2021年高三數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷及答案（一）

1、第卷（選擇題)一、單選題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則（ ）ABCD或【答案】C【解析】分析：根據(jù)表達(dá)式得，化簡(jiǎn)可求得，根據(jù)模的定義即可求得 。詳解： 所以 所以選C點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算和模的定義，化簡(jiǎn)過(guò)程中注意共軛復(fù)數(shù)和符號(hào)的變化，是簡(jiǎn)單題。2若集合，則 （ ）ABCD【答案】B【解析】集合， 故得到 故答案為：B。3若橢圓 的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是,則其離心率等于( )A2B.C.D【答案】D【解析】依題意可知，b= ，a= =1，c= = e= = 故選B點(diǎn)睛：根據(jù)題意可知a和b，進(jìn)而根據(jù)c=

2、求得c，進(jìn)而根據(jù)e=求得e42019年慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年閱兵式彰顯了中華民族從站起來(lái)、富起來(lái)邁向強(qiáng)起來(lái)的雄心壯志.閱兵式規(guī)模之大、類型之全均創(chuàng)歷史之最，編組之新、要素之全彰顯強(qiáng)軍成就.裝備方陣堪稱“強(qiáng)軍利刃”“強(qiáng)國(guó)之盾”，見(jiàn)證著人民軍隊(duì)邁向世界一流軍隊(duì)的堅(jiān)定步伐.此次大閱兵不僅得到了全中國(guó)人的關(guān)注，還得到了無(wú)數(shù)外國(guó)人的關(guān)注.某單位有10位外國(guó)人，其中關(guān)注此次大閱兵的有8位，若從這10位外國(guó)人中任意選取3位做一次采訪，則被采訪者中至少有2位關(guān)注此次大閱兵的概率為（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】至少有2位關(guān)注此次大閱兵的對(duì)立事件為恰有2位不關(guān)注此次大閱兵，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式

3、計(jì)算概率.【詳解】解：從這10位外國(guó)人中任意選取3位做一次采訪，其結(jié)果為個(gè)，恰有2位不關(guān)注此次大閱兵有個(gè)，則至少有2位關(guān)注大閱兵的概率.故選：【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用與古典概型，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn)，則直線A1D與直線C1E所成的角等于 ()A60B90C30D隨點(diǎn)E的位置而變化【答案】B【解析】A1DAB，A1DAD1， A1D平面AD1C1B，又平面AD1C1B，A1DC1E直線A1D與直線C1E所成的角等于90選B6已知tan=2，則的值為( )ABCD【答案】A【解析】 ，所以原式 ，故選A.7在平行四邊形中，則（

4、）ABCD【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算及向量的數(shù)量積計(jì)算可得.【詳解】解：，所以.故選：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8三世紀(jì)中期，魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽利用不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的方法求出圓周率的近似值，首創(chuàng)“割圓術(shù)”.利用“割圓術(shù)”，劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”.如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的程序框圖，則輸出的值為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）A6B12C24D48【答案】C【解析】【分析】根據(jù)程序框圖運(yùn)行程序，直到滿足時(shí)輸出結(jié)果即可.【詳解】按照程序框圖運(yùn)行程序，輸入則，不滿足，循環(huán)；，不滿足，循

5、環(huán)；，滿足，輸出結(jié)果：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)程序框圖循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算輸出結(jié)果，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確判斷是否滿足輸出條件，屬于基礎(chǔ)題.9已知函數(shù)，若將曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到曲線，則不等式的解集是（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則求得的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可.【詳解】解：將曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到曲線，則.由，得，得，則，得.故選：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，考查推理論證能力與運(yùn)算求解能力.10現(xiàn)有三條曲線：曲線；曲線；曲線.直線與其相切的共有（ ）A0條B1條C2條D3條【答案】D【解析】【分析】分別求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)

6、數(shù)的幾何意義一一判斷.【詳解】解：若，則由，得，點(diǎn)在直線上，則直線與曲線相切；若，則由，得，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在直線上，則直線與曲線相切；若，則由，得，其中在直線上，所以直線與曲線相切.故選：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.11設(shè)雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，直線：與雙曲線在第一、三象限的漸近線的交點(diǎn)為，若，則雙曲線的離心率為（ ）AB2CD【答案】B【解析】由題可知雙曲線C在第一、三象限的漸近線方程為聯(lián)立方程組設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，由A可知化簡(jiǎn)得故選B.12已知函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】令，則，對(duì)求導(dǎo)，分析其單調(diào)性，再根據(jù)指數(shù)

