相似與全等綜合運(yùn)用

1、相似及解直角三角形（一）知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1 三角形的邊、角關(guān)系三角形任何兩邊之和大于第三邊；三角形任何兩邊之差小于第三邊；三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180；三角形三個(gè)外角的和等于360；三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。知識(shí)點(diǎn)2 三角形的主要線(xiàn)段和外心、內(nèi)心三角形的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、高；三角形三邊的垂直平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的外心，三角形的外心到各頂點(diǎn)的距離相等； 三角形的三條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等；連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)，三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊且等于第三邊的一半。知

2、識(shí)點(diǎn)3 等腰三角形等腰三角形的識(shí)別：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；有兩角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）；三邊相等的三角形是等邊三角形；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形。 等腰三角形的性質(zhì)：等邊對(duì)等角；等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高互相重合；等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，底邊的中垂線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸；等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于60。知識(shí)點(diǎn)4 直角三角形直角三角形的識(shí)別：有一個(gè)角等于90的三角形是直角三角形；有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。直角三角形

3、的性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余；直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半；勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。知識(shí)點(diǎn)5 全等三角形定義、判定、性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)6 相似三角形【典型例題】例1. （1）已知：等腰三角形的一邊長(zhǎng)為12，另一邊長(zhǎng)為5，求第三邊長(zhǎng)。（2）已知：等腰三角形中一內(nèi)角為80，求這個(gè)三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。分析：利用等腰三角形兩腰相等、兩底角相等即可求得。解：（1）分兩種情況：若腰長(zhǎng)為12，底邊長(zhǎng)為5，則第三邊長(zhǎng)為12。若腰長(zhǎng)為5，底邊長(zhǎng)為12，則第三邊長(zhǎng)為5。但此時(shí)兩邊之和小于第三邊，故不合題意。因此第三邊長(zhǎng)為12。（2）分兩種情況：若頂角為80，則另兩個(gè)內(nèi)角均為

4、底角分別是50、50。若底角為80，則另兩個(gè)內(nèi)角分別是80、20。因此這個(gè)三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角分別是50、50或80、20。說(shuō)明：此題運(yùn)用“分類(lèi)討論”的數(shù)學(xué)思想，本題著重考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系。例2. 已知：如圖，ABC和ECD都是等腰三角形，ACBDCE90，D為AB邊上的一點(diǎn)，求證：（1）ACEBCD，（2）ADAEDE。分析：要證ACEBCD，已具備ACBC，CECD兩個(gè)條件，還需AEBD或ACEBCD，而ACEBCD顯然能證;要證ADAEDE，需條件DAE90，因?yàn)锽AC45，所以只需證CAEB45，由ACEBCD能得證。證明：（1）DCEACB90，DCEACDACB

5、ACD，即ACEBCD，ACBC，CECD，ACEBCD。（2） ACEBCD，CAEB45，BACB45，DAE90，ADAEDE。例3. 已知：點(diǎn)P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，BPC150，PB2，PC3，求PA的長(zhǎng)。分析：將BAP繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60至BCD，即可證得BPD為等邊三角形，PCD為直角三角形。解：BCBA，將BAP繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60，使BA與BC重合，得BCD，連結(jié)PD。BDBP2，PADC。BPD是等邊三角形。BPD60。DPCBPCBPD1506090。DCPADC?！咀兪健咳粢阎c(diǎn)P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA，PB2，PC3。能求出BPC的度數(shù)嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉嚒?例4

6、. 如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC，以BP為邊作PBQ60，且BQBP，連結(jié)CQ（1）觀(guān)察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2）若PA：PB：PC3：4：5，連結(jié)PQ，試判斷PQC的形狀，并說(shuō)明理由解：（1）把ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60即可得到CBQ利用等邊三角形的性質(zhì)證ABPCBQ，得到APCQ（2）連接PQ，則PBQ是等邊三角形PQPB，APCQ故CQ：PQ：PCPA：PB：PC3：4：5，PQC是直角三角形 點(diǎn)評(píng)：利用等邊三角形性質(zhì)、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)完成此題的證明例5. 如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯（即BCEF），左邊滑梯的

