小學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)材料：數(shù)與代數(shù)應(yīng)用問題的內(nèi)容主線和教學(xué)建議

1、小學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)材料：數(shù)與代數(shù)應(yīng)用問題的內(nèi)容主線和教學(xué)建議這里所指的“數(shù)與代數(shù)應(yīng)用問題”（以下簡稱應(yīng)用問題）是指運(yùn)用數(shù)與代數(shù)的知識和方法解決實(shí)際生活中的問題，這無疑是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)與代數(shù)的重要目標(biāo)。要討論這個(gè)主題，首先需要說明的是本問為什么使用這個(gè)提法，卻沒有使用大家熟悉的“解決問題”和“算術(shù)應(yīng)用題”。與“應(yīng)用問題”相比，“解決問題”無疑是個(gè)更大范疇的概念。這既包括所涉及的領(lǐng)域不僅僅是數(shù)與代數(shù)的應(yīng)用，還包括空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率以及綜合運(yùn)用所有領(lǐng)域的知識和方法；同時(shí)解決問題也不僅僅局限于解決實(shí)際問題，還包括解決數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題。更為重要的，本文所持的觀點(diǎn)是把解決問題中的“問題”解釋為“非常規(guī)”的，學(xué)

2、生必須經(jīng)歷探索、適當(dāng)?shù)膭?chuàng)造并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法加以解決的問題，即“問題解決”（problem solving）。即使都是解決實(shí)際問題，解決問題中的“問題”是具有真實(shí)意義的問題，它與學(xué)生的實(shí)際生活密切相關(guān)，往往需要考慮現(xiàn)實(shí)生活中的諸多因素，從而具有開放的特點(diǎn)。解決這些問題，學(xué)生并無類似熟悉的題目和解法去模仿，需要學(xué)生進(jìn)行探索、討論和一定的創(chuàng)造。而應(yīng)用問題中的“問題”，盡管提倡要符合學(xué)生實(shí)際，并且力求具有一定的開放性，但總體來說，問題已經(jīng)經(jīng)過了一定的簡化，背景相對簡單，其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系也往往是學(xué)生熟悉的，因此學(xué)生所做的工作主要是分析出其中的數(shù)量關(guān)系，并聯(lián)系所學(xué)的知識和方法加以解決。需要指出的

3、是，對比兩者并不是說我們不提倡解決問題，而主要是為了界定這里所討論的主題。實(shí)際上，我們更應(yīng)以解決問題為理念和目標(biāo)，指導(dǎo)應(yīng)用問題的教學(xué)，比如注重學(xué)生思考的過程，設(shè)計(jì)的題目要符合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，適當(dāng)設(shè)計(jì)具有開發(fā)性的問題。算術(shù)應(yīng)用題是傳統(tǒng)小學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，在全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）（以下簡稱標(biāo)準(zhǔn)）中沒有使用算術(shù)應(yīng)用題的名詞，并且提倡將計(jì)算和應(yīng)用結(jié)合起來，這并不是削弱應(yīng)用題的教學(xué)。實(shí)際上，傳統(tǒng)算術(shù)應(yīng)用題教學(xué)在整個(gè)小學(xué)階段對學(xué)生發(fā)展產(chǎn)生了重要的作用，但也確實(shí)存在著一些問題：第一，在學(xué)生解答的應(yīng)用題中，很大一部分的內(nèi)容遠(yuǎn)離他們的生活，造成了應(yīng)用題“不應(yīng)用”。第二，過于注重問題的類型和固定

4、解法，套搬題型的現(xiàn)象比較嚴(yán)重。誠然，這樣做可以提高學(xué)生解符合“題型”的問題時(shí)的速度。但設(shè)置應(yīng)用題的目的是培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，如果忽視對問題實(shí)際意義和數(shù)學(xué)意義的理解，只是套搬題型，學(xué)生的解決問題的能力又如何能提高？同時(shí)，原有應(yīng)用題的分類，在數(shù)學(xué)邏輯上無疑是正確的，但是否是學(xué)生真正思考問題和解決問題的途徑呢，學(xué)生是否必須要經(jīng)歷分辨題型才能解決問題呢，這些都需要認(rèn)真思考。第三，呈現(xiàn)形式單一，基本上是純文字?jǐn)⑹觯瑫r(shí)所提供的信息往往是不多不少，這既無法激發(fā)學(xué)生解決問題的動(dòng)機(jī)，又與信息及其呈現(xiàn)形式豐富的現(xiàn)實(shí)世界不相符合。這些問題都在一定程度上造成了學(xué)生一接觸到生活中的實(shí)際問題，往往感到無從著手。

5、第四，目前在小學(xué)高年級將使用方程解決應(yīng)用題，再使用算術(shù)應(yīng)用題的提法顯然也不科學(xué)。隨著代數(shù)的方法不斷地滲透到小學(xué)數(shù)學(xué)中來，一些繁難的應(yīng)用題的算術(shù)解法應(yīng)該得到淡化。綜上所述，為了既繼承原有的算術(shù)應(yīng)用題教學(xué)中的優(yōu)勢，又避免其中的問題，更好的反映小學(xué)數(shù)學(xué)課程所追求的目標(biāo)，本文沒有使用“算術(shù)應(yīng)用題”，而采取了“應(yīng)用問題”的說法。經(jīng)過幾年實(shí)踐，教師們對于標(biāo)準(zhǔn)中應(yīng)用問題設(shè)計(jì)的理念普遍認(rèn)同，但在具體教學(xué)中又出現(xiàn)了一些新的疑惑。實(shí)驗(yàn)教材將應(yīng)用與計(jì)算結(jié)合在一起出現(xiàn)，將解決實(shí)際問題作為數(shù)與運(yùn)算學(xué)習(xí)的自然組成部分，這無疑是重要并且應(yīng)該堅(jiān)持的。但由于缺乏相應(yīng)的系統(tǒng)思考和研究，造成教師們在教學(xué)時(shí)往往把握不好每節(jié)課應(yīng)該以應(yīng)

6、用為重還是計(jì)算為重？另外，不以傳統(tǒng)的類型為線索，實(shí)驗(yàn)教材在應(yīng)用問題的安排方面是否存在其他基本線索呢？沒有傳統(tǒng)的應(yīng)用題類型，不去訓(xùn)練學(xué)生記憶一些基本應(yīng)用題的類型，如何指導(dǎo)學(xué)生去分析問題和解決問題呢？這些問題無疑都是需要認(rèn)真思考和交流的。圖1呈現(xiàn)了筆者認(rèn)為的應(yīng)用問題內(nèi)容中的基本線索。下文將具體闡述這些線索，并提出一些教學(xué)策略和建議。應(yīng)用問題運(yùn)算的實(shí)際背景表征和分析數(shù)量關(guān)系分析問題和解決問題的策略基本的數(shù)量關(guān)系解的檢驗(yàn) 圖1 應(yīng)用問題的內(nèi)容主線一、以四則運(yùn)算的實(shí)際背景為線索，注重學(xué)生對于運(yùn)算意義的理解為了解決問題，學(xué)生首先需要學(xué)習(xí)在什么實(shí)際背景中應(yīng)該用加法、減法、乘法或除法來解決問題，即四則運(yùn)算的實(shí)

7、際背景，有人也稱之為四則運(yùn)算的意義。四則運(yùn)算實(shí)際背景的不斷豐富構(gòu)成了教材編寫的一條線索，教師應(yīng)該對此加以梳理，并且思考如何能幫助學(xué)生理解和積累這些背景。1.注重“實(shí)際背景”的積累“以加法做合并或移入的模型；以減法做拿走、比較、移出或加法逆運(yùn)算的模型；以乘法做大小的變化、交叉相或比率因子的使用的模型；以除法做比、率、比率除法、大小變化除法或乘法的逆運(yùn)算的模型”摘自詹姆斯t費(fèi)撰寫數(shù)量一文。出自林恩阿瑟斯蒂恩編.站在巨人的肩膀上m.胡作玄等譯.上海：上海教育出版社，2002：79。文中的“合并”、“移入”等筆者理解實(shí)際上就是指四則運(yùn)算的實(shí)際背景。例如，對于乘法的學(xué)習(xí)，在二年級開始時(shí)，教材一般會(huì)提供一

