(0)= f(-2)= f(310)= f(6) f(4-31

2、0) 0 x4-x Y=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=2對稱對稱 f(3) f(4) l從從”形形”的角度看，的角度看，l從從”數(shù)數(shù)”的角度看，的角度看， x y 3優(yōu)選課堂 -1+x-1-x 1-3-1-26543278 x=-1 f(-1+x)= f(-1-x) 思考思考?若若y=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=-1對稱對稱 f(x)= f(-2-x) Y x 4優(yōu)選課堂 ly=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=a對稱對稱 f(x)=f(2a-x) f(a-x)=f(a+x) ly=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=0對稱對稱 f(x)=f(-x) 特例：特例：a=0 軸對稱

3、性軸對稱性 思考？思考？ 若若y=f(x)滿足滿足f(a-x)=f(b+x), 則函數(shù)圖像關(guān)于則函數(shù)圖像關(guān)于 對稱對稱 a+b 2 x= 直線直線 xa 5優(yōu)選課堂 -xx x y o f(-x)=-f(x) y=f(x)圖像關(guān)于圖像關(guān)于(0,0)中心對稱中心對稱 中心對稱性中心對稱性類比探究類比探究 a l從從”形形”的角度看，的角度看，l從從”數(shù)數(shù)”的角度看，的角度看， 6優(yōu)選課堂 f(x)=-f(2a-x) f(a-x)=-f(a+x) x y o a l從從”形形”的角度看，的角度看，l從從”數(shù)數(shù)”的角度看，的角度看， 中心對稱性中心對稱性類比探究類比探究 a+x a-x y=f(x)

4、圖像關(guān)于圖像關(guān)于(a,0)中心對稱中心對稱 b 7優(yōu)選課堂 a f(a+x)=2b-f(a-x) f(2a-x)=2b-f(x) b 中心對稱性中心對稱性 y=f(x)圖像關(guān)于圖像關(guān)于(a,b)中心對稱中心對稱 類比探究類比探究 x y o 8優(yōu)選課堂 思考？思考？ (1)若若y=f(x)滿足滿足f(a-x)=-f(b+x), (2)若若y=f(x)滿足滿足f(a-x)=2c-f(b+x), 則函數(shù)圖像關(guān)于則函數(shù)圖像關(guān)于 對稱對稱 a+b 2 ( ,0 )點點 則函數(shù)圖像關(guān)于則函數(shù)圖像關(guān)于 對稱對稱 a+b 2 ( ,C )點點 9優(yōu)選課堂 -x x 函數(shù)圖像關(guān)于直線函數(shù)圖像關(guān)于直線x=0對稱

5、對稱 f(-x)=f(x) 函數(shù)圖像關(guān)于直線函數(shù)圖像關(guān)于直線x=a對稱對稱 f(a-x)=f(a+x) x=a f(x)=f(2a-x) 函數(shù)圖像關(guān)于函數(shù)圖像關(guān)于(0,0)中心對稱中心對稱 函數(shù)圖像關(guān)于函數(shù)圖像關(guān)于(a,0)中心對稱中心對稱 f(-x)=-f(x) f(a-x)=-f(a+x) f(x)=-f(2a-x) 軸對稱軸對稱中心對稱性中心對稱性 a 10優(yōu)選課堂 練習練習: (1)若若y=f(x)滿足滿足f(-2-x)=f(-2+x), 則函數(shù)圖像關(guān)于則函數(shù)圖像關(guān)于 對稱對稱 (2)若若y=f(x)滿足滿足f(3-x)=f(4+x) (4)若若y=f(x)滿足滿足f(3-x)=-f(

6、4+x) (3)若若y=f(x)滿足滿足f(-2-x)=-f(-2+x), (5)若若y=f(x)滿足滿足f(3-x)=3-f(4+x) 11優(yōu)選課堂 函數(shù)圖象是研究函數(shù)圖象是研究 函數(shù)的重要工具函數(shù)的重要工具,它能它能 為所研究函數(shù)的數(shù)量為所研究函數(shù)的數(shù)量 關(guān)系及其圖象特征提關(guān)系及其圖象特征提 供一種供一種”形形”的直觀的直觀 體現(xiàn)體現(xiàn),是利用是利用”數(shù)形結(jié)數(shù)形結(jié) 合合”解題的重要基礎(chǔ)解題的重要基礎(chǔ). 12優(yōu)選課堂 描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法: 描點法描點法;(通過列表通過列表描點描點連線三個步驟完成連線三個步驟完成) 圖象變換圖象變換;(即一個圖象經(jīng)過變換得到另一

