1997考研數(shù)三真題及解析

1、(1)（A）低階無窮?。–）等價無窮小(B)(D)高階無窮小同階但不等價的無窮小1997年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題（本題共5分,每小題3分,滿分15分.把答案在題中橫線上）(1)設(shè) y = f (In x)ef(X),其中 f 可微，則 dy =1J211若 f(X)= + -x L f (x)dx ,則 L f (x)dx =差分方程yt屮-yt =t2t的通解為若二次型f （xi ,x2,x3） =2x2 +x2 +X3 + 2x2 +tX2x3是正定的,則t的取值范圍是設(shè)隨機變量X和丫相互獨立且都服從正態(tài)分布N（0,32）,而X1|,X9和Y,川,Y）分別是來自總體

2、 X和丫的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量II = X1十川坯服從/丫2+出+丫92分布（2分）,參數(shù)為二、選擇題（本題共5小題，每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中，只有一項符 合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）若 f （X）= f（X）（蟲 0 ,且 f （x） 0, f (X)cO(B)f(X)0,(x) 0(C) f(X)cO, f (X)cO(D)f(x) 0 ,試證函數(shù)(A) AB = BA(B)存在可逆矩陣P,使pap = b(C)存在可逆矩陣C ,使CT AC = B(D)存在可逆矩陣P和Q,使PAQ = B(5)設(shè)兩個隨機變量X與丫相互獨立且同分布:1Px =-1

3、 = Py = _1=, Px =121=P 丫 = 1=,則下列各式中成立的是21(A) P X = 丫=21(C) P x + 丫=0= -4(B)(D)P X =丫=11pXY = 1 = -4三、(本題滿分6分) 在經(jīng)濟學(xué)中，稱函數(shù)1Q(x) =A6K+(1-GLr為固定替代彈性生產(chǎn)函數(shù)，而稱函數(shù)為Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)(簡稱C D生產(chǎn)函數(shù)).試證明：但XT 0時，固定替代彈性生產(chǎn)函數(shù)變?yōu)镃 D生產(chǎn)函數(shù)，即有l(wèi)im Q(x)=Q四、(本題滿分5分)設(shè)U =f(x,y,z)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),y = y(x)和Z = z(x)分別由方程exy y = 0和Xdue -xz =0所確定

4、，求 dx五、(本題滿分6分)商家銷售某種商品的價格滿足關(guān)系p= 7-0.2x(萬元/噸),x為銷售量(單位：噸),商品的成本函數(shù) C=3x+1(萬元).(1) 若每銷售一噸商品，政府要征稅(2) t為何值時，政府稅收總額最大.t(萬元),求該商家獲最大利潤時的銷售量;六、(本題滿分6分)F(x)抄0,在0,邑)上連續(xù)且單調(diào)不減(其中n 0).七、(本題滿分6分)從點R(1,0)作X軸的垂線，交拋物線y =x2于點Qi(1,1)；再從Qi作這條拋物線的切線與X軸交于F2,然后又從F2作X軸的垂線，交拋物線于點Q2,依次重復(fù)上述過程得到一系列 的點 R,Qi；R,Q2；|i|；Pn,Qn；H|.

5、(1)求 opn ；求級數(shù) QiP +Q2F2 +|+QnPn+| 的和.其中n(n 1)為自然數(shù)，而M4M2表示點M1與M2之間的距離.八、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)f (t )在0, 上連續(xù)，且滿足方程J J f (gjx2 +y2)dxdy,x2 4y2 纟t22求 f (t).九、(本題滿分6分)設(shè)A為n階非奇異矩陣,ot為n維列向量，b為常數(shù).記分塊矩陣01A aaHA b，其中A*是矩陣A的伴隨矩陣,E為n階單位矩陣.(1)計算并化簡PQ ；(2)證明：矩陣Q可逆的充分必要條件是Ba Hb.十、(本題滿分10分)設(shè)三階實對稱矩陣 A的特征值是1,2,3 ;矩陣A的屬于特征值1,2的特征