8、些具有“相等的數(shù)的和”的結(jié)構(gòu)的實(shí)際情境，然后從中抽象出乘法；然后，學(xué)生將開始接觸到具有“倍”的實(shí)際情境；在三年級面積學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生又接觸到乘法在“求長方形面積”的實(shí)際情境中的運(yùn)用。這些對于乘法實(shí)際背景的積累將一直延伸到小數(shù)、分?jǐn)?shù)的乘法，特別是對于“倍”的認(rèn)識，將擴(kuò)充到“幾分之幾”。有關(guān)“組合”的實(shí)際情境在小學(xué)教材中也出現(xiàn)，比如搭配問題，但在小學(xué)鼓勵(lì)學(xué)生通過操作、畫圖等策略加以解決，意在發(fā)展學(xué)生解決問題的策略，而不需要總結(jié)公式。由于實(shí)驗(yàn)教材對于運(yùn)算的實(shí)際背景大多安排為“暗線”，這就需要教師對教材進(jìn)行系統(tǒng)梳理，找到實(shí)際背景不斷擴(kuò)充的這條線索。有的教師可能會(huì)產(chǎn)生這樣的疑問，這和原來的十一類簡單應(yīng)用題類

9、型又有什么不同呢？首先，我們不難看出，實(shí)際背景更加豐富了，比如乘法中的面積計(jì)算的實(shí)際背景。更主要的是，教師明確這些蘊(yùn)含一定“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的實(shí)際背景，不是要讓學(xué)生去背誦類似“一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”的類型，而是提醒教師，學(xué)生此處增加了新的實(shí)際背景，學(xué)生也許不能從以前的實(shí)際背景的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)直接還原到運(yùn)算意義，而是需要經(jīng)歷將新的實(shí)際背景與運(yùn)算意義進(jìn)行聯(lián)系的過程，此時(shí)在教學(xué)中的重點(diǎn)應(yīng)放在如何實(shí)現(xiàn)聯(lián)系上了。至于二者到底還有什么區(qū)別，這正是一個(gè)值得研究的問題。2.生活經(jīng)驗(yàn)、操作、畫圖的重要性那么，進(jìn)一步如何實(shí)現(xiàn)實(shí)際背景與運(yùn)算意義之間的聯(lián)系呢？為了使大家更好地理解，我們對比一下兩條途徑。第一條：問題情境問題類型運(yùn)算

10、意義第二條：問題情境經(jīng)驗(yàn)、操作、畫圖等運(yùn)算意義在第一條套用類型的教學(xué)中，學(xué)生需要將問題情境中的數(shù)量關(guān)系與類型相對應(yīng)，然后決定用什么運(yùn)算。比如，看一個(gè)在小學(xué)低年級學(xué)生理解比較困難的問題：例：小勇家養(yǎng)白兔8只，灰兔5只。白兔比灰兔多多少只？想：已知大數(shù)（白兔8只）和小數(shù)（灰兔5只），求相差數(shù)。（白兔比灰兔多多少只？）列式：85=3（只）。從上面可以看出，學(xué)生遇到了這個(gè)問題情境，需要尋找符合哪個(gè)類型，發(fā)現(xiàn)符合已知大數(shù)和小數(shù)求差的類型，所以用減法。這樣的教學(xué)固然可以使學(xué)生熟記這些類型，從而熟練套用類型達(dá)到快速解題的作用。但確實(shí)存在著一些弊端：第一，這些類型相對比較抽象，學(xué)生往往不能真正理解，所以就會(huì)出

11、現(xiàn)學(xué)生找不到大數(shù)和小數(shù)的情況，或者片面的認(rèn)識給出的數(shù)大就是大數(shù)，給出的數(shù)小就是小數(shù)等錯(cuò)誤。第二，在實(shí)際生活中遇到?jīng)]有現(xiàn)成類型的問題，學(xué)生往往束手無策。圖 2而目前新課程提倡第二類途徑，當(dāng)學(xué)生遇到這個(gè)問題后，如果能借助經(jīng)驗(yàn)直接反映出運(yùn)算意義就直接反映；如果不行，就借助操作、畫圖等策略幫助學(xué)生反映運(yùn)算意義。看北師大版新世紀(jì)教材中的一個(gè)例子。如圖2，學(xué)生在解決學(xué)生比老師多幾個(gè)人的問題時(shí)，或者可以進(jìn)行實(shí)際操作，將老師和學(xué)生進(jìn)行一一對應(yīng)從而得出答案，并且將這個(gè)過程與減法的意義聯(lián)系起來，從而選擇用減法解決問題；或者運(yùn)用記號等代表學(xué)生和老師進(jìn)行模擬操作；或者直接在紙上畫圖。這樣既避免背誦一些相對抽象的類型，

12、同時(shí)又教給了學(xué)生操作、畫圖等基本的解決問題的策略。老師可能又會(huì)產(chǎn)生新的困惑：不要“類型”，按照第二種途徑，僅僅依靠學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)、操作、畫圖行不行？有多少學(xué)生行？如果學(xué)生有困難怎么辦？要回答這些問題最好的辦法是做學(xué)生研究。下面列舉一些學(xué)生研究的結(jié)果。案例1 有多少學(xué)生行？ 此研究提供者 北京教育學(xué)院石景山分院 張嶺，指導(dǎo)教師 張丹對一年級沒有學(xué)過“比較”問題的34名學(xué)生測試了如下的6道題目：=(個(gè))=(盆) 一支鋼筆15元，比一支簽字筆貴10元，一支簽字筆多少元？ 測試的結(jié)果如表23：表23題目正確人數(shù)正確率第1題3294.1%第2題3088.2%第3題3191.2%第4題3088.2%第5題16

13、47.1%第6題1338.2%從上面的結(jié)果可以看出，對于前四道題目學(xué)生已經(jīng)有了較好的經(jīng)驗(yàn)，通過自主思考就能夠獨(dú)立解決。即使對于學(xué)生困難較大的“反序”問題（第5題、第6題），也有不少學(xué)生能夠獨(dú)立完成。實(shí)際上，許多實(shí)驗(yàn)教材在一年級都不再要求此類問題，而是隨著學(xué)生年齡的增長自然得到解決，或者運(yùn)用方程來解決。對于這一點(diǎn)，筆者是表示贊同的。那么學(xué)生是如何思考的呢？下面摘錄部分的訪談片段（括號內(nèi)是筆者的注釋）：l 對第1題的訪談：黑松鼠有20個(gè)松果，白松鼠有25個(gè)松果，白松鼠比黑松鼠多幾個(gè)？師：你來說說這個(gè)（第1題）。生：我（黑松鼠）有20個(gè)松果，我（白松鼠）有25個(gè)松果，我比你多幾個(gè)？就是用25-20還

14、剩5個(gè)，所以它（白松鼠）就比它（黑松鼠）多5個(gè)。 （此題學(xué)生借助以前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，直接“反映”出用減法解決。）l 對第4題的訪談：小亮有小汽車15輛，紅紅比小亮少5輛。紅紅有幾輛小汽車？學(xué)生先拿出15個(gè)白棋子，擺成一行。又拿出10個(gè)黑棋子，擺成一行。教師讓學(xué)生看著圍棋子，說明各表示什么？生：15個(gè)白棋子表示小亮的，10個(gè)黑棋子表示紅紅的。師：少的5個(gè)棋子在哪？學(xué)生正確指出“空白處”，并列式：15-5=10。（此題學(xué)生借助操作得出答案，并且“反映”出用減法解決。）實(shí)際上，學(xué)生正是通過經(jīng)驗(yàn)、操作、畫圖等獨(dú)立完成了題目，即使是對于困難較大的第5、6題，也有部分學(xué)生正確列式。案例2學(xué)生的困難是什么？如何

