中考總復(fù)習圖形的變換 知識講解提高

1、中考總復(fù)習：圖形的變換-知識講解(提高)【考綱要求】1. 通過具體實例認識軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)，探索它們的基本性質(zhì)；平移、旋轉(zhuǎn)后的圖形，能作出簡單平面圖形經(jīng)過一次或2. 能夠按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱、 兩次軸對稱后的圖形；等腰梯形、正多邊形、圓)的軸對稱性質(zhì)及其相關(guān)性質(zhì) 旋轉(zhuǎn)及其組合)；3. 探索基本圖形(等腰三角形、矩形、菱形、4. 探索圖形之間的變換關(guān)系(軸對稱、平移、5. 利用軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合進行圖案設(shè)計；認識和欣賞軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實生活中的 應(yīng)用.【知識網(wǎng)絡(luò)】能轉(zhuǎn)中心 簾轉(zhuǎn)對禰團)鞍=5*中心時稱L#幣心對稱m形一對應(yīng)軸時銘_的軸對帳罔【考點梳理】考點一、平移變換

2、1. 平移的概念：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為 平移，平移不改變圖形的形狀和大小.【要點詮釋】(1 )平移是運動的一種形式，是圖形變換的一種，本講的平移是指平面圖形在同一平面內(nèi) 的變換；(2) 圖形的平移有兩個要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離，這兩個要素是 圖形平移的依據(jù)；(3) 圖形的平移是指圖形整體的平移，經(jīng)過平移后的圖形，與原圖形相比，只改變了位置， 而不改變圖形的大小，這個特征是得出圖形平移的基本性質(zhì)的依據(jù).2 .平移的基本性質(zhì)： 由平移的概念知，經(jīng)過平移，圖形上的每一個點都沿同一個方向移動 相同的距離，平移不改變圖形的形狀和大小，因此平

3、移具有下列性質(zhì)：經(jīng)過平移，對應(yīng)點所 連的線段平行且相等，對應(yīng)角相等.【要點詮釋】(1) 要注意正確找出“對應(yīng)線段，對應(yīng)角”，從而正確表達基本性質(zhì)的特征；(2) “對應(yīng)點所連的線段平行且相等”，這個基本性質(zhì)既可作為平移圖形之間的性質(zhì)， 又可作為平移作圖的依據(jù).考點二、軸對稱變換1.軸對稱與軸對稱圖形軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這 條直線對稱，也叫做這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的對應(yīng)點，叫做對稱點軸對稱圖形：把一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱 圖形.2 .軸對稱變換的性質(zhì) 關(guān)于

4、直線對稱的兩個圖形是全等圖形 . 如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線. 兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上 如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱3 .軸對稱作圖步驟2倍，得到各點的對稱點. 找出已知圖形的關(guān)鍵點，過關(guān)鍵點作對稱軸的垂線，并延長至 按原圖形的連結(jié)方式順次連結(jié)對稱點即得所作圖形.4翻折變換：圖形翻折問題是近年來中考的一個熱點，其實質(zhì)是軸對稱問題，折疊重合部分必全等， 折痕所在直線就是這兩個全等形的對稱軸，互相重合的兩點(對稱點)連線必被折痕垂直平分.【要點詮釋】 翻折的規(guī)律是，折疊部

5、分的圖形，折疊前后，關(guān)于折痕成軸對稱，兩圖形全等，折疊圖形 中有相似三角形，常用勾股定理 .考點三、旋轉(zhuǎn)變換1旋轉(zhuǎn)概念：把一個圖形繞著某一點 0轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn) .點0叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的 角叫做旋轉(zhuǎn)角.2 旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)圖形通過旋轉(zhuǎn)，圖形中每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，任意一對對應(yīng) 點與旋轉(zhuǎn)中心的連線都是旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，旋轉(zhuǎn)過 程中，圖形的形狀、大小都沒有發(fā)生變化 .3 旋轉(zhuǎn)作圖步驟 分析題目要求，找出旋轉(zhuǎn)中心，確定旋轉(zhuǎn)角. 分析所作圖形，找出構(gòu)成圖形的關(guān)鍵點.,從而作出圖形中各關(guān)鍵點的對 沿一定的方向，按一

