大學(xué)物理素材-前沿瀏覽-現(xiàn)代熵概念

1、 第二章 現(xiàn)代熵概念 克勞修斯 玻爾茲曼 普利高津 熵的概念最初是由R.J.克勞修斯在19世紀(jì)中葉建立的，1870年，玻耳茲曼給出了熵的統(tǒng)計(jì)解釋，并確立了公式S=klnW。熵概念對(duì)于初學(xué)者，一直是一個(gè)較抽象并難以通俗表達(dá)的物理概念。但是，近40年來(lái)，熵的概念有了迅速而廣泛的發(fā)展。在天體物理中，黑洞的熵與面積這樣的幾何概念有聯(lián)系；在信息論中，信息的熵與信息量的概念有聯(lián)系，并且出現(xiàn)負(fù)熵的概念；在生物學(xué)中，生命現(xiàn)象也與熵有著密切關(guān)系。此外，由普利高津和哈肯建立的非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)耗散結(jié)構(gòu)理論及協(xié)同學(xué)理論，使人們對(duì)熵規(guī)律有了更新的認(rèn)識(shí)，在無(wú)序中產(chǎn)生有序機(jī)制的出現(xiàn)，使得熵在許多方面都顯示出它的重要性。熱學(xué)中的

2、熵 一、卡諾熱機(jī)與克勞修斯定理 法國(guó)青年工程師卡諾（1796-1832）在研究如何提高熱機(jī)效率時(shí)，設(shè)計(jì)出一種卡諾循環(huán)過(guò)程，它是由兩個(gè)等溫過(guò)程和兩個(gè)絕熱過(guò)程組成的循環(huán)過(guò)程，見圖2-1和圖2-2。工質(zhì)與兩個(gè)恒溫?zé)嵩唇粨Q能量時(shí)是準(zhǔn)靜態(tài)的等溫吸熱或放熱的過(guò)程，離開熱源后，工質(zhì)經(jīng)歷絕熱過(guò)程。圖2-1中，ABCDA是卡諾循環(huán)，根據(jù)熱機(jī)效率公式 P A B A D C V圖2-1 卡諾循環(huán) 圖2-2 卡諾熱機(jī)工作示意 (2.1)式中，Q1是工質(zhì)在等溫過(guò)程AB中從高溫?zé)嵩次盏臒崃?。Q20，Q20 第1種情況是無(wú)規(guī)則地?cái)嚢枧c熱源接觸的粘滯液體。與熱源接觸的液體由旋轉(zhuǎn)或擺動(dòng)變?yōu)殪o止，此時(shí)，液體克服內(nèi)摩擦力做功，

3、因而產(chǎn)生了熱量，并將熱量傳給熱源。與熱源接觸的電阻中有電流通過(guò)。第2種情況與第1種情況一樣，但要加上絕熱條件。第3種情況還包括拉緊的絲突然被切斷及肥皂膜被穿刺后破裂。第5種情況包括酒精與水混合、固體在水中溶解等?？傊?，上面表中的計(jì)算表明，一切不可逆過(guò)程都對(duì)應(yīng)著孤立系的熵增加。 不計(jì)阻力的拋體 運(yùn)動(dòng)是可逆的 圖2-3 一般的物理規(guī)律往往是可逆的，如牛頓力學(xué)中，牛頓方程的解是完全可逆的。物體從A拋出去，從B落下，如果無(wú)空氣阻力，反過(guò)來(lái)進(jìn)行，則從B拋出去，在A落下，且可沿同一軌道，見圖2-3。電磁學(xué)、量子力學(xué)的規(guī)律，如果無(wú)耗散，基本上也是可逆的。但有些自然現(xiàn)象卻顯然是不可逆的，一個(gè)人只會(huì)越變?cè)嚼隙?/p>

4、會(huì)倒過(guò)來(lái)進(jìn)行。一個(gè)球落地，彈了幾下后便停止不動(dòng)。從能量守恒來(lái)看，反過(guò)來(lái)是完全允許的：球落下，勢(shì)能變?yōu)閯?dòng)能，經(jīng)過(guò)幾次碰撞后，動(dòng)能變成不規(guī)則運(yùn)動(dòng)的熱能，所以球最終停止不動(dòng)了。如果把熱能聚集起來(lái)，使地上不動(dòng)的球突然一跳，跳回原來(lái)的高度，則并不違反能量守恒定律?？墒菍?shí)際上，我們并沒(méi)有看到這個(gè)逆過(guò)程。再看一個(gè)例子，早晨吃豆?jié){時(shí)，用勺子一攪，豆?jié){運(yùn)動(dòng)了，過(guò)一會(huì)又靜止下來(lái)。但誰(shuí)也沒(méi)曾看見一杯靜止不動(dòng)的豆?jié){，借助自身的熱能而運(yùn)動(dòng)起來(lái)，即自發(fā)將熱能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能。人們發(fā)現(xiàn)一切與宏觀熱現(xiàn)象有關(guān)的過(guò)程，實(shí)際上都是不可逆的。熱力學(xué)第二定律正是對(duì)此宏觀演化的方向性所作的一個(gè)總結(jié)。由于不可逆過(guò)程一定對(duì)應(yīng)于孤立系的熵增加，所以

