概率論與數(shù)理統(tǒng)計(魏宗舒)答案

1、第七章 假設(shè)檢驗7.1 設(shè)總體，其中參數(shù)，為未知，試指出下面統(tǒng)計假設(shè)中哪些是簡單假設(shè)，哪些是復(fù)合假設(shè)： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）.解：（1）是簡單假設(shè)，其余位復(fù)合假設(shè)7.2 設(shè)取自正態(tài)總體，其中參數(shù)未知，是子樣均值，如對檢驗問題取檢驗的拒絕域：，試決定常數(shù)，使檢驗的顯著性水平為0.05解：因為，故在成立的條件下，所以=1.176。7.3 設(shè)子樣取自正態(tài)總體，已知，對假設(shè)檢驗，取臨界域，（1）求此檢驗犯第一類錯誤概率為時，犯第二類錯誤的概率，并討論它們之間的關(guān)系；（2）設(shè)=0.05，=0.004，=0.05，n=9，求=0.65時不犯第二類錯誤的概率。解：（1）在成立的條件

2、下，此時 所以，由此式解出在成立的條件下，此時由此可知，當(dāng)增加時，減小，從而減?。环粗?dāng)減少時，則增加。（2）不犯第二類錯誤的概率為 7.6 設(shè)一個單一觀測的子樣取自分布密度函數(shù)為的母體，對考慮統(tǒng)計假設(shè)：試求一個檢驗函數(shù)使犯第一，二類錯誤的概率滿足，并求其最小值。解 設(shè)檢驗函數(shù)為（c為檢驗的拒絕域）要使，當(dāng)時， 當(dāng)時，所以檢驗函數(shù)應(yīng)取，此時，。7.7 設(shè)某產(chǎn)品指標(biāo)服從正態(tài)分布，它的根方差已知為150小時。今由一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了26個，測得指標(biāo)的平均值為1637小時，問在5%的顯著性水平下，能否認(rèn)為該批產(chǎn)品指標(biāo)為1600小時?解 總體，對假設(shè)，采用u檢驗法，在為真時，檢驗統(tǒng)計量臨界值，故接受。

3、7.8 某電器零件的平均電阻一直保持在2.64，根方差保持在0.06，改變加工工藝后，測得100個零件，其平均電阻為2.62，根方差不變，問新工藝對此零件的電阻有無顯著差異？去顯著性水平=0.01。解 設(shè)改變工藝后電器的電阻為隨機(jī)變量，則未知，假設(shè)為 ，統(tǒng)計量 由于，故拒絕原假設(shè)。即新工藝對電阻有顯著差異。7.9（1）假設(shè)新舊安眠藥的睡眠時間都服從正態(tài)分布，舊安眠劑的睡眠時間,新安眠劑的睡眠時間，為檢驗假設(shè)從母體取得的容量為7的子樣觀察值計算得 由于的方差未知，可用t檢驗。 所以不能否定新安眠藥已達(dá)到新的療效的說法。（2）可以先檢驗新的安眠劑睡眠時間的方差是否與舊的安眠劑睡眠時間的方差一致，即

4、檢驗假設(shè)。用-檢驗，取所以接受,不能否認(rèn)方差相同。如認(rèn)為的方差取，所以接受。7.11有甲乙兩個檢驗員，對同樣的試樣進(jìn)行分析，各人實驗分析的結(jié)果如下：實驗號 1 2 3 4 5 6 7 8 甲4.3 3.2 8 3.5 3.5 4.8 3.3 3.9 乙3.7 4.1 3.8 3.8 4.6 3.9 2.8 4.4 試問甲乙兩人的實驗分析之間有無顯著差異？解 此問題可以歸結(jié)為判斷是否服從正態(tài)分布，其中未知，即要檢驗假設(shè)。由t檢驗的統(tǒng)計量 取=0.10，又由于，故接受7.12 某紡織廠在正常工作條件下，平均每臺布機(jī)每小時經(jīng)紗斷頭率為0.973根，每臺布機(jī)的平均斷頭率的根方差為0.162根，該廠作輕