15、幫助學(xué)生克服困難？此研究提供者 北京教育學(xué)院石景山分院 張嶺，指導(dǎo)教師 張丹通過訪談，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生的常見錯(cuò)誤有如下幾種：第一，不能理解題目中的比較關(guān)系，搞不清楚誰和誰比；第二，清楚題目中的比較關(guān)系，但不能和運(yùn)算意義相聯(lián)系；第三，“看到多就加，少就減”等定勢。那么，如何幫助學(xué)生克服困難呢，通過操作和畫圖等手段是否能達(dá)到呢？我們還是從訪談中獲取信息。下面的兩位學(xué)生都是在進(jìn)行第5題時(shí)，開始列出了錯(cuò)誤算式“30-10=20”。老師分別對他們進(jìn)行了訪談，括號內(nèi)的文字是筆者的說明與感想。l 對學(xué)生甲的訪談師：怎么列式？生：應(yīng)該用減法，30-10。師：為什么用減法？生：因?yàn)椤靶×帘刃〖t少跳10個(gè)”，“少”應(yīng)

16、該用減法。（這是學(xué)生中不理解的一個(gè)典型表現(xiàn)：見多用加、見少用減）師：你能不能畫圖表示一下這句話。學(xué)生畫圖。邊畫邊解釋。生：小亮跳了30個(gè)，小亮跳的少，小紅跳的多，小紅跳了多少個(gè)，我覺得應(yīng)該用減法比較好？（雖然學(xué)生仍然沒有改正，但畫圖已經(jīng)使她產(chǎn)生了“沖突”，對用減法產(chǎn)生了疑問）師：你算一算小紅跳了幾個(gè)？生：30減10等于20，小紅跳了20個(gè)。師：小紅是跳了20個(gè)嗎？生：不是，改用30+10=40。師：為什么又改用加法了？生：再次讀題，上面用減法不對，所以用加法。（重新讀題，用數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)并改正了錯(cuò)誤。）l 對學(xué)生乙的訪談學(xué)生讀題：在跳繩比賽中小亮跳了30個(gè)，小亮比小紅少跳10個(gè)，小紅跳了多

17、少個(gè)？列式：30-10=20。師：你是怎么想的？生：我想3減1，加一個(gè)10。（學(xué)生在說計(jì)算方法）師：這句話什么意思？（指“小亮比小紅少跳10個(gè)”）生：小亮比小紅多跳了10個(gè)。師：是嗎？生：小亮比小紅少跳的。（學(xué)生開始不能準(zhǔn)確判斷到底誰多。）師舉例：假設(shè)我是小亮，你是小紅，咱倆誰跳的多？（老師借助舉例，實(shí)際上是和學(xué)生一起模擬題目中的情境）生：我。師：那我們看這道題，小亮跳了多少個(gè)？生：小亮跳了30個(gè)。師：小紅應(yīng)該跳多少個(gè)？生：小紅跳了40個(gè)。師：哪你為什么這么做？（指學(xué)生的算式30-10=20。）生：錯(cuò)了。師：改一下。生改正30+10=40。師：剛才為什么用減法？生：我讀錯(cuò)了，讀成小紅比小亮少了

18、。師：提醒我們什么？生：不能讀錯(cuò)。（其實(shí)學(xué)生不是簡單地粗心看錯(cuò)題目，還是沒有讀懂比較關(guān)系。由此可見，深入地了解學(xué)生的思維過程是非常重要的。） 以上訪談從一個(gè)側(cè)面證明了學(xué)生可以通過操作、畫圖、模擬等手段分析清楚題目中的比較關(guān)系，并且聯(lián)系運(yùn)算意義的。特別是，做完題后的檢驗(yàn)也是很重要的，學(xué)生可以將結(jié)果帶回題目進(jìn)行檢驗(yàn)以做出正確判斷。當(dāng)然，還有哪些好的策略還需要教師們一起探索和實(shí)踐。但有一點(diǎn)可以明確的是，依靠背題型來克服困難是不足取的。 總之，在運(yùn)算意義的教學(xué)中，應(yīng)突出在實(shí)際問題抽象出四則運(yùn)算意義的過程，強(qiáng)調(diào)對問題實(shí)際意義和運(yùn)算意義的真正理解，鼓勵(lì)學(xué)生通過聯(lián)系已有經(jīng)驗(yàn)、實(shí)際操作、畫圖分析等手段，尋找問

19、題中的數(shù)量關(guān)系，并聯(lián)系所學(xué)數(shù)學(xué)知識的意義加以解決。3.可以適當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生總結(jié)自己對于運(yùn)算的理解其實(shí)，對于運(yùn)算意義的教學(xué)，還有許多需要研究的問題。比如，在學(xué)生經(jīng)歷了從實(shí)際情境中抽象出運(yùn)算意義的基礎(chǔ)上，還需要學(xué)生總結(jié)一些類似“求一個(gè)數(shù)的幾倍用乘法”的規(guī)律嗎？注意這里的總結(jié)和過去的套題型是不一樣的。主要體現(xiàn)在：第一，總結(jié)的主體不一樣。過去套題型大多是教師總結(jié)出來的，學(xué)生的工作主要是理解和記憶；而現(xiàn)在是學(xué)生在解決問題的基礎(chǔ)上的自己總結(jié)。第二，總結(jié)的基礎(chǔ)不一樣。過去大多是剛剛引入運(yùn)算在學(xué)生還沒有充分體驗(yàn)的基礎(chǔ)上就提出題型，現(xiàn)在是在學(xué)生經(jīng)歷了多次解決問題的基礎(chǔ)上加以歸納。第三，總結(jié)的目的不一樣。過去主要目的

20、是給學(xué)生一個(gè)“抓手”，以便快速地解決其他問題；現(xiàn)在的目的是進(jìn)一步的提煉和概括，培養(yǎng)學(xué)生概括的能力，以進(jìn)一步加深對運(yùn)算的理解。因此，筆者認(rèn)為可以適當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生總結(jié)自己對于運(yùn)算的理解。但這里需要注意，這個(gè)總結(jié)不要過早，最好是學(xué)生學(xué)習(xí)了一段時(shí)間后的水到渠成。同時(shí)，要鼓勵(lì)學(xué)生通過舉例、畫圖、自己的語言來表達(dá)對于運(yùn)算的理解，而不是統(tǒng)一要求背誦程序化的語言。所以，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生完成如下的學(xué)習(xí)任務(wù)：（1）舉生活中不一樣的例子，可以用加法、減法、乘法或除法來解決。（2）畫圖表示一個(gè)情境，可以用加法、減法、乘法或除法來解決。（3）用自己的語言說說什么是加法、減法、乘法或除法。那么，到底什么時(shí)候該總結(jié)，學(xué)生哪些語

21、言可以認(rèn)為真正理解了運(yùn)算，這些問題都值得進(jìn)一步研究。研究的關(guān)鍵還是要了解學(xué)生真實(shí)的思維。二、以表征和分析問題為線索，鼓勵(lì)學(xué)生探索如何分析數(shù)量關(guān)系當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)了運(yùn)算的意義，并能解決一些簡單的問題后，學(xué)生將要學(xué)習(xí)解決一些復(fù)雜的問題。這些問題之所以復(fù)雜，有的是因?yàn)閷?shí)際問題的背景比較復(fù)雜，學(xué)生不易讀懂題目；有的是問題中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，學(xué)生不易分析出來。因此，在這里就存在著兩方面的問題，一是讀懂問題；二是分析數(shù)量關(guān)系。在新課程中應(yīng)用問題中的信息并不總是“正好”的，這就需要根據(jù)問題來選擇信息和收集信息。實(shí)際上，三者往往是交織在一起的，以下分開是為了更好地加以分析。1.如何讀懂題目 這里讀懂題目指的

