教學(xué)設(shè)計(jì)平面向量數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入0001

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載遂寧中學(xué)羅輝教學(xué)設(shè)計(jì)】內(nèi)容平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入輔助工具多媒體課件第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算基礎(chǔ)盤查一向量的有關(guān)概念（一）循綱憶知1. 了解向量的實(shí)際背景;2. 理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義;3. 理解向量的幾何表示.（二）小題查驗(yàn)1. 判斷正誤（1）向量AB與向量BA是相等向量（）向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大?。ǎ?）向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量（4）1 a|與bl是否相等與a, b的方向無關(guān)（）答案：（1） X （2） V （3） X （4） V2. （人教A版教材例題改編）如圖，設(shè)0是正六邊形ABCDEF

2、的中心, 分別寫出圖中與 0A , 0b , 0C相等的向量.解：0A = CB = DO ;OB = DC = EO ;OC = AB = ED = FO .基礎(chǔ)盤查二向量的線性運(yùn)算（一）循綱憶知1. 掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義;2掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義;3. 了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.（二）小題查驗(yàn)1判斷正誤（1）兩個(gè)向量的差仍是一個(gè)向量（） BA = OA OB ()向量a b與b a是相反向量（）兩個(gè)向量相加就是兩個(gè)向量的模相加（）答案：（1） V （2） V （3） V X2. （人教A版教材習(xí)題改編）化簡:(1) ( AB + MB) + BO +

3、 0M = NQ + QP + mN MP =答案：（1）AB（2）0基礎(chǔ)盤查三共線向量定理（一）循綱憶知理解兩個(gè)向量共線的含義，掌握向量的共線定理及應(yīng)用.（二）小題查驗(yàn)1. 判斷正誤（1）若向量a, b共線，則向量a, b的方向相同（）(2)若 a/ b, b/ c,貝 U a / c()向量AB與向量CD是共線向量，則 A, B，C，D四點(diǎn)在一條直線上（4）當(dāng)兩個(gè)非零向量a, b共線時(shí)，一定有b=，反之成立（）答案：（1） X （2） X （3） X （4） V2 .已知a與b是兩個(gè)不共線的向量，且向量a+ ?b與一（b- 3a）共線，則不同不點(diǎn)不同設(shè)計(jì)更島效考點(diǎn)一向量的有關(guān)概念I(lǐng) （基礎(chǔ)

4、送分型考點(diǎn)自主練透）必備知識(shí)（1）向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模.零向量：長度為0的向量，其方向是任意的.（3）單位向量：長度等于 1個(gè)單位的向量.0與任一向量共線.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定:相等向量：長度相等且方向相同的向量.相反向量：長度相等且方向相反的向量.題組練透1給出下列命題:若 |a|=|b|,貝y a = b;若A, B, C, D是不共線的四點(diǎn)，貝U AB = DC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件;若 a= b, b= c,貝U a = c;a = b的充要條件是|a|= |b|且a / b;若 a / b, b/

5、 c,貝U a / c.其中正確命題的序號是（）A .B .C .D .解析：選A 不正確.兩個(gè)向量的長度相等，但它們的方向不一定相同.正確. AB = DC , /.|AB |= IDC |且 AB /C ,又A, B, C, D是不共線的四點(diǎn),四邊形ABCD為平行四邊形;反之，若四邊形 ABCD為平行四邊形,則 AB /DC 且| AB |= |DC |,因此， AB = DC .正確. a= b,/a, b的長度相等且方向相同,又b= c,/.b, c的長度相等且方向相同,a, c的長度相等且方向相同，故 a= c.不正確.當(dāng)a /b且方向相反時(shí)，既使|a|= |b|,也不能得到a= b

6、,故|a |= |b|且alb不是a=b的充要條件，而是必要不充分條件.不正確考慮 b= 0這種特殊情況.綜上所述，正確命題的序號是.故選A.2.設(shè)a0為單位向量，下列命題中：若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，貝ya = |a| a。；若a與a。平行，則a= |a|a。；若a與a。平行且|a|= 1，則a= a。.假命題的個(gè)數(shù)是（）解析：選D 向量是既有大小又有方向的量，a與lala。的模相同，但方向不一定相同,故是假命題;若a與a。平行，則a與a。的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí) a=- |a|ao,故也是假命題.綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.類題通法平面向量有關(guān)概念的核心向量定義的核心是方

