金融工程復(fù)習(xí)寶典(開卷考試必備)

1、單元一：金融工程概述無套利定價(jià)法案例1.2假設(shè)種不支付紅利的股票目前的市價(jià)為10元，3個(gè)月后該股票價(jià)格或?yàn)?11元或?yàn)?元。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為 10%如何為一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5 元的該股票歐式看漲期權(quán)定價(jià)？構(gòu)建一個(gè)由一單位歐式看漲期權(quán)空頭和單位標(biāo)的股票多頭組成的組合。為了使該組合在期權(quán)到期時(shí)無風(fēng)險(xiǎn)，必須滿足下式：110.5 90.25該組合在期權(quán)到期時(shí)價(jià)值恒等于2.25 9 ，所以無風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)值應(yīng)為：0.1*0.252.25e2.19 元由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市價(jià)為10元，因此 10*0.25 f 2.19f0.31元，當(dāng)該

2、期權(quán)價(jià)格為 0.31元時(shí)，市場就不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會，市場處于無套利均衡。風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法案例1.3:為了用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法求案例 1.2的期權(quán)價(jià)格，假定在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中， 該股 票上升的概率為P，下跌的概率為1-P。則根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理， e 0.1*0.2511P 9(1 P) 10P 0.6266由于該期權(quán)到期回報(bào)為 0.5元(股票上升時(shí))和 0 (股票下跌時(shí))，再次運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)中性 定價(jià)原理，求出該期權(quán)的價(jià)值：0 10 25f e . . (0.5 0.62660 0.3734)0.31 元連續(xù)復(fù)利假設(shè)數(shù)額為A的資產(chǎn)以利率r投資n年。每年計(jì)一次復(fù)利，投資終值為：A(1 r)n如果每年計(jì)m次復(fù)

3、利，則終值為：A(1 rm)mnm當(dāng)m趨于無窮大時(shí)，就稱為連續(xù)復(fù)利，終值為:mr 、mnrnlim A(1) AemA元現(xiàn)值的n年現(xiàn)值為Aern連續(xù)復(fù)利的年利率：r m l n(1 丘)m與之等價(jià)每年計(jì)m次復(fù)利年利率：rrm m(em 1)單元二：遠(yuǎn)期與期貨1、遠(yuǎn)期與期貨的比較交易場所；標(biāo)準(zhǔn)化程度；違約風(fēng)險(xiǎn)；合約雙方關(guān)系；價(jià)格確定方式；結(jié)算方式；結(jié)清方 式不同2、無收益資產(chǎn)、支付已知收益資產(chǎn)、支付已知收益率證券的遠(yuǎn)期(或期貨)合約價(jià)值、價(jià) 格的計(jì)算(定價(jià)) 。遠(yuǎn)期價(jià)值 f ： 遠(yuǎn)期合約本身的市場合理價(jià)值。E.g. 一個(gè)交割價(jià)格為 10 元，交易數(shù)量為 100 單位、距離到期日還有 1 年的遠(yuǎn)期

4、 合約，如果標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前的市場價(jià)格為 15 元，市場無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，則對多頭來說，該遠(yuǎn)期合約的價(jià)值為 (15 10 e 10% 1) 100 595 元，對于空頭來說，該遠(yuǎn)期合 約的價(jià)值為 -595 元。遠(yuǎn)期價(jià)格 F ：使遠(yuǎn)期合約價(jià)值為 0 的交割價(jià)格。10% 1E.g. (15 F e 10% 1) 100 0 F=16.58 元，當(dāng)交割價(jià)格為 16.58 元時(shí)，該 遠(yuǎn)期價(jià)值等于 0。遠(yuǎn)期價(jià)格與交割價(jià)格的差異的貼現(xiàn)決定了遠(yuǎn)期價(jià)值。 當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)利率恒定且對所有到期日都相同時(shí)，交割日相同的遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格應(yīng)相等。 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率呈正相關(guān)時(shí)，期貨價(jià)格高于遠(yuǎn)期價(jià)格。無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期

