葉盛標(biāo)高數(shù)上分析

1、前言只要兩秒強(qiáng)行帶入 定型定法 以洛為主 單夾積導(dǎo)極限是微積分的基石；導(dǎo)數(shù)是微積分的關(guān)鍵；初等函數(shù)一一公式搞定； 分段函數(shù)一一分段搞定；上限函數(shù)一一導(dǎo)數(shù)搞定。第一章函數(shù)、極限與連續(xù) 0內(nèi)容提要0、極限的定義(科學(xué)的 &語(yǔ)言一一五句話)i)函數(shù)極限的定義(科學(xué)的 語(yǔ)言一一五句話)XT X0, f (x)的極限定義為：(任給)Vs 0 :(存在)36 0 ；當(dāng)Qx-x 0 ，萊0 ；當(dāng)Xo -6 CXCXg時(shí);總有I f(X)A 0 :3X 0 ；當(dāng)X X時(shí)；總有xmf(x)=A。前4句話與第5句話等價(jià)XT 二，f (x)的左極限定義為： VE 0 :3X0 ；當(dāng)X vX時(shí);有 xmf(x)=A。

2、ii)數(shù)列極限的定義(科學(xué)的S語(yǔ)言一一五句話)數(shù)列xn的極限定義為：VS 0 ；3N 0 ；當(dāng)n N時(shí)；總有xf(x)-A S成立；則有總有f(X) A W S成立；則d V名成立；則有l(wèi)im Xn = a 。 In_前4句話與第5句話等價(jià)1、兩個(gè)重要極限sin X ,1 Xk X klim =1，lim(1 +)xlim(1=ekT X7 X7 X這兩個(gè)極限之所以重要，是因?yàn)閹缀跞康幕境醯群瘮?shù)求導(dǎo)公式都是由這兩個(gè)重要極限推出的。2、 極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：i)夾逼定理;ii)單調(diào)有界數(shù)列有極限.3、連續(xù)與間斷設(shè)函數(shù)y = f(x)在點(diǎn)X0的某鄰域內(nèi)有定義，如果lim f(x)存在，且lim

3、 f(x) = f(x0)，則稱y=f(x)在點(diǎn)x。XSX0連續(xù)。破壞“設(shè)”、“如果”、“且”三條件之一者謂之間斷，X0為間斷點(diǎn)。若左極限f(X0-0)及右極限f(X0+0)都存在，那么稱x。為f(x)的第一類間斷點(diǎn)，否則為第二類間斷點(diǎn)。4、最值定理5、保函數(shù)號(hào)定理lim f（X）=A,A0= f（X）0 X0證明：寫 im f（x） =A, A0;W2 0, 35 0,當(dāng) 0 -oG1 1+x+1 V X X=lim+1V X X+_cosx-X嚴(yán)x2x2另解：lim廠Jx +cosx+1 +丄XlimxJ-OC補(bǔ)充（全國(guó)2011年，數(shù)三，10分）求極限 lim Z+ZsinxX-1XTxl

4、 n(1+x)解: lim空歸口XT xin (1+x)Jx2 +cosx超越函數(shù), 不再超越。1+2s in x-(x +1)2x2j1+2s in X +x + 1xm0= 1lim2 xT2(si nx-x)小 1T 一2x2看到根號(hào), 想到共軛。補(bǔ)充（全國(guó)2011 ,數(shù)一）1 +2xlxm0( 2)x（答案：近）補(bǔ)充（全國(guó)2005，數(shù)二）-2 + 1=1-11+2s in x-(x +1)2當(dāng) XT 0,sin X -x 2x2xf(Xt)f(t)dt設(shè)函數(shù)f (x)連續(xù)，且f(0)=0,求極限limx7 x f (x-t)dtx分析：一元函數(shù) F(x)= f(t)dt,則F(x) =

5、 f(x),ax然而F（x） = f（x,t）dt是二元函數(shù)，不是積分 上限函數(shù)。xxx解：分子(x-t)f (t)dt =xJ0 f(t)dt-_0tf (t)dt，x0xx分母 x f(x-t)dt令x-t =u -x f(u)du=x L f(u)du=x f(t)dt，-XXX(x-t)f(t)dt xf f(t)dt- f tf (t)dtf f(t)dt+xf(x)-xf(X)lim =lim x=lim 0xqf r, .X .i0f r/x 亠jOr xf f(x_t)dt八 3rxx f (t)dtxf (t)dt +xf(x)xI f(t)dt在此處如果繼續(xù)這樣處理：=li