7、向和長度.(2) 非零共線向量的核心是方向相同或相反，長度沒有限制.相等向量的核心是方向相同且長度相等.(4)單位向量的核心是方向沒有限制，但長度都是一個(gè)單位長度.(5) 零向量的核心是方向沒有限制，長度是 0,規(guī)定零向量與任何向量共線.考點(diǎn)一向量的線性運(yùn)算I (重點(diǎn)保分型考點(diǎn)師生共研)必備知識(shí)1 .向量的加法定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算.運(yùn)算法則(幾何意義)：如圖三角必*占則運(yùn)算律： 交換律：a+ b= b+ a;結(jié)合律：(a+ b) + c= a+ (b+ c).2. 向量的減法定義：向量a加上向量b的相反向量，叫做a與b的差，即a+ (- b)= a- b.求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.

8、運(yùn)算法則(幾何意義)：如圖三殆法則3. 向量的數(shù)乘定義：實(shí)數(shù)入與向量a的積運(yùn)算，即:a.運(yùn)算法則(幾何意義)：如圖，X的長度與方向規(guī)定如下:(1) 1 怯 I=I4|a|.當(dāng)心0時(shí)，徳與a的方向相同;當(dāng)& 0時(shí)，?a與a的方向相反;當(dāng) A 0 時(shí)，?a = 0.運(yùn)算律：X )=(入)(a;Xa + b)=尼i+ ?b.提醒實(shí)數(shù)和向量可以求積，但不能求和或求差;匸0或a= 0?掃=0.典題例析1 . （2014新課標(biāo)全國卷I ）設(shè)D, E, F分別為 ABC的三邊BC, CA, AB的中點(diǎn)，則EB+ FC =()A . ADB.- ADC. BCD.2 BC 1 1 解析：選 A EB + FC

9、 = 2( AB + CB) + 2( AC + BC )=2( AB + AC ) = AD，故選 A.2. （2013 蘇高考）設(shè)D, E分別是 ABC的邊AB, BC上的點(diǎn),AD = AB , BE = |bC.若DE = AB + ?2AC 仏，h為實(shí)數(shù)），貝y入+；2的值為. . . 1 . 2 1 . 2 解析：DE = DB + BE = 2 AB + | BC = AB + |( BA + AC)=-1 2 6 AB + 2 AC，所以 h1 2 1=6， h= |，即 h+ h=-類題通法1.向量線性運(yùn)算的解題策略（1）常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一則，求差用三角

10、形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則.般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法（2）找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形 或三角形中求解.2.兩個(gè)結(jié)論（1）p為線段 AB 的中點(diǎn)？ OP = （oA + OB）； G 為 ABC 的重心? GA + GB + GC = 0.演練沖關(guān)1.(2015 聊城二模)在 ABC 中，AB = c, AC = b.若點(diǎn) D 滿足 BD = 2 DC，則 AD =()B.*-?J. 2D.3b+3 cC2-1込 b3c解析：選A 2 ,如圖，可知 AD = AB + BD = AB + 3（ AC AB） = c+2 2 13

11、（b c） = 3b+ 3c.故選 A.2. 若典例2條件變?yōu)椋喝?AD = 2DB , CD = 3CA + /CB，貝U 匸 解析：CD = CA + AD , CD = CB + BD , 2CD = CA + CB + AD + BD .又 AD = 2DB , 2 CD = Ca + CB + 3 AB A =CA + Cb + 3（Cb CA）324 =|ca +ICB.CD = 3Ca + |Cb，即 /= |.2答案：2考點(diǎn)三共線向量定理的應(yīng)用I(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)全面發(fā)掘)必備知識(shí)共線向量定理向量a(az 0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)入使得b=掃.提醒限定a工0的目的是

12、保證實(shí)數(shù) 入的存在性和唯一性.一題多變典型母題設(shè)兩個(gè)非零向量 e1和e2不共線.如果 AB =e2, BC = 2e1 3e2, AF = 3e1 ke2，且A, C, F三點(diǎn)共線，求k的值.解.fAB = ei+ e2, BC = 2 ei 3e2, AC = AB + BC = 3 e1 2 e2.A, C, F三點(diǎn)共線,- Ac pAF，從而存在實(shí)數(shù) 入使得AC =入AF 3ei 292= 3 淪1 一 入 k,又ei, e2是不共線的非零向量,3= 3 入1 因此k= 2. 實(shí)數(shù)k的值為2.I 2=入k題點(diǎn)發(fā)散i在本例條件下，試確定實(shí)數(shù)k,使k9i+ 92與9i + k92共線.解：.

