數(shù)學(xué)建模之隨機(jī)性模型與模擬方法[稻谷書屋]

1、隨機(jī)性模型與模擬方法隨機(jī)性模型與模擬方法 1知識(shí)材料 n 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 n 蒙特卡羅方法蒙特卡羅方法 n 隨機(jī)數(shù)的生成隨機(jī)數(shù)的生成 n 模擬模擬 2知識(shí)材料 一、隨機(jī)變量一、隨機(jī)變量 n 何謂隨機(jī)變量？隨機(jī)變量是一個(gè)其值不可 預(yù)測(cè)的變量。雖然一個(gè)隨機(jī)變量在個(gè)別試驗(yàn) 中其結(jié)果不確定，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié) 果是具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律的。正是隨機(jī)變量的這種 規(guī)律性使我們可以利用它來(lái)建模。例如我們 可以利用下述的數(shù)據(jù)： 得出一個(gè)模型。 時(shí)間時(shí)間t（秒）（秒） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 變量變量X 1 0 2 2 1 2 0 1 0 2 3知識(shí)材料 n 是一個(gè)離散的隨機(jī)變量并取值于 0，1和2

2、。我們 不可能給出 與 的確定的關(guān)系式，但是可以通 過(guò)數(shù) 的不同值出現(xiàn)次數(shù)來(lái)描述這隨機(jī)型 的規(guī)律 列表如下： n 這個(gè)表給出了隨機(jī)變量 的變化規(guī)律，頻率告 訴某個(gè)特定的事件發(fā)生的頻繁程度。如果我們需要 構(gòu)造一個(gè)含有隨機(jī)變量的模型，可以假設(shè)這個(gè)規(guī)律 總是成立的，模型的假設(shè)可以基于這幾個(gè)數(shù)據(jù)之上。 實(shí)際操作時(shí)可以把頻率分布當(dāng)作概率函數(shù)來(lái)處理， 但應(yīng)注意概率是頻率的極限值，這兩者是有差異的。 在處理一個(gè)簡(jiǎn)單的理論模型時(shí)，對(duì)概率函數(shù) X 0 1 2 頻數(shù)頻數(shù) 3 3 4 頻率頻率 0.3 0.3 0.4 t X X X X 4知識(shí)材料 n必須作出合適的選擇。例如，假設(shè)在上述問(wèn)題中的 隨機(jī)變量取三個(gè)值時(shí)

3、等于可能的，這樣其概率函數(shù) 為 n這個(gè)例子說(shuō)明在處理隨機(jī)變量的模型時(shí)有以下兩種 選擇： （1）使用一個(gè)理論模型。這在任何一本概率統(tǒng)計(jì) 的書上都可以找到一些標(biāo)準(zhǔn)的理論模型如二項(xiàng)分布 等。每一個(gè)都基于一定的假設(shè)之下成立的，所以在 選用時(shí)要特別注意其假設(shè)條件。 （2）使用基于實(shí)際數(shù)據(jù)的頻率表，并不去套用不 準(zhǔn)理論模型。 P x 0 1 2 X 1 3 1 3 1 3 5知識(shí)材料 n使用前者的好處在于能精確地?cái)⑹鲎兞康母怕?，?處理問(wèn)題時(shí)可以充分發(fā)揮數(shù)理統(tǒng)計(jì)的作用。但這一 好處把所求模式制約在了處理簡(jiǎn)單情形。隨著復(fù)雜 性的增加，數(shù)學(xué)就變的太難。使用后者的好處在于 模型時(shí)基于觀測(cè)到的數(shù)據(jù)而不是基于假設(shè)之

4、上。增 加復(fù)雜性并不成為一大障礙，但我們不再能利用數(shù) 理統(tǒng)計(jì)而得求助于模擬以及模型的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。 n在建立隨機(jī)性模型時(shí)，首先要注意，將要處理的是 離散還是連續(xù)的隨機(jī)變量。 1、離散隨機(jī)變量 離散隨機(jī)變量的理論模型是由概率函數(shù) 來(lái)刻畫的。這個(gè)式子說(shuō)明隨機(jī)變量 取值 時(shí)的概 率。對(duì)于離散型的隨機(jī)變量有下面三種重要的分布 p xP Xx X x 6知識(shí)材料 n（01）分布 設(shè)隨機(jī)變量 只可能取0、1兩 個(gè)值，它的分布規(guī)律是 則稱 服從（01）分布。對(duì)于一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，如 果它的樣本空間只包含兩個(gè)元素， 即 ，我們總能在 上定義一個(gè)服 從（01）分布的隨機(jī)變量 來(lái)描述這個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。例如，對(duì)新生兒的性