5、熵增加是對(duì)熱力學(xué)第二定律的最佳描述。 下面，我們給出一個(gè)證明：一切包含熱交換的不可逆過(guò)程都服從熵增加原理。為了方便起見，只需考慮絕熱過(guò)程就足夠了。因?yàn)槲覀兛梢园严到y(tǒng)擴(kuò)大，使之包括有參與熱交換的對(duì)象，顯然該系統(tǒng)是絕熱的。 設(shè)體系有三個(gè)獨(dú)立的熱力學(xué)參數(shù)，初態(tài)為i，經(jīng)一不可逆絕熱過(guò)程到末態(tài)f。體系的熵變?yōu)?(2-13)然后，體系經(jīng)歷一可逆絕熱過(guò)程由f態(tài)到k態(tài)，k態(tài)的溫度為T。接著體系與熱源接觸，經(jīng)可逆等溫過(guò)程，從k態(tài)到j(luò)態(tài)，直到，最后經(jīng)可逆絕熱過(guò)程，從j態(tài)回到i態(tài)，完成一個(gè)循環(huán)。由于體系回到了初態(tài)，故循環(huán)過(guò)程中凈熵變?yōu)?，即 (2.14)其中，只有等溫過(guò)程有吸熱或放熱 (2.15)整個(gè)循環(huán)系統(tǒng)做的功

6、為 (2.16)顯然，否則系統(tǒng)從單一熱源吸熱并全部轉(zhuǎn)變?yōu)楣?，這是違反熱力學(xué)第二定律的，故有 (2.17)或 (2.18)其中，等號(hào)對(duì)應(yīng)于可逆過(guò)程。 以上證明了：任何過(guò)程所引起的孤立系熵的變化由 (2.19)表示，這就是熵不減原理或熵增加原理，后者僅指不可逆過(guò)程。 三、熵與非平衡態(tài) 不可逆過(guò)程的熵變化比較容易計(jì)算，特別是當(dāng)時(shí)，只需計(jì)算外界熵變，熱源的熵變永遠(yuǎn)等于-Q/T，Q是系統(tǒng)吸收該熱源的熱量。至于體系的熵變，則只需在初、末態(tài)i和f之間任意設(shè)想一個(gè)可逆過(guò)程便能計(jì)算。這也是利用了熵是態(tài)函數(shù)的性質(zhì)，熵變只與態(tài)的初、末點(diǎn)有關(guān)，而與過(guò)程無(wú)關(guān)。 T0 TL T0 T TL i態(tài) Tf f態(tài) 金屬棒由初態(tài)

7、i趨于終態(tài)f 圖2-4 現(xiàn)在考慮一個(gè)內(nèi)部熱傳遞的不可逆過(guò)程，其初態(tài)i是一個(gè)非平衡態(tài)，因而，沒(méi)有一個(gè)可逆過(guò)程能連結(jié)i和f。觀察一根兩端分別與熱源T0和TL接觸的導(dǎo)熱金屬棒，若將熱源突然撤離，并將金屬棒與外界作常壓下的熱隔離，則初態(tài)為非平衡態(tài)i，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，金屬棒將趨于平衡態(tài)f（見圖2-4）。 為了計(jì)算這一過(guò)程的熵變，可將金屬棒分割成無(wú)窮多小元段，其初溫為T(x)，當(dāng)棒溫分布是線性的時(shí)候 (2.20) (2.21)每一元段都由平衡（T，P）經(jīng)一可逆過(guò)程等壓到終態(tài)（Tf ，P）。整個(gè)棒則由無(wú)窮多個(gè)可逆過(guò)程來(lái)完成初態(tài)到末態(tài)的過(guò)渡。設(shè)每一元段的熵變?yōu)閐Sm，則 (2.22)整個(gè)金屬棒的熵變?yōu)?(2.

