精品文檔期與期權(quán)9習題解答

1、CH99.1股票現(xiàn)價為$40。已知在一個月后股價為$42或$38。無風險年利率為8% （連 續(xù)復利）。執(zhí)行價格為$39的1個月期歐式看漲期權(quán)的價值為多少？解：考慮一資產(chǎn)組合：賣空1份看漲期權(quán)；買入份股票。若股價為$42,組合價值則為42 3;若股價為$38，組合價值則為38 A當 42A 3 = 38 A 即 A 0.75 時，組合價值在任何情況下均為$28.5,其現(xiàn)值為：28.5 e-08*008333 = 28.31 ,即：f + 40A= 28.31其中f為看漲期權(quán)價格。所以，f = 40X 0.75 28.31 = $1.69另解：（計算風險中性概率p）0.08*0.0833342p

2、38 （1 p）= 40 e, p = 0.5669期權(quán)價值是其期望收益以無風險利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值，即：f =( 3X 0.5669+ 0X 0.4331) e -.8*0.08333= $1.699.2用單步二叉樹圖說明無套利和風險中性估值方法如何為歐式期權(quán)估值。解：在無套利方法中，我們通過期權(quán)及股票建立無風險資產(chǎn)組合，使組合收益率等價于無風險利率，從而對期權(quán)估值。在風險中性估值方法中，我們選取二叉樹概率，以使股票的期望收益率等價 于無風險利率，而后通過計算期權(quán)的期望收益并以無風險利率貼現(xiàn)得到期權(quán) 價值。9.3什么是股票期權(quán)的Delta?解：股票期權(quán)的Delta是度量期權(quán)價格對股價的小幅度變化的

3、敏感度。即是股票 期權(quán)價格變化與其標的股票價格變化的比率。9.4某個股票現(xiàn)價為$50。已知6個月后將為$45或$55。無風險年利率為10% （連 續(xù)復利）。執(zhí)行價格為$50，6個月后到期的歐式看跌期權(quán)的價值為多少？解：考慮如下資產(chǎn)組合，賣1份看跌期權(quán)，買份股票。若股價上升為$55,則組合價值為55 A;若股價下降為$45,則組合價值為：45 A- 5當55A= 45A 5,即A= 0.50時，6個月后組合價值在兩種情況下將相等，均為$ 27.5,其現(xiàn)值為：-27.5 e.10*0.50 = -$26.16，即：P+ 50 A= 26.16所以，P= 50 X 0.5+ 26.16= $1.16

4、另解：求風險中性概率p5 5 p 4 51 p =） 詬 b 0 * 0所以，p = 0.7564看跌期權(quán)的價值 P= (0*0.75645*0.2436) e-10*050 二 $1.169.5某個股票現(xiàn)價為$100。有連續(xù)2個時間步，每個時間步的步長為 6個月，每 個單步二叉樹預期上漲10%，或下降10%。無風險年利率為8%（連續(xù)復 利）。執(zhí)行價格為$100的一年期歐式看漲期權(quán)的價值為多少？解：由題意得，u= 1.10, d = 0.90, r= 0.08所以，prT e0.08*0.50 e-0.901.10- 0.900.7041圖9.1則看漲期權(quán)價值為:9081疋*0.08*0.5(

5、*(0.7041*21 2*0.7041*0.2959*0 0.2959*0)= 9.619.6考慮習題9.5中的情況，執(zhí)行價格為$100的一年期歐式看跌期權(quán)的價值為多 少？證明歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)滿足看漲看跌期權(quán)的平價關系。解：如上題，計算二叉樹圖的結(jié)果如下6.078119圖9.2則看跌期權(quán)的價值為:e 0 .。8*0(.0。了 4 1 *2 02 * 0.7 0 4 1 *:0.2 9 5 9 * 10.2 9 5 9= 1.92S P=10 01.9 21 0 1Xe -T C =100 e08* 1.009.61- 101.92即：期權(quán)平價公式成立。所以有：S P 二 Xe -r

