標(biāo)準(zhǔn)偏差計算[稻谷書苑]

1、 平均數(shù)是統(tǒng)計學(xué)中最常用的統(tǒng)計量，用來表明平均數(shù)是統(tǒng)計學(xué)中最常用的統(tǒng)計量，用來表明 資料中各觀測值相對集中較多的中心位置。平均數(shù)資料中各觀測值相對集中較多的中心位置。平均數(shù) 主要包括有：主要包括有： 算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)（arithmetic mean） 中位數(shù)中位數(shù)（median） 眾數(shù)眾數(shù)（mode） 幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)（geometric mean） 調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)（harmonic mean） 一、算術(shù)平均數(shù)一、算術(shù)平均數(shù) 算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)是指資料中各觀測值的總和除是指資料中各觀測值的總和除 以觀測值個數(shù)所得的商，簡稱以觀測值個數(shù)所得的商，簡稱平均數(shù)或均數(shù)平均數(shù)或均數(shù)， 記

2、為。記為。 算術(shù)平均數(shù)可根據(jù)樣本大小及分組情況而算術(shù)平均數(shù)可根據(jù)樣本大小及分組情況而 采用直接法或加權(quán)法計算。采用直接法或加權(quán)法計算。 (一一)直接法直接法 主要用于樣本含量主要用于樣本含量n30以下、未經(jīng)分組資以下、未經(jīng)分組資 料平均數(shù)的計算。料平均數(shù)的計算。 設(shè)某一資料包含設(shè)某一資料包含n個觀測值：個觀測值： x1、x2、xn， 則樣本平均數(shù)可通過下式計算：則樣本平均數(shù)可通過下式計算： 其中，其中，為總和符號；為總和符號； 表示從第一個觀測值表示從第一個觀測值 x1累加到第累加到第n個觀測值個觀測值xn。當(dāng)。當(dāng) 在意義上已明確時，在意義上已明確時， 可簡寫為可簡寫為x，（，（3-1）式可改

3、寫為：）式可改寫為： n x n xxx x n i i n 121 n i i x 1 n x x 【例例3.1】 某種公牛站測得某種公牛站測得10頭成年公牛的體重頭成年公牛的體重 分別為分別為500、520、535、560、585、600、480、 510、505、490（kg），求其平均數(shù)。），求其平均數(shù)。 由于由于 x=500+520+535+560+58 +600+480+510+505+49 =5285， n=10 得：得： 即即10頭種公牛平均體重為頭種公牛平均體重為528.5 kg。 （二）加權(quán)法（二）加權(quán)法 對于樣本含量對于樣本含量 n30 以上且已分組的資料，可以以上且已分

4、組的資料，可以 在次數(shù)分布表的基礎(chǔ)上采用加權(quán)法計算平均數(shù)，計算在次數(shù)分布表的基礎(chǔ)上采用加權(quán)法計算平均數(shù)，計算 公式為：公式為： .5(kg)528 10 5285 n x x f fx f xf fff xfxfxf x k i i k i ii k kk 1 1 21 2211 式中：式中： 第第i組的組中值；組的組中值； 第第i組的次數(shù)；組的次數(shù)； 分組數(shù)分組數(shù) 第第i組的次數(shù)組的次數(shù)fi是權(quán)衡第是權(quán)衡第i組組中值組組中值xi在資料中在資料中 所占比重大小的數(shù)量，因此將所占比重大小的數(shù)量，因此將fi 稱為是稱為是xi的的 “權(quán)權(quán)”，加權(quán)法也由此而得名。，加權(quán)法也由此而得名。 【例例3.2】

5、 將將100頭長白母豬的仔豬一月窩頭長白母豬的仔豬一月窩 重（單位：重（單位：kg）資料整理成次數(shù)分布表如下，）資料整理成次數(shù)分布表如下， 求其加權(quán)數(shù)平均數(shù)。求其加權(quán)數(shù)平均數(shù)。 i x i f k 表表31 100頭長白母豬仔豬一月窩重次數(shù)分布表頭長白母豬仔豬一月窩重次數(shù)分布表 利用（利用（32）式得：）式得： 即這即這100頭長白母豬仔豬一月齡平均窩重為頭長白母豬仔豬一月齡平均窩重為 45.2kg。 計算若干個來自同一總體的樣本平均數(shù)的計算若干個來自同一總體的樣本平均數(shù)的 平均數(shù)時，如果樣本含量不等，也應(yīng)采用加權(quán)平均數(shù)時，如果樣本含量不等，也應(yīng)采用加權(quán) 法計算。法計算。 )(2 .45 10