8、23)若T0=400K，TL=200K，則Tf=300K (2.24)i，f均為非平衡態(tài)時(shí)，亦可用類似方法求其熵變。 四、熵和束縛能 在不可逆的過(guò)程中，一部分能量變成不能做功的能量。當(dāng)過(guò)程是可逆的，能量沒(méi)有不能做功的部分，所以可逆過(guò)程獲得的功最大。因此卡諾定理指出，在相同的高、低溫?zé)嵩粗g，可逆機(jī)的效率比不可逆機(jī)大。自然界的不可逆過(guò)程連續(xù)不斷地進(jìn)行，能量也在不斷地變成不能做功的能量，開爾文稱此現(xiàn)象為“能量退化原理”。我們來(lái)觀察一個(gè)有限溫度梯度下的不可逆熱傳導(dǎo)。設(shè)在熱源T1、T2之間有一處在穩(wěn)態(tài)的導(dǎo)熱介質(zhì)，熱量Q自T1經(jīng)介質(zhì)傳給T2。在T2有熱量Q可用來(lái)做功，其中Q能做的最大功為 T1 T2 經(jīng)

9、過(guò)不可逆熱傳導(dǎo)過(guò)程，能量的可利用程度下降 圖2-5 (2.25)T0是熱源的最低溫度。如果在傳導(dǎo)熱到達(dá)介質(zhì)之前，直接從T1將其輸出并用它來(lái)做功，則Q能做的最大功為 (2.26)顯然，不可逆?zhèn)鲗?dǎo)過(guò)程使一部分能量不能做功了，此部分能量為 (2.27)其中是孤立系的熵變，能量稱為束縛能。伴隨不可逆過(guò)程的進(jìn)行，能量從一種可全部利用來(lái)做功的形式，轉(zhuǎn)變?yōu)橥耆荒茏龉Φ男问?，并且這種轉(zhuǎn)變是與熵變成正比的。 五、熵流和熵的產(chǎn)生 在不可逆熱傳導(dǎo)過(guò)程中，高溫?zé)嵩吹撵卦趩挝粫r(shí)間內(nèi)減少了JQ /T1 ，其中，JQ是熱流，它表示單位時(shí)間內(nèi)由熱源T1傳出的熱量。類似地，低溫?zé)嵩丛趩挝粫r(shí)間內(nèi)熵增加了JQ /T2，因此，考察

10、中間導(dǎo)熱介質(zhì)時(shí)，外界的熵變?yōu)?(2.28)流入系統(tǒng)的熵為JQ /T1，流出系統(tǒng)的熵為JQ /T2，于是系統(tǒng)自身還需要產(chǎn)生熵，其產(chǎn)生率為 (2.29)式中，稱為熵流。如果導(dǎo)熱介質(zhì)中有電流通過(guò)，則可類似推導(dǎo)有 (2.30)是介質(zhì)兩端的電壓。 綜合以上兩種情況，一般有 (2.31) 再看一個(gè)例子：一盆液體，下部溫度為T1，上部溫度為T2，且T1 T2。則由于密度與溫度成反比，會(huì)造成一種“頭重腳輕”的情況。這種體系有不穩(wěn)定因素，到一定程度就會(huì)發(fā)生對(duì)流。其臨界狀態(tài)用Rc來(lái)描述，Rc稱為瑞利數(shù)，設(shè) 式中，g是重力加速度，a是熱脹系數(shù)，v是粘滯系數(shù)，D是擴(kuò)散系數(shù)，d是液體的幾何參數(shù)。當(dāng)時(shí)，對(duì)流出現(xiàn)。法國(guó)的貝

11、納德在改變R時(shí)，發(fā)現(xiàn)了非常規(guī)則的六角狀對(duì)流包，稱為雷諾-貝納包（圖2-6）。在穩(wěn)態(tài)時(shí)，熱流從包的一邊穿到另一邊，流進(jìn)的熵比流出的熵小。實(shí)際上由，T1 T2 可得圖2-4對(duì)流與雷諾-貝納包 (2.32)貝納包處于一個(gè)熵減少的遠(yuǎn)離平衡的穩(wěn)態(tài)，即有序的對(duì)流態(tài)。 近年來(lái)，通過(guò)建立在分子動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)上的超級(jí)計(jì)算機(jī)的數(shù)值模擬，普利高津?qū)W派已經(jīng)從微觀層次上直接產(chǎn)生出這種有序的對(duì)流態(tài)，這是非平衡態(tài)研究的最新進(jìn)展。 由此我們得到又一重要結(jié)論：開放系統(tǒng)在遠(yuǎn)離平衡的條件下可以出現(xiàn)熵減少的過(guò)程。 六、宇宙熵增加與熱寂說(shuō) A B 圖2-7 麥克斯韋妖 我們已經(jīng)看到，任何一個(gè)不可逆過(guò)程都伴隨著孤立系熵的增加。若把宇宙看成一

