31微分中值定理

1、第一節(jié) 中值定理教學目的：理解并會用羅爾定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。教學重點：羅爾定理、拉格朗日定理的應用。教學過程：一、羅爾定理定理1 :若函數(shù)f(x)滿足：(i)f(x)在a,b上連續(xù)；(ii)f(x)在(a,b)可導，(iii) f(a) =f(b),則在(a,b )內(nèi)至少存在一點，使得f( )=0.證明：由(i)知f(x)在a,b上連續(xù)，故f(x)在上必能得最大值M和最小值m，此時, 又有二種情況：(1) M=m，即f(x)在a,b上得最大值和最小值相等，從而知，此時f(x)為常數(shù)：f(x) = M=m，f(x) = 0，因此，可知為(a,b )內(nèi)任一點，都有f()=0。(2

2、) Mm,此時M和m之中，必有一個不等于f(a)或f(b)，不妨設M = f(a)(對m =f(a)同理證明)，這時必然在(a,b)內(nèi)存在一點，使得f( )=M,即 f(x)在 點得最大值。下面來證明：f( )=0(x) -Mx -首先由(ii)知f()是存在的，由定義知：(*)因為M為最大值，=對x有f(x)乞M = f(x) M乞0,當x時，有“匚亠二上止也汕X 一 -x -當XV 時,f (x) - M_0。x-又因為(*)的極限存在，知(*)極限的左、右極限都存在，且都等于f)，即f)= f_)二 f)，然而，又有f ()=f(x) - f()X-f(x) -f()X-= f ( )=

3、0。注1 :定理中的三個條件缺一不可，否則定理不一定成立，即指定理中的條件是充 分的，但非必要。2:羅爾定理中的點不一定唯一。事實上，從定理的證明過程中不難看出：若可 導函數(shù)f(x)在點處取得最大值或最小值，則有f)=0。3:定理的幾何意義：設有一段弧的兩端點的高度相等，且弧長除兩端點外，處處 都有不垂直于x軸的一切線，到弧上至少有一點處的切線平行于 x軸。【例1】設多項式p(x)的導函數(shù)p(x)沒有實根，證明p(x)最多只有一個實根二、拉格朗日中值定理在羅爾定理中，第三個條件為(iii) f (a)二f(b)，然而對一般的函數(shù)，此條不滿足,現(xiàn)將該條件去掉，但仍保留前兩個條件，這樣，結(jié)論相應地

4、要改變，這就是拉格朗日 中值定理:定理2 :若函數(shù)滿足:(i)f(x)在a,b上連續(xù)；(ii) f (x)在(a,b)上可導；則在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使得f)二丄辺u引。b - a若此時，還有f(a)二f(b)，= f ( )=0。可見羅爾中值定理是 拉格朗日中值定理的一個特殊情況，因而用羅爾中值定理來證明之。證明：上式又可寫為f()一 f (b) - f(a) =o.b - a作一個輔助函數(shù)：F(x) = f(x)-地 血(x-a)(2)b -a顯然，F(xiàn)(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導，且F(a) = f(a)血(a - a) = f (a)b aF(b)二 f(b) -卑徑(

5、b-a)二 f(a)b a= F(a)=F(b)，所以由羅爾中值定理，在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使得f(b) - f (a)F ( )=0 o 乂 F (x) = f (x)f(b) - f(a)b - ab - af()-f(b) f(a)=o 或 f()b a注1:拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣；2:定理中的結(jié)論，可以寫成 f(b) - f(a) = f ( )(b-a) (a b)，此式也稱為拉格朗日公式，其中可寫成：=aT(b-a) (0 ”：八：1)=f (b) - f (a) = f (a r(b -a)(b - a)(3)若令b二a h,f (a h) - f(a) =

6、f (a ，h)h(4)3 :若a b，定理中的條件相應地改為：f(x)在b,a上連續(xù)，在(b, a)內(nèi)可導,則結(jié)論為：f(a) - f (b)二 f ( )(a -b)也可寫成f(b) - f(a)二 f ( )(b -a)可見，不論a,b哪個大，其拉格朗日公式總是一樣的。這時， 為介于a,b之間的一 個數(shù)，(4)中的h不論正負，只要f (x)滿足條件，(4)就成立。4:設在點x處有一個增量 x，得到點x 上，在以x和x 厶x為端點的區(qū)間上應用拉格朗日中值定理，有 f(x *：x) - f(x) = f (x rx)(0 ： v : 1)即 勺=f (x 八x)這準確地表達了 勺和h這兩個增

