經(jīng)濟(jì)中的最值問題

1、第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)derivative application2 5 經(jīng)濟(jì)中的最值問題在經(jīng)濟(jì)活動分析中，許多問題都需要求函數(shù)的最值 . 例如，做一個容積為v 的圓柱形罐頭盒，怎樣設(shè)計才能使所用材料最省？一個工廠如何確定其產(chǎn)品的產(chǎn)量，以獲得最大的利潤？這些都屬于求解函數(shù)的最大（最?。┲祮栴} .35.1 最大值與最小值概念definition 4.4（ see p.87）設(shè)函數(shù) f x 在區(qū)間a,b 上有定義，如果存在點x0 a,b ，對 a,b 上任意一點x ，都有 f x0 f x （或 f x0 f x ），則稱 f x0 是函數(shù) f x 在區(qū)間 a,b 上的最大（最?。┲?，并稱 x0 為函數(shù)

2、f x 在區(qū)間 a,b 上的最大（最?。┲迭c .【 note 】此定義中的“閉區(qū)間 a,b 上”也可以換成“開區(qū)間 a,b 內(nèi)”.函數(shù)的最大值（記為 f max ）或最小值（記為 f min ）統(tǒng)稱為函數(shù)的 最值 . 我們在 chapter 4 4中已經(jīng)知道，最值是4整體性概念，是函數(shù)值在整個區(qū)間a,b 上（或區(qū)間 a,b 內(nèi)）的最大（最?。┱撸欢鴺O值是一個局部性概念，是函數(shù)值在 a,b 內(nèi)某點 x0 的一個鄰域內(nèi)的最大（最?。┱?.由 chapter 2 4中的 properties 2（最值定理）我們已經(jīng)知道，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有 最大值 （ largest value或 greates

3、t value）和 最小值 （ leastvalue）. 若函數(shù) f x 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則函數(shù) f x 在 a,b 上的最值的求法如下： 求出開區(qū)間a,b 內(nèi)函數(shù)f x 的駐點（即使 f x 0 的點）及不可導(dǎo)點（即fx 不存在的點），計算這些點處的函數(shù)值； 計算函數(shù)在區(qū)5間 a,b 端點的值 f a 和 f b ；上述函數(shù)值中最大（最?。┱邽楹瘮?shù) f x 在閉區(qū)間 a,b 上的最大（最?。┲?【 note 】需要指出的是：如果連續(xù)函數(shù) f x 在區(qū)間 a,b 內(nèi)僅有 一個極大值，而沒有極小值，則此極大值即是函數(shù) f x 在區(qū)間 a,b 上的最大值；同樣，如果連續(xù)函數(shù) f x 在開

4、區(qū)間 a,b內(nèi)僅有一個極小值，而沒有極大值，則此極小值即是函數(shù)在區(qū)間a,b 上的最小值 . 一般的實際問題中，往往極值點是唯一的，這個唯一的極值點也就是最值點 .example 4.5.（1 seep.88） 求 f x 3 2x2 x 66在區(qū)間2,4 上的最大值及最小值 .解 f xx 42，令 f x 0，x x 6 23得駐點 x4，而 x0和 x 6 是 fx不存在的點（即 f x 的不可導(dǎo)點） .由于 x 6 不在區(qū)間2,4 內(nèi)，故將其 舍 去 . 因 f 2 f 44 ，f 00 ，故最大值為fmax f 0 0 ，而最小值為fmin f 2 f 44 .example 4.5.

5、2（ see p.88） 有一邊長分別為 5cm 和 8cm 的長方形鐵皮，在其四角各減去相同的小正方形，把四邊折起來便成為一個無蓋的盒子，若要使此盒的容積最大，問剪去的小正方形邊長為多少？7解設(shè)剪去的小正方形邊長為x cm（ x0 ,2.5 ），盒容積為 v，則有 v x52x 82x x 4x326x240x .v x12x252x404 x1 3x10 ，令 vx 0 ，得唯一駐點 x1 1（ x2100,2.5，舍去） . 又3v x24x52, v128 0 ，于是當(dāng) x1cm 時， v 取最大值 .example 4.5.3某商場每年銷售某種品牌電視機(jī) 1000臺，每次進(jìn)貨費用為