6、向量分別是S =(1,1,1)T, =(1,2,1)T.（1）求A的屬于特征值3的特征向量;求矩陣A.卜一、（本題滿分7分）11假設(shè)隨機變量 X的絕對值不大于1 ； PX =_1 = , PX =1=;在事件84 -1 cX 1出現(xiàn)的條件下，X在（1,1）內(nèi)的任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長度成正比.試求X的分布函數(shù)F（x） = PX x.5分鐘、25分鐘和55分鐘十二、（本題滿分6分）游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光；電梯于每個整點的第從底層起行.假設(shè)一游客在早晨八點的第X分鐘到達(dá)底層候梯處，且X在0,60上均勻分布,求該游客等候時間的數(shù)學(xué)期望 十三、（本題滿分6分）兩臺同樣自動記錄儀

7、，每臺無故障工作的時間服從參數(shù)為5的指數(shù)分布；首先開動其中一臺，當(dāng)其發(fā)生故障時停用而另一臺自行開動.試求兩臺記錄儀無故障工作的總時間T的概率密度f（t）、數(shù)學(xué)期望和方差.1997年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題(本題共5分，每小題3分，滿分15分.把答案在題中橫線上.)1(1)【答案】ef(x)r(ln x)+f(x)f (In x)dxx【解析】題目考察復(fù)合函數(shù)的微分法，利用鏈?zhǔn)椒▌t計算如下:由 y = f (In x)ef (x)可知1dy = f (ln x )ef (x)dx + f (ln x )ef(x) f (x )dx x1=ef X) f ( ln X )

8、+ f(X ) f (ln X Jdx.x(2)【答案】4 一兀1【分析】本題中1【解析】令0 f (x)dx = A,則f (x)=L f(x)dx是個常數(shù)，只要定出這個數(shù)問題就解決了-+aJ1-x2 ,兩邊從0到1作定積分得1+x21rJ1rJA+2 1X dx = arctan x c +A兀-4+兀一 4解得A =4 一?！驹u注】本題主要考查定積分的概念和計算.本題中出現(xiàn)的積分J0dx表示單位圓 在第一象限部分的面積，可直接根據(jù)幾何意義求得.考生務(wù)必注意這種技巧的應(yīng)用 .(3)【答案】 =C +壯-2)2七【解析】對應(yīng)的齊次差分方程是 yt十-yt =0,顯然有不恒等于零的特解 yt

9、=1.因方程的右端函數(shù)f (t) =t2t,可設(shè)非齊次差分方程的特解有形式/=(At tB)/代入方程得(At + 2A + B)2t2t, t = 0,1,2，川.由于20,于是At+2A + B=t, t =0,1,2,HI.可確定A = 1,B = -2 ,即非齊次差分方程有一個特解是y = (t - 2)2t .從而，差分方程的通解是yt = C + (t - 2)2t.(4)【答案】一42 t 42【解析】二次型f (x-i, x2, x3)對應(yīng)的矩陣為t_2因為f正定二 A的順序主子式全大于零也1 =2,亠=iA0且f(x)0, f(-x) 0,則f(x)c0, f ”(x) 0,

10、 f (X)0,則在(0,母)內(nèi) f(x)0, f(x)0,故應(yīng)選(C).(3)【答案】(C)【分析】這一類題目最好把觀察法與(際內(nèi)3)=(%,口2,口32技巧相結(jié)合.【解析】對于(A), (% +ot2 )2十叫)中3 % ) = 0,即存在一組不全為零的數(shù)1,-1,1,使得等式為零，根據(jù)線性相關(guān)的定義可知 +02,02 +3,3 -%線性相關(guān)，排除(A)；對于(B), (% +(/2 )中2 +5 )-(% +22 +口3 )=0,即存在一組不全為零的數(shù)-1,使得等式為零，根據(jù)線性相關(guān)的定義可知ctj + Ot22 +a. Ct1 +2% +3線性相關(guān)，排除(B)；對于(C),簡單的加加減

11、減得不到零，就不應(yīng)繼續(xù)觀察下去,而應(yīng)立即轉(zhuǎn)為計算行列式.設(shè)有數(shù)ki,k2,k3,使得ki(% +22 )棟2(202 +33 )棟3(% +3)=0,k + kg = 0已知些，02, 03線性無關(guān)，上式成立，當(dāng)且僅當(dāng)2k1 +2k2 = 03k2 +3k3 ：= 0因的系數(shù)行列式=12 H 0 ,故有唯一零解，即ki = k28+22 , 22 +燙3 , 33+%線性無關(guān).應(yīng)選(C).或者也可以將 s +2口2, 25+33, 33+%用a 1,02,5線性表出,且寫成矩陣形式，有10丘丄 + 2(X2, 22 +303,33 十口丄=!a12a J 22L0310 =虬,3記口2,口3

