金融時間序列分析 第3章單位根檢驗

1、第三章 單位根檢驗3.1 整的次數(shù)的確定一、 整的次數(shù)是決定一個時間序列性質(zhì)的關(guān)鍵因素。我們首先研究為0，1這兩種情況下的性質(zhì)。1 ，記為；此時為0階整，平穩(wěn)過程。假設(shè)均值為零，則過程有如下性質(zhì)： 1） 方差有限，并且與時間無關(guān)； 2） 擾動項對的影響有限，暫時的； 3） 在均值附近波動，重復(fù)通過均值0的期望時間均值有限； 4） 對于足夠大的滯后，自相關(guān)函數(shù)的大小持續(xù)下降。的總和有限。2 ，記為；此時為1階整過程，其有如下性質(zhì)： 1） 時間趨向于無窮時，方差趨向于無窮； 2） 擾動項對的影響持久；并且使所有歷史擾動項的總和 3） 重復(fù)通過0的期望時間無限； 4） 隨著向無限擴(kuò)展，自相關(guān)函數(shù)。注

2、： 非平穩(wěn)性可以通過散點(diǎn)圖和自相關(guān)圖觀測出來，但它們不能判斷非平穩(wěn)性的具體形式。例子： 考察過程 平穩(wěn)時其所有根都在單位圓外，即滿足。 假設(shè)其中的一個根與1相近，記作，為一個很小的正數(shù)。此時自相關(guān)函數(shù) 意味著其支配作用，此時由于近似為1，則指數(shù)衰減十分緩慢，且?guī)缀醭尸F(xiàn)出線性特征。問題：ma過程會不會出現(xiàn)這種情形？當(dāng)時，能不能用arma進(jìn)行建模，為什么？二、 過度差分問題1 對于非平穩(wěn)過程，我們要進(jìn)行差分；但是過度差分卻是有害的，平穩(wěn)過程進(jìn)行差分仍然是平穩(wěn)過程，此時就是過渡差分問題。2 過度差分的后果：考慮ma(1)過程現(xiàn)在進(jìn)行差分（過渡差分）： 這是我們比較它們的方差： 所以結(jié)論：過渡差分會增

3、大過程的方差。3.2 單位根檢驗一、 單位根過程1 定義：隨機(jī)過程是一個單位根過程，如果 ； 其中，為一平穩(wěn)過程，且2 單位根過程和平穩(wěn)過程的區(qū)別： 現(xiàn)在考慮簡單的ar(1)過程 ；為嚴(yán)格白噪聲，獨(dú)立同分布，這里現(xiàn)在我們來估計參數(shù)。構(gòu)造最小二乘估計量時，因為獨(dú)立同分布，則和不相關(guān)。為什么？于是根據(jù)大數(shù)定律，當(dāng)時，以概率收斂于參數(shù)。所以時，是一致估計。大數(shù)定律（切貝曉夫大數(shù)定律）： 設(shè)隨機(jī)變量序列兩兩不相關(guān)，且它們的方差有公共的上界，即，則當(dāng)時，。根據(jù)中心極限定理 所以如果，即單位根情況下，ols估計量的方差為零。此時發(fā)生質(zhì)的變化，即極限分布出現(xiàn)了變化，需要新的工具。二、 泛函中心極限定理和維納

4、過程1 標(biāo)準(zhǔn)維納過程標(biāo)準(zhǔn)維納過程是定義在閉區(qū)間上的連續(xù)變化的單變量的隨機(jī)過程，滿足以下條件：（1）；（2）閉區(qū)間上任何一組有限分割， 的變化量 為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量；（3）對任何，。維納過程可以看作區(qū)間上的獨(dú)立增量過程，增量過程服從同分布的正態(tài)分布?？梢钥醋鲄^(qū)間上的連續(xù)隨機(jī)游動。2 lindeberg levy 林德貝格-列維中心極限定理 若為一獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且有，那么序列的標(biāo)準(zhǔn)化樣本均值由正態(tài)的極限分布，即當(dāng)時。3 泛函中心極限定理（多斯科定理）（functional central limit theorem）(donsker theorem)設(shè)為一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，