12、個(gè)孤立系，則照此下去，宇宙的熵最后應(yīng)為極大，整個(gè)宇宙將處于熱平衡態(tài)均勻、恒溫的熱寂狀態(tài)。 為了避免導(dǎo)致宇宙走向熱寂的悲劇，麥克斯韋提出了有趣的設(shè)想，即可能存在一個(gè)稱之為麥克斯韋妖（簡(jiǎn)稱麥妖）的小精靈（見圖2-7），它可以破壞熱力學(xué)第二定律。例如，在一個(gè)連通容器中，中間有一個(gè)小門，容器中兩邊的分子處在自由運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。事先小門關(guān)閉，兩邊達(dá)到熱平衡。麥妖的工作是，當(dāng)有快速運(yùn)動(dòng)的分子向另一邊沖過(guò)去時(shí)，便立即適時(shí)打開小門，不一會(huì)兒，失去快速分子的那部分容器內(nèi)溫度降低，另一邊則溫度升高，系統(tǒng)便自動(dòng)地由平衡態(tài)變成不平衡態(tài)，這是一個(gè)熵減小的過(guò)程。 姑且不論是否麥妖真具有如此本領(lǐng)，單是這人為施與的妖靈本身是否真實(shí)

13、存在，就已使人難以信服，然而，今天的科學(xué)理論的確為我們尋找到了麥妖的替身！除了引力作用的參與能達(dá)到這種類似的效果外，還有一種從混沌走向有序的自組織作用，也能達(dá)到這種效果。 圖2-8 球狀氣云 一旦引入引力的作用，那么完全可以避免熱寂說(shuō)的悲慘結(jié)局。為了說(shuō)明這一道理，我們考察一均勻分布的氣云，在其中作一半徑為l的球。由于球外氣云對(duì)球內(nèi)的引力作用相互抵消（圖2-8），則球內(nèi)的引力作用將使氣云坍縮?？梢杂妹芏缺硎練庠铺s的指標(biāo)，因?yàn)榍驙顨庠频淖砸κ桥c成正比的。此外，氣云運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能是排斥性的，它將產(chǎn)生一個(gè)壓強(qiáng)抵制引力坍縮。用速度v來(lái)表示氣云彌散的指標(biāo)。在星體形成過(guò)程中，核聚變反應(yīng)產(chǎn)生熱量，提供排斥的運(yùn)

14、動(dòng)能量，并增大v，以此來(lái)和引力抗衡。當(dāng)二者達(dá)到相對(duì)穩(wěn)定時(shí)，便形成穩(wěn)定的星球。早期的氣云便是在引力作用下，逐步形成紅巨星，直至恒星晚期，核燃料燒盡，引力又取得優(yōu)勢(shì)，接著形成致密的白矮星、中子星。所以在宇宙的演化過(guò)程中會(huì)形成許多有序的結(jié)構(gòu)，這是一個(gè)從均勻無(wú)序狀態(tài)向有結(jié)構(gòu)的有序態(tài)演化的過(guò)程，原因是有引力的作用，不能只單一地去考察熱學(xué)規(guī)律。統(tǒng)計(jì)物理中的熵 一、等幾率假設(shè)和熱力學(xué)幾率 李政道先生曾講：統(tǒng)計(jì)物理是最漂亮的理論。因?yàn)樗恍枰粋€(gè)假設(shè)，這個(gè)假設(shè)稱為等幾率假設(shè)，即任一微觀態(tài)出現(xiàn)的幾率均相等。如a，b球分配在兩個(gè)格子里共有4個(gè)微觀態(tài)，每個(gè)微觀態(tài)出現(xiàn)的幾率皆為1/4。N個(gè)分子分配在l個(gè)相格中，lN個(gè)

15、微觀態(tài)，每個(gè)微觀態(tài)出現(xiàn)的幾率均為1/lN。至于宏觀態(tài)出現(xiàn)的幾率，顯然是等于其所包含的微觀態(tài)數(shù)目P 與每一個(gè)微觀態(tài)出現(xiàn)的幾率之乘積，即 (2.33)習(xí)慣上，稱與宏觀態(tài)對(duì)應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)目P為熱力學(xué)幾率。 按照統(tǒng)計(jì)物理的觀點(diǎn)，熱學(xué)的平衡態(tài)就是熱力學(xué)幾率P最大的宏觀態(tài)。P=Pmax時(shí)，該平衡態(tài)也稱最可幾態(tài)。 在熱學(xué)中，一個(gè)孤立系統(tǒng)總是自發(fā)地趨于平衡態(tài)。用統(tǒng)計(jì)物理的觀點(diǎn)講，系統(tǒng)的狀態(tài)總是自發(fā)地趨于最可幾態(tài)，或趨于熱力學(xué)幾率最大的狀態(tài)。系統(tǒng)處在平衡態(tài)的熵最大，是否熱力學(xué)幾率P就是熱學(xué)中的熵呢，問(wèn)題并非如此簡(jiǎn)單。我們知道，熵具有可加性，而幾率具有可乘性。例如兩個(gè)射擊運(yùn)動(dòng)員，甲中10環(huán)的幾率為0.8，乙中10環(huán)