12、IC,C =12h0,則C可逆,故兩向量組是等價向量組，由,02,03線性無關(guān)知+22,22 +33,33 +% 線性無關(guān).【答案】(D)【解析】方法1:用排除法.任意兩個同階可逆矩陣不具備乘法的交換律,不一定相似，也不一定合同.例如，若a = K卜彳；10，由于特征值不同，故不相似，又對應(yīng)二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)不同，故也不合同，(B)、(C)不成立;若A=【0 0門01 2則黑 0H。12,20叫,ABHBA.6，故(A)不成立；應(yīng)取(D).方法2：因A,B是同階(設(shè)為n)可逆陣，故有r(A)=r (B ) = n,而r(A)=r(B戸 A, B等價u 存在可逆陣P,Q使得PAQ = B.1

13、 1(這里只需取P=A ,Q = B,既有PAQ=A BA=B成立),故應(yīng)選(D).或者，因A,B是同階可逆陣，故A,B均可以通過初等行變換化成單位陣行變換行變換At E,B T E,即存在初等陣P = p,P2,|Ps,W=W,% HWr,使得PA = E,WB = E,從而有PA =E =WB,得PAW= PAQ=B (W=Q )故(D)成立.【答案】【解析】(A)因X和Y相互獨立,p X =-1 = PY1 1 一仆匕,pd-pwr,故有:111 P x = 1, Y = -1 = P x =-1 PY = -1 = X_ =-；1 P x = 1,Y =1 = Px =-1py = 1

14、 = 咒一=21 px =1, Y =-1= px =1 py =-1 = -x-=21 1 px =1, Y=1 = px =1 py=1= X2 22241 24 ；1 124 ；1= 4 ；111 px =Y = P x =1, Y= -1+ px =1, Y= 1 = +=442故(A)正確,(B)錯;P x + Y =0 = px = 1Y =1中 Px = 1,Y =1 = 1 + 14故(C)錯;pXY =1 = P X =1,Y =-1 + px =1,Y = 1 = + 44故(D)錯.三、(本題滿分6分)【分析】要證明limQ(x)=Q,只須證明lim InQ(x)=InQ

15、即可，因為Q(x)為指數(shù)函數(shù)，因 此化為對數(shù)形式便于極限計算.1【解析】因為 ln Q(x)=l nA-l n6K + (1 6)L*|,而且xHnJ nk+(yx-6KVnK -(1-6)InL =hmxTx-O*+(1-nK -(1-)ln L = In(K%,所以,limln Q(x) =ln A+ln(K 忙*) =1 n( AK 電),于是,Hm Q(xHAK 甲dQ.四、(本題滿分5分.)【解析】由題設(shè)有dudxex cy dx dz dx(*)在exy -y =0中，將y視為x的函數(shù)，兩邊對x求導(dǎo)，得xy/ 丄 dy、 dy C dyyexye(y+xdx=Fk2y1 一 xy(

16、1)在e -xz=O中，將z視為x的函數(shù)，兩邊對x求導(dǎo)，得z dzdz cez-x=0 =dxdxdzdxxy-x將、兩式代入(* )式,得du 汙丄 y2 吋=+dx ex 1 - xy cy+xy-x cz【相關(guān)知識點】1.多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：若u=u(x,y)和v = v(x, y)在點(x, y)處偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)Z = f (u,v)在對應(yīng)點(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z= fu(x, y),v(x, y)在點(X, y)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，且czcf cu , a=十creexcu excv cv exczcu打 cv=十cycu cycv cy五、(本題滿分6分)【分析】要

17、求獲得最大利潤時的銷售量,需寫出利潤與銷售量之間的的關(guān)系兀(x),它是商品銷售總收入減去成本和政府稅收.正確寫出兀(X)后,滿足兀(x0) = 0的x)即為利潤最大時的銷售量，此時，xAt)是t的函數(shù)，當(dāng)商家獲得最大利潤時，政府稅收總額T = tx(t),再由導(dǎo)數(shù)知識即可求出既保證商家獲利最多，又保證政府稅收總額達(dá)到最大的稅值t.【解析】(1)設(shè)T為總稅額，則T =tx 商品銷售總收入為2R = pX =(7-0.2x)x = 7x-0.2x .【相關(guān)知識點】1.對積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)公式：若F(t) = J: f (x)dx，a(t)，P(t)均一利潤函數(shù)為 兀=R-C-T =7x-0.2x