22、是理解題目所表達(dá)的是一件什么事情，學(xué)生可以用自己的語言把這件事情說清楚，這一點(diǎn)應(yīng)該得到重視。因?yàn)?，讀懂題目的意思是分析數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)，而小學(xué)生由于生活經(jīng)驗(yàn)和閱讀能力等的缺乏會(huì)出現(xiàn)一些理解上的困難，所以一些有經(jīng)驗(yàn)的老師會(huì)深有體會(huì)地說：“許多學(xué)生做不出數(shù)學(xué)題是因?yàn)槲淖譀]讀懂”。因此，在教學(xué)中，對于復(fù)雜的題目，教師要鼓勵(lì)學(xué)生多懂幾遍，嘗試完整地用自己的語言敘述題意。當(dāng)題目中出現(xiàn)一些學(xué)生不易理解的詞語或句子時(shí)，教師可以采取情景表演、動(dòng)作操作等方式幫助學(xué)生。這方面有一個(gè)比較經(jīng)典的案例，吳正憲老師在執(zhí)教“相遇問題”時(shí)，首先鼓勵(lì)學(xué)生采取情景表演的方式，理解“同時(shí)、相遇、相對、相向”等題目中相對比較難理解的詞

23、匯。 同時(shí)，由于新課程提倡運(yùn)用圖、文字、表格等多種形式表達(dá)信息，這也給學(xué)生造成了一定的閱讀困難，學(xué)生往往不能同時(shí)從不同的形式中捕捉信息，這就需要教師加以適當(dāng)指導(dǎo)。下面就提供一個(gè)教師指導(dǎo)學(xué)生如何從圖中獲取信息的案例 案例提供者 平谷第六小學(xué) 景彩鳳，指導(dǎo)教師：張丹，王林華。案例3指導(dǎo)學(xué)生如何從情境圖中獲取信息教師呈現(xiàn)了一幅情境圖，圖中草地上有3個(gè)房子，還有6只兔子。一只小兔子提出問題：“平均每間房子住幾只？”師：快看。從圖上你看到了哪些數(shù)學(xué)信息？生1：草地上有3個(gè)房子，草地上還有6只兔子師：你怎么知道有6只兔子，3間房子？生1遲疑。師：草地上確實(shí)有兔子，你怎么知道有6只？接著說，好嗎？誰來幫幫她

24、？生2：我是數(shù)出來的。 師：是嗎，你（生1）是怎么知道的？ 生1：我也是數(shù)的。師：那3間房子你是怎么知道的 ？ 生1：3間房子也是數(shù)出來的。師：也就是說我們在解題時(shí)，有時(shí)候數(shù)學(xué)信息時(shí)要從圖中直接數(shù)出來的。我們繼續(xù)看圖，問題在哪里？生1：平均每間房子住幾只？師：說的非常完整。誰再說說說數(shù)學(xué)問題在哪里？ 生2：平均每間房子住幾只兔子？師：他說的非常完整。誰再說說這個(gè)數(shù)學(xué)問題你是怎樣知道的？ 生：它用文字表達(dá)了。師：說的真好。你們看這是誰說的話呀？ 生齊說:小兔子。師：我們在解決數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，有些數(shù)學(xué)信息時(shí)可以直接從圖中數(shù)一數(shù)得到，還有的數(shù)學(xué)信息，要從圖中看到小朋友或是小動(dòng)物說的話當(dāng)中而得到。師：

25、下面我們看著這幅圖，誰能連起來把數(shù)學(xué)信息和所求問題一起說一說？生：一共有3間房子，6個(gè)兔子，平均每間房子住幾只？師：說的真好！大家一起來讀讀。生齊讀：有6個(gè)兔子住3間房子，平均每間房子住幾只？在上面的案例中，教師通過語言指導(dǎo)學(xué)生可以從哪些角度獲取信息，并且鼓勵(lì)學(xué)生完整地表述題意，這就由學(xué)生“局部”讀題到“整體”讀題；最后是由個(gè)人讀題到全班讀題。2.如何分析數(shù)量關(guān)系在讀懂題目的基礎(chǔ)上，教師就要鼓勵(lì)學(xué)生分析題目中的數(shù)量關(guān)系了。在這方面，過去總結(jié)了一些方法，比如對于分?jǐn)?shù)應(yīng)用題分析數(shù)量關(guān)系，就有人總結(jié)了“抓住關(guān)鍵句（帶分率的句子），找準(zhǔn)單位1，分清求什么（單位1已知用乘法，求單位1用除法）；量率要對應(yīng)

26、”。我們來舉例說明：某超市運(yùn)來600桶花生油，賣出的占總桶數(shù)的。還剩下多少桶？面對這樣的題目，教師會(huì)教給學(xué)生：“首先找關(guān)鍵句，此題的關(guān)鍵句是賣出的占總桶數(shù)的；然后找到單位1是總桶數(shù)；此題單位1已知用乘法；要求剩下的量，要找到剩下的率為1-。所以600（1-）。”確實(shí)這樣分析數(shù)量關(guān)系的思路是正確的，但這種教師認(rèn)為好的思路，學(xué)生能自覺得到并認(rèn)同嗎？在面對這樣的問題時(shí)，學(xué)生是如何進(jìn)行分析的呢，他們的想法能給我們一起啟發(fā)嗎。我們來看下面的一個(gè)教學(xué)片段 執(zhí)教者 北京市順義區(qū)尹家府小學(xué) 鄭士龍，指導(dǎo)教師：張丹，于海。案例4 分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題教學(xué)片段1教師出示題目：“某超市運(yùn)來600桶花生油，賣出的占總桶數(shù)的。

27、還剩下多少桶？”。鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立審題（實(shí)際上包括讀懂題目和分析數(shù)量關(guān)系）。教師找學(xué)生中不同的審題策略，并要求學(xué)生板書。師：請這幾位同學(xué)分別介紹各自的審題策略。并說明為什么選擇這種策略，說清這種審題策略是怎么做的。生1：我用畫關(guān)鍵詞的方法。因?yàn)樗梢灾李}中最重要的詞是什么，這對解題是非常重要的。如果沒有關(guān)鍵詞，做題可能就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，所以我選擇畫關(guān)鍵詞的方法。師：請說清楚你選擇了哪幾個(gè)詞作為關(guān)鍵詞，在它下邊寫了什么？生1：如圖4，我選擇的關(guān)鍵詞是“賣出的”、“總桶數(shù)”和“剩下的”?！百u出的”按題意分析它占“總桶數(shù)的”的，“總桶數(shù)”是600桶，問的是“還剩下的有多少桶?” 這樣很快就可以求出 圖4問

28、題。（邊說邊列式）600=240噸桶，然后用總桶數(shù)減去賣出用去的240桶就是剩下的桶數(shù)， 就等于360桶，600240=360噸桶。師：他的思路很清晰，根據(jù)這種審題思路，他找到了要先求出賣出了多少桶，然后求剩下的桶數(shù)進(jìn)行列式解答。生2：如圖5，我利用找關(guān)鍵句的方法，這種方法可以非常清楚地發(fā)現(xiàn)，剩下的占總桶數(shù)的，所以600=360桶。 圖5師：他是用找關(guān)鍵句的方法，他在關(guān)鍵句下面寫了一個(gè)簡單的批注“沒有賣的就是”。說明他從關(guān)鍵句當(dāng)中讀到了這里有一個(gè)隱藏的信息。這跟我們學(xué)習(xí)語文一樣，不能只看到表面的，還要找到他背后隱藏的其他條件，對我們審題會(huì)有所幫助。生3：我用的是畫批注的方法，它能夠把題目的信息

