不等式證明的方法技巧

1、關(guān)于三元不等式的一點(diǎn)總結(jié)(a b)(a c)(b c) abc ，再結(jié)合下面這個不在自主招生乃至數(shù)學(xué)競賽中，我們往往會見到許多三元不等式，形式例如“ a b c ， abc,ab bc ac ”的不等式不勝枚舉， 所以本節(jié)就專門來談?wù)勱P(guān)于這類不等式的處理手段。等式： abc 3 3 2 2變形 1 x3 y3 z3 (x2 y xy2 abc 3 abbc acabcab bcac，可推出33(a b)(a c)(b c)(a bc)(abbcac)abc(a bc)(abbcac)19(ab c)(abac bc)8(a b9c)(abac bc)(*)即產(chǎn)生不等式 9(a b)(bc)(a

2、 c)8(abc)(abacbc)由恒等式 (a b c)(ab bc ac)由( *)可進(jìn)一步推：*)83(ab bc ac)9(abbc ac)所以又產(chǎn)生不等式 9(a b)(b c)(a c)8 (ab ac bc)3 ，亦可寫成：3 3 (a b)(b c)(a c) 2 ab bc ac從恒等式 (a b)(a c)(b c) (a b c)(ab bc ac) abc 中我們又發(fā)現(xiàn)：(a b)(a c)(b c) (a b c)(ab bc ac) abc33 abc 33 ab bc ac abc8abc即有不等式 (a b)(a c)(b c) 8abc結(jié)合 容易發(fā)現(xiàn)，(a b

3、)(a c)(b c)既可以與 abc和 ab bc ac單獨(dú)建立不等關(guān)系，又能和 abc、 ab bcac混合建立不等式。進(jìn)一步，我們?nèi)袈?lián)系熟悉的不等式2ab bc ac)3abc( a b c) (證明交給讀者自己)和舒爾不等式的下列4 個變形：2 2 2 2x z xz y z yz ) 3xyz 0我們把它簡記為x3x2(y z) 3xyz 0cyccyc變形 2 (x y z)2 4(x y z)(xy xz yz) 9xyz 0我們把它簡記為 （x)3 4xxy9xyz 0cyccyccyc變形 3 xyz (xyz)(xzy)(y zx)我們把它簡記為 xyz(xyz)cyc變形

4、 4 xxk(y z)(x y)(x z) cyc (y zx)y2(xzy) z2(x y z) 3xyz我們把它簡記為2 x(y zx)3xyzcyc則又可以產(chǎn)生一大批新的三元不等式，形成有力的證明橋梁！下面再介紹一種解決 三元齊次輪換對稱式 的強(qiáng)有力工具 舒爾分拆法！ 定理 1（舒爾不等式的推廣）設(shè)x,y,z 0, k為非負(fù)實數(shù)，則有如下成立：1) (yz)k(x y)(x z) 0 cyc(2) xk (y z)(x y)(x z) 0cyc(3) (yz)k (y z)(x y)(x z) 0 cyc證明：(1) (yz)k (x y)(x z) (xyz)k x k (x y)(x

5、 z) 0 cyc cyc12 xk (yz) 2 ( x y)(x z) cyc12(xyz)2kxcyc12 (x y)(x z)3）由（ 1）（2）易知也成立。定理 2 三元齊三次輪換多項式 f（x,y,z） 可以唯一地表示為f (x,y,z) ag1 bg2 cg3xyz。其中， g1x(x y)(x z)， g2 (y z)(x y)(x z)， g3cyc cyc并且當(dāng) x,y,z 0時， a,b,c 0 f (x,y,z) 0。此定理的證明涉及到線性代數(shù)的知識，這里就不證明了。為了快速計算出待定系數(shù)，只要記住 a f (1,0,0), b f (1,1,0) ,c f (1,1,

6、1)。 2定理 3三元齊四次輪換多項式 f(x, y, z)可以唯一地表示為f (x,y,z)ag1bg2cg3 dg4其中，g1x2(xy)(xz)， g2x(yz)(x y)(x z)，cyccycg3yz(xy)(xz)，g4xyz(x y z) 。cyc并且當(dāng)x,y,z0 時，a, b,c,d0f (x,y,z)0。其中系數(shù) a f (1,0,0),c f (1,1,0),d f (13,1,1),b a c f (41,0,1)定理 4三元齊五次輪換多項式 f(x, y, z) 可以唯一地表示為f(x,y,z) ag1 bg2 cg3 dg4 eg5其中， g1x3(xy)(x z)

