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文檔簡介

1、證明數(shù)是超越數(shù)n 2,所以deg( n 2)=2。而首先證明它是一個(gè)無理數(shù)，是用1974年勒讓得 (Legender)給出的對n 2是無理數(shù)的證明(參見1)。又n 2是超越數(shù) 又首先要證明n是超越數(shù)。而n是超越數(shù)又用1982年林德曼(Limdemann)的證明(參見 4) 或用 1996 年胡含琳“數(shù)n超越性的一個(gè)新證明”(參見2)。我們設(shè) p(x)=1+x45!+x89!+x1213!+ 為級數(shù) (I),q(x)=13!+x47!+x811!+x1215!+ 為級數(shù)(II)。將 x(1),即x& #8226;p(x)=x+x55!+x99!+x1313!+ x3(II), 即x3q(x)=

2、x33!+x77!+x1111!+x1515! 又將 x(I)-x3(II), 即xp(x)-x3q(x)=x-x33!+x55!-x77!+x99!-x1111!+x1313!-x1515!?H ?=Eto n=1( -1)n-1x2n-1(2n-1)!=sinx(即為 f(x)=sin x 的泰勒展開式 )。所以xp(x)-x3q(x)=sinx。令 x=n ,即 n p( n )- n 3q( n )=sin n =0。故 n p( n )= n 3q( n ),故 p( n )q( n )= n 2。即p( n )q( n )=1+ n 45!+ n 89!+ n 1213!+ 13!

3、+ n 47!+ n 811!+ n 1215!+ 二 n 2要證明n2是超越數(shù)，首先要證明n2的無理性。證明某 數(shù)設(shè)為 a為無理數(shù)有一個(gè)準(zhǔn)則，就是數(shù)a的小數(shù)部 a 不管乘上一個(gè) 多么大的正整數(shù)K N,即 a K還是一個(gè)小數(shù)。現(xiàn)在我們給出勒讓德關(guān)于n 2的無理性的證法(較簡略，且最后幾步 )引理(參見1p71)多項(xiàng)式P(z)和Q(z)由以下等式定義為 單值的R=R(z)=Q(z)ez+P(z)=C0z2 n+1 + C0=1( n+1)(2n+1)(90)?H ?R(z)=z2n+1 n!ez/2 / 10zn(1 -t)nch(t-12z)dt,n=0,1,2 (93)在等式(90)中記z為-z且將它乘上ez,那么P(-z)z+Q(-Z)=ezR(-z)=-C0z2 n+1+所以P(-z)ez=-Q(z)(99)在等式(90) 和(93) 中我們假設(shè)z= n i,利用等式(99),有e? | ?i/2=i,ch(t-12) n i=cos(1 -12) n =sin n ,P( n i)+P(- n i)=R( n i)(100)?H ?R(n i)=(-1)n+1n 2n+1

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