論文函數(shù)最值問題1

1、函數(shù)最值問題解法探討摘要函數(shù)最值問題是函數(shù)的核心知識(shí)，在現(xiàn)實(shí)生活中也有著廣泛的應(yīng)用，是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的重點(diǎn)內(nèi)容，同時(shí)函數(shù)最值問題也與數(shù)學(xué)中眾多知識(shí)與方法是緊密相關(guān)的。本文主要就函數(shù)最值問題的基本求解方法與技巧加以討論，并結(jié)合一些具體的例子進(jìn)一步說明這些方法在解題當(dāng)中的應(yīng)用。AbstractThe maximum andminimumof the function is the core knowledge of function, which is also widely applied in real life, and is the key content of middle scho

2、ol mathematics teaching and research. Meanwhile, it is closely related to numerous knowledge and methods in mathematics. This article mainly discusses the basic calculation methods and skills of the maximum and minimum of the function, and combines with some concrete examples to further illustrate t

3、he application of these methods in the problem solving.關(guān)鍵詞:函數(shù) 最值 解法 目錄1引言32函數(shù)最值問題解法探討33例題探討54總結(jié)語13參考文獻(xiàn)13 一、引言函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容,貫穿于整個(gè)中學(xué)階段,而函數(shù)最值問題是函數(shù)的重要組成部分。并且函數(shù)最值問題也與數(shù)學(xué)中眾多知識(shí)與方法是緊密相關(guān)的，根據(jù)平時(shí)教學(xué)中教授知識(shí)內(nèi)容，我認(rèn)為總結(jié)函數(shù)最值問題解法很有必要，對(duì)提高學(xué)生解決問題的能力有很重要的作用。一般函數(shù)的求最值的方法可歸納為十種：判別式法、配方法 、不等式法 、三角函數(shù)法 、換元法、數(shù)形結(jié)合法 、函數(shù)單調(diào)性法 、復(fù)數(shù)思想 、求導(dǎo)法 、

4、線性規(guī)劃法等，這些方法具有極強(qiáng)的針對(duì)性，每一種方法針對(duì)性不同。本文就常用的幾種方法進(jìn)行探討。二、函數(shù)最值問題解法探討函數(shù)最值的定義設(shè)函數(shù)y=在內(nèi)有定義，如果有 ,使得對(duì)于任一,都有（或）成立，則稱函數(shù)在點(diǎn)處有最大（?。┲?)。 1、 判別式法有些函數(shù)經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃魏?，可整理?()的形式，根據(jù)x是實(shí)數(shù)，因而可以用判別式求最值，但要注意把變形過程中函數(shù)值域擴(kuò)大（或縮?。┑牟糠秩サ簦ɑ蛘一兀?。12、配方法當(dāng)函數(shù)是二次函數(shù),或者經(jīng)過變形后可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)時(shí),就可以利用這種方法進(jìn)行求解。當(dāng)涉及到具體問題,在使用配方法時(shí)必須注意題目中的隱含條件及問題的轉(zhuǎn)化、換元。經(jīng)轉(zhuǎn)化后問題一般就成了求函數(shù)y = (

5、 a 0)在閉區(qū)間 或區(qū)間( 、) 上的最值,此時(shí)就可以用二次函數(shù)的單調(diào)性來確定最值。23、不等式法有些函數(shù)可利用已證過的重要不等式來求最值，特別是均值不等式在求最值的問題中更是應(yīng)用廣泛。著名的平均值不等式：若R+則 當(dāng)且僅當(dāng)是一個(gè)應(yīng)用廣泛的不等式，許多外形與它截然相異的函數(shù)式，常常也能利用它巧妙地求出最值。34、三角函數(shù)法求三角函數(shù)最值，主要利用正、余弦函數(shù)的有界性，結(jié)合函數(shù)的圖像和性質(zhì)來求解。求三角函數(shù)的最值方法：1） 可用輔角化為其中 2） 可化為3） 可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)4）與同時(shí)存在型可換元轉(zhuǎn)換5）或可用分離系數(shù)法或由來解決，可化為重分式求解。6）可用斜率公式求解決5、換元法 換元法

6、就是通過引入一個(gè)或幾個(gè)新的變量，來替代原來的某些量的解題方法，達(dá)到化抽象為具體形象，化繁雜為簡(jiǎn)單明確，化難為易的目的，換元法主要有代數(shù)換元和三角換元。用換元法時(shí)，要注意換元后變?cè)姆秶?、數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合能將抽象的問題直觀化、形象化，函數(shù)最值也常借助數(shù)形結(jié)合方法來解。7、函數(shù)單調(diào)性法一般對(duì)于可化為y=型（或化為余弦函數(shù)形式）的三角函數(shù)，在自變量的范圍限制在某個(gè)區(qū)間的情況下，函數(shù)最值問題通常通過三角恒等變換將已知函數(shù)式直接轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù)的形式，將異名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù)，然后利用三角函數(shù)的單調(diào)性來求解。48、復(fù)數(shù)思想復(fù)數(shù)z 是形如 (R)的數(shù),它與以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的向量建立一一對(duì)應(yīng)