5、漿試驗，將輕紗上漿率減低20%，在200臺布機(jī)上進(jìn)行實驗，結(jié)果平均每臺每小時輕紗斷頭次數(shù)為0.994根，根方差為0.16，問新的上漿率能否推廣？取顯著性水平0.05。解 設(shè)減低上漿率后的每臺布機(jī)斷頭率為隨機(jī)變量，有子樣試驗可得其均值和方差的無偏估計為0.994及，問新上漿率能否推廣就要分析每臺布機(jī)的平均斷頭率是否增大，即要檢驗由于未知，且n較大，用t檢驗，統(tǒng)計量為查表知，故拒絕原假設(shè)，不能推廣。7.13在十塊土地上試種甲乙兩種作物，所得產(chǎn)量分別為，假設(shè)作物產(chǎn)量服從正態(tài)分布，并計算得，取顯著性水平0.01，問是否可認(rèn)為兩個品種的產(chǎn)量沒有顯著性差別？解 甲作物產(chǎn)量，乙作物產(chǎn)量，即要檢驗由于，未知，

6、要用兩子樣t檢驗來檢驗假設(shè)，由f檢驗，統(tǒng)計量為（取顯著性水平0.01）故接受假設(shè)，于是對于要檢驗的假設(shè)取統(tǒng)計量又時，所以接受原假設(shè)，即兩品種的產(chǎn)量沒有顯著性差別。7.14有甲、乙兩臺機(jī)床，加工同樣產(chǎn)品，從這兩臺機(jī)床加工的產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取若干產(chǎn)品，測得產(chǎn)品直徑為（單位：mm）： 甲 20.5 ，19.8 ，19.7 ，20.4 ，20.1 ，20.0 。19.6 ，19.9 乙 19.7 ，20.8 ，20.5 ，19.8 ，19.4 ，20.6 ，19.2 。試比較甲乙兩臺機(jī)床加工的精度有無顯著差異？顯著性水平為。解：假定甲產(chǎn)品直徑服從，由子樣觀察值計算得，。乙產(chǎn)品直徑服從，由子樣觀察值計算得

7、，。要比較兩臺機(jī)床加工的精度，既要檢驗 由 f-檢驗 時查表得：， 由于，所以接受，即不能認(rèn)為兩臺機(jī)床的加工精度有顯著差異。7.16 隨機(jī)從一批釘子中抽取16枚，測得其長度為（cm）2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11設(shè)釘長服從正態(tài)分布，分別對下面兩個情況求出總體均值的90%的置信區(qū)間（1）；（2）未知解 （1）由子樣函數(shù)，可求的置信區(qū)間置信下限 置信上限 （2）在未知時，由子樣函數(shù)，可 求得置信區(qū)間為置信下限 置信上限 7.17 包糖機(jī)某日開工包糖，抽取12包糖，稱得重量為

8、 9.9 10.1 10.3 10.4 10.5 10.2 9.7 9.8 10.1 10.0 9.8 10.3 假定重量服從正態(tài)分布，試由此數(shù)據(jù)對該機(jī)器所包糖的平均重量 求置信水平為95%的區(qū)間估計。解 由于未知，用統(tǒng)計量，計算各數(shù)據(jù)值后可以得到均值的置信區(qū)間，置信上限為，下限為7.19 隨機(jī)取9發(fā)炮彈做實驗，得炮口速度的方差的無偏估計（米/秒）2，設(shè)炮口速度服從正態(tài)分布，分別求出炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差和方差的置信水平為90%的置信區(qū)間。解 選取統(tǒng)計量， 可得的置信區(qū)間為：因為故，標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間取方差的根方即可。7.20解：用子樣函數(shù)必須要求，所以先應(yīng)檢驗假設(shè)由樣子觀察值計算得 ,所以接受原假設(shè)