6、40 元，每臺電視機(jī)的庫存保管費用為 2元，且假設(shè)銷售是均勻的. 求最優(yōu)批量（即使總費用最少的進(jìn)貨批量）.解 設(shè)批量為 x 臺/ 批，總費用為 y 元.81000x則 y40x22， 整理 得y40000x ， x0，1000 . 令xy4000010 ，得唯一駐點x2x 200 （ x2000，1000，舍去） . 而 y x2008000080000x3x 2002003 0 ，所以 x 200 為極小值點，從而為最小值點 . 即最優(yōu)批量為200臺/ 批.【 note 】 建立總費用函數(shù)的知識，可以參見 chapter 1 5中的 example1.5.2（ see pp.1415）. 若

7、求最優(yōu)批次（即使總費用最少的進(jìn)貨批次），則9可以這樣來作：設(shè)批次為x 批，總費1000用為 y 元. 則 y40 x22x，整理得 y40 x1000， x 0，1000. 令x1000y 40x20 ，得唯一駐點x5（ x50，1000， 舍 去 ） .而yx 520002000x353x 5 0 ，所以 x5為極小值點，從而為最小值點. 即最優(yōu)批次為 5 批.example 4.5.4 容積為 v 的圓柱形罐頭盒，應(yīng)如何設(shè)計尺寸能使用料最??？解 設(shè)罐頭盒底半徑為r ，高為 h ，則10所用材料（圓柱形表面積）為s 2 r 22 rh ，由 vr 2 h 得v22vhr 2 ，故 ss r2

8、 rr ，r0,. 令 s r4 r2v0 ，r2得 0,內(nèi) 唯一駐 點 r3v2 . 而s3v44v12 0 ，2r3vr3 2v所以 r 3 2 為極小值點，從而為最 小值點 . 我們 注 意到 ，此 時vvrvr2 rh2r 3vr即2罐頭盒的高等于底直徑時，用料最省 .115.2經(jīng)濟(jì)中的最值問題5.2.1最低平均成本問題example 4.5.（5seep.89）某工廠生產(chǎn) x件產(chǎn)品的總成本函數(shù)為c x0.001x240x9000 . 求該廠生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時，平均成本達(dá)到最小？解 平均成本函數(shù) c xc x0.001x 40 9000，xxc x 0.00190000，得唯一x2 ，令

9、 c x駐點 x13000（ x23000 舍去），又c x18000，由于 c 300018000x330003 0 ，故該廠生產(chǎn) 3000 件產(chǎn)品時，平均成本達(dá)到最小 .example 4.5.6（ see p.89） a merchant sells brooms rather uniformly at a rate12of about 1600 brooms per year. accounting procedures determine that the cost of carrying a broom in stock is $ 2 per year. when ordering

10、 brooms, the merchant experiences a fixed order cost of $ 25 plus a variable order costof 10 perbroom.assumingthatorders can be placed so that delivery occurs precisely when stock is depleted, how often should the merchant order brooms so as to minimize yearly cost?solution our merchant faces a trad

11、eoff between ordering brooms frequently, thereby reducing storage costs but increasing ordering costs, or ordering infrequently with the opposite consequences. to analyze this cost problem, we first identify the contributing factors of cost, as described above. we find thatyearly cost = (storage cos

12、ts)13+ (fixed ordering costs)+ (variable ordering costs)the only independent variable present is the number of times the merchant orders brooms per year, which we denote byx .then the fraction of a yeareach order lasts in stock is 1 x . sincebrooms are sold at a uniform rate, individual brooms remai

13、n in stock halfthis long, 1 2 x , on the average. themerchant annuals storage costs are therefore as follows:storage costs=（number of brooms）(average storage time per broom)(annual storage cost per broom)1216001600xdollars per2x14yearthe fixed ordering costs will be:fixed ordering costs=(orders per

14、year)($ 25 per order)25x dollars per yearfinally, the variable ordering costs will be 1600 0.10 160 dollars per year regardless of the frequency with which orders are placed. so, we can writedown the annual cost c xasc x160025 x 160 dollars per year.xnow the range of feasible values forx will be lim