5、 別進(jìn)行登記，檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格等都可以 用（01）分布的隨機(jī)變量來(lái)描述。 X 1 (1),0,1(01) kk P Xkppkp 12 ,Se eS X 1 2 0 ( ) 1 ee XX e ee 當(dāng) 當(dāng) 7知識(shí)材料 n（2）二項(xiàng)分布 設(shè)實(shí)驗(yàn) 只有兩個(gè)可能的結(jié)果， 將 獨(dú)立地重復(fù)地進(jìn)行 次，則稱這一串重復(fù)的 獨(dú)立實(shí)驗(yàn)為 重貝努利實(shí)驗(yàn)。它是一重和重要的 數(shù)學(xué)模型，有著廣泛的應(yīng)用。若用 表示 重貝 努利實(shí)驗(yàn)中事件 發(fā)生的次數(shù)， 是一個(gè)隨機(jī)變 量，它服從如下的二項(xiàng)分布 特別，當(dāng) 時(shí)二項(xiàng)分布就是（01）分布。 (1),0,1,2,., nkn k k P xkppkn 1n E E n X n

6、 AX 8知識(shí)材料 n（3）泊松分布 設(shè)隨機(jī)變量 所有可能的取值 為 而取各個(gè)值的概率為 其中， 是常數(shù)，則稱 服從參數(shù)為 的泊松 分布?？梢宰C明當(dāng) 很小時(shí)，以 為參數(shù)的二 項(xiàng)分布，當(dāng) 時(shí)趨于以 為參數(shù)的泊松分布， 其中 0,1,2,., , ! k e P xk k 0,1,2,. ,kn 0 n np X p X , n p 9知識(shí)材料 2、連續(xù)的隨機(jī)變量、連續(xù)的隨機(jī)變量 n理論模型的連續(xù)型隨機(jī)變量可以由概率密度函數(shù) 來(lái)描述，對(duì)所有的 存在 ，且 ，隨機(jī)變量落在區(qū)間 的概率可由 來(lái)給出，在連續(xù)型隨機(jī)變 量中下述兩種是重要的 。 () ( )pdf f xx( )0f x 12 ( ,x x

7、 2 1 ( ) x x f x dx ( )1fx dx 10知識(shí)材料 n(1)均勻分布 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 具有概率密度 則稱 在區(qū)間（a，b）上服從均勻分布。 在區(qū)間（a，b）上服從均勻分布的隨機(jī)變量 ，具 有下述意義的等可能性，即它落在區(qū)間（a，b）中任 意等長(zhǎng)度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的，或者說(shuō)它落 在子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長(zhǎng)度而與子區(qū)間 的位置無(wú)關(guān)。 （2）正態(tài)分布 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度為 其中 為常數(shù)，則稱 服從參數(shù)為 的 1 , ( ) 0, axb f xba 其他 X 2 2 2 1 ( ), 2 x f xex ,0 , X X X X 11知識(shí)材料 正態(tài)分

8、布。 連續(xù)型隨機(jī)變量的值如同離散的一樣可以用頻 率表給出，但不同的是離散的隨機(jī)變量每個(gè)頻率 對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量的一個(gè)值，而對(duì)于隨機(jī)變量每一 個(gè)頻率對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量的一個(gè)取值范圍。 12知識(shí)材料 二、蒙特卡羅方法二、蒙特卡羅方法 n蒙特卡羅方法是計(jì)算模擬的基礎(chǔ)，其名字來(lái)源于 世界著名的賭城摩納哥的蒙特卡羅。其思想 來(lái)源于著名的蒲豐投針問(wèn)題。 n1777年法國(guó)科學(xué)家蒲豐提出了下述著名問(wèn)題：平 面上畫有等距離 的一些平行線，取一根長(zhǎng) 度為 的針，隨機(jī)地向有平行線的平面上擲 去，求針與平行線相交的概率。 n我們用幾何概型來(lái)解決這一問(wèn)題。設(shè)M為針落下 后的中點(diǎn)， 表示中點(diǎn)M到最近一條平行線的距離， 表示針于平

9、行線的交角，如圖2.18所示。那么基 本時(shí)間區(qū)域 x 0a a 0l l ,|0,0 2 a xx 13知識(shí)材料 圖圖2.18 a sin 2 l x 2 a o x M x 14知識(shí)材料 n它為平面上的一個(gè)矩形，其面積為 。 為使針與平行線（與 最后的一條平行線）相 交，其充要條件是 的面積為 ，這樣針與平行線 相交的概率為 設(shè)一共投擲 次（ 是一個(gè)事先選好的相當(dāng)大 的自然數(shù)），觀察到針和直線相交的次數(shù)為 。 ( ) 2 a S 0 2 0 a x A 0 1 ( )sin 2 S Aldl () () SA p S n m A n 15知識(shí)材料 /m n n 從上式我們看到，當(dāng)比值 不變時(shí)