5、合約定價(jià)： (貼現(xiàn)債券) 組合A： 份遠(yuǎn)期合約多頭 f加上一筆數(shù)額為 Ke r(T t)的現(xiàn)金。組合B: 單位標(biāo)的資產(chǎn) S。 t 時(shí)刻： f Ke r(T t) S合約現(xiàn)值：Ker (T t)無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨 - 遠(yuǎn)期平價(jià)定理： 由于遠(yuǎn)期價(jià)格F就是使遠(yuǎn)期價(jià)值f為0的交割價(jià)格K,即當(dāng)f=0時(shí)，K=F。據(jù)此令上式f=0， 則： F Ser(T t)假設(shè) K Ser(T t) ，即交易對手報(bào)出的交割價(jià)格大于現(xiàn)貨的終值。在這種情況下，套利者可以按無風(fēng)險(xiǎn)利率r借入S現(xiàn)金，期限為T-t。然后用S購買一單位標(biāo)的資產(chǎn)，同時(shí)賣出一份 該資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約，交割價(jià)格為K。在T時(shí)刻，套利者可將一單位標(biāo)的資產(chǎn)交割換得K現(xiàn)

6、金,并歸還借款本息 Ser(T t), 從而實(shí)現(xiàn) K Ser(T t) 的無風(fēng)險(xiǎn)利潤。若 KSe. ，即交割價(jià)格小于現(xiàn)貨價(jià)格的終值。 套利者可以進(jìn)行反向操作， 即賣空標(biāo)的資產(chǎn)， 將所得收入以無風(fēng)險(xiǎn)利率 r 進(jìn)行投資，期限為 T-t 。同時(shí)買進(jìn)一份該標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約， 交割價(jià)格為K。在T時(shí)刻，套利者將收到投資本息Ser(T t)，并以K現(xiàn)金購買一單位標(biāo)的資產(chǎn)，用于歸還賣空時(shí)借入的標(biāo)的資產(chǎn)，從而實(shí)現(xiàn)Se.-K 的利潤。案例 3.1 無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的價(jià)值：目前， 6 個(gè)月期的無風(fēng)險(xiǎn)年利率為 4.17%。市場上正在交易一份標(biāo)的證券為一年期貼現(xiàn)債券、剩余期限為 6 個(gè)月的遠(yuǎn)期合約多頭，其交割價(jià)格為

7、970 元，該債券的現(xiàn)價(jià)為 960 元。請問：對該遠(yuǎn)期合約的多頭和空頭來說，遠(yuǎn)期價(jià)值分別是多少？S=960,K=970， r=4.17% ，T-t=0.5 ，該遠(yuǎn)期合約多頭的遠(yuǎn)期價(jià)值 f 為：f S Ke r(T t) 960 970 e 4.17% 0.5 10.02 元該遠(yuǎn)期合約空頭的遠(yuǎn)期價(jià)值為 -f=-10.02 元案例 3.2 ：無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的遠(yuǎn)期價(jià)格目前， 3 個(gè)月期的無風(fēng)險(xiǎn)年利率為 3.99%，市場上正在交易一個(gè)期限為 3 個(gè)月的股票遠(yuǎn) 期合約， 標(biāo)的股票不支付紅利且當(dāng)時(shí)市價(jià)為 40 元。那么根據(jù) F Ser(T t) ，這份遠(yuǎn)期合約的 合理交割價(jià)格應(yīng)為 F 40 e3.99