18、2-3x-1-tx = 0.2x2 + (4-t)x-1.4 - t 5 令兀(X)= 0,即一0.4x+4-t=0,得 X=-0.425由于兀(x)=0.40時，F(xiàn)(x)顯然連續(xù)，故只要證lim F(x) = F(0),且當(dāng)x0時，F(xiàn)”(x)0十即可.【解析】方法1:顯然XA0時，F(xiàn)(x)連續(xù)，又由洛必達(dá)法則知lim F(x) = lim丄X n0t f(t)dtn0=lim xnf(x) = 0 = F(0),30十所以F(x)在0, 上連續(xù).當(dāng) x(0,時,丄XF，(x)=Xn f(x)Ff dt=皿2也0宀X.rn,從而 xnf(x)nf(.由于f(X)單調(diào)不減，故f(X) f(),又

19、xn L于是有F (x) 0).故F(x)在0,畑)上單調(diào)不減.方法2：連續(xù)性證明同上.由于十XF，(x)=xn fg/mtx2XXX可見，F(xiàn)(x)在0, P)上單調(diào)不減.【評注】本題主要考查變上限定積分求導(dǎo),洛必達(dá)法則.請考生注意本題兩種證法中對于F(x)的不同處理方法.階可導(dǎo)，則Ft) = P(t).f P(t)-a It).f !a(t).七、(本題滿分6分)【分析】先作出草圖,再求出曲線y = x2在任一點(a,a2)上的切線方程及其與 x軸的交點，然后依此類推，得出一系列與x軸交點的坐標(biāo).最后進行相應(yīng)計算即可.【解析】 由y =x2,得y = 2x.對于任意a(0 a1),拋物線y

20、=x2在點(a,a2)處的切線方程為y -a2 =2a(x -a).且該切線與x軸的交點為(旦,0),故由OR =1可見2一 1 1 OF2 = OP =2 -Ob =-OP22 HIIIHH 一 1 OR =尹.12，1 1 1=2 222， 2由于 QnPn =(OPn)=2nm=0(4 丿利用幾何級數(shù)求和公式Zn xn T1(x 1)即得1 -x送麗=送I1n【評注】本題是級數(shù)與微分學(xué)的綜合題 ，本題中所得的級數(shù)仍為收斂的幾何級數(shù)，利用幾何級數(shù)求和公式即可求出它的和 .八、(本題滿分6分)【解析】將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo) ，由于2t r=2和0 rf (-)dr,1 E亍2兀 2tx2J(2

21、JX+y)dXdr 叫 f4*22t rr可得f(t)=e + 2和rf ()dr .在積分中作換元s = ,又有0 2 22t rtJ0 rf(2)dr =4J0sf(s)ds.t/ .2于是，f(t)滿足積分關(guān)系式f (t) =8兀sf(s)ds + e4皿在上式中令t =0得f (0) =1.利用變上限積分的求導(dǎo)公式 ，將上式兩端對t求導(dǎo),得f(t) 8曲(t) =8;ite4江2.上述方程為關(guān)于f (t)的一階線性微分方程，利用一階線性微分方程通解公式，得.2f(t) =(4玳2+C)e4處2 ,其中常數(shù)C待定.由f(0)=1可確定常數(shù)C=1,因此,f (t) =(4兀t2+1)e4皿

22、p(t)_【相關(guān)知識點】1.對積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)公式：若F(t) = L(t)f(x)dx，(t)，P(t)均一階可導(dǎo)，則F(t) = P(t) fP(t)-a (t) ”f !a(t).2. 一階線性非齊次微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為y+ p(x)y = q(x),其通解公式為ydx( jq(x)e JpgdXdx+ c),其中 C 為常數(shù).九、(本題滿分6分)【解析】(1)由AA*=AA=AE及A*I Ee A_AL。|A(b-0 1AA血aaTAaotI A七 TaA+IauT(2)用行列式拉普拉斯展開式及行列式乘法公式，有=A,A=PQ =A(b-aTA 七=ia2(b aTAa又因A是非奇

