破解直線與圓中的定的問題

1、破解直線與圓中的“定”的問題直線與圓的位置關(guān)系是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，是高考必考考點(diǎn)之一， 考題中往往涉及定 點(diǎn)、定直線、定圓等“定”的問題，其本質(zhì)就是曲線系，蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等。在解答此類問題的探索過程中，學(xué)生常常找不到解題的切入點(diǎn)，為此，我們須弄清 此類問題，切實(shí)掌握其解決的方法。、定點(diǎn)問題我們對(duì)于過定點(diǎn)的直線系并不陌生，如y kx是過定點(diǎn)0 0,0的直線系，y kx b（b是常數(shù)）是過定點(diǎn)0,b的直線系，y k x ab（a,b是常數(shù)）是過定點(diǎn)a,b的直線系，等等，那么，如何迅捷地找到直線所過的定點(diǎn)呢?例1 平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線 1 4k x 2 3k y 3

2、12k0恒過一定點(diǎn)P，而直線mx y 60也過點(diǎn)P，則m解法1:直線1 4k x 23k y 3 4k 0,整理得k 4x 3y12 x2y 30,人 4x 3y 12 令x 2y 30，解得所以P 3,0 ,代入直線mx答案：2.解法2 :令k則y 0 ；令k所以直線14k x2 3k y 312k0必過直線y 0與直線x 3的交點(diǎn)3,0，顯然P 3,0，代入直線 mx y60，得 m 2 o點(diǎn)評(píng)：含有參數(shù)的直線Ax By C0過定點(diǎn)時(shí)，只需將含有參數(shù)的部分整理到一起,不含參數(shù)的部分整理到一起，令系數(shù)均為0即可解方程得直線所過的定點(diǎn)。mx y m 30交于點(diǎn)P x,y，則PA PB的取值范圍

3、是變式1: （2014四川）設(shè)m R，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x my 0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線A. J 2/5B.如,2遁C.D.2 75,45答案B。例2 已知圓C ：X22kx4k10y 10k 20，則圓C過定解法1:圓C的方程可變形為X210y20 k 2x4y 100 ,所以圓C必過兩曲線X2 y210y202x4y100的交點(diǎn),2 2聯(lián)立方程x y2x 4y10y10200，解得所以圓C過定點(diǎn)1, 3。答案為1, 3 。解法2:令k 0,則X210y 202y 5x 50,圓C所過的定點(diǎn)必是曲線X2y2 10y20X25x 50的交點(diǎn);2 2而聯(lián)立方程xy10y200，解得X1,所以圓C過定

4、點(diǎn)1, 3 oX2y25x5 0y 3挖掘曲線方程與哪些參數(shù)點(diǎn)評(píng)：直線與圓的定點(diǎn)問題要善于從運(yùn)動(dòng)中尋求不變的特性, 無關(guān)。常見的方法有兩種：其一，直接按參數(shù)分離變量，進(jìn)而解出定點(diǎn)坐標(biāo)；其二，從特殊入手，求出定點(diǎn)，再證這個(gè)定點(diǎn)與參數(shù)取值無關(guān)。變式2:若圓X22x8y 130的圓心到直線ax y 10的距離最大時(shí)，則A. 1 B.3答案：AoC.D. 3二、定直線問題定直線問題往往是動(dòng)點(diǎn)所在的定直線、動(dòng)圓的定切線,含有多個(gè)參數(shù)，其幾何特征不明顯，解決時(shí)常常不知從何入手，此時(shí)，須緊扣等量關(guān)系恒成立，應(yīng)用待定系數(shù)法來處理。例3平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知半徑為r的e M的圓心M在直線y 2x 3上,且

5、在y軸右側(cè)，e M被y軸軸截得的弦長為 J3r (1)求eM的方程;(2)當(dāng)r變化時(shí)，是否存在定直線I與e M均相切？如果存在，求出定直線 I的方程;如果不存在，說明理由。解析：(1)設(shè) M a,2a 3 a2 20，則e M的方程為 x a y 2a 3設(shè)M到y(tǒng)軸的距離為d，即da，由eM被y軸軸截得的弦長為 J3r ,，得d故e M的方程為 xr2。(2)假設(shè)存在定直線l與e M均相切，定直線I的斜率不存在時(shí)，顯然不合題意;設(shè)直線I的方程為kx b，則k丄r 32Tk2r對(duì)于r 0恒成立,rJk21,得21 k2r2 kk2因?yàn)樯鲜綄?duì)任意實(shí)數(shù)r恒成立,所以k，解得b所以存在兩條定直線y 3

6、和 4x 3y0與動(dòng)圓eM均相切。點(diǎn)評(píng)：本題動(dòng)圓的圓心與半徑都在變化,其幾何特征不明顯， 故采取直接論證dM恒成立。解決含有多個(gè)參數(shù)的等量關(guān)系恒成立時(shí),必須緊扣等式的成立與 r的取值無關(guān)這一(1)證明：當(dāng)m變化時(shí),C2的圓心在一條定直線上;特點(diǎn)。變式 3 :已知圓G：293m 2 4m m 0 ，直線I的方程y x m 2，圓C1關(guān)于直線I對(duì)稱的圓為C2。（2）求C2所表示的一系列圓的公切線方程。提示：（1） Ci 2,3m 2關(guān)于直線I對(duì)稱的點(diǎn)C22m 1,m 1，C2在一條定直線x 2y 10上.（2）設(shè)公切線方程為kxb，則k 2m 1 m 1 bJk2 12m對(duì)于m恒成立，整理得4 k

7、 3m222k4k 30所以 2 2k 1 k b 10，解之得3474所以C2所表示的一系列圓的公切線方程為-，即 3x44y 7三、定圓問題動(dòng)直線與定圓相切，是研究 d弦心距r恒成立，或者聯(lián)立方程0恒成立,再按參數(shù)整理，令參數(shù)的系數(shù)為 0,得到方程組,最后解方程組求出圓心與半徑。例4已知點(diǎn)P在y上，縱坐標(biāo)為2t t 0，12,3t -，求證：直線tPQ恒與一個(gè)圓心在x軸上的圓M相切,并求出圓的方程。解析：由題意知P 0,2t2,3t所以直線PQ的方程為2tt22ty 4t20，設(shè)圓M的方程為r2 r 0，則t21 a4t2整理得t21 a4t2t2 1，或 4t2t2所以a r 4 t2t21 2 4t2r恒成立,t2 1，0恒成立,故a r 40，或a r 0r 40，解得r 0因此直線PQ恒與一個(gè)圓心在 x軸上的圓M相切，圓M的方程為2 2x 2 y24。r或0恒成立一變量分離一點(diǎn)評(píng)：解答題解題步驟是：設(shè)圓的方程-化簡(jiǎn)d弦心距變式4:已知直線|：2mx求圓心與半徑一寫出定圓方程，如