6、m 勺= =1就是錯(cuò)誤的,T （ f（t）dt+xf（x）f（0）+ f（0）2=因話為fUd0不可m導(dǎo)酣）x（x）不連續(xù)。fg） f（t）dt +xf（x） 晉 fC）x+xf（X）f e知_ 1xtx)_+ f(x)_f (0)+ f (0) 2f(0)考研數(shù)學(xué)的四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化：上限函數(shù)要標(biāo)準(zhǔn)化；微分方程要標(biāo)準(zhǔn)化；線性方程要標(biāo)準(zhǔn)化；隨機(jī)變量要標(biāo)準(zhǔn)化。u例 6 lim 二(u a0,aa0)xrbCe)xuU-u J2的.-,ux , u(u 1)x解：lim r = lim =lim - xTe扎e必近如果u -2 aO,則繼續(xù)洛必達(dá),如果u -20）；（答案均為0）100練習(xí)：求下列極限li

7、m0）:xT e 擺1 1 an +bn例 8 a0,b0,則nlim丿-)n1 1aHb)2 )1n1 1納,an+bn解：nim丿=eln(at 4btln(2lim2e t=e11 t ln(at lna 七 g b) lim ,a 出 十+ 1lim_= eT+t1 t ln(at ln a 七 In b) at HbtIn ab； =e2 =Vab定理：（函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系）15f (x)在U (x0)內(nèi)有定義,lim f(x)=A，二 任意含于 U (x0)數(shù)列xn,若 lim x x03X0n-且Xn HXo,則有 lim f (Xn) = A例 10 求極限2lim (M

8、-ax_b)=0,求a、b之值。址 X +1分析：有理分式 =真分式=部分分式(假的變真的，真的再分解)解：limax b) =0= lim(X1+Z_ax-b)X +1X +12=lim(1-a)x+(-1-b) +)=0= a=1,b = -1X例 13lim 為(C)XT XA、 B、-1 C、0D、不存在解：上述極限的左極限為-1,上述極限的右極限為1.?？碱}型2導(dǎo)數(shù)、積分，可求極限M、m、I，一去就行。例14.若f (x)的二階導(dǎo)數(shù)f(x0)存在，則lim2Th錯(cuò)解f (X0+h) + f(X0 -h)-2f(X0)f(x。+h) +f(X0 -h)錯(cuò)解：lim2=limhTh2hT

9、2hM f(x0+h) + f(X0-h)=f)T-錯(cuò)因分析：f(X)的二階導(dǎo)數(shù)f (Xo)存在，但f(X)在Xo附近并不連續(xù)。補(bǔ)充：設(shè)f(x)在X = a處可微,f (a) H0,求極限f(1)n1f(a+)lim I nnT 祕(mì)f(a)令1 lim /(a 十)-f (a)f(a)t+t=ef (a + ) ln nlim=ef(a)1n導(dǎo)數(shù)定義例15求極限nim(+n+1 n+2ln1lim=eJf (a + )4=4f(a)1nf (aH1)-L lim f(a)=e n1limfF=ef 屛)-f (a)n1nf(a)f(a)1n +n一點(diǎn)可導(dǎo), 定義搞定。幕指函數(shù), 對(duì)數(shù)恒等。1丄

10、1)=lim + limn+nnYn+1n+21 1+ 1 i +n+2n+n ；+- +lim 1)=0 + 0十+0 = 0此種解法錯(cuò)誤。Yn +n解法一：1丄1丄丄1lim)+7n+1 n+2_ 1 解法二：令Xn 齊1 711則 X1 =,X2 =,且有 Xn+ xn = +,2 122n+1 2n+2 n+1口土. 1n111n.又有一=Xn = +屮+ =1，2n+nn+1n+2n+nn+11二數(shù)列Xn單調(diào)遞增有上界，lim Xn存在；根據(jù)遞推公式Xn十Xn =+ ,y：2n+1 2n + 2 n+1111有l(wèi)im （xn. xn） =lim （+ ）=0= l = l，故本題無(wú)法