10、， 值始終 不變。取 為 的近似值，我們可以算出 的 近似值?？梢韵胂螽?dāng)投擲次數(shù)越來(lái)越多時(shí)計(jì)算的結(jié) 果就越來(lái)越準(zhǔn)確。下表時(shí)這些實(shí)驗(yàn)的有關(guān)資料 (此 處把 折算為1）： /la 實(shí)驗(yàn)者實(shí)驗(yàn)者年份年份針長(zhǎng)針長(zhǎng)投擲次數(shù)投擲次數(shù)相交次數(shù)相交次數(shù) 的實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn) 值值 pulf18500.8500025323.1596 Smith18550.632041218.53.1554 De Morggen C 18601.0600382.53.137 Fox18840.7510304893.1595 Lazzerini19010.83340818083.141592 Reina19250.541925208593

11、.1795 p p a m n 16知識(shí)材料 n 由此可以看出蒙特卡羅方法的基本步驟：首先，建立 一個(gè)概率模型，使它的某個(gè)參數(shù)等于問(wèn)題的解。然后按 照假設(shè)的分布，對(duì)隨機(jī)變量選出具體的值（這一過(guò)程又 叫著抽樣），從而構(gòu)造出一個(gè)確定性的模型，計(jì)算出結(jié) 果。再通過(guò)幾次抽樣實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，的到參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性， 最終算出解的近似值。 蒙特卡羅方法主要用再難以定量分析的概率模型，這 種模型一般的不到解析的結(jié)果，或雖然又解析結(jié)果，但 計(jì)算代價(jià)太大以至不可用。也可以用在算不出解析結(jié)果 的定性模型中。 用蒙特卡羅方法解題，需要根據(jù)隨機(jī)變量遵循的分布 規(guī)律選出具體的至，即抽樣。隨機(jī)變量的抽樣方法很多， 不同的分布采用

12、的方法不盡相同。在計(jì)算機(jī)上的各種分 布的隨機(jī)數(shù)事實(shí)上都是按照一定的確定性方法產(chǎn)生的偽 隨機(jī)數(shù)。 17知識(shí)材料 三、隨機(jī)數(shù)的生成三、隨機(jī)數(shù)的生成 n我們知道對(duì)于丟硬幣的隨機(jī)結(jié)果可以用以下的離散 隨機(jī)變量的改里函數(shù)來(lái)描述 如果我們需要模擬隨機(jī)變量的以個(gè)值或一個(gè)集合， 可以用丟硬幣然后記錄其其結(jié)果的方法來(lái)得到，然 而這具又相當(dāng)?shù)木窒扌?，這里我們用數(shù)學(xué)程序來(lái)產(chǎn) 生擬隨機(jī)變量。即看上去是隨機(jī)出現(xiàn)的，但并非真 正的隨家便朗，它們產(chǎn)生于一個(gè)梯推公式。不過(guò)這 些擬隨機(jī)數(shù)并沒(méi)有明顯的規(guī)律，當(dāng)給于適當(dāng)?shù)纳炜s 之后，它們非常接近于在 區(qū)間的均勻分布。 X 0 1 P(x) 0.5 0.5 0,1 18知識(shí)材料 n這

13、種方法的思想是，設(shè)計(jì)一個(gè)把 和 之間的整 數(shù)映射到它們自身上的函數(shù) ，然后從 開(kāi)始， 依次計(jì)算 例如通過(guò)下面 的公式可以產(chǎn)生這樣的一組隨機(jī)變量 給定任意一個(gè)初值，如 代入公式 得 ，然后用 去除得 ；同 樣 代入公式，可以得 ，重復(fù)這一過(guò) 程可以得到我們所需要的一組隨機(jī)變量。在程序 設(shè)計(jì)和軟件包中通常用 來(lái)表示由這樣，我們 用它來(lái)表示從 上的均勻分布所產(chǎn)生的隨機(jī)變 量。 0 M f 0 x 01 (),f xx 12 (),.f xx 1 973 nn XX 1 1 (mod1000), 1000 n n X R 0 71,X 1 890X 1000 1 0.890R 2 0.333R 0,1