7、高度AC與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度DF相等，則ABCDFE_ 分析：ABC與DFE分布在兩個(gè)直角三角形中，若說(shuō)明這兩個(gè)直角三角形全等則問(wèn)題便會(huì)迎刃而解解答：在RtABC和RtDEF中，BCEF，ACDF，ABCDEF，ABCDEF，ABCDFE90，因此填90 點(diǎn)評(píng)：此例主要依據(jù)用所探索的直角三角形全等的條件來(lái)識(shí)別兩個(gè)直角三角形全等，并運(yùn)用與它相關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行解題例6. 中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例規(guī)定：“小汽車(chē)在城市街道上的行駛速度不得超過(guò)70千米/時(shí)”一輛小汽車(chē)在一條城市街道上由西向東行駛（如圖所示），在距離路邊25米處有“車(chē)速檢測(cè)儀O”，測(cè)得該車(chē)從北偏西60的A點(diǎn)行駛到北偏西30的B點(diǎn)，所

8、用時(shí)間為1.5秒（1）試求該車(chē)從A點(diǎn)到B的平均速度；（2）試說(shuō)明該車(chē)是否超過(guò)限速解析：（1）要求該車(chē)從A點(diǎn)到B點(diǎn)的速度只需求出AB的距離，在OAC中，OC25米OAC906030，OA2CO50米 由勾股定理得CA25（米） 在OBC中，BOC30 BCOB。 （2BC）2BC2252 BC（米） ABACBC25（米） 從A到B的速度為1.5（米/秒） （2）米/秒69.3千米/時(shí) 69.3千米/時(shí)0）。ACB90，CDAB。CD2ADBD，622k3k，k。AB。又AC2ADAB，AC。例11. 已知ABC中，ACB90，CHAB，HEBC，HFAC。求證：（1）HEF EHC；（2）HE

9、FHBC。分析：從已知條件中可以獲得四邊形CEHF是矩形，要證明三角形全等要收集到三個(gè)條件，有公共邊EH，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知EFCH，HFEC。要證明三角形相似，從條件中得FHECHB90，由全等三角形可知，HEFHCB，這樣就可以證明兩個(gè)三角形相似。證明：HEBC，HFAC，CEHCFH90。又ACB90，四邊形CEHF是矩形。EFCH，HFEC，F(xiàn)HE90。又HEEH，HFE EHC。HEFHCB。FHECHB90，HEFHBC。例12. 兩個(gè)全等的含30，60角的三角板ADE和ABC如圖所示放置，E，A，C三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，連接BD，取BD的中點(diǎn)M，連結(jié)ME，MC。試判斷EMC是什么樣的

10、三角形，并說(shuō)明理由。分析：判斷一個(gè)三角形的形狀，可以結(jié)合所給出的圖形作出假設(shè)，或許是等腰三角形。這樣就可以轉(zhuǎn)化為另一個(gè)問(wèn)題：嘗試去證明EMMC，要證線(xiàn)段相等可以尋找全等三角形來(lái)解決，然而圖中沒(méi)有形狀大小一樣的兩個(gè)三角形。這時(shí)思考的問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為這樣一個(gè)新問(wèn)題：如何構(gòu)造一對(duì)全等三角形？根據(jù)已知點(diǎn)M是直角三角形斜邊的中點(diǎn)，產(chǎn)生聯(lián)想：直角三角形斜邊上的中點(diǎn)是斜邊的一半，得：MDMBMA。連結(jié)M A后，可以證明MDEMAC。答：EMC是等腰直角三角形。證明：連接AM，由題意得，DEAC，ADAB，DAEBAC90。DAB90。DAB為等腰直角三角形。又MDMB，MAMDMB，AMDB，MADM AB

