拉普拉斯變換與傳遞函數(shù)[高教課堂]

1、拉普拉斯變換與傳遞函數(shù)拉普拉斯變換與傳遞函數(shù) 1教學運用 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 定義定義 典型函數(shù)的拉氏變換典型函數(shù)的拉氏變換 )()(sFtf 2教學運用 22 cos s s t 2 1 s t 1)(t s t 1 )(1 3 2 1 2 1 s t as e at 1 22 sin s t 基本基本性質性質 1 1、線性性質、線性性質 2 2、微分性質、微分性質 4 4、終值定理、終值定理 5 5、初值定理、初值定理 3 3、積分性質、積分性質 5教學運用 7 7、卷積定理卷積定理 6 6、位移定理、位移定理 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) r u c u R C i rc c uu dt du

2、 RC ，設，設 0)0( c u 則有則有 )()()( )()()( sUsURCs sUsUsRCsU rc rcc 1即 )()(sU RCs sU rc 1 1 )(sU r )(tur。 其中其中隨隨 形式而變，形式而變， 而而 完全由網(wǎng)絡的結構及參數(shù)確定。完全由網(wǎng)絡的結構及參數(shù)確定。 1 1 RCs 1 1 RCssU sU sG r c )( )( )().()()(sUsGsU rc 令,則有 網(wǎng)絡為例。網(wǎng)絡為例。RC以 7教學運用 1 1、定義：對于線性定常系統(tǒng)來說，當初始條件為零、定義：對于線性定常系統(tǒng)來說，當初始條件為零 時，輸入量拉氏變換與輸出量拉氏變換之時，輸入量拉

3、氏變換與輸出量拉氏變換之 比叫做系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。比叫做系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 . )( )( )( sR sC sG G(s)R(s)C(s) 反映了系統(tǒng)自身的動態(tài)本質，表達了傳遞信反映了系統(tǒng)自身的動態(tài)本質，表達了傳遞信 號的性質和能力，故稱它為號的性質和能力，故稱它為RCRC網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)。網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)。 數(shù)值來決定，且數(shù)值來決定，且 )(sU r )(sU c )(sG )(sG)(sU r )(sG 若若不變，則不變，則的特性完全由的特性完全由 將將 傳到了傳到了 的形式與的形式與 ).(sU c 8教學運用 設線性定常系統(tǒng)的微方一般形式為：設線性定常系統(tǒng)的微方一般形式為： )( )()()

4、( 1 1 1 10 tca dt tdc a dt tcd a dt tcd a nn n n n n )( )()()( 1 1 1 10 trb dt tdr b dt trd b dt trd b mm m m m m 當初始條件為零時，根據(jù)拉氏當初始條件為零時，根據(jù)拉氏 變換有：變換有： )( )( sRbsbsbsb sCasasasa mm mm nn nn 1 1 10 1 1 10 9教學運用 是復變量是復變量s 的函數(shù)，的函數(shù)， 故稱為復放大系數(shù)。故稱為復放大系數(shù)。 為復數(shù)，為復數(shù)， js )(sG nn nn mm mm asasasa bsbsbsb sR sC sG

5、1 1 10 1 1 10 )( )( )( 則 可見：有了微分方程，可以直接寫出其傳遞函數(shù)，與可見：有了微分方程，可以直接寫出其傳遞函數(shù)，與 c(t)有關的項為分母，與有關的項為分母，與 有關的項為分子。有關的項為分子。 )(tr 10教學運用 rc cc uu dt du RC dt ud LC 2 2 例例2. RLC2. RLC網(wǎng)絡：微分方程網(wǎng)絡：微分方程 1 1 )( 2 RCsLCs sG則傳遞函數(shù)則傳遞函數(shù) 2性質與說明：性質與說明： （1）傳遞函數(shù)是復變量）傳遞函數(shù)是復變量s的有理真分式，具有復變的有理真分式，具有復變 函數(shù)的所有性質，且所有系數(shù)均為實數(shù)。函數(shù)的所有性質，且所有