7、 ，g2x2(y cycz)(xy)(x z)cycg3yz(yz)(xy)(x z) ，g4xyz (xy)(xz) ， g5 xyz( xy yz xz)cyccyc并且當(dāng)x,y,z0 時，a,b,c,d,e0f (x,y,z)0。其中 af (1,0,0) ，c f (1,1,0)c，ef (1,1,1)，bf (1,i,0) c ，232(1 i) 2f ( 1,i,1)i 8b e 2ad。( i 為虛數(shù) )2例 1 設(shè) a,b,c為正數(shù)，且 a b c 1,證明：a2 b2 c2 2 3abc 1證明：先兩端齊次化，證明a2 b2 c2 2 3abc(a b c) (a b c)2

8、 即證明2( ab bc ac) 3abc(a b c)而由上面總結(jié)的熟悉不等式，顯然成立。例 2 設(shè) a,b,c為正數(shù)，且 a b c 3, 證明：222abc(a2 b2 c2 ) 3證明：題目中交代 a b c 3, 所以我們要活用常數(shù)，在原不等式左右都乘上3，左邊以a b c 來代替，即abc(a b c)(a2 b2 c2 ) 9 這樣我們就正好也湊到了熟悉不等式的形式，兩邊再同乘上3，得3abc(a b c)(a2 b2 c2) 27 而我們本來就有3abc(a b c)(a2 b2 c2 ) (ab bc ac)2 (a2 b2 c2)(a2 b2 c2 ) (ab bc ac)

9、 (ab bc ac)3= (a b c) 3 273所以原不等式就成立了！ 例3 (1992年波蘭數(shù)學(xué)競賽題)設(shè)a,b,c為正數(shù)，證明不等式：2 ab bc ac 3 3 (a b)(b c)(a c) 證明：由總結(jié)的不等式知，上式顯然成立。例4 (第 25屆國際奧賽試題)已知 x, y,z都是非負(fù)實數(shù)，且滿足 x y z 1，證明：0 xy yz xz 2xyz 727證明：運(yùn)用舒爾分拆的前提必須是齊次和輪換對稱！所以，先將不等式齊次化0 (xy yz xz)(xy z) 2xyz 7 (x27y z)3則根據(jù)舒爾分拆， 令 f(x, y,z) (xyyz xz)(x yz)2xyz ，則

10、 f (x, y,z) 是齊三次輪換多項式，計算系數(shù) a f (1,0,0)0,b f (1,1,0)21,cf (1,1,1) 7 ，我們有：f (x,y,z) g2 7g3所以(xy yz xz)(x yz)2xyz 0同樣根據(jù)舒爾分拆，我們有：所以7 (x277277g13y z)31217g2(xyyzxz)(xz)2xyz277(xy z)3(xyyzxz)(xz)2xyz 0即原不等式成立！ 例5 (第 41屆國際奧賽試題)設(shè) a, b, c都是正數(shù)，且滿足 abc 1.求證：111(a 1 )(b 1 )(c 1 ) 1 bca分析 顯然我們知道可以舒爾分拆來證，所以立馬我們通分

11、，得(ab b 1)(bc c 1)(ac a 1) 1abc也即(ab b 1)(bc c 1)(ac a 1) 1再整理化簡得 a ab a2b 3cyc cyc cyc此時雖然有 abc 1. 這個條件， 但是無法將上式齊次化， 所以不能直接用舒爾分拆。 考慮這個結(jié)構(gòu)1 ，如果 x是分式結(jié)構(gòu) ，那么 1 也是和 x一樣 的分式型， 又常數(shù) k 可以寫成 kxxxx形式，這樣處理有力于建立齊次式。證明：對a,b,c作代換 ，令 ax,by,cz ，于是原不等式等價于yzxxyz (x z y)(y x z)(z y x) 0接下來因為是三元齊三次輪換多項式，所以用舒爾分拆易證上式成立。例 6( 2005 年西部奧林匹克試題)設(shè)正實數(shù) a,b,c滿足 a b c 1。證明：3 3 3 5 5 510(a3 b3 c3 ) 9(a5 b5 c5 ) 1證明：這個很好齊次化， 10(a3 b3 c3 ) 9(a5 b5 c5) 1等價于10(a3 b3 c3 )(a b c)2 9(a5 b5 c5) (a b c)進(jìn)行舒爾分拆， f (1,0,0) 0, f (1,1,0) 30, f (1