13、k91 + 92 與 91 + k2 共線，存在實(shí)數(shù)入 使 kei+ 92= ei+ ke2),即 kei + 92=砂 + 入k,解得k=.i=入k題點(diǎn)發(fā)散2在本例條件下，如果 AB = 9i 92, BC = 39i + 292, CD = 89i 292,求 證：A, C, D三點(diǎn)共線.92,證明：-AB = 9i 92, BC = 39i + 292,=8 9i 292,AC = AB + BC = 49i+92,又 CDCD = 2 AC , AC 與 CD 共線.又 AC與CD有公共點(diǎn)C，/A, C,D三點(diǎn)共線.類題通法i .共線向量定理及其應(yīng)用(i)可以利用共線向量定理證明向量共

14、線，也可以由向量共線求參數(shù)的值.(2) 若a, b不共線，則？a+ b= 0的充要條件是 入=尸0，這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用 非常廣泛.2.證明三點(diǎn)共線的方法若 AB =入AC，貝U A, B,C三點(diǎn)共線.針對高右靈活掌控蟲宴效:一、選擇題1.給出下列命題:兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量. 兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小. 掃=0（入為實(shí)數(shù)），則入必為零. 人為實(shí)數(shù)，若?a=山，則a與b共線.其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為（）解析：選C 錯(cuò)誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn).正確，因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù), 故可以比較大小.錯(cuò)誤，當(dāng)

15、a = 0時(shí)，不論 入為何值，掃=0.錯(cuò)誤，當(dāng)入=（1= 0 時(shí)，?a= jjb= 0,此時(shí)，a與b可以是任意向量.故選C.2.已知向量a, b, c中任意兩個(gè)都不共線，但a+ b與c共線，且b+ c與a共線，則向量 a+ b+ c=(解析：選D依題意，設(shè) a + b= me, b+ c= na,則有(a+ b) (b+ c)= me na, 即卩 a- c=me na.又 a與 c不共線，于是有 m= 1, n= 1, a + b= c, a+ b+ c= 0,選 D.3. （2015福建四地六校聯(lián)考）已知點(diǎn)O, A, B不在同一條直線上， 點(diǎn)P為該平面上一點(diǎn),且 2Op = 2Oa + B

16、A，則()A.P在線段AB上P在線段AB的反向延長線上P在線段AB的延長線上P不在直線AB上解析:選B 因?yàn)?OP = 2OA + BA，所以2 AP = BA，所以點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上，故選B.4. 設(shè) D , E, F 分別是 ABC 的三邊 BC, CA, AB 上的點(diǎn)，且 DC = 2 BD , CE = 2 EA ,AF = 2FB，貝U AD + BE + CF 與 BC ()A .反向平行B.同向平行C .互相垂直D .既不平行也不垂直解析:BE =BA +AE = BA + 3AC ,CF =CB +BF = CB + 1BA ,1 由題意得 AD = AB + BD

17、= AB +- BC ,3 1 因此 AD + BE + CF = Cb + 3(BC + AC - AB)3=CB + |bc =-3bc ,故AD + BE + CF與BC反向平行.5 .在平行四邊形 ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，BE與AC相交于點(diǎn)F，若EF = m AB +nAD （m, n R），則半的值為（）_. _. _. 1解析： 選 A 設(shè) AB = a, AD = b,貝U EF = ma + nb, BE = AE AB = ?b-a, 由向量 - - 1EF與BE共線可知存在實(shí)數(shù) 入使得EF =入BE，即ma+nb= 2血掃，又a與b不共線,則 |m=，所以 m =-2