15、ited to an interval, say1,52 .then the problem of minimizingcost is simply the problem of finding the minimum value for the functionc xon the interval 1,52 .we find that15c x160025x2sosetting cx0 gives the equationx216006425which yields the critical numbersx 8 .inaddition,x0 isalsoa criticalnumbersi

16、ncec 0isundefined.however, among these critical numbers only x 8 lies within the interval offeasible solution 1,52 .sincec 11600251601785 dollars,c 8200200160560 dollars, andc 523113001601491 dollars.the minimum cost occurs when brooms are ordered eight times per year.example 4.5.6（see p.89） 一個商人相當(dāng)均

17、勻地以大約每年1600 把掃帚的16速度出售掃帚 . 經(jīng)會計程序核算確定，一把掃帚的庫存費用是每年 2 美元. 當(dāng)預(yù)訂掃帚時，商人每次訂貨需要支付 25 美元的固定訂貨費用以及每 把 掃 帚 10 美 分 （ cent 是$ dollar ）以下的貨幣單位符號）的可變訂貨費用 . 又假設(shè)當(dāng)掃帚售完后即刻進(jìn)貨 . 商家應(yīng)如何訂貨，以使每年的總費用最少？解 商人通過頻繁訂貨減少批量（從而減少存貯量）來減少存貯費用，但因要增加訂貨批次而增加訂貨成本；或者反之，通過減少訂貨批次來減少訂貨成本，但因要增加批量（從而增加存貯量）而增17加存貯費用. 為了分析總費用這個問題，我們首先確定構(gòu)成總費用的各個因素

18、 . 由上面的描述，我們知道，每年的總費用=( 存貯費用 ) ( 固定訂貨費用 ) ( 可變訂貨費用 ). 唯一的自變數(shù)是商人每年訂貨批次數(shù)，我們用 x 表示 . 因為掃帚被均勻出售，所以每次訂貨保持有現(xiàn)貨 的時間為一年 的1 x ，每掃帚平均存儲時間為它的一半，即一年的 1 2 x . 因此商人的年存貯費用如下：存貯費用 =( 一年出售掃帚的數(shù)量 ) ( 每掃帚平均存儲時間 ) ( 每把掃帚年庫存18費用 )11600160022 xx美元 / 每年 .固定訂貨費用將是：固定定訂貨費用 =( 每年訂貨批次 )( 每次訂貨 25 美元 ) 25x 美元 / 每年 . 最后，不管訂單發(fā)出的頻率如

19、何，可變訂貨費用將是 1600 0.10160 美元 .因此，我們能寫出年度成本函數(shù)c x 為 c x160025 x 160美元 / 每年 .x現(xiàn)在可行的范圍為將x 限制在區(qū)間 1,52 上 . 因此，使總費用減到最小的問題就簡化為求函數(shù)c x 在區(qū)間 1,52上的最小值問題. 我們求 得 c x160025 ， 因 此 令x2c x 0 得等式 x 2160064，得出2519臨界值 x8 （即 x8 為兩個駐點）. 另外， x0也是一個臨界值，因為 c 0 無定義（即 x0為不可導(dǎo)點） . 然而，在這些臨界值之中僅x 8 在 區(qū)間 1,52 上是可行 的解答，因為 c 11600 251

20、601785美元， c 8200200160560 美元，c 52 3113001601491 美元 .所以 . 每年訂購八次，發(fā)生的總費用費用最少 .5.2.2最大收益問題example 4.5.7（ see p.90） 設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù) q505p （件）（價格 p 的單位為：元 / 件），問產(chǎn)量為何值時，20總收益最大？最大收益是多少？解 由 q505p ，得 p10q，則總收5益函數(shù)為： r q qqq2，10510q5r q1052q . 令 r q0 ，得唯一駐點 q25 . 由于 r 252 0 , 故當(dāng)5產(chǎn)量 q25 件時總收益最大 . 最大收益為 r 25 10 2525

21、2125 （元） .5example 4.5.8（ see p.90 ） a catering service will serve a particular dinner on its menu to groups of between 20 and50 people. for groups of size 20 the price charged for the meal $ 12 per person. for each additional person beyond 20 the price is reduced by20 perperson. whatsize groupprovi

