從梯子的傾斜角說起講訴

1、棗莊市第四中學 孫玫玉教學目標：1. 經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關系的過程理解正切的意義和與現(xiàn)實生活的聯(lián)系2. 能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等， 能夠用正切進行簡單的計算3 .體驗數(shù)形之間的聯(lián)系，逐步學習利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題和解決問題教學重點與難點：重點：（1）理解正切的意義，能夠用 tanA表示直角三角形中兩邊的比（2）會利用正切刻畫物體的傾斜程度、山的坡度等，并能夠根據(jù)直角三角形中的邊角關系進行簡單的計算難點：理解正切的意義，能夠用 tanA表示直角三角形中兩邊的比教法及學法指導：本節(jié)課中，從引入、探究、歸納、應用都充分利用了 “梯子的傾斜程度

2、”這一活生生的 現(xiàn)實情景，在具體活動中，我先讓學生通過對情景問題的討論產(chǎn)生困惑，再引導學生共同探究梯子的傾斜角與直角三角形邊的比之間的關系通過層層深入的探究，把每個知識點都落實到實處后，再水到渠成地讓學生利用正切來刻畫梯子的傾斜程度、山的坡度等，這樣使學生接受新知識水到渠成，簡單易懂課前準備：課件，直尺，課本，練習本教學過程：創(chuàng)設情境、弓I入新課教師多媒體課件展示圖片，學生感受梯子的諸多作用生活小幫手一梯子【師】（多媒體課件展示）頑皮的小明忘記了家里 的鑰匙，他找來了一把梯子，怎樣放置梯子，才會 更安全的進入家中拿到鑰匙？圖1-1【生1】別把梯子放的太陡峭.【生2】把梯子放的平緩一些.【師】我

3、們也經(jīng)常聽人們說這個梯子放的“陡”那個梯子放的“平緩”，該如何判斷梯子的“陡”或“平緩”呢，這節(jié)課我們就來研究這個問題.（板書課題：1.1從梯子的傾斜程度談起（1）設計意圖：從生活中有關梯子的實例入手，設制了小明爬梯子拿鑰匙的動漫情景，以新穎、有趣的問題情景，激發(fā)學生的學習興趣， 從而自然引出課題，并且為學生探究梯子的傾斜程 度埋下伏筆，同時也體現(xiàn)了數(shù)學來源于生活，又將為生活服務。二、探究新知、合作交流探究一【師】（用多媒體演示）圖中的三個梯子，那個更陡峭為什么？【生3】第三個梯子更陡峭.因為第三個梯子與地面的傾斜角比第一個梯子與地面的傾斜角 大，也比第二個梯子與地面的 傾斜角大，所以第一個梯

4、子更陡峭【師】由此，你有什么發(fā)現(xiàn)？【生4】梯子與地面傾斜角越大，梯子越陡峭；傾斜角越小，梯子越平緩過渡語：這位同學總結(jié)的很準確，發(fā)現(xiàn)梯子與地面的傾斜角越大，梯子越陡峭若梯子與地 面的傾斜角不知道，你能判斷梯子的陡峭程度嗎?探究二1米5米55米【生1】測量梯子與地面的 傾斜角，發(fā)現(xiàn)：在圖1-2中第一個梯子與地面的 傾斜角比第二個 梯子與地面的傾斜角大，所以第一個梯子更陡峭； 在圖1-3中第二個梯子與地面的 傾斜角比 第一個梯子與地面的傾斜角大，所以第二個梯子更陡峭；【生2】在圖1-2中，這兩個梯子頂端的高度相等，而第一個梯子的底部距離墻是1米，第二個梯子的底部距離墻是 5米，所以第一個梯子更陡峭

5、【師】很好，這個同學抓住了梯子的底部與墻的距離這個量，也判斷出了第一個梯子更陡峭 可是這個方法只能判斷 等高的兩個梯子，對于圖1-3中的兩個梯子能不能用這種方法判 斷哪個梯子更陡峭嗎？若能，說一說你的方法.【生3】不能用，因為這兩個梯子不等高 【生5】上面兩個梯子雖然不等高，但是它們的底部到墻的距離相等，第一個梯子的高4米，第二個梯子的高6米，所以第二個梯子更陡峭【師】這個同學很棒！他抓住了梯子的高度這個量，并且判斷出了第二個梯子更陡峭可是這個方法只能判斷與墻距離相等的兩個梯子，對于下面的梯子能不能用這種方法 呢？探究三【師】（用多媒體演示）【生1】這兩個梯子的高不等，底部到墻的距離也不相等，