6、0 4520 kg f fx x 【例例3.3】 某牛群有黑白花奶牛某牛群有黑白花奶牛 1500頭，頭， 其平均體重為其平均體重為750 kg ，而另一牛群有黑白花，而另一牛群有黑白花 奶牛奶牛1200頭，平均體重為頭，平均體重為725 kg，如果將這，如果將這 兩個牛群混合在一起，其混合后平均體重為多兩個牛群混合在一起，其混合后平均體重為多 少？少？ 此例兩個牛群所包含的牛的頭數(shù)不等，要此例兩個牛群所包含的牛的頭數(shù)不等，要 計算兩個牛群混合后的平均體重，應(yīng)以兩個牛計算兩個牛群混合后的平均體重，應(yīng)以兩個牛 群牛的頭數(shù)為權(quán)，求兩個牛群平均體重的加權(quán)群牛的頭數(shù)為權(quán)，求兩個牛群平均體重的加權(quán) 平均數(shù)

7、，即平均數(shù)，即 即兩個牛群混合后平均體重為即兩個牛群混合后平均體重為738.89 kg。 （三）平均數(shù)的基本性質(zhì)（三）平均數(shù)的基本性質(zhì) 1、樣本各觀測值與平均數(shù)之差的和為零，、樣本各觀測值與平均數(shù)之差的和為零， 即即離均差之和等于零離均差之和等于零。 或簡寫成或簡寫成 )(89.738 2700 12007251500750 kg f fx x 0)( 1 xx n i i 0)(xx 2、樣本各觀測值與平均數(shù)之差的平方和為最小，、樣本各觀測值與平均數(shù)之差的平方和為最小， 即即離均差平方和為最小離均差平方和為最小。 (xi- )2 (xi- a)2 （常數(shù)（常數(shù)a ） 或簡寫為：或簡寫為： 幾

8、何平均數(shù)幾何平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù) 上述五種平均數(shù)，最常用的是算術(shù)平均數(shù)。上述五種平均數(shù)，最常用的是算術(shù)平均數(shù)。 一、標(biāo)準(zhǔn)差的意義一、標(biāo)準(zhǔn)差的意義 用平均數(shù)作為樣本的代表，其代表性的強(qiáng)用平均數(shù)作為樣本的代表，其代表性的強(qiáng) 弱受樣本資料中各觀測值變異程度的影響。弱受樣本資料中各觀測值變異程度的影響。 僅用平均數(shù)對一個資料的特征作統(tǒng)計描述是僅用平均數(shù)對一個資料的特征作統(tǒng)計描述是 不全面的，還需引入一個表示資料中觀測值不全面的，還需引入一個表示資料中觀測值 變異程度大小的統(tǒng)計量。變異程度大小的統(tǒng)計量。 全距（極差）全距（極差）是表示資料中各觀測值是表示資料中各觀測值 變異程度大小最簡便的統(tǒng)計量。

9、但是全變異程度大小最簡便的統(tǒng)計量。但是全 距只利用了資料中的最大值和最小值，距只利用了資料中的最大值和最小值， 并不能準(zhǔn)確表達(dá)資料中各觀測值的變異并不能準(zhǔn)確表達(dá)資料中各觀測值的變異 程度，比較粗略。當(dāng)資料很多而又要迅程度，比較粗略。當(dāng)資料很多而又要迅 速對資料的變異程度作出判斷時，可以速對資料的變異程度作出判斷時，可以 利用全距這個統(tǒng)計量。利用全距這個統(tǒng)計量。 為為 了了 準(zhǔn)準(zhǔn) 確確 地地 表示樣本內(nèi)各個觀測值的變異表示樣本內(nèi)各個觀測值的變異 程度程度 ，人們，人們 首首 先會考慮到以平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求先會考慮到以平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求 出各個觀測值與平均數(shù)的離差，（出各個觀測值與平均數(shù)的離差，（ ）

10、 ，稱，稱 為為離均差離均差。 雖然離均差能表示一個觀測值偏離平均數(shù)的雖然離均差能表示一個觀測值偏離平均數(shù)的 性質(zhì)和程度，但因為離均差有正、有負(fù)性質(zhì)和程度，但因為離均差有正、有負(fù) ，離均，離均 差之和差之和 為零，即（為零，即（ ） = 0 ，因，因 而而 不不 能能 用用 離均差之和離均差之和（ ）來）來 表表 示示 資料中所有觀測資料中所有觀測 值的總偏離程度。值的總偏離程度。 xx xx xx 為了解決離均差有正為了解決離均差有正 、有負(fù)，離均差之、有負(fù)，離均差之 和為零的問和為零的問 題題 ， 可先求可先求 離離 均均 差的絕差的絕 對對 值值 并并 將將 各各 離離 均均 差差 絕對