14、 1 890X 19知識(shí)材料 n 我們可以從它構(gòu)造出另外的隨機(jī)變量。例如，可 以從 給出區(qū)間 上的連續(xù)均勻 分布的隨機(jī)變量。如果我們要生成帶參數(shù) 的指 數(shù)分布，可以用 。 如果我們要 生成平均值未零，標(biāo)準(zhǔn)差為 1 的正態(tài)分布，可以 用下列公式 和 來(lái)給出 的兩個(gè)值，令 或 可以生成 型的正態(tài)分布。 ()Xab a RND , a b (1/ )ln()XRND 1/2 212 2ln()cos(2)XRNDRND 1/2 112 2ln()cos(2)XRNDRND 1 XX 2 XX ( ,) X 20知識(shí)材料 n 為了得到離散的隨機(jī)變量，我們把 分成若 干部分。例如設(shè)計(jì)一個(gè)離散的隨機(jī)變量有

15、下列的 概率函數(shù)。 n取一個(gè)RND值：如果 ，則 ； 如果 ，則 ； 如果 ，則 。 n對(duì)于連續(xù)的隨機(jī)變量除了取生成的隨機(jī)變量是每 類的中點(diǎn)外，我們可以用同樣的思想進(jìn)行列表分 類。如 x 0 1 2 0.3 0.3 0.4 0-10 10-15 15-20 頻率頻率 0.2 0.5 0.3 Px X 00.3RND 0X 0.30.6RND1X 0.6RND2X 21知識(shí)材料 n 的一個(gè) 值將平移到 。一個(gè)更細(xì) 致的方法是用線性插值而不是取中點(diǎn)，即 給出 。 從已知的 模擬一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量的理論分 布，可以用以下方法： 0.36RND12.5X 100.360.2 50.5 X 11.6X p

16、df 22知識(shí)材料 n（1）逆累積分布函數(shù)法 如果隨機(jī)變量的 是 ， 則累積分布函數(shù)是 。如果把它作為一個(gè)隨機(jī)變量， 是 上的均 勻分布。從 上的均勻分布取一個(gè) 值，解 方程 得對(duì)應(yīng)得 的值， 例如，設(shè) 累積分布函數(shù)為 解 得 。這就 是我們所要的由這個(gè)分布所生成的 的值 pdf ( )f x( )( ) x F xf t dt F 0,1 RND ( )RNDF x 1 ()xFRND 0.5sin0 ( ) 0 xx f x 否則 0 0 ( )0.5sin0.5cos0.5(1 cos ) x x F xtdttx 0.5(1 cos)RNDX arccos(1 2)XRND X 0,1

17、 23知識(shí)材料 n(2) 排除法 對(duì)于這種方法我們需要用兩個(gè) 值來(lái)生成一個(gè) 值。設(shè) 的值在區(qū)間 外為 ，而 的最大值是 。 我們可以通過(guò)如下的步驟生成 的值。 從 上的均勻分布生成 和 ； 用 計(jì)算 ； 計(jì)算 ； 用 算出 ； 如果 ，則接受 ，否則排除 回到 。 對(duì)于上面的例子，我們?nèi)?RND X , a b0c 0,1 1 RND 2 RND 1 ()xaba RND 2 ycRND ( )yf x ).a 0,0.5.abc ( )f x ( )f x 1 RND ( )f x 2 RND xx )a )b )c )d ) e X 24知識(shí)材料 四、模擬四、模擬 n模擬是現(xiàn)象的模型所產(chǎn)生

18、的再現(xiàn)。所謂數(shù)學(xué)模擬 就是用模型使現(xiàn)象再現(xiàn)。因此，表示現(xiàn)象的部分 或總體的基本方程和表示自然規(guī)律的數(shù)學(xué)模型全 是數(shù)學(xué)模擬。然而，狹義地講主要指的是數(shù)字模 擬。它是將復(fù)雜現(xiàn)象作出可以用數(shù)字計(jì)算機(jī)表達(dá) 的數(shù)學(xué)模型，從數(shù)值上進(jìn)行各種實(shí)驗(yàn)。各種方法 隨著計(jì)算機(jī)的進(jìn)步已廣泛地應(yīng)用起來(lái)。因此我們 所說(shuō)的模擬主要是指數(shù)學(xué)模擬。 25知識(shí)材料 n例 2.18 一列火車大約在下午1點(diǎn)離開(kāi) 站其規(guī)律 如下； 火車從 到 途中所需要的平均時(shí)間為 分，由 分鐘的標(biāo)準(zhǔn)差。如果你要趕的是這趟火車的下 一站 ,而你到達(dá) 的站的時(shí)間分布為 問(wèn)你能趕上這列火車的概率是多少？ A 離站時(shí)間離站時(shí)間 13.00 13.05 13.

