導(dǎo)數(shù)中的求參數(shù)取值范圍問題

1、幫你歸納總結(jié)(五)：導(dǎo)數(shù)中的求參數(shù)取值范圍問題f(x)增區(qū)間，則在此區(qū)間上、常見基本題型:(1) 已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，如已知函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(X) 0,如已知函數(shù)f (x)減區(qū)間，則在此區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)f(X) 0。(2) 已知不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍問題，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題。例1.已知a R函數(shù)f(x)2x(x ax)e .( x R，e為自然對數(shù)的底數(shù))(1)若函數(shù)f (x)在(1,1)內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍;函數(shù)f (x)是否為R上的單調(diào)函數(shù)，若是，求出a的取值范圍；若不是，請說明解:(1)Q f (x)(x2 ax)e-x-xf (x) ( 2x a)e-x (

2、x2 ax)( e-x) = x2 (a 2)x 要使f(x)在-1,1上單調(diào)遞減，則f(X) 0對x (2x (a 2)x1,1)都成立.(2)令 g(x)若函數(shù)若函數(shù)(a2)x ag( 1) 0, g(1)0.-xa e1,1)都成立,(a(a2)2)f (x)在R上單調(diào)遞減，則即 x2 (a 2)xQ e x 0, x2 (a 令 g(x)Q圖象開口向上對x R都成立(x) 0a e-x 0對x R都成立.2)x a 0對x R都成立2x (a 2)x不可能對xa，R都成立f (x)在R上單調(diào)遞減，則f2x(x)-xeR都成立,Qx e0,(a 2)x a2x (a 2)x aR都成立,

3、R都成立.a2(a 2)2 4a故函數(shù)f(x)不可能在R上單調(diào)遞增.綜上可知，函數(shù) f (x)不可能是R上的單調(diào)函數(shù)例2 :已知函數(shù)若函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，對于任意，函數(shù)在區(qū)間上總不是 單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍;解：令得，故兩個根一正一負(fù)，即有且只有一個正根 函數(shù)在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)在上有且只有實(shí)數(shù)根故，而單調(diào)減， ，綜合得例 3. 已知函數(shù)（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（n）設(shè)，若對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（I）的定義域是由及 得;由及得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是;單調(diào)遞減區(qū)間是II ）若對任意，不等式恒成立，問題等價于，由（ I ）可知，在上，是函數(shù)極小值點(diǎn)，這個極小值

4、是唯一的極值點(diǎn)，故也是最小值點(diǎn)，所以;當(dāng)時，;當(dāng)時，;當(dāng)時，;問題等價于 或 或解得 或 或即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是例 4.設(shè)函數(shù) f(x) X2 mlnx,h(x) x2 x a, 當(dāng)a= 0時，f(x) h(x)在(1 ,+s)上恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍; 當(dāng)m= 2時，若函數(shù)k(x) = f(x) h(x)在1,3上恰有兩個不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：由 a= 0, f (x) h(x),x可得一mn X x, x (1 ,+s )，即 mW -. ln XX記 0(x) = l一，貝y f(x) h(x)在(1 ,+s )上恒成立等價于me 0 (x)min.ln X求得0(

5、X)=晉?當(dāng) x (1 , e), 0(X) 0.故0 (x)在x = e處取得極小值，也是最小值,即 0 (x) min = 0 (e) = e,故 mW e. 函數(shù)k(x) = f (x) h(x)在1,3上恰有兩個不同的零點(diǎn)等價于方程x 2ln x = a,在1,3上恰有兩個相異實(shí)根.2 令 g(x) = x 2ln，貝U g (x) 1 一.x當(dāng) x 1,2)時，g(X)0. g(x)在(1,2)上是單調(diào)遞減函數(shù)，在(2,3上是單調(diào)遞增函數(shù).故 g( x) min= g(2) = 2 2ln2.又 g(1) = 1, g(3) = 3 2ln3 , g(1) g(3)，只需 g(2)

6、aw g(3).故a的取值范圍是(2 In2,3 2ln3.二、針對性練習(xí)1.已知函數(shù)f (x)ainx.若函數(shù)g(x) f(x) 2x在1 , 4上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：由，得.又函數(shù)為1 , 4上的單調(diào)減函數(shù)。則在1 , 4上恒成立，.所以不等式在1 , 4上恒成立.即在1 , 4上恒成立。設(shè),顯然在1 , 4上為減函數(shù),所以的最小值為的取值范圍是2.已知函數(shù)f(X)(1)右存在1,ln -，使 a3Xe 1 X 0成立，求a的取值范圍;(2)當(dāng)時,f(x) tx2恒成立，求的取值范圍.解:(1 )即時，時,在上減，在上增.又時，的最大值在區(qū)間端點(diǎn)處取到在上最大值為故的取值范圍是,(3) 由已知得時，恒成立,由(2)知當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,故，從而當(dāng)即時，為增函數(shù)，又于是當(dāng)時，即，時符合題意由可得從而當(dāng)時,故當(dāng)時，為減函數(shù)，又于是當(dāng)時，即故不符合