11、45。MDEMAC105，DMA90。MDEMAC。DMEAMC，MEMC。又DMEEMA90，AMCEMA90。MCEM。EMC是等腰直角三角形?！灸M試題】（答題時(shí)間：40分鐘）1. 如圖，ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O，給出下列三個(gè)條件：EBODCO；BEOCDO；BECD（1）上述三個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可判定ABC是等腰三角形（用序號(hào)寫(xiě)出所有情形）；（2）選擇第（1）小題中的一種情況，證明ABC是等腰三角形2. （1）已知如圖，在A(yíng)OB和COD中，OAOB，OCOD，AOBCOD60。求證：ACBD，APB60。（2）如圖，在A(yíng)OB和COD中，OAOB，OC

12、OD，AOBCOD，則AC與BD間的等量關(guān)系式為_(kāi)；APB的大小為_(kāi)。（3）如圖，在A(yíng)OB和COD中，OAkOB，OCkOD（k1），AOBCOD，則AC與BD間的等量關(guān)系式為_(kāi)；APB的大小為_(kāi)。 3. 一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長(zhǎng)為1.5m，面積為1.5m2，工人師傅要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形，請(qǐng)兩位同學(xué)設(shè)計(jì)加工方案，甲設(shè)計(jì)方案如圖（1），乙設(shè)計(jì)的方案如圖（2）。你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好？試說(shuō)明理由。（加工損耗忽略，計(jì)算結(jié)果可保留分?jǐn)?shù)）4. 一般的室外放映的電影膠片上每一個(gè)圖片的規(guī)格為：3.5cm3.5cm，放映的熒屏的規(guī)格為2m2m，若放映機(jī)的光源距膠片20cm時(shí)，問(wèn)熒

13、屏應(yīng)拉在離鏡頭多遠(yuǎn)的地方，放映的圖象剛好布滿(mǎn)整個(gè)熒屏？5. 如圖，已知MON90，等邊三角形ABC的一個(gè)頂點(diǎn)A是射線(xiàn)OM上的一定點(diǎn)，頂點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，頂點(diǎn)C在MON內(nèi)部。（1）當(dāng)頂點(diǎn)B在射線(xiàn)ON上移動(dòng)到B1時(shí)，連結(jié)AB1為一邊的等邊三角形AB1C1（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明）； （2）設(shè)AB1與OC交于點(diǎn)Q，AC的延長(zhǎng)線(xiàn)與B1C1交于點(diǎn)D。求證：；（3）連結(jié)CC1，試猜想ACC1為多少度？并證明你的猜想。6. 如圖所示，設(shè)A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A(yíng)城正西方向600km的B處，正以每小時(shí)200km的速度沿北偏東60的BF方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心500km的范圍是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域 （1）A城是否受

14、到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？（2）若A城受到這次臺(tái)風(fēng)的影響，那么A城遭受這次臺(tái)風(fēng)的影響有多長(zhǎng)時(shí)間？7. （1）如圖，在RtABC中，C90，AD是BAC的角平分線(xiàn)，CAB60，CD，BD2，求AC，AB的長(zhǎng)（2） “實(shí)驗(yàn)中學(xué)”有一塊三角形狀的花園ABC，有人已經(jīng)測(cè)出A30，AC40米，BC25米，你能求出這塊花園的面積嗎？（3）某片綠地形狀如圖所示，其中ABBC，CDAD，A60，AB200m，CD100m，求AD、BC的長(zhǎng)8. 高為12米的教學(xué)樓ED前有一棵大樹(shù)AB，如圖所示（1）某一時(shí)刻測(cè)得大樹(shù)AB，教學(xué)樓ED在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)分別是BC2.5米，DF7.5米，求大樹(shù)AB的高度；（2）現(xiàn)有皮尺