6、所以以上兩種方法都不能用 【生2】可以通過測量梯子與地面傾斜角的大小來判斷梯子的陡峭程度 測量第一個梯子與 地面的傾斜角為68,測量第二個梯子與地面的傾斜角為 37,所以第一個梯子比第二個 梯子陡峭.過渡語：同學們表現(xiàn)的棒極了，我為你們感到自豪！可是測量梯子與地面傾斜角比較麻煩, 有沒有更簡單的方法？請看下面的挑戰(zhàn).探究四【師】觀察下面三個梯子，并填寫下表:4米4米2米梯子梯子高度（h）梯子底部與墻的距離（a）梯子與地面傾斜角（a）h a2米4米27124米4米4514米2米642【師】1.梯子與地面傾斜角有什么變化?2.梯子的陡峭程度有什么變化？3. h的值有什么變化？a【生1】梯子與地面傾

7、斜角越來越大【生2】梯子越來越陡峭.【生3】h的值越來越大a【師】由此，你有什么發(fā)現(xiàn)？【生4】梯子與地面傾斜角越大，梯子越陡峭，同時-的值也來越大a【生5】當斜角不易測量時， 我們可以通過計算傾斜角的對邊與鄰邊的比值來比較梯子的傾 斜程度【師】讓我們?yōu)檫@個同學的精彩發(fā)現(xiàn)而鼓掌!【生】鼓掌【師】那么對于既然我們可以通過計算傾斜角的對邊與鄰邊的比值來比較梯子的傾斜程度,【生】1.第一個梯子的傾斜角的對邊與鄰邊的比值是2.5,2. 第二個梯子的傾斜角的對邊與鄰邊的比值是0.75,所以第一個梯子更陡峭.設計意圖：通過五個逐層深入的問題， 讓學生經(jīng)歷由簡單到復雜、 由特殊到一般的探究過程,既對已學知識和

8、生活經(jīng)驗進行了回味和運用，也讓學生的思想逐步向本節(jié)課的中心“兩直角 邊之比”靠近。從而強化了對“正切”概念的生成化理解。三、提煉升華、歸納概念（課件展示）想一想：如圖，小明想通過測量 BiCi及ACi,算出它們的比，來說明梯子ABi的傾斜程度；而小亮則 認為,通過測量B2C2及AC2,算出它們的比 也能說明梯子 AB的傾斜程度你同意小 亮的看法嗎？（1） Rt AB1C1 和 Rt AB2C2有什么關系？2旦5和匹有什么關系？ACi AC2（3）如果改變 B2在梯子上的位置呢 ？由 此你能得出什么結(jié)論？【生 I】（I ）/ B2AC2=Z BiACi,/ B2C2A= / BiCiA=90 R

9、t ABCs Rt AE2C2【生 2】：由（i ）知 Rt ABCs Rt ABC2Bi Ci B2C2ACi AC 2【生】（思考后獨立解決第 i、2問，但第3問在學生獨立思考的基礎上， 分小組織討論交流.）【生】改變B在梯子上的位置，鉛直高度與水平寬度的比始終相等【師】由次，我們可以得到怎樣的結(jié)論？【生1】梯子的傾斜角一定時，傾斜角的對邊與鄰邊的比值一定【師】對于直角三角形中銳角A的對邊與鄰邊的比，我們有如下定義:（用多媒體演示）【生2】在直角三角形中的銳角A確定以后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定如圖，在Rt ABC中，如果銳角 A確定，那么ZA的對邊與鄰邊之比便隨之確定，這個 比叫做Z

10、 A的正切（tangent），記作tanA，即tan A二作的對邊 厶的鄰邊or(1) tanA=()(2) tanA=ACBC()(3) tanA=0CAB(4)ta nA=0.7m()(5) tanB=1CI7()2 .在Rt ABC中，三邊都同時擴大 100倍，則銳角Z A的正切值（）B7C第1題圖A.擴大100倍B.縮小100倍C.不變D.不能確定【師】對于正切的定義和表示需要注意（用多媒體演示）1. 初中階段，正切是在直角三角形中定義的za是一個銳角.2. tanA是一個完整的符號，它表示Z A的正切，記號里習慣省去角的符號Z ”，但Z BAC的正切表示為tanZ BAC, Z 1的