6、系數(shù)均為實數(shù)。 rc c uu dt du T 例例1. RC網(wǎng)絡：微分方程網(wǎng)絡：微分方程 則傳遞函數(shù)則傳遞函數(shù) 1 1 )( Ts sG 11教學運用 （2 2）傳函是一種用系統(tǒng)參數(shù)表示輸出量與輸入量之）傳函是一種用系統(tǒng)參數(shù)表示輸出量與輸入量之 間關系的表達式，它只取決于系統(tǒng)或元件的結間關系的表達式，它只取決于系統(tǒng)或元件的結 構和參數(shù)，而與構和參數(shù)，而與 r(t) 的形式無關，也不反映系的形式無關，也不反映系 統(tǒng)內部的任何信息。統(tǒng)內部的任何信息。 （3 3）傳函是描述線性系統(tǒng)動態(tài)特性的一種數(shù)學模型，）傳函是描述線性系統(tǒng)動態(tài)特性的一種數(shù)學模型， 而形式上和系統(tǒng)的動態(tài)微方一一對應。但只適而形式上

7、和系統(tǒng)的動態(tài)微方一一對應。但只適 用于線性系統(tǒng)且初始條件為零的情況下，原則用于線性系統(tǒng)且初始條件為零的情況下，原則 上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運動上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運動 規(guī)律。規(guī)律。 12教學運用 （4 4）傳函是系統(tǒng)的數(shù)學描述，物理性質完全不同的系）傳函是系統(tǒng)的數(shù)學描述，物理性質完全不同的系 統(tǒng)可以具有相同的傳函。在同一系統(tǒng)中，當取不統(tǒng)可以具有相同的傳函。在同一系統(tǒng)中，當取不 同的物理量作輸入或輸出時，其同的物理量作輸入或輸出時，其G(s)一般也不相一般也不相 同，但卻具有相同的分母。該分母多項式稱為特同，但卻具有相同的分母。該分母多項式稱為特 征多項式。征多項式

8、。( (形成的方程叫特征方程）形成的方程叫特征方程） （5 5）傳函是在零初始條件下定義的，控制系統(tǒng)的零初）傳函是在零初始條件下定義的，控制系統(tǒng)的零初 始條件有兩方面的含義：始條件有兩方面的含義： 指指r(t)是在是在 時才作用于系統(tǒng)，在時才作用于系統(tǒng)，在t =0- 時，時， r(t)及其各階導數(shù)均為零。及其各階導數(shù)均為零。 0 t 13教學運用 指指r(t)加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)， 即即c(t)及其各階導數(shù)在及其各階導數(shù)在 時的值也為零。時的值也為零。 0 t 14教學運用 例例5無源無源RC網(wǎng)絡求網(wǎng)絡求 。 復阻抗法復阻抗法 )(sG r

9、 u c u C 1 R 2 R 解：解： Cs RZ 1 11 22 RZ Cs RR R ZZ Z sG 1 21 2 21 2 )( 11 21 2 21 2 sTT sT CsRR CsR )()( 15教學運用 （1 1）零、極點表示法：）零、極點表示法： n n nn mm mm asasas bsbsbs a b sG 1 1 1 1 1 1 0 0 )( )()( )()( 21 21 n m g pspsps zszszs K n i i m j j g ps zs K 1 1 )( )( j zs 當時，G(s) = 0. j z 為傳函的零點。 當 時，G(s) = i

10、ps , i p為傳函的極點。 傳傳函的其他表示法：函的其他表示法： 16教學運用 而而 傳遞系數(shù)。傳遞系數(shù)。( (根軌跡中叫根軌跡增益根軌跡中叫根軌跡增益) ) 0 0 a b K g (2(2）時間常數(shù)表示法：）時間常數(shù)表示法： 1 1 )( 1 1 1 1 1 1 scscsc sdsdsd a b sG n n n n m m m m n m )1()1)(1( )1()1)(1( 21 21 sTsTsT sss K n m n i i m j j sT s K 1 1 )1( )1( n m a b K 其中其中放大系數(shù)。放大系數(shù)。 17教學運用 i i j j p T z 11

11、， n i i m j j g p z KK 1 1 )( )( 且有且有 (3) 二項式表示法：二項式表示法： 2 2 21 2 1 )( 1 nns s psps 如如 21.p p 為一對共軛復數(shù)，則有為一對共軛復數(shù)，則有 12 1 )1)(1( 1 22 21 TssTsTsT 或或 18教學運用 系統(tǒng)可能還會有零值極點，若為系統(tǒng)可能還會有零值極點，若為 個，則有：個，則有： 21 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 n l lll n i i m k kkk m j j ssps sszs s K sG )()( )()( )( 21 21 1 2 2 1 1 2 2