7、關(guān)系后，從側(cè)面獲得了：（1）長(zhǎng)度的含義，即 | z | =；（2）非零實(shí)數(shù)的性質(zhì)，即| z |0，這樣| z |就列入到求最大（?。┲祮栴}了，其解法有以下四種：（1）運(yùn)用圖形的直觀性求解；（2）運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角不等式求解；（3）運(yùn)用復(fù)數(shù)的幾何意義求解；（4）運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)求解。9、求導(dǎo)法如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上是連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在閉區(qū)間a,b上必有最大值和最小值，它的最大值（最小值）是函數(shù)f(x)的極大值與極小值以及f(a)、f(b)中最大的（最小的）。510、線性規(guī)劃法線性規(guī)劃問題，一般可用圖解法求線性目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最大值或最小值問題。分為三個(gè)步驟：第一步，在平面直角

8、坐標(biāo)系中作出可行域；第二步，利用平移直線的方法在可行域內(nèi)找到最優(yōu)解析對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；第三步，將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)求出最大值或最小值。三、例題探討例 1 ：已知函數(shù) 求其最值解：由得， 即 例 2 ：已知實(shí)數(shù)滿足求的最大值!解：從已知條件推得 =又 解得當(dāng)時(shí)，（）=,無最小值。例3：的最小值 解： 原式2+1=5當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即x=3時(shí)，等號(hào)成立。注意：1）、兩個(gè)正數(shù)的和為定值，則積有最大值，兩個(gè)正數(shù)的積為定值，則和有最小值；2）、應(yīng)用均值不等式求最值時(shí)，要注意三點(diǎn)“一正、二定、三相等”。例4（1）：求函數(shù)的最大值與最小值解：函數(shù)的幾何意義為兩點(diǎn)P(-2,0),Q連線的斜率K,而Q點(diǎn)的軌跡為單位圓，可知

9、 例4（2）：函數(shù)滿足且求函數(shù)f(x)的最值解：把代入得例4（3）：已知函數(shù)， 1、求函數(shù)的最小值2 、求1中的最大值 解： f(x)取得最小值 當(dāng)a=1時(shí)，例5：函數(shù)f(x)=2+,x1,9求的最大值、最小值解：由可得，定義域令 則t=0, t=1,例6:求函數(shù)的最大值和最小值。解：= 這可以看作是定點(diǎn)A( -4,-3)與單位圓上的點(diǎn) p連線的斜率。由下圖可知，過點(diǎn) A( -4，-3)作單位圓的切線時(shí)，斜率有最值。故 y 的最值就是當(dāng)直線 AP 與單位圓相切時(shí)的斜率。A(-4,-3)xyOPP因?yàn)閱挝粓A 中斜率為k的切線方程為: 由于該切線過點(diǎn)A(-4,-3)，故 ，-3=-4所以 即 例7

10、：已知函數(shù)，,求函數(shù)的最值。解：=當(dāng)即時(shí)， 函數(shù)f(x)取得最值得自變量x的集合是例8：已知復(fù)數(shù)z滿足| z |=2，求的最大值和最小值。解法一：設(shè)z=,(R) | z |=2 = = 設(shè)t=a+,則t-=a, 4-2 bR，tR, =-160 解得-4t4,即-44 代入得 =0 =4解法二： | z |=2， 點(diǎn)z是圓上的點(diǎn)，表示z與-1-的對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離。由于點(diǎn)P（-1，-）在圓上，如下圖：pxyO22 |PZ|的最小值為0，最大值為4，即 =0 =4解法三：由不等式-+，得 04 =0 =4解法四：設(shè)z=（R),則由| z |=2 得 =(x+1)+(y+)(x+1)-(y+) =(x

11、+1)+ (y+) = = 由于，故可令 于是上式可化為=8+4( =8+8 =8+8 016 即 =0 =4在求函數(shù)的最值時(shí),如果函數(shù)能夠變形為平方和的形式,不妨引進(jìn)復(fù)數(shù),利用復(fù)數(shù)的模來求解,利用復(fù)數(shù)的模的不等式性質(zhì),往往使問題迎刃而解。例9：已知a為實(shí)數(shù)，f(x)=(x2 -4)(x-a)若f(-1)=0,求f(x)在-2,2上的最大值與最小值。解：由原式得：f(x)=x3-ax2-4x+4a f(x)=3x2-ax-4由f(-1)=0得a= ,此時(shí)有由得或又，所以在-2,2上最大值為，最小值為。注意：1、函數(shù)的最值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值相比較而言的，函數(shù)的極值反映函數(shù)在某一點(diǎn)附近的

12、情況，是在局部對(duì)函數(shù)值得比較，故函數(shù)的極值不一定是最值，在某一區(qū)間上最值不一定是函數(shù)的極值； 2、連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間（a,b）上不一定有最大值或最小值，如果連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間（a,b）內(nèi)只有一個(gè)極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值。例10：已知實(shí)數(shù)x,y滿足，求的最大值和最小值解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示Oy426ACDBx=4x+y-6=04x-3y+12=046x令z=,則y=xz故求的最大值與最小值就是求不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的最大值與最小值，由圖易知，最小，最大，由得故C（4,2），= 由得故A =6故的最大值為6，最小值為注意：線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值一般在可行域的頂點(diǎn)處或邊界上取得；求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義。四、總結(jié)語本文通過函數(shù)最值問題及例題探討，總結(jié)出求函數(shù)最值問題幾種解法，碰到現(xiàn)實(shí)問題時(shí)，要根據(jù)不同題型,不同情況來區(qū)別對(duì)待,沒有一套固定的公式和定式。我們只有通過全面分析，結(jié)合所學(xué)的已知知識(shí)，用綜合的手段，面準(zhǔn)確的考慮最值的各種可能