16、的幾率為0.9。若問(wèn)兩人同時(shí)中10環(huán)的幾率為多少，必須用乘法，即0.80.9=0.72。因此，熵S和熱力學(xué)幾率P可以用對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)系來(lái)表示S=k1nP（2.34）這樣，既滿足P增大，S亦大的原則，同時(shí)又滿足幾率相乘而熵相加的法則。公式S=k1nP稱為玻爾茲曼熵公式，其中k=1.3810-23JK-1是玻爾茲曼常數(shù)。這個(gè)公式給出了熵的統(tǒng)計(jì)意義，解釋了熵的微觀本質(zhì)。所謂熵，是反映一個(gè)系統(tǒng)宏觀態(tài)所具有的微觀態(tài)數(shù)目或熱力學(xué)幾率的量。熱力學(xué)幾率愈大，表示系統(tǒng)處于的狀態(tài)愈混亂無(wú)序，因?yàn)?，熱力學(xué)幾率大說(shuō)明系統(tǒng)可選擇的微觀態(tài)方式極多，或者說(shuō)很難確定系統(tǒng)到底處在哪一個(gè)微觀態(tài)。就此意義上講，熵是系統(tǒng)無(wú)序程度的量度。

17、 二、熵和無(wú)序 我們考察一個(gè)理想氣體的絕熱真空膨脹過(guò)程。設(shè)體系是由N個(gè)分子組成的系統(tǒng)，膨脹前氣體集中在容器的一方，處于有序的狀態(tài)。膨脹后，氣體充滿整個(gè)容器，處于無(wú)序的狀態(tài)。若有序態(tài)的相格子有l(wèi)個(gè)，無(wú)序態(tài)的相格子則有2l個(gè)。N個(gè)分子分配在l個(gè)相格的方式數(shù)與N個(gè)分子分配在2l個(gè)相格的方式數(shù)相比，前者小，后者大，或者說(shuō)前者的熱力學(xué)幾率小于后者的熱力學(xué)幾率。根據(jù)玻爾茲曼公式可知無(wú)序時(shí)的熵大于有序時(shí)的熵，(見圖2-9)。兩種不同分子的氣體混合后，無(wú)序度比它們分開時(shí)更高，是無(wú)序態(tài)（見圖2-10）。與絕熱真空膨脹類似，同樣得到無(wú)序態(tài)的熵大于有序態(tài)的熵的結(jié)論。所以說(shuō)熵是系統(tǒng)狀態(tài)無(wú)序度的一種量度。 V 混合前

18、2V 混合后 圖2-9 圖2-10理想氣體絕熱真空膨脹過(guò)程 兩種氣體混合過(guò)程 自然界總是有變?yōu)楦鼰o(wú)序的傾向，在自然界的演化過(guò)程中，孤立系熵的增加就是這種傾向的一種反映。熱力學(xué)第二定律指出熱過(guò)程進(jìn)行的方向，孤立系熵增加也是反映過(guò)程進(jìn)行的方向，即由有序指向無(wú)序。 T，V1 T，V2 圖2-11氣體等溫膨脹過(guò)程 三、統(tǒng)計(jì)熵與熱學(xué)熵的一致性 以一個(gè)等溫膨脹過(guò)程為例可證實(shí)統(tǒng)計(jì)熵與熱學(xué)熵的一致性（圖2-11）。由于過(guò)程是等溫的，系統(tǒng)吸收熱量對(duì)外做功，因而內(nèi)能保持不變。當(dāng)系統(tǒng)體積由V1膨脹到V2時(shí)，熵的增加為 (2.35)從統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)出發(fā) 其中P為系統(tǒng)狀態(tài)的熱力學(xué)幾率，在均勻分布條件下，一個(gè)分子在容積V中分配

19、的微觀方式數(shù)與V成正比，N個(gè)分子在容積V中的分配方式數(shù)與VN成正比。熱力學(xué)幾率正是和均勻分布宏觀態(tài)對(duì)應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)目，所以有 于是 (2.36)可見，熱力學(xué)的熵與統(tǒng)計(jì)物理的熵是一致的。信息熵 一、信息量 如果請(qǐng)你猜某人的姓名，而事前不知道任何信息，甚至此人是男是女也不知道。那么可供你選擇的名字?jǐn)?shù)目極多，或者說(shuō)你得到一個(gè)名字的方式數(shù)極多。用信息論的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，即你掌握的信息量極少。如果告訴你此人是女性，則可供選擇的名字?jǐn)?shù)將會(huì)減少，進(jìn)一步再給你一個(gè)信息：此人姓名的漢語(yǔ)拼音第一個(gè)字母是L，則信息量大大增加，可供選擇的名字?jǐn)?shù)目一下子又減少了許多。 從上面的例子可以看到：達(dá)到某宏觀定態(tài)的方式數(shù)越少，則信息量