6、TC9.7考慮這樣一種情況，在某個歐式期權(quán)的有效期內(nèi)，股票價格的運動符合兩步 二叉樹運動模式。請解釋為什么用股票和期權(quán)組合的頭寸在期權(quán)的整個有效 期內(nèi)不可能一直是無風險的。解：無風險組合可由賣空1份期權(quán)及買入份股票構(gòu)成。但由于 在期權(quán)的有 效期內(nèi)是會變化的，因而，無風險組合總是會變化。所以，用股票和期權(quán)組合的頭寸不可能是一直無風險的。9.8某個股票現(xiàn)價為$50。已知在兩個月后，股票價格為$53或$48。無風險年利 率為10%（連續(xù)復利）。請用無套利原理說明，執(zhí)行價格為$49的兩個月后 到期的歐式看漲期權(quán)的價值為多少？解：兩個月后歐式看漲期權(quán)的價值將為$4 （當股價為$53）或$0 （當股價為$

7、48） 考慮如下資產(chǎn)組合：+ 份股票-1份看漲期權(quán)則兩個月后組合價值將為53 4或48 ,當53 4 = 48 A，即= 0.8 時，則兩個月后無論股價如何，組合價值將均為 38.4。該組合現(xiàn)值為：0.8X 50 f其中f是期權(quán)價值。因為該資產(chǎn)組合是無風險利率投資，所以有：（ 0.8 * 5 00-. f ） * 0 . =6 6 6 73 8.4即:f = 2.23因此，期權(quán)的價值為$2.23。此外，此題也可直接根據(jù)公式（9.2）和（9.3）計算，由題意可得：u 二 1.06, d 二 0.96，貝U：0.10e0 . 1 66 QJ-0 . 9 61.0 60.9 60.5 6 8 1_0

8、.10*0.16667=e*0.5681*4=2.239.9某個股票現(xiàn)價為$50。已知在4個月后，股票價格為$75或$85。無風險年利 率為5%（連續(xù)復利）。請用無套利原理說明，執(zhí)行價格為$80的4個月后到 期的歐式看跌期權(quán)的價值為多少？解：4個月后歐式看漲期權(quán)的價值將為$5 （當股價為$75）或$0 （當股價為$85） 考慮如下資產(chǎn)組合：-份股票+1份看跌期權(quán)（注：看跌期權(quán)的套期保值率 是負值）。則兩個月后組合價值將為一75 A+ 5或一85 ,當75A+ 5= 85A,即 A= 0.5 時，則兩個月后無論股價如何，組合價值將均為 42.5。該組合現(xiàn)值為：0.5X 80+ f其中f是期權(quán)價值

9、。因為該資產(chǎn)組合是無風險的，所以有：（0.5* 80 e0 . 0 5 * 03 3 3 4 2.5即:f -1.80因此，看跌期權(quán)的價值為$1.80此外，此題也可直接利用公式（9.2）和（9.3）計算。由題意可得:u = 1 . 0 6 2d 5 二，0 . 9則：HL70 , 3 4 51-P = 0.36551.06250.9375-0.05*0.33333 e*0.3655*5=1.809.10某個股票現(xiàn)價為$50。已知在6個月后，股價將變?yōu)?60或$42。無風險年利 率為12%（連續(xù)復利）。計算執(zhí)行價格為$48，有效期為6個月的歐式看漲 期權(quán)的價值為多少。證明無套利原理和風險中性估價

