2021年華約自主招生數(shù)學(xué)含答案以及詳解)

1、2021年華約自主招生數(shù)學(xué)含答案以及詳解)2012年高水平大學(xué)自主選拔學(xué)業(yè)能力測(cè)試 數(shù)學(xué)（華約）一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知P 為三角形ABC 內(nèi)部任一點(diǎn)（不包括邊界），且滿足()(2)0PB PA PB PA PC -+-=，則ABC 一定為( )A 直角三角形；B. 等邊三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形2圓錐的軸截面SAB 是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，O 為底面中心，M 為SO 的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P 在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）。若AM MP ，則P 點(diǎn)形成的軌跡的長(zhǎng)度為_A.B.2 C.3 D.323.設(shè)有一個(gè)體積為

2、54的正四面體，若以它的四個(gè)面的中心為頂點(diǎn)做一個(gè)四面體，則所作四面體的體積為_A.1B. 2C. 3D. 44. 計(jì)算器上有一個(gè)特殊的按鍵，在計(jì)算器上顯示正整數(shù)n 時(shí)按下這個(gè)按鍵，會(huì)等可能的將其替換為0n -1中的任意一個(gè)數(shù)。如果初始時(shí)顯示2011，反復(fù)按這個(gè)按鍵使得最終顯示0，那么這個(gè)過程中，9、99、999都出現(xiàn)的概率是A .B.C.D. 5已知,R ，直線1sin sin sin cos x y+=+與1cos sin cos cos x y+=+的交點(diǎn)在直線y x =-上，則cos sin c in s s o += 。A.0B.1. C-1 D.2 6設(shè)lg lg lg 111()1

3、21418x x x f x =+，則1()()_f x f x+=。 A 1 B 2 C 3 D 4 7 已知1cos45=，則44sin cos += A 4/5B 3/5 C1 D -4/58頂點(diǎn)在同一球面上的正四棱柱ABCD A B C D -中，1AB AA =，A C ，兩點(diǎn)間的球面距離為（ ）A 4B 2C 4D 9. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，將適合,3,3,x y x y 使關(guān)于t 的方程33421()(3)0x y t x y t x y-+=-沒有實(shí)數(shù)根的點(diǎn)(,)x y 所成的集合記為N ，則由點(diǎn)集N 所成區(qū)域的面積為 。A 81/4B 83/4C 81/5D 83/510.

4、已知橢圓22143x y +=的左、右焦點(diǎn)分別為F 1、F 2，過橢圓的右焦點(diǎn)作一條直線l 交橢圓于點(diǎn)P 、Q ，則F 1PQ 內(nèi)切圓面積的最大值是 A B C D二、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。一設(shè)2()(,)f x x bx c b c =+R 若2x 時(shí)，()0f x ，且()f x 在區(qū)間(2,3上的最大值為1，求22b c +的最大值和最小值二、已知橢圓C ：22221x y a b +=（0a b ），其離心率為45，兩準(zhǔn)線之間的距離為252。（1）求,a b 之值；（2）設(shè)點(diǎn)A 坐標(biāo)為(6, 0)，B 為橢圓C 上的動(dòng)點(diǎn)，以A 為直角頂點(diǎn)，作等腰直角ABP （

5、字母A ，B ，P 按順時(shí)針方向排列），求P 點(diǎn)的軌跡方程。三.（本小題滿分25分）已知數(shù)列a n 中的相鄰兩項(xiàng)a 2k-1，a 2k 是關(guān)于x 的方程x 2（3k+2k ）x+3k2 k =0的兩個(gè)根. （1）求數(shù)列a n 的前2n 項(xiàng)和S 2n .（2）記f （n ）=21（nn sin |sin |+3），T n =21)2(1-a a f ）（+43)3(1-a a f ）（+65)4(1-a a f ）（+n n n f a a 212)1(1-+）（，求證：61T n 245（n N +） 四、已知橢圓 12222=+by a x 過定點(diǎn)A （1，0），且焦點(diǎn)在x 軸上，橢圓與曲線