19、10 概率概率 0.7 0.2 0.1 時(shí)間時(shí)間 13.28 13.30 13.32 13.34 概率概率 0.3 0.4 0.2 0.1 B 30 2 A B 26知識(shí)材料 n為了回答這個(gè)問(wèn)題，我們需要一些隨機(jī)數(shù)。這里我 們將采用上面給出的那些隨機(jī)數(shù)，即 等。而我們 所要模擬的是 火車離站的時(shí)間 ； 火車途中的時(shí)間 ； 你到達(dá)車站 的時(shí)間 。 這樣你趕上火車的條件是 。為模擬 這個(gè)問(wèn)題只需要生成 ， 和 的值，然后檢 驗(yàn)這條件。但如何得到 的值是不明顯的，因并不 知道這個(gè)分布。這樣，假設(shè)一個(gè)模型，取平均值為 30，標(biāo)準(zhǔn)差為2的正態(tài)分布，由所給的條件知 ， 為離散的，而 為連續(xù)的隨機(jī)變量。 0

20、.890,0.333,0.304,0.491,0.630. 1 t 2 t 3 t 312 ttt 1 t 2 t 1 t 2 t 3 t 3 t )a )b ) c B 27知識(shí)材料 n以分為時(shí)間單位，從 的下午以點(diǎn)起算，構(gòu)造的模 型如下 其中 。 計(jì)算結(jié)果為 ， 和 ，這樣 。 在這種場(chǎng)合你比火車提前到達(dá)4分鐘。但需要指出，這 并不是說(shuō)我們已經(jīng)回答了這個(gè)問(wèn)題，要回答這個(gè)問(wèn)題 我們要作多次這樣的模擬，記下這些結(jié)果，算出能趕 上火車的頻率。通過(guò)足夠多次的模擬之后我們就可以 看出能趕上火車的概率。 1 1 1 00.7,0 0.70.9,5 0.91.010 RNDt RNDt RNDt 3 3

21、 3 3 00.3,28 0.30.7,30 0.70.9,32 0.91.0,34 RNDt RNDt RNDt RNDt 1 2 12 2ln()cos(2)XRNDRND 0t 1 5t 2 29t 3 30t 12 34tt 28知識(shí)材料 n 一般用在模擬建模時(shí)，一次模擬的成功并不能說(shuō)明什 么問(wèn)題，更不能說(shuō)我們的主要工作已經(jīng)完成。你必須多 次的進(jìn)行模擬，然后分析其結(jié)果。分析的種類要看模型 的對(duì)象，而這在模擬的一開(kāi)始就應(yīng)該清楚的。在實(shí)驗(yàn)的 模擬模型的對(duì)象是在變化的，但常常包括一下幾種： 對(duì)系統(tǒng)的長(zhǎng)期性態(tài)作出統(tǒng)計(jì)； 比較系統(tǒng)的可選擇對(duì)象的安排； 研究參數(shù)變化的影響； 研究模型假設(shè)的影響；

22、找出系統(tǒng)最優(yōu)方案； 上面的例子是相當(dāng)平凡的，根本不能作為用模擬解決問(wèn) 題的例子。下面我們僅舉兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子以理順模擬模 型的思路。 )a )b )c )d ) e 29知識(shí)材料 n例例2.19 某個(gè)理發(fā)店中有兩名理發(fā)員 和 ，顧客 隨機(jī)地來(lái)理發(fā)，據(jù)統(tǒng)計(jì) 的顧客僅需要剪發(fā)，化時(shí) 分鐘；而有 的顧客即需要剪又需要又需要吹風(fēng)， 許花時(shí) 分。 對(duì)任意一個(gè)模擬，首先要作的是 找出能完全描述任意時(shí)刻的系統(tǒng)的狀態(tài)變量 的集合。 給出能從時(shí)刻 的狀態(tài)變量算出時(shí)刻 的新 的狀態(tài)變量的程序。 這個(gè)例子中有三個(gè)狀態(tài)變量：在等待的顧客的 人輸（離散的非負(fù)整數(shù)）；是否 正在工作（是或 否）；是否 正在工作（是或否）。

23、)a )b AB 40% 60% 8 1t 5 t A B 30知識(shí)材料 n一次模擬式由始于 ，結(jié)束于 的狀態(tài)變量 的值的一系列演算組成的。一個(gè)事件是時(shí)間中的一 點(diǎn)，在這個(gè)時(shí)刻一個(gè)隨機(jī)變量改變了它的值。在這 個(gè)例子中的事件有: 一個(gè)顧客到達(dá)； 開(kāi)始服務(wù)； 結(jié)束服務(wù)； 開(kāi)始 服務(wù)； 結(jié)束服務(wù)。 一個(gè)元素是一個(gè)離散，或者是系統(tǒng)的長(zhǎng)期部分， 或者是進(jìn)入和離開(kāi)，這里的元素是顧客和兩個(gè)理發(fā) 員。 對(duì)研究一個(gè)模擬模型來(lái)說(shuō)，有兩種程序類型： （1）時(shí)間切片 考察狀態(tài)變量和在時(shí)間切片中 （通常是等時(shí)間的切片）元素的位置。在每一個(gè)時(shí) 間切片中狀態(tài)變量可變可不變。 0t tEND ABA B 31知識(shí)材料 （2）