15、和高為h米的測(cè)角儀，請(qǐng)你設(shè)計(jì)另一種測(cè)量大樹(shù)AB高度的方案，要求： 在圖中，畫(huà)出你設(shè)計(jì)的圖形（長(zhǎng)度用字母m，n表示，角度用希臘字母，表示）； 根據(jù)你所畫(huà)出的示意圖和標(biāo)注的數(shù)據(jù)，求出大樹(shù)的高度并用字母表示9. 如圖所示，某居民小區(qū)有一朝向?yàn)檎戏较虻木用駱?，該居民樓的一樓是?米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房，在該樓的前面15米處要蓋一棟高20米的新樓當(dāng)冬季正午的陽(yáng)光與水平線(xiàn)的夾角為32時(shí)（1）問(wèn)超市以上的居民住房采光是否受影響，為什么？（2）若要使超市采光不受影響，兩樓至少應(yīng)相距多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin32，cos）【試題答案】1. 解：（1）或 （2）已知求證ABC是等腰三角形

16、證：先證EBODCO得OBOC，得DBCECBABCACB即ABC是等腰三角形2. 證明：AOB和COD為正三角形，OAOB，ODOC，AOB60，COD60。AOBBOCCODBOC，AOCBOD。AOCBOD ，ACBD。OACOBD，APBAOB60。（2）AC與BD間的等量關(guān)系式為ACBD；APB的大小為。（3）AC與BD間的等量關(guān)系式為ACkBD；APB的大小為180。3. 解：方案（1）：有題意可知，DEBA，得CDECBA。；方案（2）：作BHAC于H。DEAC，得BDEBAC。圖（1）加工出的正方形面積大。綜上所得，甲同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好。4. 解：膠片上的圖象和熒屏上的圖象是位

17、似的，鏡頭就相當(dāng)于位似中心，因此本題可以轉(zhuǎn)化為位似問(wèn)題解答：m5. 解：（1）如圖所示；證明：（2）AOC與AB1C1是等邊三角形，ACBAB1D60。又CAQB1AD，ACQAB1D；（3）猜想ACC190。證明：AOC和AB1C1為正三角形，AOAC，AB1AC1，OACC1AB1，OACCAQC1AB1CAQ，OAB1CAC1。AO B1 AC C1。ACC1AOB190。6. （1）作AMBF可計(jì)算AM300km500km，故A城受影響 （2）受影響時(shí)間為小時(shí)7. 解：（1）AC3，AB6 （2）能，分兩種情況，SABC200150和SABC200150 （3）延長(zhǎng)BC，AD交于E，A

18、D400100，BC2002008. 解：連結(jié)AC，EF，（1）太陽(yáng)光線(xiàn)是平行的，ACEF，ACBEFD，ABCEDF90，ABCEDF，AB4米 （2）如圖所示：AB（mtanh）米9. 解：（1）超市以上居民住房采光受影響，由計(jì)算知新樓在居民樓上的投影高約11米，故受影響 （2）若要使超市采光不受影響，兩樓至少相距：2032（米） 【復(fù)習(xí)建議】1.立足教材，理清概念，充分挖掘教材中每一個(gè)概念的內(nèi)涵及與它相關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)2.在復(fù)習(xí)過(guò)程中，要立足基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和基本技能的訓(xùn)練，加強(qiáng)對(duì)基本圖形的認(rèn)識(shí)和本質(zhì)的把握3.三角形知識(shí)是解決圖形和函數(shù)等問(wèn)題的基礎(chǔ)，因此要注重三角形和四

19、邊形、圓、函數(shù)、三角函數(shù)等知識(shí)的綜合，提高學(xué)生的綜合應(yīng)用能力4.復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注意滲透轉(zhuǎn)化、方程、由特殊到一般、分類(lèi)討論等思想方法以及運(yùn)動(dòng)變化的觀(guān)點(diǎn).三角形相似與全等例題例1 一個(gè)等腰三角形的一條邊長(zhǎng)為10，另一條邊長(zhǎng)為12，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為 ，面積為 .【分析】要注意分兩種情況考慮，腰長(zhǎng)可以為10或12，并驗(yàn)證是否滿(mǎn)足三角形的任意兩邊之和大于第三邊.【解】（1）當(dāng)腰長(zhǎng)為10，底邊長(zhǎng)為12時(shí).周長(zhǎng)等于32，底邊上的高等于8，面積等于48.（2）當(dāng)腰長(zhǎng)為12，底邊長(zhǎng)為10時(shí).周長(zhǎng)等于34，底邊上的高等于，面積等于.所以等腰三角形的周長(zhǎng)為32或34，面積為48或.【說(shuō)明】此題是等腰三角形的邊角計(jì)