5、對所有的，有為閉區(qū)間上的任意實(shí)數(shù)。給定樣本，取前部分樣本作統(tǒng)計量那么當(dāng)時，有極限這里表示弱收斂。證明：設(shè)為閉區(qū)間上的任意實(shí)數(shù)，對于給定的時間序列樣本，取前部分樣本，并構(gòu)造統(tǒng)計量。當(dāng)在閉區(qū)間上從0到1連續(xù)變化時，對于給定的樣本，是閉區(qū)間上的階梯函數(shù)，取值為當(dāng)時根據(jù)lindeberg levy中心極限定理 為什么？對于所以有極限分布對于，所以泛函中心極限定理包含三個含義：1） ；2） ；3） 4 連續(xù)映照定理 設(shè)為一隨機(jī)變量，并以分布收斂于某一隨機(jī)變量，若為連續(xù)函數(shù)，那么隨機(jī)變量序列的分布收斂于隨機(jī)變量，記為。3.3 單位根檢驗一、 df檢驗 考慮ar(1)過程 ；。則時，ols得到的統(tǒng)計量，沒有

6、意義；需重新構(gòu)造統(tǒng)計量?？礃?gòu)造什么樣的統(tǒng)計量？問題：為什么對進(jìn)行調(diào)整？ 這樣構(gòu)造有什么意義？中分子分母的極限分布情況。 時， 為什么？于是 于是 以為所以這里所以而且 為什么？所以其中為卡方分布?，F(xiàn)在考察分母的極限情況。 （為什么不是卡方分布）卡方分布：設(shè)為相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，定義，則的分布服從自由度為的卡方分布，記作。因為所以為了使均值收斂，須對其按進(jìn)行調(diào)整即時，下面考察 所以因此對于模型建立假設(shè)檢驗： 原假設(shè) 為什么是單邊檢驗？下面就是建立統(tǒng)計量 因為 這個統(tǒng)計量和通常意義下的統(tǒng)計量有所不同，其檢驗通常稱為df檢驗（dickey fuller）檢驗。 統(tǒng)計量的臨界值，可以通過mont

7、e carlo 模擬獲得。df檢驗也有三種模型：1） 2） 3） 對于第二種模型，建立聯(lián)合檢驗，備擇假設(shè)其聯(lián)合檢驗和檢驗有什么區(qū)別？其統(tǒng)計量為模型3的統(tǒng)計量特別復(fù)雜，這里不再介紹。二、增廣df檢驗（adf）:augment dickey fuller1 和df檢驗的區(qū)別：允許具有序列相關(guān)性。即df檢驗考察的是一階滯后清形，而adf檢驗的是多階滯后情形。2 考慮ar(p)模型 可記作于是存在一個單位根的原假設(shè)為：其檢驗統(tǒng)計量其中為估計值的ols標(biāo)準(zhǔn)差。極限分布極為復(fù)雜，在此不進(jìn)行介紹，具體參見陸懋祖高等時間序列的經(jīng)濟(jì)計量學(xué)。adf檢驗的模型也有三種模型1） 2） 3） 其統(tǒng)計量的極限分布均很復(fù)雜

8、。其假設(shè)檢驗形式類似于df檢驗。三、 非參數(shù)檢驗（pp檢驗） phillips perron檢驗 是另外一種處理擾動項存在自相關(guān)，并且存在異方差的平穩(wěn)性檢驗方法。他和df檢驗類似，考察一階滯后項。pp檢驗的一個重要特點(diǎn)是將參數(shù)的估計問題轉(zhuǎn)換成對殘差自相關(guān)函數(shù)的估計問題?？紤]模型ar(1) 模型的擾動項滿足以下條件：1） 對于所有，；2） 對于某個，。3） 存在且為正數(shù)，其中4） 是強(qiáng)混合的，混合數(shù)滿足。強(qiáng)混合性：他度量的是序列內(nèi)部在時間上的相關(guān)程度與強(qiáng)度。如果是平穩(wěn)的，則強(qiáng)混合性就等價于遍歷性。在這個模型中，只有當(dāng)為白噪聲，才等于的方差。由于這種不等性，使得需要對df統(tǒng)計量作“非參數(shù)”修正。