24、事件序列 考察在每一事件的系統(tǒng)，并不考慮 時(shí)間之間的時(shí)間。 這兩種途徑我們有時(shí)稱為“時(shí)間傳動(dòng)”和“事件傳 動(dòng)”模型。一般我們用時(shí)間傳動(dòng)模型于連續(xù)的的確定 型系統(tǒng)，事件傳動(dòng)模型于離散的概率模型，但這不時(shí) 絕對(duì)。在這個(gè)例子中我們將用“事件傳動(dòng)”。 對(duì)于時(shí)間切片模型，我們必須決定時(shí)間切片的大 小，為簡(jiǎn)單計(jì)我們將取 分鐘。問(wèn)題的描述并不包括 任何有關(guān)顧客到達(dá)率的信息。假設(shè)在任何一分鐘顧客 到達(dá)的概率是 。實(shí)際上有兩種不同類型的顧客，取 決于是否要吹風(fēng)。我們通過(guò)取服務(wù)時(shí)間的平均值，即 分，構(gòu)造一個(gè)粗糙的模型。 1 0.6 50.4 86.2 32知識(shí)材料 n 為了描述一個(gè)顧客是否到來(lái)這個(gè)隨機(jī)變量，我 們

25、用一個(gè)硬幣將作為一個(gè)隨機(jī)數(shù)的生成器，用 表示反面， 表示正面。設(shè)扔出的序列是 。用 表示一個(gè)顧客到達(dá)， 且取初始狀態(tài)為顧客，運(yùn)行前 分鐘，就有下表 的結(jié)果： H 時(shí)間（分）時(shí)間（分） 到達(dá)？到達(dá)？ A在工作在工作 B在工作在工作 排隊(duì)排隊(duì) 0 否否 否否 否否 0 1 是是 是是 否否 0 2 否否 是是 否否 0 3 是是 是是 是是 0 4 是是 是是 是是 0 5 否否 是是 是是 0 T , , , , , ,T H T T H T T T H H T 10 33知識(shí)材料 到 這里，人們將要為我們希望知道什么。通常我們 感興趣的是平均隊(duì)伍的長(zhǎng)度，最長(zhǎng)的隊(duì)伍，顧客等 待的平均時(shí)間以及兩個(gè)

26、理發(fā)員的忙 閑 程度 等，注意到這里有兩種不同的平均，即一個(gè)是關(guān)于 時(shí)間，而另一個(gè)是關(guān)于顧客的平均，為回答上述為 她我們?cè)O(shè) 是任意時(shí)刻的排隊(duì)的顧客數(shù)。顧客和時(shí) 間的關(guān)系通?？捎蓤D 給出。 ( )Q 6 是是 是是 是是 0 7 是是 是是 是是 0 8 是是 是是 是是 0 9 否否 是是 是是 0 10 否否 是是 是是 0 W Q 2.19 34知識(shí)材料 它是一個(gè)右連續(xù)的階梯函數(shù)是合理的，這是由于只有新 顧客到來(lái)或有顧客完成服務(wù)后離去，函數(shù)值才發(fā)生變化， 關(guān)于時(shí)間的平均是 ，其中 圖下額面積，設(shè) 表示一個(gè)時(shí)間區(qū)間，在其上 保持常數(shù)（這里 本身是 變量）。當(dāng)我們進(jìn)行模擬時(shí)我們累積其和 。用

27、記在進(jìn)行模擬期間到達(dá)的顧客數(shù)。這樣我們所要的兩個(gè) 平均分別為 t Q Q 0 END t 2.19圖 Q t （）N Q Q QEND t Q t 35知識(shí)材料 n 隊(duì)長(zhǎng)平均 等待時(shí)間的平均 下面是用來(lái)說(shuō)明累積排隊(duì)時(shí)間 的記錄 （注意這里僅給出 變化的時(shí)間）： Q t Q END （） Q t W N （） Q t （） Q 36知識(shí)材料 t Q t 時(shí)間時(shí)間 Q 0 0 0 0 0 11.584 1 0 0 0 12.935 0 1.351 1.351 1.351 17.290 1 4.355 0 1.351 17.935 0 0.645 0.645 1.996 18.676 1 0.741