11、由本解法解出。nY 卞nY2 n+1 2n+2 n+1解法三（采用定積分定義進(jìn)行求解）：詳見葉盛標(biāo)考研數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)班講義。bn定積分是一種特殊的和式極限:a f (x)d =liZ f (G)也Xi,入=maxpix1 x2 xni）匕決定被積函數(shù)；ii ） q決定積分區(qū)間：T a,rnT b ；lii）匕決定微分dx :=dx ;在本題中取 =丄n=dx.例17求極限lim也n護(hù)n1曲而1(n!)n01-，nlim 逅=lim () n護(hù)n 卡n，n nn.n .ilim y lnT料！ n 厶。厶=e 一 = e = ejn xdx幕指函數(shù), 對(duì)數(shù)恒等。、亠 1 1注意： 01 n xdx =

12、xl n x |01 1ln xf - xdx，又 lim xlnx= lim 0 x心0書心0七 1洛必達(dá)x!弋1二(In xdx =xln X|?？碱}型3夾逼定理，誰(shuí)來(lái)夾逼由于數(shù)列xn離散，致使本例 18 求極限 lim一(2n T)r 2 4 6- (2n)解法一：令 Xn=135（2nT）2 4 6（2 n）(2n -1)!(2n)!則 x1，x2=3，x3 違,且有 xZxn2n + 22n +1題無(wú)法采用導(dǎo)數(shù)與積分定 義的方法求該極限。，” .數(shù)列Xn單調(diào)遞減，則有0Xn - ,2、2n +2二數(shù)列 Xn單調(diào)遞減有下界，A lim Xn存在；根據(jù)數(shù)列的遞推公式 Xn4t =Xn F

13、 ， n*2n+12n + 2有l(wèi)im Xn+ =lim xn lim二l T，故本題無(wú)法由本解法解出。nYn 護(hù)W2 n+1解法二（夾逼定理）：詳見葉盛標(biāo)考研數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)班講義。1 1-咲dx = -1。 0x1由本題可得結(jié)論：ljeXdx =1,n xdx = -1。夾逼定理：i ) h(x) f(X)4 =X2,假&xk xk,另E么Xk = Jxk+ 6 A Jxk +6 =x由數(shù)學(xué)歸納法，則數(shù)列xn單調(diào)遞減。li)再證數(shù)列 例19設(shè)a aO為常數(shù)，數(shù)列Xn由下式定義常考題型8漸近線里三種類 補(bǔ)充(全國(guó)2010，數(shù)二)曲線y2X3=右的漸近線方程為解：i)iii故曲線僅有斜漸近線y =2x

14、。Iim二1 =主，沒(méi)有水平漸近線；ii)無(wú)垂直漸近線;xTPCx2 +12x32x3也跡X2=2，b =凹(x)-2xz型右-2x = 0；第二章導(dǎo)數(shù)與微分 0內(nèi)容提要1、導(dǎo)數(shù)的定義X -Xof(Xo)存在二f(Xo-0)= f(Xo+O),不但存在并且相等。2、導(dǎo)函數(shù) 如果(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(x)是(a,b)上的函數(shù);如果a,b內(nèi)可導(dǎo)，f (X)在X = a處有右導(dǎo)數(shù)，f (x)在x = b處有左導(dǎo)數(shù);3、可導(dǎo)二可微Ay = f (Xo +Ax) f (Xo) = Mx +ox)，其中 A與 Ax 無(wú)關(guān)，這時(shí)稱 y = f (x)在點(diǎn) Xo 處可微，記作dy =Aax ；可以證明A= f

15、 (Xo)。一般記作dy = f (x)dx4、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系y = f (x)在點(diǎn)Xo處可導(dǎo)=y = f (x)在點(diǎn)Xo處連續(xù)；反之不成立。 2思維定勢(shì)1、同名函數(shù)的三大用途：求不定積分；做證明題；求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解。eXf(x) =exf(X)+ f(x);ef(x) =exf(x)-f(x);/f(x) =exf(x)rf(x);e4Xf(x) =exf(x)f(x);X1 2X2e f(x) =e f(X)+2xf(x);ef(x) =ef(X)2xf(x); 3?？碱}型?？碱}型9導(dǎo)數(shù)定義，永恒考題 補(bǔ)充(全國(guó)1997，數(shù)一、數(shù)二)1設(shè) f (x)連續(xù)，半