20、一定越大，反之則信息量越少。再舉一個(gè)擲骰子的例子，如果擲一只骰子，則從可能出現(xiàn)的6個(gè)結(jié)果中，得到某一確定結(jié)果的幾率是1/6；若擲兩只骰子，則所得的信息量正好是擲一只時(shí)的兩倍，而得到明確結(jié)果的幾率為1/36。因?yàn)閮纱瓮稊S是相互獨(dú)立事件，故得到的信息的幾率應(yīng)相乘，所得的信息量卻相加，這表明信息量與獲得該信息的幾率成對(duì)數(shù)關(guān)系。 設(shè)信息量為I，得到該信息的幾率為P，則 (2.37)這是1949年美國(guó)Bell實(shí)驗(yàn)室工程師申農(nóng)提出的公式。若令k=1，且取底為2，則可將式（2.37）改寫為 (2.38)當(dāng)P=1/2時(shí)，I=1，即在兩個(gè)等幾率事件中，選擇其中一個(gè)事件，得到的信息量為1bit。按此計(jì)算，擲一只骰

21、子所得到的信息量為 二、信息熵 我們知道了如何計(jì)算一個(gè)信息的信息量，那么全部信息的信息量應(yīng)為各信息的信息量之和 (2.39)但是，往往獲得各個(gè)信息的幾率不一樣，故有必要定義一個(gè)平均的信息量 (2.40)平均信息量是指平均起來(lái)一個(gè)信息的信息量的大小，又稱為信息熵。 在信息論中，信息是由一個(gè)所謂信息源輸出的，設(shè)某信息源輸出n個(gè)相互獨(dú)立的信息，Xi出現(xiàn)的幾率為Pi ,可以用信息源發(fā)出的全部信息的平均信息量來(lái)表示信息源的整體特性，這個(gè)整體特性是信息源的不確定程度。信息熵大，說(shuō)明信息源發(fā)出的平均信息量大，而信息量大表示信息源發(fā)出信息的幾率小，即源的不確定程度大。 容易看到，在獲得信息都是等幾率的情況下(

22、2.41)為了簡(jiǎn)化討論，可以把第i個(gè)信息的信息量看作是平均信息量或信息熵，在這種意義上，信息量即信息熵。 三、再談麥妖 1927年，匈牙利一個(gè)叫西拉德的人指出：麥妖要識(shí)別快、慢分子，必須使用“電筒”或“燈光”探測(cè)。當(dāng)光被分子散射后，麥妖接收此散射光，才能知道該分子是快分子還是慢分子，并依據(jù)此決定是否開啟小門。西拉德的這一判斷過(guò)程，會(huì)使“電筒”或“燈”在發(fā)光時(shí)產(chǎn)生熵增加，因?yàn)殡姾凸舛紝?dǎo)致發(fā)熱。根據(jù)西拉德的計(jì)算，這一熵增加將超過(guò)麥妖控制小門所獲得的熵減小，故最后總熵仍是增大的。 西拉德的設(shè)想使得信息與熵之間第一次建立了聯(lián)系，減小熵是以獲得信息為前提的。再看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：液體在容器中冰凍成晶體，熵

23、減小了，但信息卻增加了，因?yàn)橐后w分子是混亂分布的，現(xiàn)在液體分子以確定方式居留在晶體元胞格點(diǎn)上，這是一個(gè)無(wú)序向有序的轉(zhuǎn)化，故熵減?。煌瑫r(shí)正因?yàn)橛行蚧姆肿映手芷谛耘帕校鋵?duì)稱性給出了分子分布的確切信息（見圖2-15）。 四、信息熵與熱熵 無(wú)序 液態(tài) 有序 晶態(tài) 液態(tài)到晶態(tài)的熵減少過(guò)程 圖2-12 信息與熵的關(guān)系類似于相對(duì)論中的質(zhì)能關(guān)系，即 (2.42)當(dāng)質(zhì)量減少時(shí)，能量增加，反之，則能量減少?；玖Ｗ訉?shí)驗(yàn)對(duì)正、反電子對(duì)的產(chǎn)生與湮滅的證實(shí)，就是(2.42)式的例證。與之類似，信息增加，則熵減小，反之則熵增加。因此，可以把熱熵和信息熵或信息量I的關(guān)系寫成S+I=常數(shù)（2.43） S是無(wú)序程度的量度，