8、% 0.25 40.40 元假設(shè)市場上該合約的交割價(jià)格為 40.20 元，則套利者可以賣空股票并將所得收入以無風(fēng) 險(xiǎn)利率進(jìn)行投資，期末可以獲得無風(fēng)險(xiǎn)利潤 40.40-40.20=0.20 元。反之，如果市場上遠(yuǎn)期合約的交割價(jià)格大于 40.40 元，如 40.80 元，套利者可以借入 40 元買入股票并以 40.80 元的價(jià)格賣出遠(yuǎn)期合約，期末也可以獲得無風(fēng)險(xiǎn)利潤 0.40 元。 遠(yuǎn)期價(jià)格的期限結(jié)構(gòu)F Fer (T t) r (T t)案例 3.3 ：無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的遠(yuǎn)期價(jià)格期限結(jié)構(gòu)目前， 3 個(gè)月期與 6 個(gè)月期的無風(fēng)險(xiǎn)年利率分別為3.99%與 4.17%。某不支付紅利的股票 3 個(gè)月遠(yuǎn)期

9、合約的遠(yuǎn)期價(jià)格為 20 元，該股票 6 個(gè)月期的遠(yuǎn)期價(jià)格應(yīng)為多少？r (T t) r(T t)F Fe支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)： (附息債券、 支付已知現(xiàn)金紅利的股票、 黃金白銀) 組合A： 份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke r(T t)的現(xiàn)金。組合B： 單位標(biāo)的證券加上利率為無風(fēng)險(xiǎn)利率、期限為從當(dāng)前時(shí)刻到現(xiàn)金收益派發(fā)日、本金為I 的負(fù)債。Ke r(T t) S IS I Ke r(T t)案例3.4 ：支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的價(jià)值目前，6 個(gè)月期與 1 年期的無風(fēng)險(xiǎn)年利率分別為4.17%和 4.11%。市場上一種 10年期國債現(xiàn)貨價(jià)格為 990 元，該證券一年期遠(yuǎn)期合約的交割

10、價(jià)格為 1001 元，該債券在 6 個(gè)月和 12個(gè)月后都將收到 60 元的利息，且第二次付息在遠(yuǎn)期合約交割之前，求該合約的價(jià)值。 計(jì)算該債券已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值： I 60 e 4.17% 0.560 e 4.11% 1116.35元( I 要貼現(xiàn))計(jì)算該遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值為：f S I Ker(T t)990 116.35 1001 e4.11% 187.04元該合約空頭的遠(yuǎn)期價(jià)值為87.04元支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)定理:F (S I )er(T 案例3.5 :支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的期貨價(jià)格：假設(shè)黃金現(xiàn)價(jià)為每盎司 733美元，其存儲成本為每年每盎司 2美元，一年后支付，美元一年期

11、無風(fēng)險(xiǎn)利率為 4%則一年期黃金期貨的理論價(jià)格為F (S l)er(Tt)(733 I) e4%1式中，I 2 e 4% 11.92( I要貼現(xiàn))故，F(xiàn) (733 1.92) e4% 1764.91 (美元 / 盎司)支付已知收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)：組合A: 份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為 Ke r(T 的現(xiàn)金。 組合B:e q(T 單位證券并且所有收入都再投資于該證券，其中q為該資產(chǎn)按連續(xù)復(fù)利計(jì)算得已知收益率。f Ke r(T Se q(T uSeq(T t)Ker(T t)支付已知收益率資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期評價(jià)公式:FSe(r q)(T 七)課后習(xí)題1、假設(shè)一種無紅利支付的股票目前的市價(jià)為20元

12、，無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為 10%求該股票3個(gè)月期遠(yuǎn)期價(jià)格。如果 3個(gè)月后該股票的市價(jià)為 15元，求這份交易數(shù)量為 100單位的遠(yuǎn)期合約多頭方的價(jià)值。r(T t)0.1 0.25F Se()20 e20.51三個(gè)月后，對于多頭來說，該遠(yuǎn)期合約的價(jià)值為(15 2051) 1005512、假設(shè)一種無紅利支付的股票目前的市價(jià)為20元，無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%市場上該股票的3個(gè)月遠(yuǎn)期價(jià)格為23元，請問應(yīng)如何進(jìn)行套利？F Ser(Tt) 20 e0.10.25 20.51 23，在這種情況下，套利者可以按無風(fēng)險(xiǎn)利率10%昔入現(xiàn)金X元三個(gè)月，用以購買-單位的股票，同20時(shí)賣出相應(yīng)份數(shù)該股票的遠(yuǎn)期合約，交