11、絕對 值值 之之 和和 除以除以 觀觀 測測 值值 個個 數(shù)數(shù) n 求求 得得 平平 均均 絕絕 對對 離差，即離差，即 | |/n。雖然平均絕對離差可以表示資料。雖然平均絕對離差可以表示資料 中各觀測值的變異程度中各觀測值的變異程度 ，但由于平均絕對，但由于平均絕對 離差包含絕對值符號離差包含絕對值符號 ，使用很不方便，在，使用很不方便，在 統(tǒng)計學(xué)中未被采用。統(tǒng)計學(xué)中未被采用。 xx 我們還可以采用將離均差平方的辦法來解決我們還可以采用將離均差平方的辦法來解決 離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零的問題。離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零的問題。 先將各先將各 個離個離 均差平方，即均差平方，即

12、( )2 ，再求，再求 離離 均差平方和均差平方和 ， 即即 ，簡稱，簡稱平方和平方和，記為，記為 SS； 由由 于于 離差平方和離差平方和 常常 隨隨 樣樣 本本 大大 小小 而而 改改 變變 ，為，為 了了 消消 除除 樣樣 本大小本大小 的的 影影 響響 ， 用平方用平方 和和 除除 以以 樣樣 本本 大大 小，小， 即即 ，求出離均差，求出離均差 平方和的平均數(shù)平方和的平均數(shù) ； xx 2 )(xx nxx/)( 2 為了使所得的統(tǒng)計量是相應(yīng)總體參數(shù)的無為了使所得的統(tǒng)計量是相應(yīng)總體參數(shù)的無 偏偏 估計量，統(tǒng)計學(xué)證明，在求離均差平方和的平均估計量，統(tǒng)計學(xué)證明，在求離均差平方和的平均 數(shù)時

13、，分母不用樣本含量數(shù)時，分母不用樣本含量n，而用自由度，而用自由度 n-1， 于是，我們于是，我們 采采 用統(tǒng)計量用統(tǒng)計量 表示資料的表示資料的 變異程度。變異程度。 統(tǒng)計量統(tǒng)計量 稱稱 為為 均均 方方 （ mean square縮寫為縮寫為MS）,又稱又稱樣本方差樣本方差， 記為記為S2，即，即 S2= 1/)( 2 nxx 1/)( 2 nxx 1/)( 2 nxx 相應(yīng)的總體參數(shù)叫相應(yīng)的總體參數(shù)叫 總體方差總體方差 ，記，記 為為2。對于有限總體而言，。對于有限總體而言，2的計算的計算 公式為：公式為： Nxx/)( 22 由于由于 樣本方差樣本方差 帶有原觀測單位的帶有原觀測單位的

14、平平 方單位，在僅表示一個資料中各觀測值方單位，在僅表示一個資料中各觀測值 的變異程度而不作其它分析時的變異程度而不作其它分析時 ， 常需要常需要 與平均數(shù)配合使用與平均數(shù)配合使用 ，這，這 時應(yīng)時應(yīng) 將平方單位將平方單位 還原，即應(yīng)求出樣本方差的平方根。統(tǒng)還原，即應(yīng)求出樣本方差的平方根。統(tǒng) 計學(xué)上把樣本方差計學(xué)上把樣本方差 S2 的平方根叫做的平方根叫做樣本樣本 標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn) 差差，記為，記為S，即：，即： 1 )( 2 n xx S 由于由于 所以上式可改寫為：所以上式可改寫為： )2()( 22 2 xxxxxx 22 2xnxxx 2 2 2 )( )( 2 n x n n x x n x

15、 x 2 2 )( 1 2 )( 2 n x S n x 相應(yīng)的總體參數(shù)叫相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體標(biāo)準(zhǔn)差總體標(biāo)準(zhǔn)差，記為，記為 。對于有限總體而言，。對于有限總體而言，的計算公式為：的計算公式為： 在統(tǒng)計學(xué)中，常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差在統(tǒng)計學(xué)中，常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S估計估計 總體標(biāo)準(zhǔn)差總體標(biāo)準(zhǔn)差。 Nx/)( 2 二、標(biāo)準(zhǔn)差的計算方法二、標(biāo)準(zhǔn)差的計算方法 （一）直接法（一）直接法 對于未分組或小樣本資料對于未分組或小樣本資料 ， 可直可直 接利用（接利用（311）或（）或（3-12）式來計算）式來計算 標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差。 【例例3.9】 計算計算10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量：只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量： 450， 450， 5