6、定的角度、旋轉(zhuǎn)各頂點和旋轉(zhuǎn)中心所連線段 應(yīng)點. 按原圖形連結(jié)方式順次連結(jié)各對應(yīng)點.【要點詮釋】1 圖形變換與圖案設(shè)計的基本步驟 確定圖案的設(shè)計主題及要求； 分析設(shè)計圖案所給定的基本圖案； 利用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱對基本圖案進行變換，實現(xiàn)由基本圖案到各部分圖案的有機組合； 對圖案進行修飾，完成圖案 .2 平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱之間的聯(lián)系一個圖形沿兩條平行直線翻折 (軸對稱)兩次相當于一次平移， 沿不平行的兩條直線翻折兩次相當 于一次旋轉(zhuǎn)，其旋轉(zhuǎn)角等于兩直線交角的2倍.【典型例題】 類型一、平移變換1.如圖，將矩形 ABC沿對角線AC剪開，再把 ACD沿 CA方向平移得到 A C D.(1)證明 A A

7、DCC B;(2)若/ ACB=30，試問當點C在線段AC上的什么位置時，四邊形ABC D是菱形，并請說明理由.c【思路點撥】(1) 根據(jù)已知利用(2) 由已知可推出四邊形 ABC DBC Jac, 2是菱形，由已知可得到SAS判定 A AD CC B;是平行四邊形，只要再證明一組鄰邊相等即可確定四邊形AB=2 AC,2ABC D從而得到AB=BC，所以四邊形 ABC D是菱形.【答案與解析】(1)證明：四邊形 A D =AD=CB AA =CC , A/ D A C =/ BCA A AD N CC B.(2)解：當點C是線段AC的中點時，四邊形 ABC D是菱形. 理由如下：四邊形ABCD

8、是矩形， A C D由 ACD平移得到， C D =CD=AB由(1 )知 AD =C B.四邊形ABC D 在Rt ABC中，點ABCD是矩形,DA C/ AD/是平行四邊形.C是線段AC的中點,D由 ACD平移得至U,BC. BC =-AC.2而/ ACB=30 ,1 AB=-AC.2 AB=BC .是菱形.四邊形ABC D【總結(jié)升華】本題考查了平移的性質(zhì)特點以及全等的判定和菱形的判定，注意對這兩個判定定理的準確 掌握，考查學生綜合運用數(shù)學的能力.2 .操作與探究:1(1) 對數(shù)軸上的點 P進行如下操作：先把點 P表示的數(shù)乘以1，再把所得數(shù)對應(yīng)的點向右平移1個單3位，得到點P的對應(yīng)點P.點

9、A, B在數(shù)軸上，對線段AB上的每個點進行上述操作后得到線段 A B, 其中點A, B的對應(yīng)點分別為 A , B如圖1，若點A表示的數(shù)是-3，則點A表示的數(shù)是 ;若點B 表示的數(shù)是2，則點B表示的數(shù)是 ;已知線段AB上的點E經(jīng)過上述操作后得到的對應(yīng)點 E 與點E重合，則點E表示的數(shù)是-4 T -2 J 01234圏1(2)如圖2,在平面直角坐標系 xOy中，對正方形 ABCD及其內(nèi)部的每個點進行如下操作：把每個點的 橫、縱坐標都乘以同一個實數(shù) a ,將得到的點先向右平移 m個單位，再向上平移n個單位(m 0 , n 0), 得到正方形 ABCD及其內(nèi)部的點，其中點 A, B的對應(yīng)點分別為A ,