12、1 )12()1( )12()1( n l lll n i i m k kkk m j j sTsTsT sss s K 在此：.2,2 2121 nnnmmm （4）一般表示法：）一般表示法： 19教學運用 二、典型環(huán)節(jié)及其傳函：二、典型環(huán)節(jié)及其傳函： 從上述傳函的一般表示中看出，任何系統(tǒng)均由從上述傳函的一般表示中看出，任何系統(tǒng)均由 、 1 1 1 1 Ts s s K 12 1 22 TssT 等環(huán)節(jié)組成，等環(huán)節(jié)組成， 此為典型環(huán)節(jié)。此為典型環(huán)節(jié)。 （一）比例環(huán)節(jié)：（一）比例環(huán)節(jié)： 1、微分方、微分方 程：程：c(t)=Kr(t) k 1 )(tc )(tc )(tr )(tr t 2、傳

13、函：、傳函：G(s)=K. 既無零點也無極點。既無零點也無極點。 20教學運用 3 3、響應：若、響應：若r(t)=1(t)，則，則c(t)=K 1(t)。 輸出與輸入成比例，不失真也不延時，如無彈性輸出與輸入成比例，不失真也不延時，如無彈性 變形的杠桿、放大器、分壓器、齒輪、減速器等。變形的杠桿、放大器、分壓器、齒輪、減速器等。 r u c u 1 R 2 R 21教學運用 T )(tc )(tc )(tr )(tr t 0 1.1.微分方程：微分方程： )( )( )()( tr dt tdc T dttrKtc 1 K T 2.2.傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)： Ts sG 1 )( 只有一個零值

14、極點。只有一個零值極點。 （二）積分環(huán)節(jié)：（二）積分環(huán)節(jié)： 3.3.階躍響應：階躍響應： s sRttr 1 )().( 1)( t T tc Ts sC 11 2 )(,)( 22教學運用 TsRCs sG 11 )( )( )( sCsU R sU c r 時所需的時間。時所需的時間。 其中其中T=RC是是 增長到增長到 c u r u 象積分器：象積分器： 23教學運用 T2T3T4T )(tc)(tr )(tr )(tc 0.632 t )()( )( trtc dt tdc T 1 1微方：微方： 有一個負極點有一個負極點 1 1 )( Ts sG T p 1 2 2傳函：傳函： T

15、 s sTss sC 1 11 )1( 1 )( s sRttr 1 )(),( 1)( 3 3響應：響應： （三）慣性環(huán)節(jié)：（三）慣性環(huán)節(jié)： T t etc 1)( 24教學運用 如如RC網(wǎng)絡、網(wǎng)絡、LR回路?；芈?。 L R r u i為out （四）微分環(huán)節(jié)：（四）微分環(huán)節(jié)： dt tdr tc )( )( 1 1微方：微方： 2 2傳函：傳函：ssG )(，只有一個零值零點。，只有一個零值零點。 R r u c uC 25教學運用 )()(ttc t )(tc )(tr 則則 )(tc階躍函數(shù)階躍函數(shù))(1)(tttr 若若 因此微分環(huán)節(jié)能預示因此微分環(huán)節(jié)能預示 的變化趨勢。的變化趨勢。

16、)(tr f utctr )(,)( 如測速機 s s sc)( 脈沖函數(shù)脈沖函數(shù), , s sRttr 1 )(),(1)( 3 3響應：響應：，則，則 , dt d Ku ff 因此因此 26教學運用 運放組成的微分器：運放組成的微分器： .)( )( )( sRCssG sCsU R sU r c 實際系統(tǒng)中，微分環(huán)節(jié)常帶實際系統(tǒng)中，微分環(huán)節(jié)常帶 有慣性，如右圖的有慣性，如右圖的RCRC網(wǎng)絡：網(wǎng)絡： . )( 111 s s RCs RCs Cs R R sG C R r u c u 1 .)(ssG 當時，才有 27教學運用 （五）一階微分環(huán)節(jié)：（五）一階微分環(huán)節(jié)： C 1 R 2 R

17、 1 Z 2 Z r u c u )( )( )(tr ddt tdr tc 1 1微方：微方： 1)( ssG 2 2傳函：傳函： 1 z有一個負值零點有一個負值零點 同樣實際中常帶有慣同樣實際中常帶有慣 性，如右圖的性，如右圖的RCRC網(wǎng)絡：網(wǎng)絡： 22 1 1 1 1 1 11 1 RZ CsR R Cs R Cs R Z 28教學運用 1212 12 1 1 2 2 21 2 )1( 1 )( RRCsRR CsRR CsR R R R ZZ Z sG 1 1 1 21 2 1 21 2 CsR RR R CsR RR R 1 1 )( Ts Ts sG 則則RCT RR R , 21