28、 0 1.996 23.156 0 4.480 4.480 6.476 25.217 1 2.061 0 6.476 25.327 2 0.110 0.110 6.586 25.935 1 0.608 1.216 7.802 27.431 2 1.406 1.406 9.208 Q t （） 37知識(shí)材料 n這里所執(zhí)行的總時(shí)間 。在這期間 。 隊(duì)伍的最長(zhǎng)長(zhǎng)度 。累計(jì)排隊(duì)時(shí)間 隊(duì)伍的平均長(zhǎng)度 。平均等待時(shí)間 。 在我們結(jié)束模擬時(shí)還有兩個(gè)顧客，一個(gè)是排隊(duì)的， 而另一個(gè)是新來(lái)的。 服務(wù)的總時(shí)間是 分。因此 忙碌的概率是 。 服務(wù)的總時(shí)間是 分或忙碌時(shí)間為 。 27.341END 10N max 2Q

29、()9.208Q t 9.208/17.3410.34Q 9.208/100.92W 22.185 27.34110081（、） B 19.406 71% A (50)(13.2858.285)(23.156 15.156) (27.341 23.156)22.185分 A 38知識(shí)材料 n 評(píng)注1 模擬一個(gè)系統(tǒng)的目的不是為了模仿一個(gè)現(xiàn) 實(shí)系統(tǒng)，而是通過(guò)解決問(wèn)題達(dá)到優(yōu)化系統(tǒng)的目的。例 如在這個(gè)例子中可以分析諸如增雇一個(gè)理發(fā)員或改變 服務(wù)時(shí)間等對(duì)系統(tǒng)的影響。 評(píng)注2 在我們的模型中，為使問(wèn)題簡(jiǎn)單我們已經(jīng) 作了一些假設(shè)： （1）假設(shè)了在任何一分鐘有一個(gè)顧客到達(dá)的概率 是 。 （2）默認(rèn)在同一分鐘內(nèi)

30、的顧客數(shù) 。 （3）如果兩個(gè)理發(fā)師均空閑，顧客可以任意選。 （4）排隊(duì)的原則是安先后的秩序。如果有預(yù)約可以 先服務(wù)。 0.5 1 39知識(shí)材料 n（5）我們的模型中允許一下情形出現(xiàn)，一個(gè)顧客的 來(lái)到，發(fā)現(xiàn)有很多人在等就走啦。也可能是一個(gè)顧客 在等了一段時(shí)間之后等不及了就離開(kāi)了。意味這允許 其中的一個(gè)理發(fā)員有短暫的休息。 例例2.20 倒媒臺(tái)的操作方案倒媒臺(tái)的操作方案 某煤礦公司有一個(gè)大型 煤臺(tái)，用于向運(yùn)媒列車裝煤。該倒煤臺(tái)的容量是 列 標(biāo)準(zhǔn)列車。裝滿一個(gè)空的倒煤臺(tái)需要一個(gè)小組 個(gè)小 時(shí)的時(shí)間，費(fèi)用是 。為提高裝煤速度可 以以 的代價(jià)動(dòng)用第二個(gè)小組。鐵道部 門每天向這個(gè)倒煤臺(tái)發(fā)三列空的標(biāo)準(zhǔn)車。這

31、些列車可 在上午 點(diǎn)倒下午 點(diǎn)之間的任何時(shí)刻到達(dá)。給一列 標(biāo)準(zhǔn)車裝滿煤需要 小時(shí)，向倒煤臺(tái)裝煤和從倒煤臺(tái) 向列車裝煤不能同時(shí)進(jìn)行。如果列車到達(dá)后因等待裝 煤二停滯，鐵道部門將征收每車 的滯費(fèi)。 1.5 6 9000元/小時(shí) 12000元/小時(shí) 58 3 15000元 /小 時(shí) 40知識(shí)材料 n此外，每星期四上午 點(diǎn)到下午 點(diǎn)之間還有一列大 容量列車到達(dá)，其容量為標(biāo)準(zhǔn)的列車的 倍，滯期費(fèi) 為 。請(qǐng)問(wèn) （1）安標(biāo)準(zhǔn)規(guī)則操作可使裝煤費(fèi)最低？費(fèi)用使 多少？ （2）如果標(biāo)準(zhǔn)列車能在指定的時(shí)間到達(dá)，什么 樣的調(diào)度安排最經(jīng)濟(jì) ？ 這個(gè)問(wèn)題中列車的到達(dá)時(shí)間使隨機(jī)因素，適合于建 立概率模型，同計(jì)算機(jī)模擬加以解決