24、I則是有序程度的量度。布里淵（Brillouin）曾說(shuō)：“熵是關(guān)于體系精確狀態(tài)所缺乏的那些信息的量度”。比如，要確定體系的狀態(tài)時(shí)，若可供選擇的方式數(shù)愈少，則愈容易確定。當(dāng)可供選擇的方式數(shù)僅為1時(shí)，則體系狀態(tài)完全被確定。 熵是與可供選擇的方式數(shù)目成正比的，如果把可供選擇的方式數(shù)看成統(tǒng)計(jì)學(xué)中的熱力學(xué)幾率P，那么由玻爾茲曼公式可知，當(dāng)P=1時(shí)，S=0。按布里淵的解釋，信息量應(yīng)為熵的減少 或 S+I=S0 (2.44)當(dāng)體系完全確定（S=0）時(shí)，則I取最大值Imax，所以有 S=Imax-I (2.45)這是布里淵定義熵的一種數(shù)學(xué)表述。熵是對(duì)于體系精確狀態(tài)所缺乏的那些信息（Imax -I）的量度。對(duì)式

25、（2.44）進(jìn)行微分 dS=-dI (2.46)dS0，則dI0，這是信息論的結(jié)論，系統(tǒng)總是朝信息量減少的方向演化。 五、信息熵與統(tǒng)計(jì)熵 設(shè)一理想氣體從體積V0等溫壓縮到體積V1，從統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)來(lái)看 其中，Pi為系統(tǒng)熱力學(xué)幾率。在均勻分布的條件下，一個(gè)分子在容積V中分配的微觀方式數(shù)與V成正比，N個(gè)分子在V中的分配方式數(shù)與VN成正比。熱力學(xué)幾率就是和均勻分布的宏觀態(tài)相對(duì)應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)目，所以有 于是 (2.47)另一方面，在減少體積時(shí)，也減少了達(dá)到該狀態(tài)的方式數(shù)。壓縮前，每一個(gè)分子都在V0內(nèi)，可能占據(jù)的位置數(shù)目是，其中是某個(gè)任意小的體積。壓縮后，每個(gè)分子可能的位置數(shù)減少為。由此，信息量增大時(shí)，每一個(gè)分

26、子的信息量增量為 S S 熵 O I+S t I 信息圖2-13信息量即負(fù)熵(2.48)N個(gè)分子的信息量增量為 (2.49)顯然，因壓縮而增加的信息量應(yīng)等于相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)熵的減少 (2.50)由此可見，人們把信息熵稱為負(fù)熵是有道理的。因?yàn)閷?duì)于熵增加原理，對(duì)應(yīng)有信息量減少原理，故稱信息量為負(fù)熵更為合適，否則熵既滿足增加原理，又滿足減少原理就會(huì)造成混亂。 生 物 熵 一、生命是什么 1945年，量子力學(xué)的創(chuàng)始人之一薛定諤發(fā)表了他的杰作生命是什么？活細(xì)胞的物理學(xué)觀。書中提出，對(duì)生命現(xiàn)象進(jìn)行普遍的物理解釋是可能的，他把生命現(xiàn)象歸結(jié)為少數(shù)幾個(gè)基本物理問(wèn)題。 薛定諤討論的第一個(gè)問(wèn)題是：生物體如何維持自身的非平

27、衡態(tài)？他的回答是：非平衡態(tài)是通過(guò)熵從生物體流向周圍環(huán)境來(lái)維持的。薛定諤討論的第二個(gè)問(wèn)題是：生命體為什么一定要由大量的原子組成？回答是由少量幾個(gè)原子所構(gòu)成的系統(tǒng)不可能是有序的，即便有序，也會(huì)被熱運(yùn)動(dòng)的起伏破壞。生命的許多基本問(wèn)題與熵有著密切的聯(lián)系。 比薛定諤更早,用熱學(xué)來(lái)討論生命的人是保爾愛德蒙德（BauerEdmond），他指出：生命是開放的非平衡系統(tǒng)中所發(fā)生的一連串過(guò)程。 19世紀(jì)有兩個(gè)光輝的演化理論，一個(gè)是達(dá)爾文的生物進(jìn)化論，即生物由單細(xì)胞向多細(xì)胞進(jìn)化，這是一個(gè)朝著有序化方向進(jìn)行的演化；另一個(gè)是孤立系的熱力學(xué)系統(tǒng)演化論，即熵增加原理，孤立系始終朝著無(wú)序化的方向演化。這兩個(gè)演化論并無(wú)矛盾，因

28、為生物系是一個(gè)開放系。 二、開放系的熵 生物是一個(gè)開放系統(tǒng)，開放系的熵決定于系統(tǒng)內(nèi)產(chǎn)生的熵、外部流入的熵及系統(tǒng)流向外部的熵的數(shù)量。比如，宇航員是一個(gè)開放系，其熵的改變由兩部分之和決定，一是機(jī)體內(nèi)產(chǎn)生的熵diS，二是流入的熵deS。于是總熵變化為 (2.51)因?yàn)?，而取決于環(huán)境。當(dāng)開放系統(tǒng)處在非平衡的穩(wěn)態(tài)時(shí)，dS=0，故有 (2.52)這表示機(jī)體內(nèi)產(chǎn)生的熵正好全部流出機(jī)體。一個(gè)發(fā)育完全的健康的年輕人，在較長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)保持穩(wěn)定的體重，就是處在這種非平衡的穩(wěn)態(tài)。發(fā)育中的兒童及更年期后的成年人的機(jī)體則不再處于這種穩(wěn)態(tài)。 生物機(jī)體與外界交換物質(zhì)時(shí)，生物體排泄的熵往往大于生物體吃進(jìn)的營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)的熵。因此，總