29、表達(dá)得更清楚，讓我們看得更明白。如圖6，600桶就是總數(shù)，賣出的占總數(shù)的，是600桶的，由此可以 圖6看出，有沒賣，求剩下多少桶也就是求600的是多少，所以我用1=， 600=360桶。師：我發(fā)現(xiàn)生3同學(xué)的畫批和生1的找關(guān)鍵詞有些聯(lián)系的。從整個(gè)句子理解，都是把重點(diǎn)提煉出來。生4：我采用的是直觀圖的方法。因?yàn)橹庇^圖在我們班很少用過，所以，我想證明直觀圖這種方法也是很好的，對于不會(huì)畫線段圖的同學(xué)們來說會(huì)更加容易理解。（邊指圖7邊說）陰影部分表示賣出的占全部的，空白部分表示剩下了，求剩下的桶數(shù)就轉(zhuǎn)換成了求總桶數(shù)的是多少，用600=360桶。 圖7師：我們用掌聲感謝生4。他為幾位畫不好線段圖的同學(xué)提供

30、了一種直觀的策略。生5（邊列式邊對應(yīng)著圖8解釋）：我用的是畫線段圖的方法。因?yàn)榫€段圖可以使我更加理解題意。這里是賣出的，要求的是剩下的桶數(shù)，就是求余下的這一段是多少桶， 圖8列式是：600 =240桶，因?yàn)檫@求的是賣出了多少桶，所以再用600240=360桶，就是求出了剩下多少桶。 師：生5同學(xué)用畫線段圖的解題策略，讓我們很清晰地的看到了數(shù)量之間的一種關(guān)系。生6：我把生5的方法改進(jìn)了一下，他的線段圖有平均分的份額，我把它省略了（所以叫“粗線條”線段圖，如圖9）。這樣的圖對我來說就能理解題意。用單位“1”減去賣出的， 圖9就是剩下的，用總桶數(shù)去乘，也就求出了是剩下的桶數(shù)。師：大家看一看他們的線段

31、圖，一個(gè)當(dāng)中有平均分的份數(shù)，一個(gè)沒有，影不影響審題呀？生紛紛表示：不影響。師：至少在這樣的題里面是不影響的，同樣也可以清晰地反映數(shù)量關(guān)系。許多老師在處理這一問題時(shí)，總是把自己的解題方法“迫不及待”地講給學(xué)生，比如找關(guān)鍵句、畫線段圖，可是再遇到問題時(shí)學(xué)生往往還是不會(huì)用。老師的方法為什么無法轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生的呢？認(rèn)真分析不難發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上教師在課堂上并沒有真正注重培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的方法。當(dāng)教師呈現(xiàn)給學(xué)生一個(gè)問題時(shí)，教師注重的是將自己已有的方法傳授給學(xué)生，學(xué)生不費(fèi)什么腦子就從老師那里得到了解決問題的方法。但是，這種方法好在哪，學(xué)生感受不深，輕而易舉得到的經(jīng)驗(yàn)學(xué)生印象不深，自然也就很難轉(zhuǎn)化為自身的經(jīng)

32、驗(yàn)，也就不會(huì)在面對類似問題的時(shí)候主動(dòng)加以運(yùn)用。另一方面，教師總擔(dān)心如果我不教，這么復(fù)雜的問題學(xué)生能會(huì)解嗎？回答這個(gè)問題只能靠學(xué)生自己。因此，教師要在課堂上給學(xué)生留一點(diǎn)獨(dú)立思考、探索策略的時(shí)間，一旦學(xué)生探索出了方法，并且體會(huì)到了畫圖等方法解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的好處，當(dāng)他們在面對類似問題的時(shí)候會(huì)注重借助這些方法幫助自己分析數(shù)量關(guān)系，從而正確解決問題。同時(shí)，不同的學(xué)生有著不同的思維特點(diǎn)和思維水平，給學(xué)生展示自己分析數(shù)量關(guān)系方法的時(shí)間和空間，也是學(xué)生之間交流的需要。學(xué)生在獨(dú)立思考后就會(huì)對自己與他人的進(jìn)行比較，為方法之間的溝通聯(lián)系，突出數(shù)量關(guān)系打下了基礎(chǔ)。案例5 分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題教學(xué)片段2 師：現(xiàn)在要思考一個(gè)新的

33、問題：觀察這些審題策略，請你說一說這些策略之間都存在著哪些聯(lián)系？先獨(dú)立思考，然后進(jìn)行小組討論交流。 （學(xué)生獨(dú)立思考后，小組交流。下面是不同小組交流后的發(fā)言）。組1：我們組討論的是生5和生6兩個(gè)人的策略，生6的“粗線條”線段圖和生5的線段圖看上去有區(qū)別，其實(shí)表達(dá)方法是一樣的，只是沒有標(biāo)出多少份，實(shí)際上都表示了相同的量，我們認(rèn)為這兩種方法是差不多的。師：你們組還有補(bǔ)充嗎？ 組1的另一位同學(xué)：直觀圖和線段圖，方法其實(shí)都是一樣的。師：好，他們組討論的是線段圖、直觀圖這三個(gè)呈現(xiàn)出來的圖的形式之間的聯(lián)系。其他組呢？組2（指著“畫批注”、“找關(guān)鍵詞”、“找關(guān)鍵句”三種方法）：我們覺得這些都是有聯(lián)系的。他們這

34、些審題方法都是把題目要表達(dá)的意思簡單化，讓人看得更明白。師：再具體一點(diǎn)，有什么聯(lián)系呢？怎么說能讓所有人都清楚明白？組2：比如，這些都是題目中說的話，現(xiàn)在把它換成我們可以理解的簡單的話。組3補(bǔ)充：批注、關(guān)鍵句、關(guān)鍵詞這三個(gè)之間有聯(lián)系。因?yàn)樗麄內(nèi)前殃P(guān)鍵詞、關(guān)鍵句都畫出來，另外還都加上自己的理解，所以我們組覺得這三個(gè)之間有聯(lián)系。師：這樣就把題目中已知的條件和隱藏的條件都表現(xiàn)出來了，對嗎？組4：直觀圖、“精細(xì)”線段圖、“粗線條”的線段圖這三幅圖都是從圖中找更深層的意義，而批注、關(guān)鍵句、關(guān)鍵詞這些都是從文字中發(fā)現(xiàn)更深層的意義。師：說得好！這是兩條線。你們組的兩條線一個(gè)是從圖的內(nèi)容找，一個(gè)是從文字去找。

35、組5：我們組發(fā)現(xiàn)直觀圖、精細(xì)線段圖這兩幅圖有著很大的聯(lián)系，如果要把直觀圖底下的線去掉，就可以變成精細(xì)線段圖這幅圖的意思，都標(biāo)出了“總數(shù)600桶”。畫批注、找關(guān)鍵句這兩個(gè)同時(shí)都標(biāo)出了“賣出了”，我們組發(fā)現(xiàn)了這幾個(gè)有很大的聯(lián)系。師：他們組也是找這兩條線。師：下面我們請組6的代表發(fā)言，。我剛才聽他說了一句話，覺得特別好。組6：我們覺得黑板上的這些圖，還有畫批注、找關(guān)鍵句、找關(guān)鍵詞，這些審題策略之間都有聯(lián)系。比如說，它們把關(guān)系都提煉了出來，（生，手指黑板，標(biāo)出每種策略提煉出的內(nèi)容沒賣的），同時(shí)文字中“沒賣剩下的占”，在圖中很明顯的表示出來。師：你們贊同組6所說的觀點(diǎn)嗎？生齊答：贊同?？吹綄W(xué)生樸實(shí)而精彩