7、個與即一個圖象經(jīng)過變換得到另一個與 之相關(guān)的函數(shù)圖象的方法之相關(guān)的函數(shù)圖象的方法) 函數(shù)圖象的三大變換函數(shù)圖象的三大變換 平移對稱對稱伸縮伸縮 13優(yōu)選課堂 問題問題1：如何由：如何由f(x)=x2的圖象得到下列各函的圖象得到下列各函 數(shù)的圖象？數(shù)的圖象？ （1）f(x-1)=(x-1)2 （2）f(x+1)=(x+1)2 （3）f(x)+1=x2+1 （4）f(x) -1=x2-1 O y x y=f(x-1) y=f(x+1) y=f(x)-1 y=f(x)+1 函數(shù)圖象的平移變換：函數(shù)圖象的平移變換： 左右平移左右平移 y=f(x)y=f(x)y=f(x+a)y=f(x+a) a0,向左

8、平移a個單位 a0,向右平移|a|個單位 上下平移y=f(x)y=f(x)y=f(x)+ky=f(x)+k k0,向上平移k個單位 1 1 -1 -1 14優(yōu)選課堂 同步練習同步練習: 若函數(shù)若函數(shù)f(x)恒過定點恒過定點(1,1),則函數(shù)則函數(shù)f(x-4)-2恒過恒過 定點定點 . 若函數(shù)若函數(shù)f(x)關(guān)于直線關(guān)于直線x=1對稱對稱,則函數(shù)則函數(shù)f(x-4)-2 關(guān)于直線關(guān)于直線 對稱對稱. (5,-1) x=5 15優(yōu)選課堂 問題問題2. 設(shè)f(x)= (x0)，求函數(shù)y=-f(x)、y=f(-x)、 y=-f(-x)的解析式及其定義域，并分別作出它們的圖象。 x 1 x x y o 1

9、y=f(x) x x y o 1 y=f(x) x x y o 1 y=f(x) y=-f(x) y=f(-x) y=-f(-x) 對稱變換對稱變換 （1）y=f(x)與與y=f(-x)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于 對稱；對稱； （2）y=f(x)與與y=-f(x)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于 對稱；對稱； （3）y=f(x)與與y=-f(-x)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于 對稱；對稱； x 軸 y 軸 原 點 16優(yōu)選課堂 練習：說出下列函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)練習：說出下列函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)y=2y=2x x的的 圖象的關(guān)系，并畫出它們的示意圖圖象的關(guān)系，并畫出它們的示意圖. . (1)y=2-x(2)y=-2x(

10、3)y=-2-x O y O y O y 1 1 -1 1 -1 xxx 17優(yōu)選課堂 1.函數(shù)函數(shù)y=f(-x)與函數(shù)與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于的圖像關(guān)于y軸對稱軸對稱 2.函數(shù)函數(shù)y=-f(x)與函數(shù)與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于的圖像關(guān)于x軸對稱軸對稱 3.函數(shù)函數(shù)y=-f(-x)與函數(shù)與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點對稱的圖像關(guān)于原點對稱 4.函數(shù)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)與函數(shù)y=f(2a-x)的圖像關(guān)于直線的圖像關(guān)于直線 對稱對稱 函數(shù)圖象對稱變換的規(guī)律函數(shù)圖象對稱變換的規(guī)律: 思考思考:“函數(shù)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)與函數(shù)y=f(2a-x)的圖像關(guān)于直線的圖像關(guān)于直線x=a對稱對稱”與

11、與 “函數(shù)函數(shù)y=f(x)滿足滿足f(x)= f(2a-x),則函數(shù)則函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線關(guān)于直線x=a對稱對稱” 兩者間有何區(qū)別兩者間有何區(qū)別? 對稱變換是指對稱變換是指兩個兩個函數(shù)圖象之間的對稱關(guān)系函數(shù)圖象之間的對稱關(guān)系,而而”滿足滿足 f(x)= f(2a-x)或或f(a+x)= f(a-x)有有y=f(x)關(guān)于直線關(guān)于直線x=a對稱對稱”是指是指 一個一個函數(shù)自身的性質(zhì)屬性函數(shù)自身的性質(zhì)屬性,兩者不可混為一談兩者不可混為一談. x=a 18優(yōu)選課堂 問題問題3：分別在同一坐標系中作出下列各組函：分別在同一坐標系中作出下列各組函 數(shù)的圖象，并說明它們之間有什么關(guān)系？數(shù)的圖象，并說明它