9、，可以用兩子樣t統(tǒng)計量求的置信水平為95%的置信區(qū)間。置信下限置信上限7.21解：由于服從分布，由所以的置信區(qū)間為置信下限=置信上限=7.22解：由于未知，的置信區(qū)間為7.23 假設(shè)六個整數(shù)1，2，3，4，5，6被隨機(jī)地選擇，重復(fù)60次獨立實驗中出現(xiàn)1，2，3，4，5，6的次數(shù)分別為13，19，11，8，5，4。問在5%的顯著性水平下是否可以認(rèn)為下列假設(shè)成立：。解：用擬合優(yōu)度檢驗，如果成立 列表計算的觀察值：組數(shù)i頻數(shù)123456131911854101010101010391-2-5-60.98.10.10.42.53.6， =11.07由于，所以拒絕。即等概率的假設(shè)不成立。7.24 對某型

10、號電纜進(jìn)行耐壓測試實驗，記錄43根電纜的最低擊穿電壓，數(shù)據(jù)列表如下：測試電壓 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8擊穿頻數(shù) 1 1 1 2 7 8 8 4 6 4 1試對電纜耐壓數(shù)據(jù)作分析檢驗（用概率圖紙法和擬合優(yōu)度檢驗）。解：用正態(tài)概率紙檢驗出數(shù)據(jù)基本上服從正態(tài)分布，下面擬合優(yōu)度檢驗假設(shè)其中為和的極大似然估計，其觀察值 所以要檢驗的假設(shè) 分組列表計算統(tǒng)計量的觀察值。組 距 頻數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間 4.14.1 4.24.2 4.34.3 4.54.5 4.64.6 5781265 -1.25-1.25 -0.79-0.79 -0.34-0.34 0.

11、570.57 1.030.31 0.10560.10870.15260.34880.13280.15154.54084.67416.561814.99845.71046.51450.04641.15740.21520.59940.01470.3521 用查表由于，所以不能否定正態(tài)分布的假設(shè)。7.25 用手槍對100個靶各打10發(fā)，只記錄命中或不命中，射擊結(jié)果列表如下 命中數(shù)：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 頻 數(shù)： 0 2 4 10 22 26 18 12 4 2 0在顯著水平下用擬合優(yōu)度檢驗法檢驗射擊結(jié)果所服從的分布。解 對每一靶打一發(fā)，只記錄命中或不命中可用二點分布描述，而對

12、一個靶打十發(fā)，其射擊結(jié)果可用二項分布來描述，其中未知，可求其極大似然估計為設(shè)是十發(fā)射擊中射中靶的個數(shù)，建立假設(shè)用擬合優(yōu)度檢驗法列表如下：01234567891002410222618124200.0009770.0097650.0439450.1171880.2052120.2460940.2052120.1171880.0439450.0097650.0009770.0980.9764.39511.71920.52124.60920.52111.7194.3950.9760.0980.0981.0740.0360.2520.1070.0790.3100.0070.0361.0740.098

13、取 ，=由于，所以接受。7.26解：離散型隨機(jī)變量的均勻分布是指等概率地取各個值，即要檢驗由于母體是離散型隨機(jī)變量，所以不能用柯爾莫哥洛夫檢驗，應(yīng)用-擬合優(yōu)度檢驗法。列表計算值。12345678910749283798073777576910.100.100.100.100.100.100.100.100.100.10808080808080808080800.4501.8000.1130.01200.6130.1120.3120.2000.5127.27解：設(shè)25個數(shù)據(jù)來自母體，檢驗假設(shè)柯爾莫哥洛夫檢驗法檢驗的統(tǒng)計量為列表計算的觀察值12345678910111213141516171819

14、202122232425-2.46-2.11-1.23-0.99-0.42-0.39-0.21-0.15-0.10-0.07-0.020.270.400.420.440.700.810.881.071.391.401.471.621.641.760.00690.01740.10930.16110.03372.34830.41680.44040.46020.4721o.49200.60640.65540.66280.67000.75800.79100.81060.85770.91770.91920.92920.94740.94950.96080.040.080.120.160.200.24o.2

15、80.320.360.400.440.480.520.560.600.640.680.720.700.800.840.880.920.961.000.0069-0.02260.02930.04110.17720.14830.17690.16040.14020.11210.09200.16640.17540.14280.11000.15800.15100.18060.13770.15770.11920.08920.06740.02950.00080.03310.06260.0107-0.0011-0.1372-0.1083-0.1368-0.1204-1.1002-0.0721-0.0520-0.1264-0.1354-0.1028-0.0700-0.1180