6、y x=的交點(diǎn)為B 、C 。現(xiàn)有以A 為焦點(diǎn)，過B ，C 且開口向左的拋物線，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（m ，0），當(dāng)橢圓的離心率滿足13221，某植物研究所進(jìn)行該種子的發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)種一料種子，每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立。假定某次實(shí)驗(yàn)種子發(fā)芽則稱該次實(shí)驗(yàn)是成功的，如果種子沒有發(fā)芽，則稱該次實(shí)驗(yàn)是失敗的。若該研究所共進(jìn)行四次實(shí)驗(yàn)，設(shè)表示四次實(shí)驗(yàn)結(jié)束時(shí)實(shí)驗(yàn)成功的次數(shù)與失敗的次數(shù)之差的絕對(duì)值（1）求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E ；（2）記“關(guān)于x 的不等式012+-x x 的解集是實(shí)數(shù)集R ”為事件A ，求事件A發(fā)生的概率P （A ）。 數(shù)學(xué)答案及詳解1 解：因?yàn)?2PB PA AB PB PA PC CB CA -

7、=+-=+，所以已知條件可改寫為()0AB CB CA ?+=。容易得到此三角形為等腰三角形。 因此 選 D 。2 解：建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)A(0,-1,0), B(0,1,0),S, (0,0,2M ，P(x,y ,0).于是有(,AM MP x y = 由于AM MP ，所以(,0x y ?=，即34y =，此為P 點(diǎn)形成的軌跡方程，其在底面圓盤內(nèi)的長(zhǎng)度為= 因此 選 B 。3. B4. 答：6110若計(jì)算器上顯示n 的時(shí)候按下按鍵，因此時(shí)共有1n -1共n 種選擇，所以產(chǎn)生給定的數(shù)m 的概率是1n。如果計(jì)算器上的數(shù)在變化過程中除了2011，999，99，9和0以外，還產(chǎn)生了12,n a

8、 a a ，則概率為1211111112011999999n a a a ? ，所以所求概率為1211111112011999999n p a a a =?111111111*20091000999998?=+?+ ? ? ? ? ()11111111111110099981098?+?+?+ ? ? ?注意到()111111111111112011201020091000999998?=+?+?+ ? ? ? ?兩式相除即得6111110001001010p =?=。5解：由已知可知，可設(shè)兩直線的交點(diǎn)為00(,)x x -，且,in s s co 為方程001sin cos x x t t

9、-+=+，的兩個(gè)根，即為方程20sin c (cos )sin os (cos )i 0s n t t x -+-=+的兩個(gè)根。因此cos (sin sin cos )+=-+，即cos sin c in s s o +=0。6解： lg lg lg lg lg lg 1111111()()3121418121418x x x x x xf x f x -+=+=+。 7 458 B9. 答：815令2u t =，原方程化為3321()(3)0.x y u x y u x y-+=- 233221(3)4()523(53)().x y x y x yx xy y x y x y ?=+-?-=

10、+-=-+所給方程沒有實(shí)根等價(jià)于方程無實(shí)根或有實(shí)根但均為負(fù)根，所以，,3,3,(53)()0x y x y x y x y 3,3,(53)()0,30.x y x y x y x y x y點(diǎn)集N 所成區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，其面積為124181363.2525ABO BCO S S S ?=+=?+?=10. 答：916因?yàn)槿切蝺?nèi)切圓的半徑與三角形周長(zhǎng)的乘積是面積的2倍，且F 1PQ 的周長(zhǎng)是定值8，所以只需求出F 1PQ 面積的最大值。設(shè)直線l 方程為1x my =+，與橢圓方程聯(lián)立得()2234690m y my +-=，設(shè)()11,P x y ，()22,Q x y ，則122634m

11、 y y m +=-+，122934y y m =-+，于是1121212F PQS F F y y ?=?-因?yàn)?)2222222111111163491599611m m m m m m +=+，所以內(nèi)切圓半徑12384F PQS r ?=，因此其面積最大值是916。 二、解答題一 解：由題意函數(shù)圖象為開口向上的拋物線，且()f x 在區(qū)間(2,3上的最大值只能在閉端點(diǎn)取得，故有(2)(3)1f f =，從而5b -且38c b =-若()0f x =有實(shí)根，則240b c ?=-，在區(qū)間2,2-有(2)0,(2)0,22,2f f b ?-?-?即420,420,44,b c b c b