12、們之間有什么關(guān)系？ （1）y=2x與與y=2|x| Ox y 由由y=f(x)的圖象作的圖象作 y=f(|x|)的圖象：的圖象： y=2x 保留保留y=f(x)中中y軸右側(cè)部分，軸右側(cè)部分， 再加上再加上y軸右側(cè)部分軸右側(cè)部分關(guān)于關(guān)于y軸對稱軸對稱 的圖形的圖形. 1 y=2|x| 19優(yōu)選課堂 22 (2)23|23|yxxyxx與 O y x -4 1 4 -1 由由y=f(x)的圖象作的圖象作 y=|f(x)|的圖象：的圖象： 保留保留y = = f( (x) )在在 x 軸上方部分，再加上軸上方部分，再加上 x軸軸下方部分關(guān)于下方部分關(guān)于x軸軸 對稱到上方的圖形對稱到上方的圖形 20優(yōu)

13、選課堂 函數(shù)圖象的對稱變換規(guī)律：函數(shù)圖象的對稱變換規(guī)律： （1）y=f(x) y=f(x+a)a0, a0,向左平移向左平移a a個單位個單位 a0,a0,k0,向上平移向上平移k k個單位個單位 k0,k0,向下平移向下平移|k|k|個單位個單位 （1）y=f(x)與與y=-f(x)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于 對稱；對稱； （2）y=f(x)與與y=f(-x)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于 對稱；對稱； （3）y=f(x)與與y=-f(-x)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于 對稱；對稱； 函數(shù)圖象的平移變換規(guī)律：函數(shù)圖象的平移變換規(guī)律： (4)(4)由由y=f(x)y=f(x)的圖象作的圖象作y=f(|x|)y=f(|

14、x|)的圖象：保留的圖象：保留y=f(x)y=f(x) 中中 部分，再加上這部分關(guān)于部分，再加上這部分關(guān)于 對稱的圖對稱的圖 形形. .(6)(6)由由y=f(x)y=f(x)的圖象作的圖象作y=|f(x)|y=|f(x)|的圖象：保留的圖象：保留y=f(x)y=f(x) 中中 部分，再加上部分，再加上x x軸下方部分關(guān)于軸下方部分關(guān)于 對對 稱的圖形稱的圖形. . x軸軸 y軸軸 原點原點 y y軸右側(cè)軸右側(cè) y y軸軸 x x軸上方軸上方x x軸軸 左右平移 21優(yōu)選課堂 練習：已知函數(shù)y=f(x) 的圖象如圖所，分別畫 出下列函數(shù)的圖象： y ox 1 -1 -2 1 2 -0.5 (1

15、) y = f(-x); (2) y = - f(x). y ox 1 -1-21 2 -0.5 y = f(-x) y o x -1 -1-2 12 0.5 y = - f(x) (3) y = f(|x|); (4) y = |f(x)|. 22優(yōu)選課堂 練習：已知函數(shù)y=f(x) 的圖象如圖所，分別畫 出下列函數(shù)的圖象： y ox 1 -1 -2 1 2 -0.5 (1) y = f(-x); (2) y = - f(x). (3) y = f(|x|); (4) y = |f(x)|. y ox 1 -1 -2 1 2 -0.5 y ox 1 -1 -2 1 2 -0.5 y = f(

16、|x|) y = |f(x)| 23優(yōu)選課堂 例例1.將函數(shù)將函數(shù)y=2-2x的圖象向左平移的圖象向左平移1個單位，再作關(guān)于個單位，再作關(guān)于 原點對稱的圖形后原點對稱的圖形后.求所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式求所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式. y=2-2x y=2-2(x+1) -y=2-2(-x+1)y=-22x-2 向左平移向左平移1個單位個單位 關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱 x換成換成-x y換成換成-y x 換成換成 x+1 24優(yōu)選課堂 例例2.已知函數(shù)已知函數(shù)y=|2x-2| （1）作出函數(shù)的圖象；）作出函數(shù)的圖象； （2）指出函數(shù)）指出函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間； （3）指出）指出x取何值時，