11、正切表示為 tanZ 1.3. tanA 0且沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中銳角Z A的對邊與鄰邊的比4 . tanA的大小只與ZA的大小有關，而與直角三角形的邊長無關設計意圖：通過證明加強對正切函數(shù)概念的理解，教師的強調(diào)講解既深化對正切函數(shù)概念的 認識，同時對正切函數(shù)的書寫、表示進行規(guī)范，為下一步運用正切函數(shù)做了鋪墊。鞏固練習：1 .判斷對錯：如圖,設計意圖：設計這兩個題目的是矯正學生在表示正切函數(shù)中容易犯的錯誤，與上面學習正切的定義時教師的規(guī)范強調(diào)相輔相成，便于在下一步的運用中能正確的理解和運用正切函數(shù)， 防患于未然。四、學以致用、例題示范【師】有了“正切”這個數(shù)學工具我們就可以

12、更容易比較梯子的陡峭程度了，下面我們看例題例1下圖表示兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡？甲乙乙梯中，tan =的對邊 63邙的邰邊 S 4因為 tan 3 tan a,所以乙梯更陡.分析：比較甲、乙兩個自動電梯哪一個陡，只需分別求出 越大，扶梯就越陡tan a、tan卩的值，比較大小,解：甲梯中,厶的對邊.=55=&附鄰邊3 2 于 12tan a =設計意圖：設計的這個例題目的就是讓學生初步學會運用”正切”這一數(shù)學工具判斷梯子的 傾斜程度，同時規(guī)范學生好學生解題步驟，培養(yǎng)良好的解題習慣。過渡語：如圖，正切也經(jīng)常用來描述山坡的坡度，坡與平面的夾角稱為坡角. 例如，有一山坡在水平方向上每前進1

13、00m就升高60m,那么山坡的坡度i（即tan a就是60mi = = 100例2某人沿一斜坡的底端 B走了 10米到達點A，此時點A到地面BC的垂直高度一 AC為6 米，則斜坡AB的坡度i為多少？分析：坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度i（或坡比）,即坡度等于坡角的正切注意坡RtA ABC度i（或坡比）是兩數(shù)之比，不是度數(shù) 中再求出Z B的正切解：在 Rt ABC 中，AB=10cm ,BC=忖點=8m63/ tan B=84由勾股定理得所以斜坡AB的坡度為3 （或3 : 4）4設計意圖：在學生正確理解正切定義，并且會用正切判斷梯子陡峭程度的基礎上再學習理解坡度水到渠成，坡度就是一個角的正

14、切，坡度是對正切應用的拓展延伸。通過例2的學習讓學生進一步理解坡度或坡比不是度數(shù)而是兩數(shù)之比。鞏固練習：1.在 Rt ABC中，Z 0=90 ,AB=3,BC=1 則 tanA=.2.如圖，Z ACB=90 , CD 丄 AB，貝U tan Z ACD= , tanB= it六、歸納總結(jié)、盤點收獲【師】通過這節(jié)課的學習，我們有哪些收獲？【生】正切的定義【生】梯子的傾斜程度與tanA的關系（/ A和tanA之間的關系）【生】坡度（或坡比）的定義【生】數(shù)形結(jié)合的思想【生】運用正切函數(shù)時要找準直角三角形或構(gòu)造直角三角形設計意圖：采用開放式小結(jié)，讓學生對本節(jié)課所學的內(nèi)容進行歸納總結(jié)、升華知識，師生共 同分享收獲。七、布置作業(yè)、鞏固提高1. 鞏固性作業(yè)：課本 P6知識與技能 第1、2題2. 提高性作業(yè)：助學 P168自主評價設計意圖：“鞏固性作業(yè)”可以鞏固本節(jié)課所學內(nèi)容，“提高性作業(yè)”可以供學有余力的同學 進一步提高成績，使不同層次的同學得到最大限度的發(fā)展.八、達標檢測、小組PK（A組）1. 一個直角三角形兩邊長分別為3、4,則較小的銳角的正切值是 2. 在 ABC中，/ C=90, BC=12c