36、的發(fā)言，筆者不禁有些感動(dòng)，這些來自農(nóng)村中心小學(xué)的孩子們不僅僅獨(dú)立探索出了分析數(shù)量關(guān)系的方法，而且還通過比較歸納出了這些方法之間的聯(lián)系。在這樣的過程中，他們不僅僅理解了題目中的數(shù)量關(guān)系，而且發(fā)展了概括歸納的能力。特別是那句“這些審題策略之間都有聯(lián)系，它們把關(guān)系都提煉了出來”多么精彩。學(xué)生的精彩折射出教師的精彩。教師給了學(xué)生獨(dú)立探索的空間，又不僅僅停留于此，而是在探索出不同方法的基礎(chǔ)上，再鼓勵(lì)學(xué)生比較歸納，將個(gè)人的理解通過交流形成學(xué)習(xí)共同體的共識。這一切都源于教師對學(xué)生的信任，以及對他們能力的不斷培養(yǎng)。這個(gè)案例也給了我們分析數(shù)量關(guān)系的幾個(gè)教學(xué)策略。第一，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立探索分析數(shù)量關(guān)系的方法，并運(yùn)用自

37、己的方式有條理地表達(dá)自己的理解；第二，鼓勵(lì)學(xué)生將不同的方法進(jìn)行比較溝通，以凸顯其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。看起來這兩個(gè)策略并不新鮮，但它不正是教學(xué)這一問題的兩個(gè)“大”策略嗎？這里還需要討論的是一些傳統(tǒng)的方法，比如畫線段圖、抓關(guān)鍵詞句等，在現(xiàn)在的應(yīng)用題教學(xué)中還強(qiáng)調(diào)嗎？關(guān)于線段圖將在下面一個(gè)問題，分析和解決問題的畫圖策略中再加以闡述。我們來看看抓關(guān)鍵詞句。其實(shí)，每一個(gè)問題確實(shí)都有分析問題和解決問題的關(guān)鍵詞句，抓住并理解了它們無疑對分析數(shù)量關(guān)系是重要的。但關(guān)鍵是對關(guān)鍵詞句的理解以及如何“抓法”。過去的抓關(guān)鍵詞句的主要目的是服務(wù)于回憶題型，這種題型的教學(xué)在短期內(nèi)可能會(huì)取得效果，特別是對付傳統(tǒng)的考試，但長期卻存

38、在著弊端，這在上文已經(jīng)論述過。同時(shí)，服務(wù)于題型的抓關(guān)鍵詞句，學(xué)生往往不仔細(xì)地去閱讀和理解題目，而是快速地找到類似“一共”、“剩余”、“幾倍”等詞語，由此去確定是什么題型，這就會(huì)造成學(xué)生出現(xiàn)大量的“見一共就加，見剩余就減”的問題。另一方面，關(guān)鍵字句的“抓法”基本上是教師告訴的，學(xué)生甚至體會(huì)不到為什么要去抓關(guān)鍵字句，而在以上的案例中，我們不難看出，部分學(xué)生也在抓關(guān)鍵句，但他們是在對題目整體結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)上找到的，并且都對這些句子為什么關(guān)鍵、這些句子的意思是什么、這些句子隱含了哪些條件作出了闡述，這實(shí)際上是體現(xiàn)了學(xué)生們對于數(shù)量關(guān)系的理解。同時(shí)，由于學(xué)生們是自己探索出方法，所以他們也感受到這一方法的好

39、處：“他們這些審題方法都是把題目要表達(dá)的意思簡單化，讓人看得更明白?！薄芭?、關(guān)鍵句、關(guān)鍵詞這些都是從文字中發(fā)現(xiàn)更深層的意義?！币虼耍爬ǖ卣f，找到問題中的關(guān)鍵字句是重要的，但要注意實(shí)現(xiàn)三個(gè)轉(zhuǎn)變：由為了套用題型的抓關(guān)鍵字句轉(zhuǎn)變?yōu)榛诶斫鈹?shù)量關(guān)系的抓關(guān)鍵字句；由教師要求找轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生自主感受找的必要性；由教師介紹找的統(tǒng)一方法轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生探索自己的方法并多樣化的表達(dá)（如案例中有的用批注，有的找到了幾個(gè)關(guān)鍵詞，有的找到了一個(gè)句子）。同時(shí)，無論采取哪種方法，教師要引導(dǎo)學(xué)生注重問題中最基本的數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)的分析，即關(guān)注題目中的“大邏輯”。比如，在上面所舉的問題，一個(gè)最基本的數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)是“總的數(shù)量賣出的數(shù)量=

40、剩下的數(shù)量”。學(xué)生發(fā)現(xiàn)了這一結(jié)構(gòu)后，就自然地去尋找如何能得到賣出的數(shù)量和剩下的數(shù)量，并發(fā)現(xiàn)了常用的兩種方法之間的聯(lián)系。下面的對話還是來自于分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題的課堂：師：請你觀察兩種方法有什么區(qū)別和聯(lián)系？生互相討論。生1：第一種方法（600 =240，600-240=360）是先求出賣出的數(shù)量，然后再用總箱數(shù)減去賣出的箱數(shù)，求出剩下的箱數(shù)，第二種方法（1- =，600=360）是先求出剩下的分率，再用600乘剩下的分率求出剩下的數(shù)量。相同點(diǎn)是都求剩下的數(shù)量。生：相同點(diǎn)都是用對應(yīng)量乘以對應(yīng)的分率求出對應(yīng)的數(shù)量。那么題目中的“大邏輯”到底是什么，還需要具體問題具體分析。3.如何有效地收集和選擇信息 人們在

41、現(xiàn)實(shí)生活中接觸到的問題，其信息往往是多途徑的，對話、報(bào)紙、電視、廣播、標(biāo)牌等都可能呈現(xiàn)出信息；呈現(xiàn)的形式也許是文字的、表格的、圖畫的；信息也許雜亂無章，需要你重新組織，而且經(jīng)常是多余或不足的。因此，應(yīng)用問題也應(yīng)注重以多種形式（如表格、圖形、漫畫、對話、文字）提供信息、呈現(xiàn)問題。必要時(shí)，也可以鼓勵(lì)學(xué)生對信息進(jìn)行選擇、判斷或者是補(bǔ)充。實(shí)際上，在幫助學(xué)生如何有效地收集和選擇信息上，教材和教學(xué)中都做了一些有益的嘗試。比如，鼓勵(lì)學(xué)生面對情境中的眾多信息，選擇若干信息提出可以用數(shù)學(xué)解決的問題；又如，鼓勵(lì)學(xué)生回答如果要解決某一問題，需要收集哪些信息等問題。但總的來說，無論是在教材還是在教學(xué)中，如何幫助學(xué)生有

42、效地收集和選擇信息，這方面的教學(xué)策略還比較缺乏，需要廣大教師不斷研究和實(shí)踐。三、以分析問題和解決問題策略的學(xué)習(xí)為線索，鼓勵(lì)學(xué)生形成一些基本策略解決問題活動(dòng)的價(jià)值不只是獲得具體問題的解，更重要的是學(xué)生在分析問題和解決問題過程中獲得的發(fā)展。其中重要的一點(diǎn)在于使學(xué)生學(xué)習(xí)一些分析問題和解決問題的基本策略，體驗(yàn)策略的多樣性，并在此基礎(chǔ)上形成自己解決問題的某些策略。各套實(shí)驗(yàn)教材涉及的解決問題的策略不盡相同，筆者選擇其中最基本的三個(gè)策略：畫圖策略、列表策略和模擬操作策略加以具體闡述。需要指出的是，這三個(gè)策略不僅僅是解決問題的策略，也可以用來分析數(shù)量關(guān)系，并且，二者往往是結(jié)合在一起使用的。因此，本線索提及的內(nèi)