17、函數(shù)有最值。取何值時，函數(shù)有最值。 O x y 321 1 -1 y=2x y=2x-2 y=|2x-2| y=|2x-2| 25優(yōu)選課堂 例例2.已知函數(shù)已知函數(shù)y=|2x-2| （1）作出函數(shù)的圖象；）作出函數(shù)的圖象； （2）指出函數(shù)）指出函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間； （3）指出）指出x取何值時，函數(shù)有最值。取何值時，函數(shù)有最值。 O x y 321 1 -1 y=|2x-2| 0 x x a 變式: 1.討論關(guān)于 的方程 |2 -2|-實根個數(shù)。 26優(yōu)選課堂 |1| )2 x xx 1 變式3:求關(guān)于 的方程( 2 的實根有個. 27優(yōu)選課堂 1函數(shù)f(x)ln|x1|的圖像大致是(

18、) 解析：函數(shù)f(x)ln|x1|的圖像是由函數(shù) g(x)ln|x|向右平移1個單位得到的，故選B. 答案：B 28優(yōu)選課堂 29優(yōu)選課堂 答案：C 30優(yōu)選課堂 4使log2(x)x1成立的x的取值范圍是( ) A(1,0) B1,0) C(2,0) D2,0) 解析：作出ylog2(x)，yx1的圖像知 滿足條件的x(1,0) 答案：A 31優(yōu)選課堂 32優(yōu)選課堂 33優(yōu)選課堂 易錯點一 對“平移”概念理解不深導致失誤 【自我診斷】 把函數(shù)ylog2(2x3)的 圖 像 向 左 平 移 1 個 單 位 長 度 得 到 函 數(shù) _的圖像 解析：由題意，得所求函數(shù)解析式為y log22(x1)

19、3log2(2x1) 答案：ylog2(2x1) 34優(yōu)選課堂 易錯點二 判斷圖像的對稱性失誤 【自我診斷】 設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為R， 則函數(shù)yf(x1)與yf(1x)的圖像關(guān)于() A直線y0對稱 B直線x0對稱 C直線y1對稱 D直線x1對稱 35優(yōu)選課堂 解析：方法一：設(shè)(x1，y1)是yf(x1)圖像 上任意一點，則y1f(x11)，而f(x11)f1 (2x1)，說明點(2x1，y1)定是函數(shù)yf(1 x)上的一點，而點(x1，y1)與點(2x1，y1)關(guān)于直 線x1對稱，所以yf(x1)的圖像與yf(1x) 的圖像關(guān)于直線x1對稱，所以選D. 方法二：函數(shù)yf(x)與yf(x

20、)的圖像關(guān)于 y軸對稱，yf(1x)f(x1)把yf(x) 與yf(x)的圖像同時都向右平移1個單位長度， 就得到y(tǒng)f(x1)與yf(1x)的圖像，對稱軸y 軸向右平移1個單位長度得直線x1，故選D. 36優(yōu)選課堂 方法三：(特殊值法)設(shè)f(x)x2，則f(x1) (x1)2，f(1x)(x1)2，由圖可知(兩圖像重 合)，函數(shù)f(x1)和f(1x)的圖像關(guān)于直線x1 對稱，只有D正確 答案：D 37優(yōu)選課堂 題型二函數(shù)圖像的識別 【例2】 函數(shù)yf(x)與函數(shù)yg(x)的圖像分 別如圖、所示 則函數(shù)yf(x)g(x)的圖像可能是() 38優(yōu)選課堂 解析：從f(x)、g(x)圖像可知它們分別為

21、偶函 數(shù)、奇函數(shù)，故f(x)g(x)是奇函數(shù)，排除B. 由g(x)圖像不過(0,0)得f(x)g(x)圖像也不過 (0,0)，排除C、D. 答案：A 規(guī)律方法：注意從f(x)，g(x)的奇偶性、單調(diào) 性等方面尋找f(x)g(x)的圖像特征 39優(yōu)選課堂 【預測2】 (1)已知函數(shù)yf(x)的圖像如圖 所示，yg(x)的圖像如圖所示， 則函數(shù)yf(x)g(x)的圖像可能是下圖中的( ) 40優(yōu)選課堂 (2)將f(x)改為奇函數(shù)，g(x)也是奇函數(shù)，例 如，f(x)、g(x)圖像分別如圖、所示，則 f(x)g(x)的圖像為() 41優(yōu)選課堂 解析：(1)f(x)，g(x)均為偶函數(shù)，則f(x)g(x) 為偶函數(shù)，可排除A、D.注意x0時圖像變化趨 勢是“負正負”，故只能選C.(2)f(x)g(x)為 偶函數(shù)，可排除A、C、D，選B. 答案：(1