16、(X)= L f (xt)dt，且 lJm解:Tim 丄 =A，二 f(o)=o, T Xi)原函導(dǎo)函, 拉式定理。( A為常數(shù))，求W (X)在x = o處的連續(xù)性X17ii)xt zUX1o f (u)du = - Jo f (t)dt Xj o, X = 0二 (X)= 1 X-JoWdlxHO初等函數(shù)一公式搞疋；分段函數(shù)一分段搞疋；上限函數(shù)一導(dǎo)數(shù)搞疋。Xi) x=o,(o)=iim=lim【of(t)dt f(x) A=lim=;T 2x2X2Xii) X曲(X)巳馬)一3河 (x)=AC,X =0 2XXX2又 l!m 半(X)=在春天就要掌握的五個(gè)考研真題XJo f(t)dt=A-

17、A=A=4(o)，二 (x)在 x=O 處連續(xù)。2 21 (全國(guó)(A)X = a是f (x)的極小值點(diǎn)(B)X = a是f(X)的極大值點(diǎn)(C)(a, f (a)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn)(D)x=a不是f (x)的極值點(diǎn)，(a,f(a)也不是曲線y = f(x)的拐點(diǎn)2 (全國(guó)Xf (x-t) f (t)dt2005，數(shù)二)設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f (0) =0,求極限lim J。7 X.0 f(xt)dt1997,數(shù)一、數(shù)二)設(shè) f(x)連續(xù)，玖 x)= J； f(xt)dt，且 lim = A( A 為常數(shù))，求 W (x)在 x = 0處的連續(xù)性。()3 (全國(guó)r X, +X2 +

18、 X3 +X4 =-14已知非齊次線性方程組4x1 +3X2 +5x3 -x4 = -1有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，i )證明方程組系數(shù)矩陣ax1 +x2 +3X3 + bx4A的秩=1r(A)=2 , ii )求a、b的值及方程組的通解。例 34 設(shè) f(X)=x X，則 f (0) = ( B)(A) 1(B) 0(C) -1(D) 不存在補(bǔ)充(全國(guó)1998，數(shù)一、數(shù)二)23函數(shù)f(x)=(x X2)x -X不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(B)(A)3(B) 2(C) 1(D) 02001，數(shù)三、數(shù)四)設(shè)函數(shù) f (X)的導(dǎo)數(shù)在x = a處連續(xù)，又lim丄n = _1，則7 X-a21定理：若(x)在x0可導(dǎo)，

19、屮(X)在x0處連續(xù)但不可導(dǎo)，則W(x0)=0u函數(shù)W(X)屮(X)在x0可導(dǎo)。證明：=”已知屮(x0) = 0,證明函數(shù)F(X)= W(x)屮(X)在x0可導(dǎo)。F (Xo) = lim =lim巴血=lim魚止迪兇仝血屮(x。)X3x0X XqX3X3X XIXor F(x)-F(Xo)X”函數(shù)x-Xqw(x)屮(X)在x0可導(dǎo)，證明9(怡)=0F (xo) = lim FgFW- lim(X(X(Xo(Xo lim EX)(XoN(X) xf 0X xoToX XcXTXOX -X0x-x。+ lim (Xo)W(x)-(Xo)屮(xo) _cp 屮(xo”(x)-(xo” (x。)XX

20、XcxioX-X0X-X0/. （X0）= 0 ,證畢。?？碱}型10函數(shù)求導(dǎo)，年年要考產(chǎn)2例 43設(shè) J X = f(t)，且 f(t)H0,求嗎 y =tf(t) f(t)dx2解:巴丄dx dt dxdtf建)_ f(t)+tf (t) f(t) _t .虬 t ，dxdyfxf，f (t)求y、廠 22補(bǔ)充 y =1 n(x +/x +a ),解：y =1 n(X + Jx2 +a2)，補(bǔ)充1Jx2 - a2ln( X + Jx2+a2) =_1J / 22 dx = ln(x +Jx2 +a2) +c,(全國(guó) 2009,數(shù)二)vx -a/是由方程制e冋詁確定的隱函數(shù)網(wǎng)x噴csn；+c2