7、函數(shù)的性質(zhì)比較，的大小關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小/.【詳解】解：，令，.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，且單調(diào)遞增.又，所以，在上單調(diào)遞減，且故.故選：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng)，屬于難題.第卷（非選擇題)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線上。13中醫(yī)藥是反映中華民族對(duì)生命、健康和疾病的認(rèn)識(shí)，具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨(dú)特理論及技術(shù)方法的醫(yī)藥學(xué)體系，是中華文明的瑰寶.某科研機(jī)構(gòu)研究發(fā)現(xiàn)，某品種中成藥的藥物成份的含量（單位：）與藥物功效（單位：藥物單位）之間具有關(guān)系：.檢測(cè)這種藥品一個(gè)批次的5個(gè)樣本，得到成份的

8、平均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，估計(jì)這批中成藥的藥物功效的平均值為_(kāi)藥物單位【答案】92【解析】【分析】由題可得，進(jìn)而可得，再計(jì)算出，從而得出答案。【詳解】5個(gè)樣本成份的平均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，所以，即，解得因?yàn)?，所以所以這批中成藥的藥物功效的平均值藥物單位.【點(diǎn)睛】本題考查求幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是求出，屬于一般題。14已知，現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：；.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是_.【答案】【解析】【分析】將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)驗(yàn)證.【詳解】解：，得，則，.故所有正確結(jié)論的編號(hào)是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力與推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.15設(shè)，分別為內(nèi)角，的對(duì)邊

9、.已知，則_，的取值范圍為_(kāi).【答案】 【解析】【分析】根據(jù)正弦定理將邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式可求角，由余弦定理知，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求出范圍.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，即，又，所以，則，因?yàn)?，所以，而，?故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查正弦與余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力本題是一個(gè)易錯(cuò)題，學(xué)生容易忽略不能等于0，屬于中檔題.16設(shè)三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，是面積為的等邊三角形，則當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，球的表面積為_(kāi).【答案】【解析】【分析】由題意可求，故當(dāng)且平面底面時(shí)，三棱錐的體積最大.分別求出和外接圓的半徑，即可求得外接球的半徑與表面積.【詳解】解：如圖，由題意得，解得.當(dāng)且

10、平面底面時(shí)，三棱錐的體積最大.分別過(guò)和的外心作對(duì)應(yīng)三角形所在平面的垂線，垂線的交點(diǎn)即球心，設(shè)和的外接圓半徑分別為，球的半徑為，則，.故，球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的體積與球體的表面積，考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必做題,每個(gè)考生都必須作答.第22/23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17在數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推公式可得即是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，即可求出

11、通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，采用分組求和計(jì)算其前項(xiàng)和.【詳解】解：（1），.又，是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，從而.（2），【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和公式，屬于中檔題.18如圖，在直三棱柱中，分別是，的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，可證四邊形是平行四邊形，即得，即可證明線面平行.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出線面角的正弦值.【詳解】解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，.是的中點(diǎn)，.是的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，.平面，平面，平面.（2）解：以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

12、系.，則，則，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，得.設(shè)直線與平面所成角為，故與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，線面角的計(jì)算，考查空間想象能力，計(jì)算能力，屬于中檔題.19已知直線與拋物線：交于，兩點(diǎn)，且的面積為16（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求的方程.（2）直線經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)且不與軸垂直，與交于，兩點(diǎn)，若線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，試問(wèn)在軸上是否存在點(diǎn)，使為定值？若存在，求該定值及的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在,【解析】【分析】（1）將代入，得，即可表示出的面積，計(jì)算可得.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與曲線方程，根據(jù)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式計(jì)算出，求出線段的垂直平分線

13、與軸交于點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，則可用含，的式子表示，即可分析當(dāng)為何值是為定值.【詳解】解：（1）將代入，得，所以的面積為.因?yàn)椋裕实姆匠虨?（2）由題意設(shè)直線的方程為，由得.設(shè)，則，所以.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為,所以線段的垂直平分線的方程為,令，得，所以的橫坐標(biāo)為，設(shè)，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，為定值，且定值為2，故存在點(diǎn)，且的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的綜合應(yīng)用問(wèn)題，屬于中檔題.20某城市有東、西、南、北四個(gè)進(jìn)入城區(qū)主干道的入口，在早高峰時(shí)間段，時(shí)常發(fā)生交通擁堵，交警部門記錄了11月份30天內(nèi)的擁堵情況（如下表所示，其中表示擁堵，表示通暢）.假設(shè)每個(gè)人口