7、量間的關系，故該 定理又稱為微分中值定理。5:幾何意義：如果曲線y二f(x)在除端點外的每一點都有不平行于 y軸的切線, 則曲線上至少存在一點，該點的切線平行于兩端點的聯(lián)線。由定理還可得到下列結(jié)論：推論1：如果y =f(x)在區(qū)間I上的導數(shù)恒為0，則f (x)在I上是一個常數(shù)。證明：在I中任取一點Xo，然后再取一個異于Xo的任一點X，在以Xo， x為端點的 區(qū)間J上，f(x)滿足：(i)連續(xù)；(ii)可導；從而在J內(nèi)部存在一點，使得f(X) - f (Xo) = f ( J(x - Xo)又在 I 上，f (x) = 0，從而在 J 上，f (x) =0，=f ( ) = o， 所以 f (x

8、) - f (Xo) = o = f (x)二 f(Xo)，可見，f(x)在I上的每一點都有：f(x)二f(Xo)(常數(shù))柯西中值定理定理3:若f(x), F(x)滿足:(i) f(x), F(x)在a,b上連續(xù)；(ii) f(x), F(x)在(a,b)內(nèi)可導;(iii) F (x)在(a,b)內(nèi)恒不為 0;f ( ) f(b) - f(a) F (廠 F(b)-F(a) F(a) = F(b)；則在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使得證明：令(x)= 些 型 F(x)-f(x)，顯然，(x)在a,b上連續(xù)，且(x)在(a,b) F(b) F(a)內(nèi)可導，更進一步還有(a)二(b)，事實上,(b)

9、 - ：(a)f(b)- f(a)F(b)-F(a)F(b)-f(b)-f (b)- f(a) f(b)-F(a)F(a廠 f(a)鵲開(F(bF(a)(f(b) f (a)H0所以(x)滿足羅爾定理的條件,故在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使得()=0,又：(x)f(b) -f(a)F(b) -F(a)(x)- f (x)旳F()-f()=0因為F ( ) = 0，f ( ) _ f(b)- f(a)F ( ) F(b)-F(a)注1 :柯西中值定理 是拉格朗日中值定理的推廣，事實上，令 F(x)二x，就得到拉格朗日中值定理；X = f (x)2 :幾何意義：若用丿(axb )表示曲線c，則其幾

10、何意義同前Y = F (x)一個?！纠?】 若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有二階導數(shù)，且 f (治)=f (X2) = f (X3)，其中a :Xi：X2:X3： b，證明在(Xi,X2)內(nèi)至少有一點，使得 f ( ) = 0。X【例2 】若 x 0，證明:ln(1 - x) ： x。1 +x證明：對-Xo 0，取a,b =1,1 Xo， f(x) = In X，不難驗證：f(x)滿足拉格朗日中值定理的條件，故在(1,1 * Xo)內(nèi)至少存在一點 ，使 f ()二丄滿足 ln(1 X。)-In1 =丄(1 Xo -1)，即 I n1( x。)=汙(1 ： 1 X。)=丄丄11 XoXo1 Xo

11、:總:XoXo1 Xo：I n 1 Xo) ： Xo由Xo的任意性，知本題成立。注：條件“ x0”可改為“ xT”，結(jié)論仍成立。【例3】證明：sinasinb蘭ab?！纠?】 證明：若f (x)在(a,二)上可導，且lim.f (x) = k,lim f (x)存在，則lim f (x) =0。x -.：【例5】 證明 arcsinx arccosx ( -lxl )。21 1 證：令 f (x)二 arcsin x arccosx , f (x)0 ,Jl_x2Ji x2HJI由推論知f(x)=常數(shù)！再由f (0) ，故arcsi nx - arccosx =22【例6】 若方程axn 玄必心亠 亠anx=0有一個正根x = x,證明方程a0