21、dx,ln X + Jx2 - a2 =dx = In x +Jx2 - a2初始條件, 要抓出來(lái)。解：xy+ ey =x +1， x=0,y(0)=0(xy+ ey)x=(x+1)x，當(dāng) x=0, y(0) =0 時(shí)，y(0) =1(y +xy+ey y)x =(1)x= 2y+xy”+ey(y)2 +eyy” =0當(dāng) X =0, y(0) =0, y(0) =1 時(shí)，y”(0) =-3。xHy .2x設(shè)可導(dǎo)函數(shù)y =y(x)由方程e dt = J。xsin tdt確定，則X為 .2 解：fedt =p補(bǔ)充（全國(guó)2010，數(shù)三）x 2xsin tdt， X = 0, y(0) =0 ；(為e

22、上dt)x = (xj：sin2tdt)x=乂切(1 + y) = J：sin2tdt+xsin2 x當(dāng) X =0, y(0) =0時(shí)，y(0) = 1常考題型11 n階導(dǎo)數(shù)，形式優(yōu)美例46求y = xex的n階導(dǎo)數(shù)。（要求直接寫出結(jié)果）解：詳見葉盛標(biāo)考研數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)班講義。4例 47 y =，求 y(n)X 1分析：有理分式 =真分式=部分分式(假的變真的，真的再分解) 解：詳見葉盛標(biāo)考研數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)班講義。補(bǔ)充(全國(guó)2010，數(shù)二) 函數(shù)y =1 n(1 -2x)在X =0處的n階導(dǎo)數(shù)，y(n)(0)=1解: y=ln(1-2X),y=w(-2)+2)(1-2XLyf1)(-2)2(1-2X)=y

23、=(1)(2)3(12x),y(n)=(“心-丫！ 0, y(n)(0)一2n(n 1)!(1-2x)nX -22?？碱}型12切線法線，倒數(shù)搞定i)過(guò)曲線y=f(x)上一點(diǎn)(X0,y0)，求過(guò)該點(diǎn)的切線：y y0 = f(x0)(xX0)；ii)過(guò)曲線y = f (X)外一點(diǎn)(x0,y0)，求過(guò)該點(diǎn)且與曲線 y = f (x)相切的直線:jy。 = f(x0)ly。 yi = f (X0)(xx0)補(bǔ)充(全國(guó)2011，數(shù)三)曲線tan(X + y +兀)=ey在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為 _4解: tan( X + y + 4)J = (ey)x= sec2 (x + y + )(1 + y)

24、 = y ey當(dāng) X =0, y(0) =0 時(shí)，y(0) = 2。第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 0內(nèi)容提要1、對(duì)羅爾定理的證明Ty=f(x)在a,b上連續(xù)，由最值定理有 mf(x)Mi)如果 M =m，則 f(xM =m，二 f(x) =0，在(a,b)內(nèi)任取一點(diǎn)巴，總有 f&)=0 ；ii)如果M ，那么M或m中至少有一點(diǎn)在(a,b)內(nèi)取得，不妨假設(shè)f(r)=M，一點(diǎn)可導(dǎo), 定義搞定。f宀 Hm f(x)-fC) Hm f(X)-M f-xm X二匕豎弋寧AO(保極限號(hào)定理)f(f畑匸血262、對(duì)拉格朗日中值定理的證明問(wèn)題證明, 結(jié)論開始。= f 代-0) = f 佗 +0) = 0 ,證畢。

25、欲證：f(b) -f (a) = f ()(b -a)即證：F() = f(b)-f(a)-f(b-a)(某一函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù))FG)撇了再 J F(x)t FG)F(x) =f(b)-f(a)-f(x)(b-a)，高等數(shù)學(xué), 升階降階。F(X)= f (b)x - f (a)x - f (x)(b - a) +c ,F(a) = f (b)a -f (a) -f (a)(b-a) +c = af (b) -bf (a) +c.F (b) = f (b)b - f (a)b - f (b)(b -a) + c =af (b) bf (a) +c/. F (a) = F (b)，由羅爾定理，存在匕