10、原理得出相同的答案。解：6個月后期權(quán)的價值為$12 （當股價為$60時）或$0 （當股價為$42時）。 考慮如下資產(chǎn)組合：+ 份股票1份看漲期權(quán)則資產(chǎn)組合價值為60 A 12或42 A。當 60 A 12 = 42A,即 A 0.67 時，6個月后，無論股價如何變化，該資產(chǎn)組合的價值將均為$28;此時組合的A值是無風險的。組合的現(xiàn)值為：50 A- f其中f為期權(quán)的價值。(1) 根據(jù)無套利原理，該資產(chǎn)組合必須是無風險的，因而有:(50* 0 6 f7 e0) 根據(jù)無套利理論，該資產(chǎn)組合必須是無風險的，因而有：0.08*0.25(40*0.5 e ) * 二2 2.5則有：f =2.06即看跌期權(quán)

11、的價值為$2.06。*根據(jù)風險中性估價定理，設p為風險中性條件下股價上升的概率，有: 4 5p 3 5 (-1 p =)4e0 0*8 * 0 即：-0.58 *在風險中性世界，期權(quán)的期望價值為： 02 8則有：f= 6.96(2) 根據(jù)風險中性估價定理，設p為風險中性條件下股價上升的概率，有:6 Op 4 2 (_1p -)去 02 * 0在風險中性世界，期權(quán)的期望價值為：12 X 0.6162+ 0 X 0.3838= 7.3944其現(xiàn)值為：7 . 3 9 4 4n c0 . 1 2 * 0一. 6 5.9 6 e即:p = 0.6162所以，無套利原理與風險中性估價定理的計算結(jié)果一致9.

12、11某個股票現(xiàn)價為$40。已知在3個月后，股價將變?yōu)?45或$35。無風險年利 率為8%(連續(xù)復利)。計算執(zhí)行價格為$40，有效期為3個月的歐式看跌期 權(quán)的價值。證明無套利原理和風險中性估價原理得出相同的答案。解：3個月后期權(quán)的價值為$5 (當股價為$35時)或$0 (當股價為$45時)。 考慮如下資產(chǎn)組合：-份股票+1份看跌期權(quán)則資產(chǎn)組合價值為-35 A+ 5或-45 A當一35A+ 5= 45 A，即 A= 0.5 時，無論股價如何變化，該資產(chǎn)組合價值均將為$22.5;此時組合的值是無風 險的。組合的現(xiàn)值為：-40 A+ f其中f為期權(quán)的價值。0X 0.58+ 5X 0.42= 2.10其

13、現(xiàn)值為：2.10 2 060.08*0.25-2.06e所以，無套利原理與風險中性估價定理的計算結(jié)果一致9.12某個股票現(xiàn)價為$50。有連續(xù)2個時間步，每個時間步的步長為 3個月，每 個單步二叉樹的股價或者上漲 6%或者下跌5%。無風險年利率為5%（連 續(xù)復利）。執(zhí)行價格為$51,有效期為6個月的歐式看漲期權(quán)的價值為多少？解：由題意可得，u =1.06, d = 0.95則風險中性概率rTep = Hu d,0.25*0 .衛(wèi) 5小-d e -0.950.5 6 8 951.0 60 . 9計算股價二叉樹圖的結(jié)果如下:在最高的終節(jié)點，期權(quán)的價值為56.18-61= 5.18 ;在其他情形期權(quán)價

14、值均為0。因而，該期權(quán)的價值為：5 . 1 8 * 0 . 56 er9 .0*5 *J . 51.6359.13考慮習題9.12中的情況，執(zhí)行價格為$51，有效期為6個月的歐式看跌期權(quán)的價值為多少？證明歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)滿足看漲看跌期權(quán)平價關系。如果看跌期權(quán)是美式期權(quán)，在樹圖上的任何節(jié)點，提前執(zhí)行期權(quán)是否會更優(yōu) 呢？解：（1）如上題，u =1.06, d = 0.95 ，p=0.5689計算二叉樹圖的結(jié)果如下圖9.4如上圖，當?shù)竭_中間的終節(jié)點=0.65;當?shù)竭_最低的終節(jié)點時, 因此，期權(quán)的價值為：45.1255.875時，期權(quán)的損益為 51 - 50.35期權(quán)的損益為51 - 45.12