13、割價(jià)格為23元。三個(gè)月后，該套利者以冬單位的股票交割遠(yuǎn)期，得到 遂 元，并歸還借20 20款本息X e0.1 0.25元，從而實(shí)現(xiàn) 空 Xe0.1 0.25 0元的無風(fēng)險(xiǎn)利潤。204、某股票預(yù)計(jì)在 2個(gè)月和5個(gè)月后每股分別派發(fā) 1元股息，該股票目前市價(jià)等于 30元，所有期限的無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率均為6%某投資者剛?cè)〉迷摴善?6個(gè)月期的遠(yuǎn)期合約空頭,交易單位為100。請問：1該遠(yuǎn)期價(jià)格等于多少？若交割價(jià)格等于遠(yuǎn)期價(jià)格，則遠(yuǎn)期合約的 初始價(jià)值等于多少？ ( 2) 3個(gè)月后，該股票價(jià)格漲到 35元，無風(fēng)險(xiǎn)利率仍為 6%此時(shí)遠(yuǎn)期 價(jià)格和該合約空頭價(jià)值等于多少？一-0.062/12-0.065/12/一

14、(1) 2個(gè)月和5個(gè)月后派發(fā)的1元股息的現(xiàn)值=e+e=1.97 兀。0.06 0.5遠(yuǎn)期價(jià)格=(30-1.97)e=28.88 兀。若交割價(jià)格等于遠(yuǎn)期價(jià)格，則遠(yuǎn)期合約的初始價(jià)值為o。(2) 在3個(gè)月后的這個(gè)時(shí)點(diǎn)，2個(gè)月后派發(fā)的1元股息的現(xiàn)值=e-0.06 2/12 =0.99元。遠(yuǎn)期價(jià)格=(35-0.99 ) e0.06 3/12 =34.52 元。此時(shí)空頭遠(yuǎn)期合約價(jià)值=100X (28.88-34.52) e-0.06 3/12 =-556 元。3、遠(yuǎn)期與期貨的三大運(yùn)用領(lǐng)域：套期保值、套利、投機(jī)。基差風(fēng)險(xiǎn)：b H Gb特定時(shí)刻的基差，H是需要進(jìn)行套期保值的現(xiàn)貨價(jià)格，G是用以進(jìn)行套期保值的期貨

15、價(jià)格。在1單位現(xiàn)貨空頭用1單位期貨多頭進(jìn)行套期保值的情況下，投資者的套期保值收益：b。b1 (H。H1) (G1 G0) (H0 G0) (H1 G1)在1單位現(xiàn)貨多頭而用1單位期貨空頭進(jìn)行套期保值的情況下，投資者的套期保值收益：d b當(dāng)前時(shí)刻的基差b0是已知的，bi是否確定則決定了套期保值收益是否確定，是否能夠完全消除價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)?？梢赃M(jìn)一步將b1分解為b1 H1 G1 (S1 G1) (H1 S1)S表示套期保值結(jié)束時(shí)，期貨標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價(jià)格。源自b的不確定性就被稱為基差風(fēng)險(xiǎn)。多頭套期保值的受益來源：基差減小條件：(1)現(xiàn)貨價(jià)格的漲幅小于期貨價(jià)格的漲幅(2 )現(xiàn)貨價(jià)格的跌幅大于期貨價(jià)格的跌幅(3 )現(xiàn)貨價(jià)格下跌而期貨價(jià)格上漲套期保值比率：指用于套期保值的資產(chǎn)(如遠(yuǎn)期和期貨)頭寸對被套期保值的資產(chǎn)頭寸的比率，即套期保值資產(chǎn)頭寸數(shù)量衍生品被套期保