18、.nn= 1入6 .設(shè)0在 ABC的內(nèi)部，D為AB的中點(diǎn)，且 0A + 0b + 2 0C = 0，則 ABC的面積與 A0C的面積的比值為（）解析:選B -.D為AB的中點(diǎn),則0D=2( 0A + 0B),又 0A + 0B + 20C = 0,0D =- 0C , /.0 為 CD 的中點(diǎn),又為AB中點(diǎn),S4AOC= qSADC = 4SZABC,SBC則=4.SAOC二、填空題7.設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，BC2 = 16, |AB + AC |= |AB AC |,則 | AM |=解析：由 IAB + AC |= |AB AC 可知，AB -LAC ,則AM為RtAB

19、C斜邊BC上的中線, 1 , 因此，I AM | = 2|BC |= 2.答案：2& （2015江門模擬）已知D為三角形 ABC邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA +BP + CP = 0,AP =入PD，則實(shí)數(shù) 入的值為解析：如圖所示，由 AP = XPD且PA + BP + CP = 0,貝y P為以AB, AC為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，因此AP = 2PD，則2.入=答案：29.已知0為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且向量 OA , OB ,OC , OD滿足等式OA+ Oc = Ob + Od，則四邊形 ABCD的形狀為解析：OA + Oc = Ob + Od , aOa Ob = Od

20、 Oc ,BA = CD , BA綊CD ,四邊形ABCD為平行四邊形.答案：平行四邊形10.已知D, E, F分別為 ABC的邊BC, CA, AB的中點(diǎn)，且BC = a, CA = b 給出 1 下列命題：AD = 2a b;BE =1 1 1 一 一a + 2b; CF = 2a + 尹； AD + BE + CF = 0.其中正確命題的個(gè)數(shù)為 1 1解析：BC = a, CA = b, AD = CB + AC = a b,故錯(cuò);BE = BC + 1CA = a+1b,故正確;CF = 2(CB + CA) = 2( a+ b) = qa + 2 b ,故正確;AD + BE + C

21、F =,1 1 1 1 b尹+ a+ 2b+ 2ba = 0.正確命題為.答案：3三、解答題11.已知a, b不共線,OA = a, OB = b, OC = c , OD = d, OE= e,設(shè) t R,如果3a= c,2b= d, e= t(a+ b)，是否存在實(shí)數(shù)t使C, D, E三點(diǎn)在一條直線上？若存在，求出 實(shí)數(shù)t的值，若不存在，請說明理由.解：由題設(shè)知，CD = d c= 2b 3a , CE = e c= (t 3)a +1b , C , D , E 三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k,使得CE = kCD ,即(t 3)a+1b= 3ka+ 2kb ,整理得(t 3+ 3

22、k)a= (2k t)b.t 3+ 3k= 0 ,因?yàn)閍 , b不共線,所以有5It 2k= 0 ,6解之得t= l.6故存在實(shí)數(shù)t = 6使C , D , E三點(diǎn)在一條直線上.512.如圖所示，在 ABC中，D , F分別是BC , AC的中點(diǎn)，AE =3 AD , AB = a, AC = b.c(1)用 a, b 表示向量 AD , AE , AF , BE , BF ;(2) 求證：B, E, F三點(diǎn)共線. 1解: (1)延長 AD 至U G ,使 AD = 2AG ,連接BG, CG,得到平行四邊形 ABGC,所以 AG = a+ b,cAD = 2 AG = 2(a + b),AE

23、 = |aD = 3(a + b),AF = IaC = 1 b,BE = AE AB = 3(a+ b)- a= 3(b 2a),BF = AF AB = 1b a = 1( b 2 a). 2證明：由可知BE = 3BF ,又因?yàn)锽E , BF有公共點(diǎn)B,所以B, E, F三點(diǎn)共線.X第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示這樣口檢耍比死記更有效基礎(chǔ)盤查一平面向量基本定理(一)循綱憶知了解平面向量的基本定理及其意義.(二)小題查驗(yàn)1.判斷正誤(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底(2)在 ABC中，向量AB , BC的夾角為/ ABC(3) 同一向量在不同基底下的表示是相同的(4) 設(shè)a,