12、 -+?+?-?消去c ，解出4,54,44,b b b ?-?-?-?即4b =-，這時(shí)4c =，且0?=若()0f x =無實(shí)根，則240b c ?=-所以22222(38)104864b c b b b b +=+-=+，單調(diào)遞減 故2222min max ()32,()74b c b c +=+=注重分類討論 二、解：（1）設(shè)c 為橢圓的焦半徑，則2425,54a c c a =。于是有a 5，b 3。（2） 解法一：設(shè)B 點(diǎn)坐標(biāo)為(,)s t ，P 點(diǎn)坐標(biāo)為(,)x y 。于是有6(6)AB s t AP x y =-=-（，）, ，。因?yàn)锳B AP ，所以有6(6)(6)(6)0s

13、 t x y s x ty -=-+=（，），。 (A1 )又因?yàn)锳BP 為等腰直角三角形，所以有 AB=AP ，即 = (A2 )由（A1）推出22226(6)6(6)ty t y s s x x -=-?-=-，代入（A2），得 226t x =-（）從而有 226y s =-（），即6s y =+（不合題意，舍去）或6s y =-。 代入橢圓方程，即得動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡方程22661925x y -+=（）（）。 解法二： 設(shè)11(,)B x y ,(,),P x y AB r =，則以A 為圓心，r 為半徑的圓的參數(shù)方程為6cos sin x r y r =+?=?。 設(shè)AB 與x 軸正方

14、向夾角為，B 點(diǎn)的參數(shù)表示為116cos sin x r y r =+?=?，P 點(diǎn)的參數(shù)表示為 6cos(90)6sin ,cos sin(90)x r x r y r y r ?=+-=+?=-=-?即. 從上面兩式，得到1166x yy x =-?=-?。 又由于B 點(diǎn)在橢圓上，可得22(6)(6)1925x y -+=。 此即為P 點(diǎn)的軌跡方程。三.（I ）解：方程2(32)320k kx k x k -+=的兩個(gè)根為 13x k =，22k x =， （5分）2122n n S a a a =+ 2(363)(222)n n =+2133222n n n+=+- （10分）() 證明

15、：(1)123456212111(1)f n n n nT a a a a a a a a +-=+-+ ， 所以112116T a a =，2123411524T a a a a =+= （15分） 當(dāng)3n 時(shí)，(1)3456212111(1)6f n n n n T a a a a a a +-=+-+345621211116n n a a a a a a -?+-+ ? 2311111662622n ?+-+ ? 1116626n =+ ， （20分） 同時(shí)，(1)5678212511(1)24f n n n nT a a a a a a +-=-+ 5678212511124n n a

16、 a a a a a -?-+ ?31511112492922n ?-+ ? 515249224n =-15624n T （25分） 四、解：橢圓過定點(diǎn)A （1，0），則,1,12b c a -=,12b e -=1322聯(lián)立方程 ?=+=1)0(222b y x x x y ，解得 21b b y x +=。33010m x p y -=，1,0m p 。又 12-=m p， )(1(2m x m y -= 把 x y =，210=-+m m x m x ，1m ，210令)1(4)1(4)(2-+=m m x m x x f ，1m ，210 )(x f 在?21,0內(nèi)有根且單調(diào)遞增， ?-+=? ?1210)1(4)0(m m m f m m f ? ?+-42342301或m m m綜上得：4231+”0“= 指的是實(shí)驗(yàn)成功2次，失敗2次.8124)311()31()0(2324=-=C P ”2“=指的是實(shí)驗(yàn)成功3次，失敗1次或?qū)嶒?yàn)成功1次，失敗3次.8140)311)(31()311()31()2(314334=-+-=C C P ”4“=指的是實(shí)驗(yàn)成功4次，失敗0次或?qū)嶒?yàn)成功