高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)人教B版已知不等恒成立,分離參數(shù)定最值學(xué)案

1、名校名 推薦【題型綜述】不等式恒成立的轉(zhuǎn)化策略一般有以下幾種：分離參數(shù)函數(shù)最值；直接化為最值分類討論；縮小范圍證明不等式；分離函數(shù)數(shù)形結(jié)合。分類參數(shù)的優(yōu)勢在于所得函數(shù)不含參數(shù)，缺點在于函數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，一般是函數(shù)的積與商，因為結(jié)構(gòu)復(fù)雜，導(dǎo)函數(shù)可能也是超越函數(shù)，則需要多次求導(dǎo)，也有可能不存在最值，故需要求極限，會用到傳說中的洛必達(dá)法則求極限（超出教大綱要求）；直接化為最值的優(yōu)點是函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單，是不等式恒成立的同性通法，高考參考答案一般都是以這種解法給出，缺點是一般需要分類討論，解題過程較長，解題層級數(shù)較多，不易掌握分類標(biāo)準(zhǔn)。縮小參數(shù)范圍優(yōu)點是函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單，分類范圍較小，分類情況較少，難點在于尋找特殊

2、值，并且這種解法并不流行，容易被誤判。分離函數(shù)主要針對選擇填空題。因為圖形難以從微觀層面解釋清楚圖像的交點以及圖像的高低，這要涉及到圖像的連續(xù)性以及凸凹性。還有在構(gòu)作函數(shù)圖像時，實際上是從特殊到一般，由特殊幾點到整個函數(shù)圖像，實際是一種猜測。 俗話說，形缺數(shù)時難入微。【典例指引】例 1己知函數(shù)fxex axbex ln x .（ 1）若函數(shù)fx 在 x1處取得極值，且b1 ，求 a ；（ 2）若 ba ，且函數(shù)fx 在 1,上單調(diào)遞増，求a 的取值范圍 .法二 （直接化為最值分類討論）：令 g x ax ln x1ax2x1ax2x 1 x 1 ， g x2. 令 h xxx1名校名 推薦當(dāng)

3、a0 時， h(x)x10 ，所以 gx0，即 g x 在 1,上單調(diào)遞減 . 而 g 1 a11 0 ，與g x0 在 x 1,上恒成立相矛盾 .當(dāng) a0 時，則開口向上( 方案一）： . 若14a0，即 a1時， h( x) 0 , 即 g x0, x 1,，所以 g x在 1,上遞4增，所以 gmin xg1a10 ，即 a1 . . 若0 ，即 0a1時，此時 g 1a10 ，不合題意 .4法三 （縮小范圍證明不等式）：令 g xax10a10a 1.ln x，則 g 1x另一方面，當(dāng)a 1 時，則有 gx11ax 2x1ax2x1，開口向上，對稱軸a22，令 h( x)x xxx10

4、,1，故 h x在 1,上為增函數(shù)，所以hxh 1a0g x0gx 在 1,上為增2 a2函數(shù)，則 gxg 1 a10，故 a 1 適合題意 .&例 2. (2016全國新課標(biāo)文20) 己知函數(shù) fxx1 ln xa x1.2名校名 推薦（）當(dāng) a4 時，求曲線 yfx 在 1, f 1 處的切線方程；（）若當(dāng) x1,時， fx0 ，求 a 的取值范圍 .法二（直接化為最值）：fxx1 ln xax1 0 在1,恒成立，則 fxln xx 1( 導(dǎo)函數(shù)xa為超越函數(shù)） ；11x 111 a 在 1,為增函數(shù) ，則 fxf12 axxx2x20fxln xxf（ 1）當(dāng) 2 a0 即 a2 時，

5、則f xfx2a 0( 當(dāng)且僅當(dāng) x1,a2時，取“”) ，故 fx在 1,為增函數(shù)，則有f xf10 ，故 fxx1 ln xax 10 在 1,恒成立，故 a2 適合題意 .（ 2）當(dāng) 2 a0即 a2時，則 f(x)f12a0 ，且 fea1e a0 ，故 f x0 在 1,有唯一實根 x0 ，則 fx 在 1,x0為減函數(shù) ，在 x0 ,增函數(shù) ，又有 f10，則存在 x01, 使得 fx00 ，故 a2 不適合題意 . 綜上，實數(shù) a 的取值范圍為 a 2 .&法三（分離參數(shù)） ： fxx1 ln xa x10 在 1,恒成立ax1 ln x在 1,恒成立（端點x1x1 ln xx1