24、 b是平面內(nèi)的一組基底，若實(shí)數(shù)?2,忐滿足X|a+jjib=?2a+jj2b,貝U k=k，W= M2()答案：(1) X (2) X (3) X (4) V2.(人教A版教材復(fù)習(xí)題改編)設(shè)M是?ABCD的對角線的交點(diǎn)，0為任意一點(diǎn)，則0A +OB + 0C + 0D =0M .答案：4基礎(chǔ)盤查二 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(一)循綱憶知1.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示;2.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.（二）小題查驗(yàn)1判斷正誤（1）兩個(gè)向量的終點(diǎn)不同，則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)一定不同（2）當(dāng)向量的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)已知點(diǎn) A(2,1), B( 1,3),則

25、AB = ( 3,2)()答案：(1) X (2) V (3) V3a + 4 b=2.（人教A版教材例題改編）已知a = （2,1）, b= （ 3,4），則 答案：（- 6,19）基礎(chǔ)盤查三平面向量共線的坐標(biāo)表示（一）循綱憶知理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.（二）小題查驗(yàn)1判斷正誤（1）若a=（X1, yi）, b= （x2, y2）,貝U a/ b的充要條件可表示成X!=X2y；(2)已知向量 a= (4, X), b= ( 4,4)，若 a / b,貝U x 的值為一答案：(1) X (2) V4(2. O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，OA = (k,12), OB = (4,5), OC = (

26、10 , k)，當(dāng)k=時(shí)，A, B,C三點(diǎn)共線?答案：2或11不同考點(diǎn)不同設(shè)計(jì)更高效考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用I （基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)自主練透）平面向量基本定理必備知識(shí)如果e1, e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實(shí)數(shù) 心 d 使a= X,e 1+ “2.其中，不共線的向量 e1, e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.題組練透1.如果e1, e2是平面a內(nèi)一組不共線的向量， 那么下列四組向量中， 不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是（A . e1 與 6 + 62B. e1 2e2 與 e1 + 2e2C. ei + e2 與 ei e2D.

27、ei + 3e2 與 6e2 + 2 ei解析：選D 選項(xiàng)A中，設(shè)ei + 62=41,則$1 =入無解;1 = 0,選項(xiàng)入=1,B 中，設(shè) e1 2e2= 4& + 202),則$無解;2 = 2 入選項(xiàng)=1,C 中，設(shè) e1 + e2= 4e1 ez),則 $無解;|1 =入-選項(xiàng)1D中，e1+ 3e2 = 2(6e2 + 2e1),所以兩向量是共線向量.12.如圖，在梯形 ABCD 中，AD / BC,且 AD = 3BC,E, F分別為線段AD與BC的中點(diǎn).設(shè)BA = a, BC = b,試用a, b為基底表示向量 EF ,DF，CD . _. _. 1 1 1解：EF = EA +

28、AB + BF =-6 b a + 2 b= 3 b-a,DF = DE + EF =缶+ gb a J= 1 b a,CD = CF + FD = 1b gb a j= a fb.類題通法(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向 量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.考點(diǎn)二 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)自主練透)必備知識(shí)(1)若 a=(Xi, yi), b= (X2, y2),貝y ab= (xi 2,力2);(2)若 A(X1, y1),

29、 B(X2, y2),貝y AB = (X2 1, y2 %)； 若 a= (x, y)，貝y ?a=(入 x 入y |a| = A/x2+ y2.題組練透131.已知平面向量 a= (1,1), b= (1, - 1)，則向量-a 2b=()A . (- 2,- 1)B. (-2,1)C (-1,0)D. (- 1,2)解析：選D 1a=故 2a - 3b= (- 1,2).2. （2015昆明一中摸底)已知點(diǎn) M(5, - 6)和向量a= (1, - 2)，若MN =-3a,則點(diǎn) N的坐標(biāo)為（）A . (2,0)C. (6,2)B. (-3,6)D. (-2,0)設(shè) N(x, y),貝U

30、MN=(x- 5, y+ 6)= (-3,6),x- 5 =-3,所以1y + 6 = 6,|x= 2, 即$選A.ly= 0,3 .已知 A( 2,4),B(3, - 1), C( - 3,- 4).設(shè) AB = a, BC = b, CA = c,且 CM = 3c,CN =- 2b,(1)求 3a+ b-3c;求滿足a = mb+ nc的實(shí)數(shù)m, n;求M , N的坐標(biāo)及向量 MN的坐標(biāo).解：由已知得 a= (5, - 5), b= ( 6,- 3), c= (1,8).(1)3a + b-3c = 3(5,- 5)+ ( 6,- 3)- 3(1,8)=(15 - 6- 3,- 15-3