22、des the service withmaximum21revenue?solution we let x represent the number of person in the group being served.then x20is the number of personsby which the group exceeds20 . thepriceperpersonisthereforep x12x 20 0.20dollars. thetotal revenue is given by the equationr xxp xx 12x20 0.2016x0.2x2dollar

23、s. we seek the maximum value of this function for x in the interval20,50, we obtainr x160.4 x , sotheequation rx0 givesx40 .there are no values ofxforwhich rx failstoexit,sotheonlycriticalnumberfor r xis x40 . themaximum revenue therefore lies amongthe values: r 2016 200.2 20 2240dollars, r 40 16 40

24、0.2 402320 dollars,22r 50 16 50 0 .2 50 2 300 dollars. the maximum revenue is 320 dollars, achieved for groups of size40 .example 4.5.8（ see p.90） 承辦酒席服務(wù)在將一頓特殊晚餐的人數(shù)規(guī)定在每組 20 人到 50 人之間 .對于每組用餐人數(shù)為 20 人的價格標(biāo)準(zhǔn)為每人收費 12 美元 . 超過 20 人的價格標(biāo)準(zhǔn)為每超出一人減少 20 美分 . 每組多少人用餐能獲得最大收益？解 設(shè) x 為每組用餐人數(shù)，則 x 20 是每組超出 20 的用餐人數(shù) . 因

25、此每人收費價格是p x12x20 0.20 美元 . 總 收 益 為 等 式 r xxp xx 12x20 0.2016x 0.2x2 美元 .我們求這個函數(shù)當(dāng)x 在區(qū)間 20,5023上 時 的 最 大 值 ， 我 們 獲 得r x160.4 x， 因 此 由 等 式rx0 得出 x40 . r x 無不存在 的 x 點， r x 僅 有唯 一駐 點x 40 . 因此下列值中隱含著最大收 益 ： r 20 16 20 0.2 20 2240美 元 , r 4016 40 0.2 402320 美元 , r 5016 500.2 50 2300 美元 .當(dāng)每組 40 人用餐時能獲得最大收益 3

26、20 美元 .5.2.3最大利潤問題設(shè)總收益 r r x ，總成本 c c x ，則利潤函數(shù) l x r x c x （其中 x 為產(chǎn)量） . 取得最大利潤的必要條件24是： lx0 , 即 r xc x0 ，亦即r x c x . 取得最大利潤的充分條件 是 ： 在 駐 點 x 處 ，lxrxcx 0 , 即 r x cx .example 4.5.（9 p.91） 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為 200（百元），每生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品成本增加 5 （百元），且已知需求函數(shù) q1002 p （ p 為價格， q 為產(chǎn)量），這種產(chǎn)品在市場上是暢銷的，試求出該產(chǎn)品的總利潤最大時的產(chǎn)量及最大利潤值.解

27、 因為該產(chǎn)品是暢銷的，所以產(chǎn)量和需求量是相等的. 設(shè)產(chǎn)量為 q ,成 本函數(shù) 為 c q （ 收 益函數(shù) 為25r q ），利潤函 數(shù)為 l q ，于 是c q 200 5q，r qp q50qq21 q 250 q ， l q r q c q21 q2 45q 200, l qq 45 . 令2l q q 45 0 得出 q 45（駐點）.又因為 l q 1， l 45 1 0 ，所以 q 45 為 極 大 值 點 ， 而 由 于q 45 是 唯 一 的 一 個 駐 點 ， 故也是 最大 值點 ，這時最 大潤為l 45812.5 .example 4.5.10（see p.92）a mono

28、poly exists when a single firm is the sole producer of a particular good or service. in such a situation there is a direct relationship between the price the26monopolist charge for the item (price) and the number of items the public will purchase (demand). decreasing the price increases sales and co

29、nversely. a typical demand curve appears in figure 4-8. suppose that a monopolist can manufacture at most 175 items per week and that market research shows that the price at which the monopolist can sell x items per week is roughlyp x 500 x dollars. furthermore, suppose that the monopolist estimates the cost of producing x items per week to be approximately c x150 4x x2 dollars. then (a) the revenue obtained from selling xitemsperweekisr xxpx500 xx2 ,