15、5= 5.875。200 5*0 c1.370.65* 2* 0.5689 0.431 15 .獨7 5 * 0 .4 3 1 1 )(2)因為，P S=1.37 6 5 0 5 1且有，C XeT =1. 6 3 5 ed05*：0.5 5 1. 3 7 6因而,即歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)滿足期權(quán)平價公式。(3) 為確定提前執(zhí)行是否會更優(yōu)，我們要計算比較每一節(jié)點處立即執(zhí)行期 權(quán)的損益。在C節(jié)點處，立即執(zhí)行期權(quán)的損益為 51-47.5= 3.5,大于2.8664。因此， 期權(quán)必須在此節(jié)點處被執(zhí)行，在 A、B節(jié)點處均不執(zhí)行。9.14某個股票現(xiàn)價為$40。有連續(xù)2個時間步，每個時間步的步長為 3

16、個月，每 個單位二叉樹的股價或者上漲10%或者下跌10%。無風險年利率為12%(連 續(xù)復利)。(A) 執(zhí)行價格為$42的6個月期限的歐式看跌期權(quán)的價值為多少？(B) 執(zhí)行價格為$42的6個月期限的美式看跌期權(quán)的價值為多少？解：由題意可得，u =1.10, d = 0.90rT0.12* .& 5則風險中性概率- d = e9 0 0 . 6 5 2 3u -d1.10 0.90計算股價二叉樹圖的結(jié)果如下：402.11839.62.432.4圖 9.59.6如上圖，當?shù)竭_中間終節(jié)點時，期權(quán)的損益為42 39.6 = 2.4;在最低的節(jié)點處，期權(quán)的損益為42 32.4= 9.6。2.118（1）歐

17、式期權(quán)的價值為：（2 * 2 . 4 * 0 . 6 5 2 3 *+0 . 3 4 7 7 29e *1 0 *.當 4 W 7 ）（2）在C節(jié)點處，立即執(zhí)行期權(quán)的損益為 42 36= 6,大于4.759 （多1.205收 益）。因此，美式看跌期權(quán)必須在此節(jié)點處被執(zhí)行。圖9.6因此，美式看跌期權(quán)的價值為：6*0.3477* e a2*。25工 2.0259.15用“試錯法”來估算習題9.14中的期權(quán)的執(zhí)行價格為多高時，立即執(zhí)行期 權(quán)是最佳的？解：（1）假設美式看跌期權(quán)的執(zhí)行價格為$37,計算股價二叉樹圖的結(jié)果如下： 在此C節(jié)點處，立即執(zhí)行期權(quán)的損益為 37- 36= 4,小于1.552。因此

18、，美 式看跌期權(quán)不會在此節(jié)點處被執(zhí)行。（2）假設美式看跌期權(quán)的執(zhí)行價格為$38,計算股價二叉樹圖的結(jié)果如下：在此C節(jié)點處，立即執(zhí)行期權(quán)的損益為 38-36 = 2,比1.890多0.11收益。 因此，美式看跌期權(quán)必須在此節(jié)點處被執(zhí)行。從以上分析可得，當執(zhí)行價格高于或等于$38時，提前執(zhí)行美式看跌期權(quán)都 是更優(yōu)的選擇。9.16某個股票的現(xiàn)價為$25。已知2個月后，股價會變?yōu)?23或$27。無風險年利 率為10%（連續(xù)復利）。設St為2個月后的股票價格。在這時收益為 St2的 衍生證券的價值為多少？解：2個月后，衍生證券St2的價值將為529 （當股價為$23時）或729 （當股價 為$27時）。考慮如下資產(chǎn)組合：+ 份股票-1份衍生證券2個月后，該資產(chǎn)組合的價值將為 23 529或27 729。當 23 529= 27 729, 即卩= 50