18、 2 令令 只有當只有當1T )1()( TssG 時，才有時，才有 29教學運用 （六）振蕩環(huán)節(jié)：（六）振蕩環(huán)節(jié)： )()( )( 2 )( 2 2 2 trtc dddt tdc T dt tcd T 1 1微方：微方： 2 2 2 1 22 212 1 )( nn n T ssTssT sG n 2 2傳函：傳函： 1 2 2 . 1 nn p 有兩個極點：有兩個極點： n jp 2 . 1 :01 ）（ n p 2 . 1 :12 ）（ 為兩個不為兩個不 2 . 1 :13p ）（ 相等的負實根。相等的負實根。 2 2 . 1 1:104 nn jp）（一對共軛復數(shù)根。一對共軛復數(shù)根。

19、 30教學運用 （輸出延遲（輸出延遲 后復現(xiàn)輸入）后復現(xiàn)輸入） （七）延遲環(huán)節(jié)：（七）延遲環(huán)節(jié)： A o t )(tr )(tr )(tc )(tc r(t) 1 2 3 4 t 1 0 )(tc 如樞控電機、如樞控電機、 R-L-C 網(wǎng)絡、動力系等。網(wǎng)絡、動力系等。 )( 1)(ttr 2.2.響應：當響應：當時，時， 圖所示。圖所示。 四種不同四種不同的響應如的響應如 31教學運用 s sss e e s s 1 1 ! 3 1 ! 2 1 1 11 3322 3 3處理方法：處理方法： 展開成泰勒級數(shù)：展開成泰勒級數(shù)： 很小時，可將很小時，可將 s esG )( s e 為超越函數(shù)，當為

20、超越函數(shù)，當 s esG )( 2 2傳函：傳函： 如皮帶傳輸機、晶閘管整流裝置等。如皮帶傳輸機、晶閘管整流裝置等。 1 1微方：微方：).(1)()( ttrtc 即將延遲環(huán)節(jié)近似為慣性環(huán)節(jié)。即將延遲環(huán)節(jié)近似為慣性環(huán)節(jié)。 32教學運用 方框圖方框圖的基本連接方式的基本連接方式 方框圖的基本連接方式有三種：串聯(lián)、并聯(lián)、反方框圖的基本連接方式有三種：串聯(lián)、并聯(lián)、反 饋。饋。 復雜系統(tǒng)的方框圖都是由這三種基本的連接方式組復雜系統(tǒng)的方框圖都是由這三種基本的連接方式組 合而合而 成的。成的。 1. 串聯(lián)串聯(lián) 在在串聯(lián)連接方式中串聯(lián)連接方式中，n個環(huán)節(jié)首尾相連，個環(huán)節(jié)首尾相連， 前一個環(huán)節(jié)的輸出作為后一

21、個環(huán)節(jié)的輸入。前一個環(huán)節(jié)的輸出作為后一個環(huán)節(jié)的輸入。 G 1(s) R G 2(s) G n(s) C 33教學運用 結論結論：n個環(huán)節(jié)串聯(lián)后的總傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)個環(huán)節(jié)串聯(lián)后的總傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié) 的傳遞函數(shù)的傳遞函數(shù) 的乘積：的乘積： )()()()()( 1 21 sGsGsGsGsG i n i n 方框圖可化簡為：方框圖可化簡為： 34教學運用 2. 并聯(lián)并聯(lián) 在在并聯(lián)連接方式中，并聯(lián)連接方式中，n個環(huán)節(jié)的輸入相同，個環(huán)節(jié)的輸入相同， 而總輸出為各環(huán)節(jié)輸出的代數(shù)和。而總輸出為各環(huán)節(jié)輸出的代數(shù)和。 G 1(s) G 2(s) CR G n(s) 35教學運用 結論：n個環(huán)節(jié)并聯(lián)后的總傳遞函數(shù)等于 各環(huán)節(jié)的傳遞函 數(shù)之代數(shù)和： 方框圖可化簡為： 36教學運用 3. 反饋反饋 反饋反饋連接方式的一般連接方式的一般形式是形式是將系統(tǒng)的輸出將系統(tǒng)的輸出 信號信號C(s)在經(jīng)過某個環(huán)節(jié)在經(jīng)過某個環(huán)節(jié)H(s)后，反向送回到后，反向送回到 輸入端。輸入端。 G (s) E C H (s) B R 37教學運用 從從E(s)到到C(s)的通道稱為前向通道，從的通道稱為前向通道，從C(s)到到B(s)的通