16、00， 500， 500，550， 550， 550， 600， 600，650（g）的標(biāo)準(zhǔn)差。）的標(biāo)準(zhǔn)差。 此例此例n=10，經(jīng)計算得：，經(jīng)計算得：x=5400， x2=2955000，代入（，代入（312）式得：）式得： 即即10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量的只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量的 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 為為 65.828g。 828.65 110 10/54002955000 1 /)( 2 22 n nxx S （二）加權(quán)法（二）加權(quán)法 對于已制成次數(shù)分布表的大樣本資料，可對于已制成次數(shù)分布表的大樣本資料，可 利用次數(shù)分布表，采用加權(quán)法計算標(biāo)準(zhǔn)差。計利用次數(shù)分布表，采用加權(quán)法計算標(biāo)準(zhǔn)差。計 算公式為：算公

17、式為： 式中，式中，f為各組次數(shù)；為各組次數(shù)；x為各組的組中值；為各組的組中值；f = n為總次數(shù)。為總次數(shù)。 1 /)( 1 )( 222 f ffxfx f xxf S 【例例3.10】 利用某純系蛋雞利用某純系蛋雞200枚蛋重資料枚蛋重資料 的次數(shù)分布表（見表的次數(shù)分布表（見表3-4）計算標(biāo)準(zhǔn)差。）計算標(biāo)準(zhǔn)差。 將表將表3-4中的中的f、fx、 代入（代入（314）式）式 得：得： 即某即某 純純 系系 蛋蛋 雞雞200枚枚 蛋蛋 重的標(biāo)準(zhǔn)差為重的標(biāo)準(zhǔn)差為 3.5524g。 5524. 3 1200 200/1.1070511.575507 1 /)( 2 22 f ffxfx S 2

18、fx 表表34 某純系蛋雞某純系蛋雞200枚蛋重資料次數(shù)分布枚蛋重資料次數(shù)分布 及標(biāo)準(zhǔn)差計算表及標(biāo)準(zhǔn)差計算表 三、標(biāo)準(zhǔn)差的特性三、標(biāo)準(zhǔn)差的特性 （一）（一）標(biāo)準(zhǔn)差的大小，受資料中每個觀測值的影響，標(biāo)準(zhǔn)差的大小，受資料中每個觀測值的影響， 如觀測值間變異大，求得的標(biāo)準(zhǔn)差也大，反之則小。如觀測值間變異大，求得的標(biāo)準(zhǔn)差也大，反之則小。 （二）（二）在計算標(biāo)準(zhǔn)差時，在各觀測值加上或減去一在計算標(biāo)準(zhǔn)差時，在各觀測值加上或減去一 個常數(shù)，其數(shù)值不變。個常數(shù)，其數(shù)值不變。 （三）（三）當(dāng)每個觀測值乘以或除以一個常數(shù)當(dāng)每個觀測值乘以或除以一個常數(shù)a，則所，則所 得的標(biāo)準(zhǔn)差是原來標(biāo)準(zhǔn)差的得的標(biāo)準(zhǔn)差是原來標(biāo)準(zhǔn)差的a倍或倍或1/a倍。倍。 （四）（四）在資料服從正態(tài)分布的條件下，資料在資料服從正態(tài)分布的條件下，資料 中約有中約有68.26%的觀測值在平均數(shù)左右一倍標(biāo)的觀測值在平均數(shù)左右一倍標(biāo) 準(zhǔn)差（準(zhǔn)差（ S）范圍內(nèi)；約有）范圍內(nèi)；約有95.43%的觀測值的觀測值 在平均數(shù)左右兩倍標(biāo)準(zhǔn)差（在平均數(shù)左右兩倍標(biāo)準(zhǔn)差（ 2S）范圍內(nèi)；）范圍內(nèi)； 約有約有99.73%的觀測值在平均數(shù)左右三倍標(biāo)準(zhǔn)的觀測值在平均數(shù)左右三倍標(biāo)準(zhǔn) 差（差（ 3S） 范范 圍內(nèi)。也就是說全距近似地圍內(nèi)。也就是說全距近似地 等于等于6倍標(biāo)準(zhǔn)差，可用（全距倍標(biāo)準(zhǔn)差，可用（全距/6）來粗略估計）來粗略估計 標(biāo)