9、此時正確的檢驗為：其中，和分別為和的一致估計。同樣pp檢驗也有三種模型1） 2） 3） 3.4 df(adf)檢驗的過程共三種模型1） 2） 3） 具體的檢驗步驟：模型3：adf檢驗拒絕無單位根，平穩(wěn)的趨勢過程模型3接受給定檢驗拒絕模型3檢驗拒絕無單位根模型3接受需繼續(xù)進(jìn)行差分，之后進(jìn)行檢驗接受模型2：adf檢驗拒絕接受不存在單位根，平穩(wěn)過程模型2給定t檢驗拒絕模型2t檢驗拒絕平穩(wěn)模型2接受繼續(xù)差分，進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗接受模型1adf檢驗拒絕平穩(wěn)過程接受需繼續(xù)進(jìn)行差分，進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗adf檢驗步驟3.5 單位根檢驗的實(shí)現(xiàn)（eviews）一、步驟1） 建立數(shù)據(jù)。2） 利用散點(diǎn)圖，初步判斷非平穩(wěn)形式。

10、3） 在主菜單選擇quick/series statistics/unit root test4） 輸入序列名，ok進(jìn)入單位根檢驗對話框5） 選擇檢驗類型，有兩種：adf(df);p- p檢驗6） 選擇單位根階數(shù)：分為0階（level）原序列，1階差分序列（1st差分），2階差分序列。7） 選擇檢驗方程的形式：分為：intercept; trend and intercept; none8） 滯后差分：選擇滯后階數(shù)。二、例子8725.278667.959217.6212596.949719.9510125.7110304.4114350.7510954.3911193.3711439.4316

11、520.7412181.2812247.712449.7518490.5313424.7713399.2513596.0720320.9914685.614685.614685.622028.415742.96adf test statistic-6.128828 1% critical value*-4.4167 5% critical value-3.6219 10% critical value-3.2474*mackinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.augmented dickey-full

12、er test equationdependent variable: d(gdp)method: least squaresdate: 10/19/03 time: 12:30sample(adjusted): 3 25included observations: 23 after adjusting endpointsvariablecoefficientstd. errort-statisticprob. gdp(-1)-2.0919810.341335-6.1288280.0000d(gdp(-1)0.5651650.2223462.5418260.0199c18596.233074.

13、0496.0494250.0000trend(1)717.9986133.39605.3824600.0000r-squared0.759543 mean dependent var307.6091adjusted r-squared0.721577 s.d. dependent var3833.696s.e. of regression2022.882 akaike info criterion18.21920sum squared resid77748961 schwarz criterion18.41668log likelihood-205.5209 f-statistic20.005

14、45durbin-watson stat2.992772 prob(f-statistic)0.000004adf test statistic 0.535238 1% critical value*-2.6700 5% critical value-1.9566 10% critical value-1.6235*mackinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.augmented dickey-fuller test equationdependent variable: d(gdp)method: l

15、east squaresdate: 10/19/03 time: 12:33sample(adjusted): 3 25included observations: 23 after adjusting endpointsvariablecoefficientstd. errort-statisticprob. gdp(-1)0.0286700.0535650.5352380.5981d(gdp(-1)-0.5796480.209189-2.7709310.0115r-squared0.265835 mean dependent var307.6091adjusted r-squared0.2

16、30875 s.d. dependent var3833.696s.e. of regression3362.143 akaike info criterion19.16149sum squared resid2.37e+08 schwarz criterion19.26022log likelihood-218.3571 durbin-watson stat2.305912adf test statistic-1.89262886846 1% critical value*-3.74971904466 5% critical value-2.99694676255 10% critical