10、B.已知正方形ABCD內(nèi)部的一個點F經(jīng)過上述操作后得到的對應(yīng)點F與點F重合，求點F的坐標.X圏2【思路點撥】(1)根據(jù)題目規(guī)定，以及數(shù)軸上的數(shù)向右平移用加計算即可求出點A,設(shè)點B表示的數(shù)為a,根據(jù)題意列出方程求解即可得到點B表示的數(shù)，設(shè)點 E表示的數(shù)為b,根據(jù)題意列出方程計算即可得解；y),根據(jù)平移規(guī)律列出方程組求解即可.(2) 先根據(jù)向上平移橫坐標不變，縱坐標加，向右平移橫坐標加，縱坐標不變求出平移規(guī)律，然后設(shè) 點F的坐標為(x,【答案與解析】(1 )點 A : -3 X設(shè)點B表示的數(shù)為設(shè)點E表示的數(shù)為1_+1=-1+1=0,31則丄a+1=2,解得a=3,313則b+1=b,解得 b=；3

11、2故答案為：0; 3;(2)根據(jù)題意得,3a + m = -13a + m = 2oa+n =21a =一21,解得 m = 2n=2設(shè)點F的坐標為(x，y),對應(yīng)點F與點F重合,1 1 1 一 一x+-=x, y+2=y，解得 x=1, y=4,所以，點 F 的坐標為(1, 4).2 2 2【總結(jié)升華】 耐心細致的讀懂題目信息是解答本題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】如圖，若將邊長為 2cm的兩個互相重合的正方形紙片沿對角線AC翻折成等腰直角三角形后,再抽出一個等腰直角三角形沿AC移動，若重疊部分 也A PC的面積是1cm2，則移動的距離 AA等【答案】根據(jù)題意得：AB/ A B, BC/ B C

12、,/ A PC=/ B=90,V/ A=/ CA P=/ ACP=45 , A PC是等腰直角三角形， SA- PC= 1A P?PC=1 (cm),2 A P=PC=/2cm, A C=2cm由于原等腰直角三角形的斜邊是22 cm,所以平移的距離是：2J2-2(cm).類型二、軸對稱變換3 .已知矩形紙片ABCD,AB=2 , AD=1，將紙片折疊，使頂點 A與邊CD上的點E重合.33如果折痕FG分別與CD、AB交與點F、（折疊問題）【思路點撥】本題涉及到的知識點有翻折變換 【答案與解析】G（如圖2） , AED的外接圓與直線 BC相切,2（1）如果折痕FG分別與AD、AB交與點F、G（如圖

13、1） , AF =，求DE的長；3;矩形的性質(zhì)；直線與圓的位置關(guān)系.2(1)在矩形 ABCD中, AB=2, AD=1, AF=-，/ D=90.321根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得EF=AF二. DF=AD-AfJ .在Rt DEF中,叫訂心協(xié)AG s(2)設(shè)AE與FG交于O,取AD的中點M,連結(jié)并延長 MO交BC于N. 由軸對稱的性質(zhì)得 AO=EO MN/ DE MO=DE/ D=90 , AD/ BC四邊形 MNCD!矩形，MN=CD=AB=2設(shè) DE=x 貝U ON=2-x. AED的外接圓與BC相切， ON AED的外接圓的半徑. OE=ON=2-x AE=2ON=4-x在 Rt AED中，A

14、D+dE=aE ,- 12+x2= (4-x ) 2 ,解得 x= .815117 DE=, OE=2-x=.由軸對稱的性質(zhì)得 AE FG8216/ FOE玄 D=90.又/ OEF=/ DEA FE3A AEDFO OE AD DE .*171S*17把 0E= , DE= , AD=2代入解得 F0= .16 830易證GAO17 17 FO=G0； FG=2FO丄，即折痕FG的長是丄11515【總結(jié)升華】 本題通過矩形紙片折疊，利用軸對稱圖形的性質(zhì)，在豐富的圖形關(guān)系中，考查學生獲取信 息和利用所得信息認識新事物的能力，本題對圖形折疊前后的不變量的把握、直線與圓位置關(guān)系的準確 理解、方程思

15、想的運用意識和策略等具有可再抽象性.舉一反三:【變式】如圖所示，有一塊面積為 1的正方形紙片 ABCD M、N分別為AD BC的邊上中點，將 C點折至 MN上，落在P點的位置，折痕為 BQ連接PQ(1 )求MP的長;1(2) 求證：以PQ為邊長的正方形的面積等于 丄3N【答案】（1 ）解：連接BP PC,由折法知點P是點C關(guān)于折痕BQ的對稱點. BQ垂直平分 PC, BC=BP又 M、N分別為AD BC邊上的中點，且四邊形 ABCD是正方形, BP=PC BC=BP=PC PBC是等邊三角形./ PN BC于 N, BN=NCd BCj , / BPNj X/ BP C=30 ,2 2 2 P