31、-24)= (6,- 42).mb + nc= ( -6m+n, 3m+8n),fm=- 1,.解得$I - 3m + 8n= 5,In =- 1.-6m+ n = 5,設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)， CM = OM - OC = 3c,OM = 3c+ OC = (3,24) + ( 3, - 4)= (0,20).M(0,20).又TCN = ON - OC =- 2b,解析：選 A MN = - 3a=- 3(1 , - 2)= ( - 3,6),ON = 2 b+ OC = (12,6) + ( 3,-4) = (9,2),N(9,2), AMN = (9, - 18).類題通法平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技

32、巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、 線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向(組)來進(jìn)行求解.考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示| (題點(diǎn)多變型考點(diǎn)全面發(fā)掘)(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程必備知識(shí)設(shè) a= (x1, %), b= (x2, y2)，其中 bM 0.則 a / b? X1y2 x2y1 = 0.一題多變典型母題平面內(nèi)給定三個(gè)向量a = (3,2), b= ( 1,2), c= (4,1).(1)求滿足a = mb+ nc的實(shí)數(shù) m, n;若(a + kc) / (2b- a)，求實(shí)數(shù) k.解由題意得(3,2

33、) = m( 1,2) + n(4,1),j m+ 4n= 3,1 m= 9,所以(得彳Q(2m+n= 2,n= 8、n 9.(2) a+ kc= (3+ 4k,2 + k), 2b a = ( 5,2),由題意得 2X (3 + 4k) ( 5)X (2 + k)= 0.g- 1?.題點(diǎn)發(fā)散1在本例條件下，若 d滿足(d c) / (a+ b),且|d =5，求d.解：設(shè) d= (x, y), d c= (x 4, y 1), a+ b= (2,4),由題意得4(x 4 - 2(y 1 = 0,Xx 42 + (y1 2= 5,|x= 3, 得 L=-1|X= 5, 或彳ly= 3.d= (

34、3, - 1)或 d= (5,3).題點(diǎn)發(fā)散2在本例條件下，若 ma+ nb與a-2b共線，求的值.解：ma +nb= (3m- n ,2 m+2n), a 2b= (5,- 2),由題意得2(3m- n) - 5(2m + 2n) = 0.題點(diǎn)發(fā)散3若本例條件變?yōu)椋阂阎狝(3,2), B(- 1,2), C(4,1)，判斷A, B, C三點(diǎn)能否共線.解：AB = (-4,0), AC = (1 , - 1),r X (- 1) - 0X 1 豐 0, aAB ,AC 不共線.A, B, C三點(diǎn)不共線.類題通法向量共線的兩種表示形式種形式,a = (xi, yi), b= (x2, y2)：

35、a / b? a= ?b(b 0): a/ b? xiy2-X2yi= 0.至于使用哪 應(yīng)視題目的具體條件而定，一般情況涉及坐標(biāo)的應(yīng)用.2.兩向量共線的充要條件的作用判斷兩向量是否共線(平行)，可解決三點(diǎn)共線的問題；另外，利用兩向量共線的充要條件可以列出方程(組)，求出未知數(shù)的值.針對高考靈活節(jié)控更實(shí)效、選擇題=b,則BE =()1. 如圖，在平行四邊形 ABCD中，E為DC邊的中點(diǎn)，且AB = a, AD 1 1 解析：選 A BE = BA + AD + DE =- a+b+ a b-?a.2 .已知平行四邊形 ABCD中，AD = (3,7), AB = (- 2,3)，對角線 AC與B

36、D交于點(diǎn)O,則CO的坐標(biāo)為()A. (- 2, 5)C.G , - 5)Df1， 5)解析：選 D AC = AB + AD = (-2,3) + (3,7) = (1,10).QC = 2 AC = , 5yD.=(-1，-3.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，四邊形ABCD的邊AB / DC,AD / BC.已知A(-2,0),B(6,8),C(8,6),則D點(diǎn)的坐標(biāo)為()A . (0, - 2)B. (-4,2)C. (16,14)D. (0,2)解析：選A 設(shè)D(x , y),由題意知BD = BA + BC ,即(X 6, y 8) = ( 8 , 8)+ (2 , 2) = ( 6 ,x