32、。 首先，模型中需要考慮的費(fèi)用由兩部分組成。一部 分使裝煤小組向倒煤臺(tái)裝煤的費(fèi)用，記為 ，另一 部分使列車等待裝煤的滯期費(fèi) 。因每天要裝的煤 數(shù)量使固定的， 的大小只受是否使用大二小組影響。 25000元/小時(shí) L C D C L C 41知識(shí)材料 n 通過(guò)使用第二小組，有可能減少 。模型的主 要任務(wù)是將總費(fèi)用 降到最低。故 是模 型的目標(biāo)函數(shù)。 其次，由于理論上的困難，很難得到最優(yōu)方案。 考慮到這是一個(gè)每天重復(fù)發(fā)生的為她，重要的的是提 供一組簡(jiǎn)單明確的規(guī)劃，使煤礦公式可以根據(jù)規(guī)則方 便地獲得接近最優(yōu)的解。因此，我們將在方案的優(yōu)化 程度和簡(jiǎn)明性之間做一個(gè)折中。 設(shè)： 為裝滿列車 所需的煤量；

33、為倒煤臺(tái) 中剩下煤量； 表示當(dāng)前時(shí)間。其中 和 均以 小時(shí)向列車裝的煤量為單位。 D C L C=C A r 0,24)t Q 1 A D C A rQ 42知識(shí)材料 n 根據(jù)題意寫出下面一些應(yīng)該遵循的規(guī)則： 有列車等待時(shí)，用兩個(gè)小組裝煤節(jié)省的滯期費(fèi)大 于增加的裝煤費(fèi)用，此時(shí)應(yīng)使用第二個(gè)小組。 當(dāng)同時(shí)有兩列或三列標(biāo)準(zhǔn)列車等待裝煤時(shí)。應(yīng)將 已裝煤量最多的車排在前面先裝，已裝煤量最少的車排 到最后面?？梢宰C明，這樣安排滯期費(fèi)最少。 當(dāng)同時(shí)有大容量車 和標(biāo)準(zhǔn)車 等待時(shí)，先裝 后裝 的滯期費(fèi) 先裝 時(shí)的滯期費(fèi)為 當(dāng) 時(shí)，先裝 ，否則先裝 。 AB 1 22 25000max(),015000max()

34、,0 33 DAAAB CrQrrrQ 2 22 15000max(),025000max(),0 33 DBBAB CrQrrrQ 12 DD CC ( )a ( )b ( )cA B AB43知識(shí)材料 n 設(shè)當(dāng)前待裝的車為 ，則用兩個(gè)小組裝倒煤臺(tái) 直到 或 為止，然后裝列車。 周四時(shí)，裝標(biāo)準(zhǔn)車和大容量列車共需要 小時(shí)。 即便是倒煤臺(tái)在周四上午 點(diǎn)以前就已提前裝滿，當(dāng) 天用兩個(gè)小組裝倒煤臺(tái)仍需 小時(shí)，合計(jì) 小時(shí)故最 快也要到周五早上 點(diǎn)才能完成周四的任務(wù)，且此 時(shí)倒煤臺(tái)為空。為保證周五正常工作，應(yīng)馬上開(kāi)始裝 倒煤臺(tái)。由以上分析知，周時(shí)間最緊張，就始終用兩 個(gè)小組。 非周四，在此刻 無(wú)列車等待

35、，設(shè)已知下一列 車到達(dá)時(shí)間為 。若 ，則時(shí)間充 足，可以用一個(gè)小組裝倒煤臺(tái)至滿或下一列車來(lái)。否 則用兩個(gè)小組。 A Qr4.5Q A 15 122 3 tt 3 3 4 tQ ( )d ( ) e ( )f 5 t 44知識(shí)材料 n 非周四，不知道列車的到達(dá)時(shí)間。設(shè)在時(shí)刻 倒煤臺(tái)中尚有煤量 ，沒(méi)有列車等待，當(dāng)天還有 列標(biāo)準(zhǔn)車未到達(dá)。假設(shè)列車到達(dá)時(shí)間服從獨(dú)立的均勻 分布，則存在 ，當(dāng) 時(shí)用一個(gè)組裝 煤即可，否則要用兩個(gè)組。 的選擇應(yīng)滿足最小的原則，因其解析解難以求 出，故采用計(jì)算機(jī)模擬的方法。首先任意取一個(gè) 值 ，注意到 ，在 上述約束條件下以一定步長(zhǎng) 取 各種組合，分別用計(jì)算機(jī)模擬求出平均費(fèi)用，找出使 平均費(fèi)用最少的一組 ， 和 值， 作為在該組合給定 下的函數(shù)值。選取一系列不同 的 的值重復(fù)以上過(guò)程，就可以得到函數(shù) 在各點(diǎn) 上的值。 ( )g t Q i ( )5,20 i t Q ( ) i t Q (0,4.5 )Q 321 5( )( )( )20t Qt Qt Q (