16、N= , MP=MN-pN2 2O點P是AB邊上一動點, 步驟一，折疊紙片，使點步驟二，過點P作PT丄AB,交MN所在的直線于點 Q,連結(jié)QE （如圖（2）所示）；(2 )證明：由折法知 PQ=QC / PBQ=/ QBC=30 .在 Rt BCQ中, QC=BCtan30 =1 xl=l3 3 pqM3以PQ為邊的正方形的面積為 -3ABCD中，AB=26厘米，BC=18.5厘米，點E在AD上，且AE = 6厘米，按如下操作：所示）;P與點E重合，展開紙片得折痕 MN （如圖（1）“=”/ ”號）二進行操作：）；（1）無論點P在AB邊上任何位置，都有 PQ QE （填、”、（2） 如圖（3）

17、所示，將矩形紙片 ABCD放在直角坐標系中，按上述步驟一、當點P在A點時，PT與MN交于點Qi, Qi,點的坐標是（);當PA = 6厘米時，PT與MN交于點Q2 , Q2點的坐標是(當PA =12厘米時，在圖(3)中畫出MN , PT (不要求寫畫法)并求出 MN與PT的交點Q3的坐標;(3 )點P在在運動過程中，PT與MN形成一系列的交點 Qj, Q2 , Q3觀察，猜想：眾多的交點形成的圖象是什么？并直接寫出該圖象的函數(shù)表達式C(1)【思路點撥】(1)根據(jù)折疊的特點可知(2)NQEA NQP 所以 PQ=QEC1812一E 6 *f Q21Q11- 11 1 1 1 1 1 1 10(

18、A)N 6121824 B(3)y A(2) 過點E作EG! QP,垂足為G,則四邊形 APGE是矩形.設(shè) QG=x，貝U QE=QP=x+6.利用Rt QEG中 的勾股定理可知 x=9 , QP=15.即Q (12, 15).(3) 根據(jù)上述的點的軌跡可猜測這些點形成的圖象是一段拋物線，利用待定系數(shù)法可解得函數(shù)關(guān)系式:1 2y=x +3 (0 xw 26).12【答案與解析】(1)由折疊的特點可知 NQE NQP所以PQ=QE(27( 0, 3); S 6, 6).畫圖，如圖所示.過點E作EG! QP,垂足為 G則四邊形 APGE是矩形.GP=6 EG=12設(shè) QG=x 貝y QE=QP=x

19、+6.在 Rt QEG中， EQ2=eG+qG(3)這些點形成的圖象是一段拋物線. x=9. QP=15.1 2函數(shù)關(guān)系式：y=x +3 (0 xW 26).12【總結(jié)升華】 本題是一道幾何與函數(shù)綜合題，它以“問題情境-建立模型-解釋、應(yīng)用與拓展”的模式，通過動點P在AB上的移動構(gòu)造探究性問題，讓學生在“操作、觀察、猜想、建模、驗證”活動過程中， 提高動手能力，培養(yǎng)探究精神，發(fā)展創(chuàng)新思維.類型三、旋轉(zhuǎn)變換您5.把兩塊全等的直角三角形 ABC和 DEF疊放在一起，使三角板 DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點 0重合，其中/ ABC玄DEF=90 , / C=/ F=45, AB=DE=4

20、把三角板 ABC固定不動，讓三角板DEF繞點0旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線 DE與射線AB相交于點P,射線DF與線段BC相交于點Q.(1)如圖1，當射線DF經(jīng)過點B,即點Q與點B重合時，易證CDQ此時AP?CQ的值為V 90。，貝y AP?CQ的值是否會改變？(填“會”或“不會”)此時AP?CQ的值為理由).將三角板DEF由圖1所示的位置繞點 O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a .其中0V a.(不必說明(2 )在(1)的條件下，設(shè) CQ=x兩塊三角板重疊面積為 y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式.(圖2、圖3供解 題用)(3 )在(1)的條件下,PQ能否與AC平行？若能,求出y的值；若不能，試說明理由.A=/ C=45