6、2ln xx1 自動成立），則設(shè)gxgxx，令2x1x1hx12ln xh x112x22 x1h xx1為增函數(shù)，則xx2x202ln x 在 1,xxx3名校名 推薦h( x)h(1)0 gx0g( x)x1 ln x 在 1,為增函數(shù)，又因x1lim gxlimx1 ln xlim11ln x2 ，故實數(shù) a 的取值范圍為 a2x 1xx 1x1x 1法四（縮小范圍）：fxx1 ln xax10 在 1,恒成立，且 f10，則存在 m1，使得 f x在1,m 上為增函數(shù)f xln xx1a0 在 1,m上恒成立，令 x 1f1 0a2 .x又當(dāng) a2 時， f x11x10f xln x

7、11 a在 1,為增函數(shù)，則xx2x2xfxf12a0 ( 當(dāng)且僅當(dāng) ( 當(dāng)且僅當(dāng)x1,a 2 時，取“” ) ，故 fx在 1,為增函數(shù)，則有fxf10 ，故 fxx1 ln xax10 在 1,恒成立，故 a2適合題意 .綜上，實數(shù) a 的取值范圍為 a2 .&點評：當(dāng)端點剛好適合題意時，則分離參數(shù)法一般會用到傳說中的洛必達(dá)法則，縮小范圍則可利用端點值導(dǎo)數(shù)符號來求出參數(shù)范圍。這兩種轉(zhuǎn)化方式都有超出教大綱要求的嫌疑。2.( 重慶市 2015屆一診理 20) 已知曲線fx2處的切線的斜率為1；a x 1b ln x 在點 1, f 1（ 1）若函數(shù) fx 在 2,上為減函數(shù)，求a 的取值范圍；

8、（ 2）當(dāng) x 1,時，不等 式 f xx1 恒成立，求 a 的取值范圍 .當(dāng) 11時， g x 在 1,1上單減，1,上單增，而 g11ln11 0 ，矛盾；2a2a2aaa綜上， a0 .4名校名 推薦法二（分離參數(shù)） fxx1 0x1ln x在 1,x 1 自動成立）ax2上恒成立（端點1x1ln x1x2ln x1122xg x，令 hx2ln xh xx 1設(shè) g xx2x3x212011xxxx1x2ln x 在 1,上為減函數(shù) ，則 h x h 10gxg x在 1,上為減函數(shù) ，又h xx因 lim g xx1ln xlim10 ，故實數(shù) a 的取值范圍為 a0lim22xxx

9、x1x111上單減，1,上單增，而11，（ 2）若 0 a時，則1 ，故 g x 在 1,2ag1 ln1 022a2aaa矛盾； &5名校名 推薦綜上，實數(shù)a 的取值范圍為a0點評：（ 1) 在端點處恰好適合題意，分離參數(shù)所得函數(shù)卻在x時得到下確界，值得留意.（ 2）縮小范圍所得參數(shù)范圍不一定恰好具有充分性，則需要分類討論，這時可以減少分類的層級數(shù)，縮短解題步驟。（ 3）構(gòu)造反例，尋找合適的特殊值，具有很強的技巧性。因函數(shù)2g x a x 1x 1 ln x 分解為二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之和，故構(gòu)造特殊值的反例時可以分別考慮二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的零點，對數(shù)函數(shù)的零點為 x1 ，而二次函數(shù)的零點為x

10、 1 及 x11 ，又知當(dāng) 0 a1 時，零點 x11 1，故易得a2ag 11 ln 11 0 ，從而導(dǎo)出矛盾。aa【擴展鏈接】洛必達(dá)法則簡介：法則 1若函數(shù)f x和g x滿足下列條件： （ 1)limf x0 及l(fā)im g x 0；（ ）在點a的去心鄰域內(nèi)，x a2x af x 與 g x 可導(dǎo)，且 g xfxf xfx0 ；（ 3） liml ，那么 limliml .x a g xx a g xx a g x法則 2若函數(shù) fx 和 g x 滿足下列條件： （ 1)limfx0及 lim g x0 ；（ 2） a0 ， fx 和 g xxx在, a 與 a,上可導(dǎo)，且 g x 0fxl ，那么 limfxfxl .；（ 3） limxg xlimxxgxxg法則 3若函數(shù) fx 和 g x 滿足下列條件： （ 1)limfx0lim g x0；（ 2）在點a的去心鄰域內(nèi)，x a及 x af x 與 g x 可導(dǎo)且 g x0 ；（ 3） limf x，那么fxfxl .llimlimx a g xx a g xx a g x利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分中的重點之一，在解題中應(yīng)注意：將上面公式中的xa , x換成 x, x, xa , xa 洛必達(dá)法則