43、容與上一條線索有所交叉。1.畫圖的策略畫圖策略是非常重要的一種分析問題和解決問題的策略，它是利用“圖”的直觀來對問題中的關(guān)系和結(jié)構(gòu)進(jìn)行表達(dá)，從而幫助人們分析問題和解決問題的。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。同時(shí)，畫圖又是一個(gè)“去情境化”的過程，它把情境中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行提煉，并且進(jìn)行直觀表達(dá)。總的來說，畫圖的策略的作用主要體現(xiàn)在：畫圖可以幫助理解問題；畫圖可以幫助解決問題；畫圖可以促進(jìn)反思和交流；畫圖可以導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)。其中，教師對于畫圖可以幫助理解問題、分析數(shù)量關(guān)系并不陌生，下面舉兩個(gè)例子說明畫圖對于解決問題、促進(jìn)反思和交流的作用。案例6畫圖可以幫

44、助解決問題 案例提供者 北京師范大學(xué)奧林匹克實(shí)驗(yàn)小學(xué) 王笑暉一位教師在三年級學(xué)生學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識后，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試解決如下的問題：氣象小組有12人，攝影小組的人數(shù)是氣象小組的1/3，航模小組的人數(shù)是攝影小組的3/4，航模小組有多少人。當(dāng)學(xué)生面對過去需要學(xué)習(xí)過分?jǐn)?shù)乘法才能解決的問題，是否就束手無策了呢？其實(shí)不然，不少學(xué)生選擇畫圖得到了正確答案。圖10是學(xué)生畫出的一些圖，體現(xiàn)了畫圖策略可以幫助學(xué)生解決問題。圖10案例7 畫圖可以促進(jìn)反思這方面的例子在實(shí)際教學(xué)中是比較少的。這里列舉筆者在一篇文章中摘錄的例子平國強(qiáng)，淺談小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題教學(xué)中學(xué)生思維的梳理，來對畫圖可以促進(jìn)學(xué)生反思加以闡述。教師在鼓

45、勵(lì)學(xué)生解決完下面的應(yīng)用題后，要把400本新書放到書架上。平均每一格要放多少本呢？鼓勵(lì)學(xué)生將探索出來的三種解法用“圖”進(jìn)行表達(dá)：想法一：想法二：想法三：借助圖學(xué)生對兩道題進(jìn)行比較，反思到這兩個(gè)題目雖然情境不同，但題目中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)是相同的。以上對于畫圖策略的意義和作用加以了分析，下面對教師如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的“畫圖”策略提一些教學(xué)建議。第一，鼓勵(lì)學(xué)生畫圖來分析問題和解決問題，發(fā)展學(xué)生的畫圖意識。事實(shí)上，不僅僅在解應(yīng)用題上，畫圖策略廣泛應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容領(lǐng)域中。比如，運(yùn)用畫圖可以有助于學(xué)生理解數(shù)概念、運(yùn)算的道理、正反比例的變化情況等。因此，教師應(yīng)在教學(xué)中重視尋找教學(xué)契機(jī)，發(fā)展學(xué)生的畫

46、圖意識?？梢怨膭?lì)學(xué)生運(yùn)用圖、表格、自然語言、符號等對某一概念和規(guī)律進(jìn)行多重表達(dá)；在解決問題缺乏思路時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生畫圖分析一下；在問題解決后運(yùn)用畫圖來向別人表達(dá)自己的思路。當(dāng)然，畫圖是一種分析問題和解決問題的策略，是否需要畫圖與問題的難度、情境對學(xué)生的熟悉程度、學(xué)生的年齡特點(diǎn)等都有關(guān)系。如果學(xué)生不借助畫圖已經(jīng)可以解決問題了，教師可以鼓勵(lì)他運(yùn)用畫圖來表達(dá)自己的思考過程，但不必強(qiáng)求他必須經(jīng)過畫圖才解決問題，更不能因?yàn)閺?qiáng)求必須畫統(tǒng)一的圖而造成學(xué)生“會(huì)解決問題，但不會(huì)畫教師要求的圖”的困惑。第二，重視學(xué)生自己的示意圖。在過去的教學(xué)中往往只強(qiáng)調(diào)線段圖，或者不鼓勵(lì)學(xué)生自己去畫圖，或者認(rèn)為學(xué)生畫的圖比較“初等”，

47、不如線段圖來得“簡潔和抽象”。筆者認(rèn)為，畫圖本身是一種解決問題的策略，能夠有效地解決問題就是好的辦法。而且畫圖正是借助了圖形的直觀。而“直觀”是因人而異、因年級而異的，因此要重視學(xué)生自己的示意圖，挖掘這些圖中的價(jià)值。其實(shí)，學(xué)生的許多示意圖在本質(zhì)上與線段圖沒有太大的差別。如圖11，我們來對比一下案例4和案例6中學(xué)生的示意圖和線段圖。（下圖中將直觀圖放在左面，線段圖放在右面）鍵入文檔的引述或關(guān)注點(diǎn)的摘要。您可將文本框放置在文檔中的任何位置?？墒褂谩拔谋究蚬ぞ摺边x項(xiàng)卡更改重要引述文本框的格式。圖11從圖11中不難看出，學(xué)生的某些圖（如上面所展示的學(xué)生作品）與線段圖“結(jié)構(gòu)”是一樣的。而學(xué)生的圖更加直觀

48、，容易表達(dá)出學(xué)生自己的理解，同時(shí)不同的學(xué)生可能會(huì)選擇不同的圖；而線段圖則顯得更加簡潔。鑒于此，我們有必要對于是否要求線段圖做一個(gè)討論。對于什么是“要求”學(xué)生畫線段圖，至少有下面四種觀點(diǎn)：觀點(diǎn)1：學(xué)生能畫出線段圖更好，不畫也不用教，只要自己的圖是合理的，有效發(fā)揮了作用從而達(dá)到解決問題目的就可以了。因?yàn)楫媹D的目的是為了幫助學(xué)生分析問題、理解問題，學(xué)生會(huì)借助自己的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行選擇，不必為了教線段圖而教線段圖。.觀點(diǎn)2：教師可以畫出線段圖來引導(dǎo)學(xué)生，但學(xué)生只要能看懂線段圖即可，不要求一定畫線段圖。因?yàn)榫€段圖確實(shí)比較簡潔，所以教師可以畫出了引導(dǎo)，但學(xué)生能否體會(huì)其簡潔性，選擇來畫線段圖就不做要求了。觀點(diǎn)3：學(xué)

49、生可以運(yùn)用自己的示意圖來分析問題和解決問題，但到一定年級應(yīng)該使每個(gè)學(xué)生都會(huì)畫線段圖。當(dāng)然從學(xué)生的示意圖到線段圖的學(xué)習(xí)是一個(gè)漸進(jìn)的過程，可以鼓勵(lì)學(xué)生通過比較，體會(huì)線段圖的簡潔性。其實(shí)在低年級教材中已經(jīng)有了線段圖的雛形，如幾個(gè)小圓片、幾個(gè)三角形等排成一排；到了四年級的“路程、時(shí)間、速度”學(xué)習(xí)中大多數(shù)實(shí)驗(yàn)教材就出現(xiàn)了比較規(guī)范的線段圖，如果還停留在學(xué)生示意圖的層面，教學(xué)的梯度沒有體現(xiàn)。觀點(diǎn)4：盡可能早地教給學(xué)生畫線段圖，并且在分析問題和解決問題中盡可能使用線段圖。雖然以上對于“線段圖”的要求不盡相同，但也存在著共識：教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用畫圖分析問題和解決問題，挖掘“畫圖”的價(jià)值；如果需要學(xué)習(xí)線段圖，應(yīng)使