20、算，還涉及到分類(lèi)思想，是中考的?？純?nèi)容，如果改為一條邊長(zhǎng)為10，另一條邊長(zhǎng)為4，那么等腰三角形的周長(zhǎng)和面積為多少呢？圖5-2例2 如圖5-2，ACB=90， AC=BC，BECE于點(diǎn)E，ADCE于點(diǎn)D，CE與AB交于點(diǎn)F.(1)求證：CEBADC;(2)若AD=9cm，DE6cm，求BE和EF的長(zhǎng).【分析】根據(jù)同角的余角相等得BCE=CAD，可證CEBADC和BE的長(zhǎng)，再證EFBDFA，求出EF.【解】(1)ACB=90，BCE+ECA=90.ADCE于點(diǎn)D，BECE于點(diǎn)E，BEC=CDA=90. CAD+ECA=90.BCE=CAD.AC=BC，CEBADC（AAS）.(2)CEBADC，C

21、E=AD=9cm，CD=BE. DE6cm， CD=CE-DE=3cm. BE=3cm. BEF=ADF=90，EFB=DFA,EFBDFA. .設(shè)EF=xcm，DF=(6-x)cm, . x=cm.EF=cm.【說(shuō)明】本題主要考查三角形全等和相似的判定和性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成方程是求EF的關(guān)鍵.例4 如圖5-3，ABC和ADC是邊長(zhǎng)相等的等邊三角形，點(diǎn)E、F同時(shí)分別從點(diǎn)B、A出發(fā)，各自沿BA、AD方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A、D停止，運(yùn)動(dòng)的速度相同，連接EC、FC(1)在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，ECF的大小是否隨之變化？請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形AECF的面積變化了嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.(

22、3)連接EF交AC于點(diǎn)G，在圖中找出和ACE相等的所有角，并說(shuō)明理由(4)若點(diǎn)E、F在射線(xiàn)BA、射線(xiàn)AD上繼續(xù)運(yùn)動(dòng)下去，(1)小題中的結(jié)論還成立嗎?(直接寫(xiě)出結(jié)論，不必說(shuō)明理由)AEBCDF圖5-3【分析】先證明BCEACF,得到BCEACF, BCE的面積=ACF的面積,從而證明ECF=BCA=60 ，四邊形AECF的面積=ABC的面積. (3) 先證FCDACE，再證明EFC是等邊三角形后得到AFEFCDACE.【解】(1)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，ECF的大小不變化證明：由題意得BE=AF, ABC和ADC是邊長(zhǎng)相等的等邊三角形，BC=AC, BFAC=60 .BCEACF.BCEACF.EC

23、FACE +ACF=ACE +BCE=BCA=60 .點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，ECF的大小不變化. (2) 在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形AECF的面積不變化. 證明：BCEACF， BCE的面積ACF的面積.四邊形AECF的面積AFC的面積AEC的面積AEC的面積BEC的面積ABC的面積.在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形AECF的面積不變化.(3) AFEFCDACE.證明：ACE ACF=60 ，F(xiàn)CD ACF=60 ，F(xiàn)CDACE.BCEACF, ECF=60 .EC=FC.EFC是等邊三角形.FEC=60 .FEC=FAC =60 .AGF=EGC,AGFEGC.AFEACE.AFEFCDACE. (4) 若點(diǎn)E、F在射線(xiàn)BA、射線(xiàn)AD上繼續(xù)運(yùn)動(dòng)下去，(1)小題中的結(jié)論還成立.【說(shuō)明】本題是兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是要找出運(yùn)動(dòng)中不變的量，比如在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形AECF的形狀在變化，但它的面積恒等于A(yíng)BC的