17、value-2.63809059473*mackinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.augmented dickey-fuller test equationdependent variable: d(gdp)method: least squaresdate: 10/19/03 time: 12:37sample(adjusted): 3 25included observations: 23 after adjusting endpointsvariablecoefficientstd. erro

18、rt-statisticprob. gdp(-1)-0.4793318427270.253262459807-1.892628868460.0729718606948d(gdp(-1)-0.2820795345380.243205785813-1.159838914170.2597738012c6874.778209043360.174941492.045958418460.0541364336652r-squared0.392899343068 mean dependent var307.609130435adjusted r-squared0.332189277375 s.d. depen

19、dent var3833.69551905s.e. of regression3132.88397469 akaike info criterion19.0584032032sum squared resid196299239.977 schwarz criterion19.2065111444log likelihood-216.171636837 f-statistic6.47173312336durbin-watson stat2prob(f-statistic)0.00680153642381pp test statistic-6.80512681517 1%

20、 critical value*-4.39420271582 5% critical value-3.61184656951 10% critical value-3.24180960655*mackinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.lag truncation for bartlett kernel: 1 ( newey-west suggests: 2 )residual variance with no correction4373661.95132residual variance with

21、 correction3656473.55436phillips-perron test equationdependent variable: d(gdp)method: least squaresdate: 10/19/03 time: 12:39sample(adjusted): 2 25included observations: 24 after adjusting endpointsvariablecoefficientstd. errort-statisticprob. gdp(-1)-1.365070353390.20674254382-6.60275494421.543333

22、9734e-06c12177.47567751993.936318396.107254060834.63922668759e-06trend(1)487.123272697101.510247024.798759603059.65278107242e-05r-squared0.675490695716 mean dependent var292.40375adjusted r-squared0.644585047689 s.d. dependent var3750.16807569s.e. of regression2235.72601217 akaike info criterion18.3

23、789882577sum squared resid104967886.832 schwarz criterion18.5262449865log likelihood-217.547859092 f-statistic21.8565452866durbin-watson stat2.32162059874 prob(f-statistic)7.37709047994e-06pp test statistic-31% critical value*-3.73433953524 5% critical value-2.99069710407 10% critical v

24、alue-2.63479449103*mackinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.lag truncation for bartlett kernel: 1 ( newey-west suggests: 2 )residual variance with no correction9169714.20603residual variance with correction7903377.96361phillips-perron test equationdependent variable: d(gd

25、p)method: least squaresdate: 10/19/03 time: 12:44sample(adjusted): 2 25included observations: 24 after adjusting endpointsvariablecoefficientstd. errort-statisticprob. gdp(-1)-0.6106851510180.189951720426-3.214949302110.00398900745909c8333.398695472583.106470453.22611506370.00388529187893r-squared0.

26、319641615973 mean dependent var292.40375adjusted r-squared0.28871623488 s.d. dependent var3750.16807569s.e. of regression3162.80328007 akaike info criterion19.0359604106sum squared resid220073140.945 schwarz criterion19.1341315632log likelihood-226.431524928 f-statistic10.3358990151durbin-watson sta

27、t2.22740512367 prob(f-statistic)0.00398900745909pp test statistic-0.00926513007531 1% critical value*-2.6648971753 5% critical value-1.95588327448 10% critical value-1.62314165632*mackinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.lag truncation for bartlett kernel: 1 ( newey-west

28、suggests: 2 )residual variance with no correction13507746.9458residual variance with correction7373687.64348phillips-perron test equationdependent variable: d(gdp)method: least squaresdate: 10/19/03 time: 12:45sample(adjusted): 2 25included observations: 24 after adjusting endpointsvariablecoefficie