50、學(xué)生通過比較等方式體會(huì)到線段圖的好處；對于線段圖不必過分苛求格式，比如量一定要標(biāo)在下面、率一定要標(biāo)在上面，只要清晰地表達(dá)出正確的數(shù)量關(guān)系就可以。并且，大部分的觀點(diǎn)認(rèn)為畫圖是一個(gè)分析問題和解決問題的策略，既然是策略，在具體解題時(shí)就可以用或者不用，就可以選擇用示意圖或線段圖。對于以上共識，筆者是非常贊同的。確實(shí)，如果把畫圖當(dāng)成策略，那么能有利于學(xué)生分析問題和解決問題的就是好策略，而每個(gè)人選擇的策略是可以不一樣。而學(xué)生的示意圖和線段圖都是利用了圖形的直觀，并且如前所述學(xué)生的很多示意圖和線段圖的結(jié)構(gòu)上無本質(zhì)性區(qū)別，所以筆者比較傾向于上面的第一種觀點(diǎn)。進(jìn)一步，我們不必馬上陷入觀點(diǎn)之爭上，而是需要思考一些

51、基本問題：線段圖與學(xué)生的示意圖相比到底優(yōu)勢在哪里，包括在分析問題和解決問題中的優(yōu)勢以及對于其他內(nèi)容學(xué)習(xí)的優(yōu)勢；學(xué)生是否能通過比較體會(huì)到這種優(yōu)勢，特別是能否自發(fā)體會(huì)到。第三，重視畫圖在解決問題和反思交流中的作用。如前所述，畫圖不僅僅可以幫助學(xué)生分析問題，它還有助于學(xué)生解決問題和反思交流。而后兩者在教學(xué)中是比較缺乏的，需要我們不斷加深對它們的理解，并創(chuàng)造出更多更好的案例。第四，重視畫圖中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。學(xué)生畫圖的過程應(yīng)該與數(shù)學(xué)思維的過程結(jié)合在一起，實(shí)際上根據(jù)對題目的分析畫出圖、根據(jù)圖聯(lián)系運(yùn)算的意義、運(yùn)用圖來直觀表示解決問題的思路和結(jié)果等，這些都必然會(huì)與數(shù)學(xué)思維緊密聯(lián)系。作為教師，要把這種聯(lián)系適當(dāng)凸

52、顯出來，比如鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)自己圖的意思，是根據(jù)什么畫出此圖的；鼓勵(lì)學(xué)生借助圖有條理地表達(dá)自己的思路等?？偠灾?，畫圖是一種非常重要的分析問題和解決問題的策略，但在它的教學(xué)中也確實(shí)存在著不少需要進(jìn)一步研究的問題。比如，學(xué)生是否選擇畫圖來解決問題，與題目的難度、呈現(xiàn)形式以及學(xué)生的年齡特點(diǎn)有關(guān)，那么，影響學(xué)生選擇這一策略的因素有哪些呢？在教學(xué)中不難發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象，許多學(xué)生遇到解決不了的問題時(shí)，并不主動(dòng)選擇畫圖策略，而當(dāng)老師要求畫圖后往往能正確畫圖解決問題，也就是學(xué)生會(huì)畫但缺乏畫圖意識，如何看待這一問題呢？教師也會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果我們鼓勵(lì)學(xué)生畫自己的示意圖，學(xué)生的圖是非常富有個(gè)性的，但這些圖中哪些可以真正有效地

53、解決問題，需要我們細(xì)致研究。再如，前面提到的線段圖教學(xué)中的問題。總之，如何使學(xué)生體會(huì)到畫圖的價(jià)值，并且在需要時(shí)自覺想到畫圖解決問題，并能畫圖有效地解決問題，是我們今后需要不斷思考的問題。 2.列表的策略在小學(xué)教材中，列表策略的作用主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面。第一方面，學(xué)生通過列表枚舉出符合條件的一些結(jié)果，然后通過驗(yàn)證從中選擇中最終的答案。比如，對于“雞兔同籠”的問題，教材大多選擇了列表的策略，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行枚舉，學(xué)生通過枚舉每一種情況并進(jìn)行檢驗(yàn)，得到問題的最終答案。如果頭和腿的數(shù)目較多的情況，學(xué)生也可以在列舉中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律從而進(jìn)行調(diào)整，如“發(fā)現(xiàn)腿數(shù)還差得很多，多增加些兔子”；又如可以從一半開始枚舉（從假

54、設(shè)有一半是雞開始）。這不僅使學(xué)生學(xué)習(xí)了解決問題的重要策略，還可以培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)的感覺和估計(jì)的能力，使學(xué)生經(jīng)歷建立假設(shè)、檢驗(yàn)假設(shè)的過程，發(fā)展學(xué)生自己進(jìn)行判斷的能力。隨著對這個(gè)問題的不斷討論，越來越多的老師認(rèn)識到枚舉方法的重要性。正如張景中先生提到的 張景中. 感受小學(xué)數(shù)學(xué)思想的力量寫給小學(xué)數(shù)學(xué)教師們j. 人民教育.2007(18)：“小學(xué)數(shù)學(xué)里有很多應(yīng)用題，解題的思想方法常常是因題而異。可不可以引導(dǎo)學(xué)生探索一下，用一個(gè)思想來解各種各樣的題目呢?試商的思想，其實(shí)有普遍意義，可以用來求解許多不同類型的問題，包括應(yīng)用問題，只要問題中的條件數(shù)據(jù)和解答之間有確定性的關(guān)系。例如，修一條長32千米的公路，已經(jīng)修

55、了24千米，已修的路程是剩下的幾倍?我們用類似試商的辦法來試解。如果是1倍，剩下的是24千米，總長48千米，比題設(shè)數(shù)據(jù)大了；如果是2倍呢，剩下的是12千米，總長36千米，仍比題設(shè)數(shù)據(jù)大；3倍呢，剩下8千米，總長32千米，正好符合要求。我想很多老師不會(huì)這樣引導(dǎo)學(xué)生思考，認(rèn)為這是個(gè)笨辦法。其實(shí)，這個(gè)辦法具有一般性，把試解的倍數(shù)看成自變量，把根據(jù)試解算出的總長看成試解倍數(shù)的函數(shù)，找尋使函數(shù)值符合題目要求的自變量，這個(gè)思路能解決很多問題，是大智若愚。這樣思考試算，最終也會(huì)發(fā)現(xiàn)具體的規(guī)律，列出通常的算式?！蔽覀儾浑y看出文中所指的“試商”的方法就是這里說的枚舉并驗(yàn)證的方法，它是一個(gè)“大智若愚”的方法。第二

56、方面，學(xué)生可以將問題中的信息用表格的形式加以整理，往往既起到整理信息的作用，也有助于學(xué)生探索出解決問題的思路?？刺K教版教材中的一個(gè)例子（如圖12）：借助表格整理了條件和問題，并且學(xué)生通過觀察表格會(huì)有助于思考出解決問題的思路，也為正比例的學(xué)習(xí)奠定了經(jīng)驗(yàn)。進(jìn)一步，通過整理信息，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)赝评恚袝r(shí)就能解決問題。看北師大新世紀(jì)版教材中的一個(gè)例子（如圖13）：學(xué)生通過表格整理提供的信息，并進(jìn)行進(jìn)一步的推理，就能解決最終問題了。 圖12 圖133.模擬操作的策略模擬操作是借助實(shí)際操作或模擬操作分析問題和解決問題的策略。一方面，如前面提到的通過模擬“相遇問題”中的情境，幫助學(xué)生理解題意和分析問題。另一方面，學(xué)生可以通過操作解決問題。比如，一年級學(xué)生在解決“8個(gè)男孩比2個(gè)女孩多幾人”時(shí)，學(xué)生通過操作可以得到多6人的結(jié)果。對于小學(xué)中到底有哪些基本的分析問題