分?jǐn)?shù)裂差(A級(jí)).學(xué)生版

1、考試要求1、靈活運(yùn)用分?jǐn)?shù)裂差計(jì)算常規(guī)型分?jǐn)?shù)裂差求和2、能通過(guò)變型進(jìn)行復(fù)雜型分?jǐn)?shù)裂差計(jì)算求和知識(shí)結(jié)構(gòu).裂項(xiàng)分為分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)和“裂差”型運(yùn)算將算式中的項(xiàng)進(jìn)行拆分，使拆分后的項(xiàng)可前后抵消，這種拆項(xiàng)計(jì)算稱為裂項(xiàng)法 整數(shù)裂項(xiàng)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)方法是將數(shù)字分拆成兩個(gè)或多個(gè)數(shù)字單位的和或差。遇到裂項(xiàng)的計(jì)算題時(shí)，要仔細(xì) 的觀察每項(xiàng)的分子和分母，找出每項(xiàng)分子分母之間具有的相同的關(guān)系，找出共有部分，裂項(xiàng)的題目無(wú)需復(fù) 雜的計(jì)算，一般都是中間部分消去的過(guò)程，這樣的話，找到相鄰兩項(xiàng)的相似部分，讓它們消去才是最根本 的。1、對(duì)于分母可以寫作兩個(gè)因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，即丄 形式的，這里我們把較小的數(shù)寫在前面，即a ： b，a漢b那么有(a

2、 b b a a對(duì)于分母上為3個(gè)或4個(gè)自然數(shù)乘積形式的分?jǐn)?shù)，我們有:n (n k) (n 2k) 2kn (n k) (n k)(n 2k)1n (n k) (n 2k) (n 3k) 3kn (n k) (n 2k) (n k) (n 2k) (n 3k)3、對(duì)于分子不是1的情況我們有:k _ 11n(n k) .n n k2knn k n 2k nn k n k n 2k3knn k n 2k n 3k nn k n 2k n k n 2k n 3khnnk n 2kh 12k |n n kn k n 2knnk n 2k n 3kh 1 113kn(n +k n+2k) (n +k n+

3、2k)( n+3k)22kJ丄2n -1 2n 12 2n -1 2n 1、裂差型裂項(xiàng)的三大關(guān)鍵特征:（1） 分子全部相同，最簡(jiǎn)單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是 x（x為任意自然數(shù)）的，但是只要將x提取出來(lái)即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運(yùn)算。（2） 分母上均為幾個(gè)自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個(gè)分母上的因數(shù)“首尾相接”（3）分母上幾個(gè)因數(shù)間的差是一個(gè)定值。重難點(diǎn)1、分子不是1的分?jǐn)?shù)的裂差變型；2、分母為多個(gè)自然數(shù)相乘的裂差變型。例題精講型分?jǐn)?shù)求和n（n 1）分析：1型（n為自然數(shù)） n（n 1）用裂項(xiàng)法求n 1nn(n 1) n(n 1)（n為自然數(shù)），所以有裂項(xiàng)公式:n（n 1）1 1 1n(n

4、 1) n n 1【例1】填空：1(1)1-=（2）二（3）1 1 _（4）-21 22 32匯3(5)1 1(6)（7）-1 1 1(8)59 60596099 10099100【鞏固】【例2】計(jì)算：10x11 11x1259 6011111+ +1 22 33 44 55 6【鞏固】計(jì)算：1 1 1 1 11985 1986 1986 19871995 1996 1996 1997 1997【例3】計(jì)算：1蘭二2 61535771 1 11 1111-+ + + + + 。6 12 203042567290【鞏固】計(jì)算：11 11111112 612203042567290【例4】【鞏固】

5、計(jì)算:111 11- 2- 3 4-202 6 12201420【例引計(jì)算:2008 1 200954 2010盤 2011盤 2012金=【鞏固】計(jì)算:1 511192(97019899n(n k)2 612203097029900分析：1型。(n,k均為自然數(shù)) n(n k)、用裂項(xiàng)法求型分?jǐn)?shù)求和1 1 1 1n kn、1()因?yàn)橐?)，所以 n(n k) k n n kk n n+k k n(n +k) n(n+k) n(n+k)【例6】 丄-卄| . 一1一1江33X55匯799 匯101【鞏固】計(jì)算:11丄丄丄丄3195【例7】計(jì)算：251111話漢3 3漢

6、5 5漢723漢25丿【鞏固】計(jì)算:1(8.丄.丄.丄丄.丄.丄244880120168224丄)128 二288n(n k)分析：k型(n,k均為自然數(shù))n(n k)三、用裂項(xiàng)法求型分?jǐn)?shù)求和n knn(n k) n(n k)kn(n k)，所以kn(n k)2 2 2 2【例8】求丄+2一 的和97 99【鞏固】_?222二10x9 9匯85X4 4匯33 33【例9】計(jì)算：仆4 4乂77679【鞏固】3332匯5 5沃8 8漢1132漢35【例10】蘭蘭上川丄217716520212 22 2【鞏固】（）463 15 355751、計(jì)算：111 11 22 3 3 449 502、計(jì)算:11111_ + +82448801201 1+168224I； 643、計(jì)算:5 77 9 9 11 11 13 13 154、144 7 3 -76 漢 7979 匯 8211111111計(jì)算：1 3579111315176122030