23、異矩陣,所以A=A(b-aTA 七).由此可知Q可逆的充要條件是評注：本題考查分塊矩陣的運算Q hO,即 b -aTAa H 0 ,亦即 a TAa Hb .,要看清aTA是1階矩陣,是一個數(shù).【相關(guān)知識點】1.兩種特殊的拉普拉斯展開式：設(shè)A是m階矩陣，B是n階矩陣，則A OA *O A* Amn=A BJ=(1)* BO BB *B OAIB.2.行列式乘積公式：設(shè)A, B是兩個n階矩陣，則乘積AB的行列式等于 A和B的行列式的乘十、（本題滿分10分）【解析】（1）設(shè)A的屬于A =3的特征向量為03 =X, ,x2 ,X3 T ,因為實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量相互正交，故P- TJ%

24、 Ctg ：= X1 X2 +X3 =0, 齊T023= X1 2X2 X3 ：= 0.解上述方程組，設(shè)方程組的系數(shù)矩陣為T1-1-21 1,對B進行初等行變換:-1B仁匚H0-31 0T Io 1-1系數(shù)矩陣的秩為2,根據(jù)基礎(chǔ)解系的個數(shù)與系數(shù)矩陣秩之間的關(guān)系,我們得到基礎(chǔ)解系的個數(shù)為1,解得1,0,1 J,即A的對應(yīng)于A =3的特征向量為3 =k 1,0,1 T,其中k為非零常方法 1：令 P = t1a2a3 J =r-1-1-2L1-111,則有PAP =L0即A = PApt其中P 4計算如下:1001=A,310-111 ：1+00-111 ： 1 00-1-20：010T0-311

25、 10L1-1仁001 _002 1 011r-2L3A =PAP-12-23-10： 21討0：0；1：-1-200201-2-11-6-2102L1-11L003L3035213r-1n1oi22 1135110-2-216方法2：因A是對稱矩陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量互相正交化）,使QAQ =QtAQ =A, A = QAQt,其中 Q =A =QAQt血176L076,故存仕正父卩11 1亦276011亦屁11占亦21需晁01Q（對P單位11111 -111 1恵恵藥爲(wèi)12024-2罷76需恵111303飛L 72應(yīng)L7316L5A的特征值是1,2,3,-2-210方法3：由于矩陣1

26、3特征向量依次為 a,% 利用分塊矩陣有A ,（/2,口3）=（口1 ,2,3）.,于是矩陣102,a3）可逆.故因為a 1/X2/X3是不同特征值的特征向量,它們線性無關(guān)A =（口1,202,3口3）（口1,（/2,（/3）-1-1I 131卜1 103-2-1-2-1101J-1401-2-1_ 1-21026L1-23.L303 5213J-22151是能否由“實對稱矩陣”2_ 16【評注】本題有兩個難點,挖掘出隱含的信息，通過正交性求出a另一個難點就是反求矩陣A.卜一、（本題滿分7分）【分析】求分布函數(shù)F（X）= P X X實質(zhì)上是求X x的概率.【解析】由X的絕對值不大于1,可得當(dāng)

27、X c1 時,F（x） = PX 1 時，F(xiàn)（x） = px x = 1 ；又 PX = 1 =, PX =1=-,則84P 1 x 1 =1 PX =-1 -PX =1 =1 丄一丄二5848由題意X在（-1,1）內(nèi)的任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長度成正比,那么當(dāng)X的值屬于（-1,1）的條件下,事件 -1 cX x的條件概率為:P 1 x+1x|-1cX 1 = kX（T）=k1（其中 k 為比例正常數(shù)）,1（1） 2c1|1vX c1 = 1.P 1 所以k =1,故P -1 1 1+1c1| 一1 ex V-k=k,21 X +1x|1 ex 1/=；2當(dāng)一1 ex c1 時，1 ex x = -1 ex xn-1 ex v1,所以 P 1 CX x = p-1 X x,-1 X C1.由條件概率公式，有P1cX x= P1 cX x,1 cX c1=P-1X x|-1X c1P-1X 1 x+1 5 5x + 5：=X