26、E (a, b)，使得F (匕)=0 ,即有 f(b)-f(a) =f(ba)，證畢。3對(duì)柯西中值定理的證明欲證：需，即證：H (匕)=F(b) -F(a)G(G(b) -G(a)F 牡)=0H (X)叫 F (b) - F (a)G(X)-G(b) -G(a) F (x)，H(x) =F(b) -F(a)G(x) -G(b) -G(a)F(x)，中值定理, 邊值搞定。H (a) =F (b) - F (a)G(a) -G(b) -G(a) F (a) = F (b)G(a) - F (a)G(b)，H(b) =F(b)-F(a)G(b)-G(b) -G(a)F(b) = F(b)G(a)-F

27、(a)G(b)，二H (a) =H (b)，由羅爾定理，存在忘(a,b)，使得 H (Q = 0，即有F(b)-F(a)a，證畢。G(b)-G(a) GG)4泰勒公式(略)5、對(duì)定積分中值定理的證明證法一：寫y=f(x)在a,b上連續(xù),由最值定理有m f (X) M，則bbbf mdx 蘭 f f (x)dx 蘭 f Mdx = m(b -a)蘭 f f (x)dx 蘭 M (b -a)二 m 蘭 aaaabf f(x)dx 0，y”(1) = 2 p(1)0，. (1,0)不是曲線的拐點(diǎn)對(duì)(B)有：令 y =(x-2)2 p(x)，其中 p(x) =(x1)(x-3)3(x 4)4， p(2

28、) H 0則 y =2(x -2) p(X)+(x -2)2 p(x)，討=2 p(x) +4(x -2) p(x) +(x -2)2 p”(x)，且y”(2) =2 p(2) H0，二(2,0)不是曲線的拐點(diǎn)。對(duì)(C)有：令 y=(x-3)3 p(x)，其中 P(X)=(x-1)(x-2)2(x4)4，則 y =3(x-2)2 p(x)+(x-3)3 p(x)，y =6(x-3)p(x) +6(x-1)2 p(x) + (x-3)3 p(x)， y J(x -3)6p(x) +6(x1)p(x) +(x3)2 p(x), yJ(x3)Q(x)，y”(3) =0,Q (3) =6 p(3) 0

29、則y”(x)在x=3的左右領(lǐng)域內(nèi)異號(hào)，且 y(3) =0，二(3,0)是曲線的拐點(diǎn)對(duì)(D)有：令 y =(x4)4 p(x)，其中p(x)=(x-1)(x-2)2(x-3)3，則 y=4(x-4)3 p(x)+(x-4)4 p(x)，y ” = 12(x 4)2 p(x) + 8(x-4)3 p(x) + (x-4)4 p(x)， y=(x-4)212 p(x)+8(x-4) p (x)+(x-4)2 p(x)，y(4)=0, p( 4)0則y”(x)在X =4的左右領(lǐng)域內(nèi)均大于 0,且y(4) =0，二(4,0)不是曲線的拐點(diǎn)?？碱}型14證明不等，導(dǎo)數(shù)搞定 補(bǔ)充(全國(guó)1999，數(shù)一)試證：當(dāng)

30、 xa0時(shí)，(x2-1)lnx(x-1)2欲證：(X2-1)1 nx(x1)2，即證：f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)20,x2 一111f (X)=2xlnx-2(x-1) =2xln x-x-丄+2， f ”(x) =2ln x+y 1，XXX有 01，即證(1+丄) f (1)=0補(bǔ)充：證明對(duì)自然數(shù)，證畢。(一定 要有用導(dǎo)數(shù)窮 追猛打的革命 精神！)e證明：先證Oc-一(1+n令f(X) =(1 +丄廣Xxln(1+)1 x1X,=e X(X 0),貝y f (X) =(1 +-) ln(1 +-)-p0恒成立,XX x + 11 1/. f(x)=(1+-)X在定義區(qū)間上單調(diào)遞增，又jjm(1+-)x=e，1 1(1+)n在定義區(qū)間單調(diào)遞增，且(1+)n ce，證畢。n1 ne1再證一-一10n2n1X即證 ln(1 +x)