21、,【思路點撥】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可知/ APD玄QDC=90，故可得出 APDsA CDQ故可得出結(jié)論;(2)由于三角板 DEF的旋轉(zhuǎn)角度不能確定，故應(yīng)分0V a W 45與45 V a V 90。時兩種情況進行討論，即可求出MG及MQ的值，進而可得出結(jié)論;(3)在圖(2)的情況下，根據(jù) PQ/ AC時，BP=BQ即可求出x的值，進而得出結(jié)論.【答案與解析】(1) 8，不會,-/ A=/ C=45,/ APD2 QDC=90 , APS CDQ.AP: CD=AD CQ即 APX CQ=ADC CDAB=BC=4斜邊中點為O,AP=PD=2 APX CQ=2 4=8;將三角板DEF

22、由圖1所示的位置繞點 O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為在APD與KcoQ中A=ZC=45/ APD=180 -45 - (45 +a) =90 -a,/ CDQ=90 -a ,/ APD2 CDQ APSA CDQAP CDAD _CQ2=8. AF?CQ=ADCD=A2= ( - AC2圖2F(2)當0V a W 45時，如圖2,過點 D作 DMLAB于 M, DNL BC于 N,O是斜邊的中點, DM=DN=28.CQ=x 貝U AP=-,X18 81 - Saap = ? ？2= , Sa dq= X X 2=x,2 XX28y=8X ( 2 W X 4),X當45 a 90時，如圖 3

23、,過點D作DGL BC于G, DG=28 CQ=x AP=-,x BP=8-4,X.BP _BM DG MG，8-4即=上匝，MG咅,2 MG4X2” 2x /c 、 X -4x +8 MQ=+ (2-x )=4-x4-x2x -4x +8 /c c、 y= (0v x V 2);4 一X(3) 在圖(2)的情況下,/ PQ/ AC時，BP=BQ AP=Qd, x=8，解得 x=2 J2 ,x8當 x=2 湮時，y=8-2 72 =8-4 72 .22【總結(jié)升華】 本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的面積公式，根據(jù)題意 作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.放在

24、直線11上，0A邊與直線1 i重合，然后OAB6.如圖，小慧同學把一個正三角形紙片（即將三角形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)120,此時點O運動到了點0處，點B運動到了點 B處;小慧又將三角形紙片 AOBi繞點Bi按順時針方向旋轉(zhuǎn)i20，此時點 A運動到了點Ai處，點O運動到了點O處（即頂點 0經(jīng)過上述兩次旋轉(zhuǎn)到達 Q處）小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)的過程中，頂點0運動所形成的圖形是兩段圓弧，即00和002，頂點0所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩段圓弧與直線11圍成的圖形面積等于扇形A00的面積、 AOiBi的面積和扇形 BOQ的面積之和.小慧進行類比研究：如圖，她把邊長為

25、i的正方形紙片 OABC放在直線l 2上，OA邊與直線l 2重合,然后將正方形紙片繞著頂點 A按順時針方向旋轉(zhuǎn) 90,此時點0運動到了點0處（即點B處），點C運動到了點C處，點B運動到了點Bi處；小慧又將正方形紙片 AOGB繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn) 90,按上述方法經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)后.她提出了如下問題:問題：若正方形紙片OABC接上述方法經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，求頂點 0經(jīng)過的路程，并求頂點 0在此運動過程中所形成的圖形與直線12圍成圖形的面積；若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，求頂點0經(jīng)過的路程;問題：正方形紙片 OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn)，頂點0經(jīng)過的路程是請你解答上述兩個問題.)3U皿5()個）所以頂點0在此運動過程中經(jīng)過的路程為90血1 _丄90血忑匚f2十180180頂點0在此運動過程中所形成的圖形與直線12圍成圖形的面積為360