37、 6 = 6 ,Ly 8 = 10,|x= 0,i故選A.b= 2.4.設(shè)向量a= (1,3), b= (-2,4),c= ( 1,2)，若表示向量4a,4b 2c,2(a c), d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量d=(A . (2,6)(2,6)C. (2, 6)(2, 6)解析：選D 設(shè)d= (x, y),由題意知4a= (4, 12), 4b 2c= ( 6,20), 2(a c) = (4,2)，又 4a+ 4b 2c+ 2(a c)+ d= 0,所以(4, 12) + ( 6,20) + (4, 2)+ (x, y)= (0,0),解得 x= 2, y= 6，所以 d= (

38、2 , 6).5.已知向量 OA = (1 , 3) , OB = (2 ,能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件是(1), OC = (k+ 1, k 2),若 A, B, C 三點(diǎn)不1k= 2k= 1A . k= 2C. k= 1解析：選C 若點(diǎn)A, B, C不能構(gòu)成三角形,則向量AB , AC共線,AB = OB OA = (2 , 1) (1 , 3) = (1,2),AC = OC OA = (k+ 1, k 2) (1, 3) = (k , k+ 1),1 X (k+ 1) 2k= 0，解得 k= 1.6. (2015 西四校聯(lián)考)在 ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長線上，且BC = 3

39、CD ,點(diǎn)0在線段CD上(與點(diǎn)C, D不重合)，若AO = xAB + (1 X) AC，貝U x的取值范圍是()B.(0，D. (- 3, 0)A. (0, yC. (-1, 0)解析：選D 依題意，設(shè)BO = XBC，其中1 ?，則有AO = AB + BO = AB +汩C =3AB + XAC AB) = (1 為 AB + 入AC .又aO = xAB + (1 x) AC，且AB , AC不共線，于是有x= 1入 ( 3,0)即x的取 值范圍是3, 0)二、填空題7.設(shè)e1, e2是平面內(nèi)一組基向量，且a = e1+ 2e2, b= 61+02,則向量e1 + e?可以表示為另一組

40、基向量a，b的線性組合，即 6+ e2=b.解析：由題意，設(shè) & + e2= ma+nb.因?yàn)?a= e1 + 2e2, b= e1+ e2,所以 e1 + e2= m(e1+2e2)+ n(e1+ e2)= (m n)e1 + (2m+ n)e2.由平面向量基本定理,fm n= 1, 得 12m+n= 1,廠 2m= 3, 所以I _答案:I 3.答案：2-1&已知兩點(diǎn)A(1,0), B(1,1), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第二象限，且/ AOC= 135 設(shè)OC =0A +入0目(入 R)，貝U入的值為解析:則有(a,由/AOC = 135知，點(diǎn)C在射線y= x(x0)上，設(shè)點(diǎn) C的坐標(biāo)為(a

41、, a), a0,1a) = ( 1+入為，得a = 1+入a =人消掉a得匸?.9. 在 ABC中，點(diǎn)P在BC上，且BP = 2 PC,點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若PA = (4,3), PQ =(1,5)，貝y BC =解析：AQ = PQ PA = ( 3,2),AC = 2AQ = (- 6,4).PC = PA+ AC = ( 2,7),BC = 3 PC = (-6,21).答案：(6,21)10. (2015 九江模擬)P= a|a= ( 1,1) + m(1,2), m R, Q = b|b= (1, 2) + n(2,3), n R是兩個(gè)向量集合，則 P n Q等于.解析：P 中，a

42、 = ( 1 + m,1 + 2m),Q 中，b= (1 + 2n, 2 + 3n).1 + m= 1 +2n,fm= 12,則$得$1 + 2m= 2+ 3n.n= 7.此時(shí) a= b= ( 13, 23).答案：( 13, 23 三、解答題11.已知 a= (1,0), b= (2,1).求:(1)| a+ 3b|;當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí)，ka b與a + 3b平行，平行時(shí)它們是同向還是反向?解：因?yàn)?a= (1,0), b= (2,1)，所以 a+ 3b= (7,3),故 |a+ 3 b|=p72+32 =58.(2)ka b= (k 2, 1), a+ 3b= (7,3),因?yàn)閗a b與a +