14、是否發(fā)生擁堵相互獨(dú)立，將各入口在這30天內(nèi)擁堵的頻率代替各入口每天擁堵的概率.11.111.211.311.411.511.611.711.811.911.1011.1111.1211.1311.1411.15東入口西入口南入口北入口11.1611.1711.1811.1911.2011.2111.2211.2311.2411.2511.2611.2711.2811.2911.30東入口西入口南入口北入口（1）分別求該城市一天中早高峰時(shí)間段這四個(gè)主干道的入口發(fā)生擁堵的概率.（2）各人口一旦出現(xiàn)擁堵就需要交通協(xié)管員來(lái)疏通，聘請(qǐng)交通協(xié)管員有以下兩種方案可供選擇.方案一：四個(gè)主干道入口在早高峰時(shí)間段

15、每天各聘請(qǐng)一位交通協(xié)管員，聘請(qǐng)每位交通協(xié)管員的日費(fèi)用為（，且）元.方案二：在早高峰時(shí)間段若某主干道入口發(fā)生擁堵，交警部門則需臨時(shí)調(diào)派兩位交通協(xié)管員協(xié)助疏通交通，調(diào)派后當(dāng)日需給每位交通協(xié)管員的費(fèi)用為200元.以四個(gè)主干道入口聘請(qǐng)交通協(xié)管員的日總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，你認(rèn)為在這兩個(gè)方案中應(yīng)該如何選擇？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，應(yīng)該選擇方案一；當(dāng)時(shí)，應(yīng)該選擇方案二.【解析】【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)利用古典概型的概率公式計(jì)算可得.（2）計(jì)算出方案二聘請(qǐng)交通協(xié)管員的日總費(fèi)的期望值，結(jié)合方案一比較分析.【詳解】解：（1）將東、西、南、北四個(gè)主干道入口發(fā)生擁堵的情況分別記為事件，則，.（2）對(duì)

16、于方案二，設(shè)四個(gè)主干道聘請(qǐng)交通協(xié)管員的日總費(fèi)用為，則的可能取值為0，400，800，1200，1600.，故元.對(duì)于方案一，四個(gè)主干道聘請(qǐng)交通協(xié)管員的日總費(fèi)用為元，當(dāng)時(shí)，應(yīng)該選擇方案一；當(dāng)時(shí)，應(yīng)該選擇方案二.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題，以及離散型隨機(jī)變量的分布列、期望的計(jì)算，屬于中檔題.21設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）如果在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】有極小值，沒(méi)有極大值；（2）【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)令導(dǎo)函數(shù)等于零，列表，通過(guò)表格找到函數(shù)極值即可；（2）求恒成立問(wèn)題一般要分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)求其最小值，只需最小值大于零即可求出取值范圍.試題解析：（1）由已知，

17、當(dāng)時(shí)， ，在上單調(diào)遞增，且， ，隨變化如下表：1-0+極小值有極小值，沒(méi)有極大值 （2）（方法一）由題可得恒成立，當(dāng)時(shí)，上式恒成立；當(dāng)時(shí)，又，故令，則， 令，當(dāng)時(shí)， ，時(shí)， ，解得： ，的取值范圍是 （方法二）由題可得， 設(shè)，則，在上單調(diào)遞增， ，使得，則， 由知，且時(shí)， ，時(shí)， ，的取值范圍是 （方法三）由題可得恒成立，令，則， 時(shí)， ，時(shí)， ，解得： ，的取值范圍是 （二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在22,23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.22選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線（為參數(shù)），（為參數(shù)）（1）曲線的交點(diǎn)為，求；（2）以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，過(guò)極點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）利用消去參數(shù)，得到的直角坐標(biāo)方程，將的參數(shù)方程代入化簡(jiǎn)，利用韋達(dá)定理求得弦長(zhǎng).（2）的極坐標(biāo)方程為，根據(jù)極坐標(biāo)的概念，分別用極坐標(biāo)表示的值，兩者相除后利用二倍角公式和三角函數(shù)值域求得最大值.試題解析：（1）曲線，所以法二：為，過(guò)，過(guò)，