29、熵仍是增大的，這并不違反熱力學(xué)第二定律。關(guān)于生物體與外界的交換，薛定諤有句名言曰：生物體以負(fù)熵為食。 三、生物的生序過(guò)程 我們來(lái)做一個(gè)游戲：在一只箱子中，放有7個(gè)顏色不同的球，紅、橙、黃、綠、青、藍(lán)、紫。另外有一只袋子，內(nèi)裝有充分多的各種顏色的球?，F(xiàn)在，從箱中取一個(gè)球讓它“死亡”扔掉，不再放回箱子；然后，再?gòu)南渲腥〉诙€(gè)球，同時(shí)從袋中取一個(gè)與其顏色相同的球，并將這兩個(gè)同色球一起放回箱中。第二次從箱中取出的球得到“再生”。依次重復(fù)上面的“死亡”與“再生”游戲，最后，箱中的球會(huì)變成單一的顏色。這里讓我們看到了有序由無(wú)序中產(chǎn)生的過(guò)程，在生物體中就有這種生序的過(guò)程。當(dāng)然，生物體中的生序過(guò)程比游戲要復(fù)雜

30、得多。 1958年，貝洛索夫（Belousov）第一次在均質(zhì)的氧化-還原系統(tǒng)中，看到了一種周期性的化學(xué)反應(yīng)，其中有鈰離子從3價(jià)到4價(jià)之間的周期性振蕩，即 由于Ce4+與Ce3+顏色不同，故反應(yīng)時(shí)容器內(nèi)的液體先由藍(lán)色變成粉紅色，后又恢復(fù)藍(lán)色，依次交替變化，可維持幾千個(gè)周期。這種振蕩的化學(xué)過(guò)程也可以作為生物過(guò)程的簡(jiǎn)化模型，它是一種遠(yuǎn)離平衡的無(wú)衰減振蕩，人體心臟的跳動(dòng)就是遠(yuǎn)離平衡的無(wú)衰減振蕩。著名的比利時(shí)學(xué)者普利高津創(chuàng)立的非平衡統(tǒng)計(jì)耗散結(jié)構(gòu)理論及哈肯的協(xié)同學(xué)、自組織作用理論都是旨在從混沌中找到生序的機(jī)制。研究生命起源的理論中，最基本的問(wèn)題也是如何形成有序信息大分子，如何在生命體隨機(jī)混合中形成遺傳短文

31、。 為了說(shuō)明這一個(gè)開放體系有可能使自己的熵不是增加，而是減少，我們就來(lái)對(duì)地球進(jìn)行考察。地球接受了太陽(yáng)的能量，使靠近地面的區(qū)域成為較熱的區(qū)域，地面的上空,則隨大氣層高度的增加漸漸冷下去，于是在地面上造成了一個(gè)有序的生態(tài)環(huán)境。大氣層接受太陽(yáng)能，又把它幾乎全部放回去，并使地球上保持一定的溫差區(qū)域，為生物的生存、繁衍提供了良好的環(huán)境和條件。地球是一個(gè)低熵體系，且輸出熵。再看看整個(gè)大宇宙,它并非接近平衡態(tài)，相反有各色各樣的結(jié)構(gòu)。星系不斷形成偏離平衡的開放模式，在大范圍內(nèi)看不到任何趨向平衡的跡象，這里面引力起了重要作用，它好像是前面游戲中的“死亡”、“再生”法則，能產(chǎn)生從無(wú)序走向有序的演化。黑 洞 熵 通常黑洞的信息只有3個(gè)，即質(zhì)量M、電量Q及自轉(zhuǎn)角動(dòng)量J。對(duì)于不帶電、無(wú)自轉(zhuǎn)的黑洞，則只有唯一的信息 黑洞的總質(zhì)量M?？紤]前面信息與熵的關(guān)系，容易想到，黑洞的信息量幾乎為零，其熵值一定極大。1973年，貝肯斯坦（Bekenstein）建立了黑洞的熱力學(xué)理論，提出黑洞的熵SB=A/4。其中，A是黑洞的表面積，由于黑洞的半徑為2M，于是 (2.53) 一般情況下，星球物質(zhì)的熵與其總質(zhì)量成正比，而黑洞的熵卻與總質(zhì)量的平