43、 3b平行,1所以 3(k 2)+ 7= 0，即 k=-3此時(shí) ka b= (k 2, 1) = ( 3, 1)a+ 3b= (7,3)，貝U a + 3b= 3(ka b),即此時(shí)向量a + 3b與ka b方向相反.12 .已知點(diǎn) 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2), B(4,6), OM = ti OA + t2 AB .（I）求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件；求證：當(dāng)ti= I時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A, B, M三點(diǎn)共線.解：(1)0M = tiOA + t2 AB = ti(0,2) + t2(4,4) = (4t2,2ti + 4t2).當(dāng)點(diǎn) M 在第二或第三象限時(shí),f4t20 ,有丫2t

44、i + 4t2* 0,故所求的充要條件為t20,貝y a和b的夾角為銳角；若 a bv 0，則a和b的夾角為鈍角（）答案：（1） X （2） X （3） X2.（人教A版教材復(fù)習(xí)題改編）已知|a| = d3, |b|= 2, a與b的夾角為30則|a b|=答案：13. 已知向量a = （1,2），向量b=（X, 2），且a丄（a b），則實(shí)數(shù)x等于答案：9基礎(chǔ)盤查三平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（一）循綱憶知掌握向量數(shù)量積的運(yùn)算律，并能進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.（二）小題查驗(yàn)1.判斷正誤(1)( a b) c= a (b c)()(2) a b= a c(a豐 0)，貝U b= c()答案：X （2） X2.（

45、人教A版教材習(xí)題改編=262 361的夾角為.）已知單位向量 e1, 62的夾角為60則向量a = 2& + e2與b答案：150不同不點(diǎn)不同設(shè)計(jì)更島效考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算1（基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)自主練透）必備知識(shí)1.平面向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量a和b,它們的夾角為0,把數(shù)量|a|bCos 0叫做a和b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作 a b.即卩 a b= |a|bCos 0,規(guī)定 0 a= 0.2.向量數(shù)量積的運(yùn)算律a b=ba.(2)(掃)b= Xa b)= a (?b).(3)( a + b) c= a c+ b c.3. 平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a b等于a的模|a|與b在a

46、的方向上的投影|b|cos 0的乘積.提醒投影和兩向量的數(shù)量積都是數(shù)量,不是向量.題組練透1. （2015云南統(tǒng)一檢測）設(shè)向量a= （1,2）, b= （m,1）,如果向量 a+ 2b與2a b平行, 那么a與b的數(shù)量積等于（）3C.3解析:選 D a + 2b= ( 1+ 2m,4),2a- b= ( 2 m,3)，由題意得 3( 1 + 2m) 4( 2 m) = 0,則1m= 2,f 1、5所以 a b= 1X ( 2丿+ 2 X 1 =-B(1,2), C( 2, 1), D(3,4)，則向量 AB 在 CD 方向2.（2013湖北高考）已知點(diǎn)A（ 1,1）,上的投影為（）315D.

47、-十. . AB CD 解析：選A AB = (2,1), CD = (5,5)，由定義知 AB在CD方向上的投影為 一,|CD 13. （2014重慶高考）已知向量a與b的夾角為60且a = （ 2, 6）,冋=浙0，貝U a b解析：因?yàn)閍 = ( 2, 6),所以 |a| =U(-2f+( 62 = 2 鎖,又|b|=Ji0，向量a與b的夾角為60 1所以 a b= |a| |b| cos 60 = FcWx10.答案：10 一 1 .4. (2015東北三校聯(lián)考)已知正方形 ABCD的邊長為2, DE = 2 EC , DF = 2( DC + DB ),貝U BE -DF =解析：如圖，以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸建jt立平面直角坐標(biāo)系.E則 B(0,0), E, 2) D(2,2).由 DF = 2( DC + DB )知 F 為 BC 的中點(diǎn),AFC故 BE =(2, 3) dF = (- 1, 2),一 一410BE - DF = 2-3 =亍答案：7類題通法向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法a b= |a |b|cos a,當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a=(x1,