29、ntstd. errort-statisticprob. gdp(-1)-0.01732764922190.0563544822457-0.3074759722980.761248060505r-squared-0.00222413451651 mean dependent var292.40375adjusted r-squared-0.00222413451651 s.d. dependent var3750.16807569s.e. of regression3754.33619849 akaike info criterion19.3399843264sum squared resid

30、324185926.699 schwarz criterion19.3890699027log likelihood-231.079811917 durbin-watson stat2.800688347183.6 單位根檢驗的進(jìn)一步發(fā)展一 分段趨勢、結(jié)構(gòu)性突變（一） 對于單位根檢驗的模型（2）其意義：隨機(jī)過程的特征為一個可能單位根加上一個非零漂移的過程的實(shí)現(xiàn)值，時，為單位根，經(jīng)過差分就變成平穩(wěn)過程?，F(xiàn)在進(jìn)行推廣，perron(1989)考慮原假設(shè)的三種模型，允許在時間的發(fā)生一次性結(jié)構(gòu)變化。原假設(shè)：1） 2） 3） 其中：如果 否則為零（此時為結(jié)構(gòu)性突變）如果 否則為零模型1）的含義是：單位根

31、過程在漂移參數(shù)發(fā)生突然變化。模型2）的含義是：單位根過程在增長率上發(fā)生變化。模型3）的含義是：單位根過程允許在水平上和在增長率上發(fā)生變化。其它假設(shè)：1） 2） 3） 其中： 如果 否則為零如果 否則為零模型1）的含義是：趨勢平穩(wěn)過程的函數(shù)截距發(fā)生突然變化。模型2）的含義是：趨勢平穩(wěn)過程的趨勢的斜率發(fā)生變化。模型3）的含義是：趨勢平穩(wěn)過程在截距和趨勢的斜率都發(fā)生變化。由于一般的單位根檢驗很難區(qū)分單位根過程和趨勢平穩(wěn)過程，因此該過程是單位根過程還是趨勢平穩(wěn)過程，此時如何進(jìn)行檢驗？我們用“消除趨勢”的序列建立檢驗統(tǒng)計量，這里的是趨勢平穩(wěn)檢驗?zāi)Ｐ?。于是我們可以令為模型的殘差?） ：包含漂移項、時間趨

32、勢和。2） ：包含漂移項、時間趨勢和。3） ：包含漂移項、時間趨勢、和。此時可以用df檢驗。（二） 一般情形模型形式：假設(shè)檢驗：二 內(nèi)生確定突變點(diǎn)的檢驗問題：（即突變點(diǎn)不能確定的問題）（一） zivot和andrews（1992）研究了以下的回歸方程：如果 否則為零如果 否則為零突變點(diǎn)從到。從而得到一組df檢驗值。此時統(tǒng)計量的臨界值也有很大差別。（二） banerjee（1992）的滾動df檢驗：如果 否則為零如果 否則為零用不斷擴(kuò)大的亞樣本來估計。但檢驗的臨界值也有很大的差別。（三） 前沿的問題：1）存在多個結(jié)構(gòu)性突變；2）殘差存在非平穩(wěn)的序列相關(guān)性情形。三 平滑轉(zhuǎn)換模型如果趨勢在兩個領(lǐng)域間逐漸、平滑的變化，則利用對數(shù)平滑轉(zhuǎn)換模型lstr：模型的形式為1） 2） 3） 其中為對數(shù)平滑轉(zhuǎn)換函數(shù)：為轉(zhuǎn)換中點(diǎn)的時間參數(shù)；為轉(zhuǎn)換速度參數(shù)估計方法：用nls估計模型的參數(shù)，取的殘差；利用所取得殘差進(jìn)行單位根檢驗。四 隨機(jī)單位根過程假設(shè)是一種金融資產(chǎn)的價格，其在時間的期望收益率移項得：為白噪聲，并令，得到：這個模型成為隨機(jī)單位根模型stur。一般情況下：可取其它的平穩(wěn)隨機(jī)過程，如1） 為零均值平穩(wěn)過程。